7. ¨Ubungsblatt - TU Berlin

Lineare Algebra I
WS 2008/09
Technische Universität Berlin
Institut für Mathematik
Prof. Michael Joswig
Thilo Rörig
7. Übungsblatt
Abgabe 05.12. vor der Vorlesung
Wichtiges in Kürze
Frage 7:
Zu jeder linearen Abbildung gibt es genau
eine darstellende Matrix.
Wenn f eine injektive lineare Abbildung ist,
dann bildet f linear unabhängige Vektoren
auf linear unabhängige Vektoren ab.
Wenn f eine injektive lineare Abbildung ist,
dann bildet f linear abhängige Vektoren auf
linear abhängige Vektoren ab.
Für jede lineare Abbildung f : V → W gilt:
rank f ≤ max{dim V, dim W }
Hausaufgaben
Aufgabe 22: Sei f :
wahr
falsch
wahr
falsch
wahr
falsch
wahr
falsch
R3 → R2 eine lineare Abbildung definiert durch:
f : R3 → R2
 
 
x
x
y  7→ f (y ) = x + y + z .
2x + 3y
z
z
Seien B1 , B2 ⊂
R3 und C1, C2 ⊂ R2 die folgenden Basen der Vektorräume R3 bzw. R2:
     
1
0
0





0
1
B1 := {
,
, 0 }
0
0
1
     
1
0
0
B2 := {0 , 1 , 1}
0
2
1
1
0
C1 := {
,
}
0
1
1
1
,
}
C2 := {
1
2
Berechne die darstellenden Matrizen [f ]CB11 und [f ]CB22 für die lineare Abbildung f bezüglich
den Basen B1 , B2 ⊂ 3 und C1 , C2 ⊂ 2 .
6 Punkte
R
R
Aufgabe 23: Seien V1 , V2 , . . . , Vn endlichdimensionale Vektorräume über dem Körper K
(n ∈
\ {0}) und V0 := {0}, Vn+1 := {0}. Weiterhin seien fi : Vi → Vi+1 , i = 0, . . . , n,
lineare Abbildungen. Es ergibt sich folgende Sequenz von Abbildungen:
N
f0
f1
f2
{0} −−−−−→ V1 −−−−−→ V2 −−−−−→
...
fn−1
fn
−−−−−→ Vn −−−−−→ {0}
Wenn ker(fi ) = img(fi−1 ) für alle i = 1, . . . , n gilt, dann heißt diese Sequenz exakt.
Beweise: (i) Wenn die obige Sequenz exakt ist, dann gilt
n
X
(−1)i dim Vi = − dim V1 + dim V2 − dim V3 + · · · ∓ dim Vn−1 ± dim Vn = 0 .
i=1
Zeige für n = 2 gilt: (ii) Wenn die Sequenz
f0
f1
f2
{0} −−−−−→ V1 −−−−−→ V2 −−−−−→ {0}
exakt ist, dann ist f1 ein Isomorphismus von V1 nach V2 .
Aufgabe 24: Seien V und W Vektorräume über
Abbildung, die der Bedingung
f (u + v) = f (u) + f (v)
Q. Sei weiterhin f
6 Punkte
: V → W eine
für alle u, v ∈ V
genügt. (i) Beweise, dass f linear ist.
Tipp: Zeige zuerst f (λv) = λf (v) für alle v ∈ V und alle λ ∈ N (Induktion), danach für alle λ ∈ Z und schließlich für alle λ ∈ Q.
(ii) Gib einen Körper K, zwei K-Vektorräume U1 und U2 und eine lineare Abbildung g
von U1 nach U2 an, für die zwar g(u + v) = g(u) + g(v) für alle u, v ∈ U1 gilt, aber nicht
g(λu) = λg(u) für alle u ∈ U1 und λ ∈ K.
6 Punkte