Elektromagnetische Felder I Klausur 4. September 2014 1
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Elektromagnetische Felder I Klausur 4. September 2014 1. Berechnen Sie die folgenden vektoranalytischen Ausdrücke in den angegebenen Koordinatensystemen. Dabei sind a eine konstante Länge, ~r = (x, y, z)T , r = |~r|, Φ (~r) ein skalares Feld und V~ (~r) ein Vektorfeld. r 3 in Kugelkoordinaten a) grad ln a b) div (Φ (~r) · ~r) in Kugelkoordinaten c) div rot V~ (~r) in kartesischen Koordinaten - Führen Sie die beiden Operationen explizit aus. Die Zwischenschritte müssen nachvollziehbar aufgeschrieben sein. d) Übertragen Sie die nebenstehende Tabelle auf Ihr Papier und vervollständigen Sie die fehlenden 20 Einträge. α/◦ 90 120 135 150 180 α/ rad sin α cos α tan α e) Die magnetische Flussdichte ist nachfolgend in kartesischen Koordinaten am Ort ~ ra ) = µI · (1, 1, 0)T . Bestimmen Sie unter ~ra = (−a, a, 0)T mit a > 0 gegeben: B(~ 8πa ~ ra ) in Kugelkoordinaten. Benutzung des Koordinatenhilfszettels den Ausdruck für B(~ f) Geben Sie die Lichtgeschwindigkeit in allgemeiner Form für ein Material an. Benutzen Sie dazu die Permeabilität und Permittivität. Machen Sie deutlich welcher Teil die Vakuumlichtgeschwindigkeit repräsentiert und in welchem Teil der Einfluss der Materialeigenschaften wiederzufinden ist. Berechnen Sie ausgehend von dem Teil, der die Vakuumlichtgeschwindigkeit ausmacht den Wert von c0 . (11 Punkte) 2. Gegeben sei ein idealer Zylinderkondensator mit Innenradius a, Außenradius b und Höhe h. Auf der inneren Kondensatorplatte ist die Ladung +Q und auf der äußeren −Q aufgebracht (Q > 0). Die Ladungen sind auf der jeweiligen Platte frei beweglich, können diese aber nicht verlassen. a) Berechnen Sie zunächst die Kapazität des leeren Kondensators. Zum Zeitpunkt t = 0 wird damit begonnen, ein flüssiges Dielektrikum mit εr = 5 in den anfangs leeren Kondensator einzuleiten. Der Füllstand f (t) erhöht sich parallel zur Zylinderachse. a b h εr f (t) ~ b) Haben sich nach der vollständigen Füllung des Kondensators die Kapazität, das DFeld und/oder die Spannung zwischen den Kondensatorplatten im Vergleich zum leeren Kondensator geändert? Begründen Sie Ihre Antworten kurz mit Formeln. ~ c) Berechnen Sie das E-Feld zwischen den Kondensatorplatten während des Füllvorgangs. Es ist abhängig von Zeit und Ort! Beachten Sie, dass während des Füllvorgangs die Ladung nicht gleichmäßig über die Kondensatorplatten verteilt ist Parallelschaltung zweier Kondensatoren! (10 Punkte) Klausur 4. September 2014 1 3. a) Wie lautet das Biot-Savart-Gesetz für eine Stromdichte J? y Gegeben ist eine quadratische Leiterschleife mit der Kantenlänge 2a in der (z = 0)-Ebene. Ihr Mittelpunkt befindet sich auf der z-Achse, ihre Seiten liegen parallel zur x- bzw. y-Achse. Der Leiter ist ideal dünn und der Strom I fließt entgegen dem Uhrzeigersinn durch die Schleife. 2 z I x 4 2a Elektromagnetische Felder I 3 b) Geben Sie die Stromdichte im oberen Abschnitt 1 an. c) Stellen Sie für den Strom in Abschnitt 1 das Integral für dessen Beitrag zur magne~ 1 (0, 0, z0 ) auf der z-Achse auf. Rechnen Sie das Kreuzprodukt tischen Flussdichte B aus, aber lösen Sie noch nicht das Integral. d) Nun werden alle vier Abschnitte zusammen betrachtet. Welche Komponenten der ~ ges verschwinden auf der z-Achse? Dieser Aufgesamten magnetischen Flussdichte B gabenteil kann auch ohne die anderen Aufgabenteile gelöst werden. ~ ges (0, 0, z0 ) auf der z-Achse. Benutzen e) Berechnen Sie die magnetische Flussdichte B Sie dabei das in c) aufgestellte Integral und setzen Sie gemäß d) verschwindende Komponenten auf 0. Berücksichtigen Sie außerdem, dass jeder der vier Abschnitte ~ ges leistet. den gleichen Beitrag zu B R R x Hinweis: (x2 +b12 )3/2 dx = b2 √xx2 +b2 dx = √x−1 , 2 +b2 (x2 +b2 )3/2 (9 Punkte) H ~ d~l = 0 auf jedem geschlossenen Weg C gilt, ~ E 4. a) Beweisen Sie: Wenn für ein E-Feld C ~ = ~0 im ganzen Raum. dann gilt auch rot E ~ ist darstellbar als B ~ = rot A. ~ Wie heißt A ~ und wie kann man A ~ in ein A ~ ′ überb) B ~ ′ gilt: B ~ = rot A ~ ′ , d.h. welcher Zusammenhang besteht führen, so dass auch für A ~ und A ~ ′ ? Geben Sie die Gleichung der Vektoranalysis an, die dem zu zwischen A ~ Grunde liegt. Wie heißt eine solche Änderung von A? (5 Punkte) 5. Betrachtet wird eine einfallende ebene Welle an einer ebenen Grenzschicht zwischen zwei verschiedenen Materialien. Es kommt zur Reflexion und Brechung. a) Welche Größen benötigen Sie, um die reflektierte und die gebrochene Welle vollständig zu spezifizieren? b) Wieso gibt es insgesamt vier Fresnel-Formeln bzw. wieso reichen nicht zwei? c) Woher kommt der Unterschied zwischen den Fresnel-Formeln und dem elektrostatischen bzw. dem magnetostatischen Brechungsgesetz? Es geht doch bei allen um das Feldverhalten an Grenzflächen. (5 Punkte) Elektromagnetische Felder I Klausur 4. September 2014 6. a) Gegeben sei eine Grenzfläche zwischen zwei Materialien 1 und 2. Diese unterscheiden sich in ihren Permittivitäten und Permeabilitäten. Der Normalenvektor ~n auf der Grenzfläche zeigt von Material 1 ins Material 2. In der Grenzfläche sind eine ~ vorhanden. Grenzflächenladungsdichte σ und eine Grenzflächenstromdichte K Geben Sie diejenigen Gleichungen von den nachfolgend aufgelisteten an, die das Verhalten der vier Feldstärken an der Grenzfläche allgemein beschreiben. Außerdem ist die jeweils zugehörige Maxwellgleichung in differentieller Form anzugeben, aus der die Randbedingung hergeleitet werden kann. Die Herleitung selbst ist nicht gefordert. ~2 − B ~ 1) = σ ~n × (B ~2 − E ~ 1) = σ ~n × (E ~2 − E ~ 1) = σ ~n · (E ~2 − B ~ 1) = 0 ~n · (B ~2 −D ~ 1) = K ~ ~n · (D ~2 − H ~ 1) = K ~ ~n × (H ~2 − B ~ 1 ) = ~0 ~n × (B ~2 − E ~ 1) = K ~ ~n · (E ~2 −D ~ 1) = K ~ ~n × (D ~2 − B ~ 1) = σ ~n · (B ~2 − D ~ 1) = σ ~n · (D ~2 − D ~ 1 ) = ~0 ~n × (D ~2 − H ~ 1) = 0 ~n · (H ~2 − H ~ 1) = σ ~n × (H ~2 −D ~ 1) = 0 ~n · (D ~2 − E ~ 1 ) = ~0 ~n × (E ~2 − H ~ 1) = σ ~n · (H ~2 − H ~ 1 ) = ~0 ~n × (H ~2 − B ~ 1) = K ~ ~n × (B ~2 − E ~ 1) = K ~ ~n × (E ~2 − E ~ 1) = 0 ~n · (E b) Die Grenzfläche sei nun die x-y-Ebene, unterhalb sei Vakuum, oberhalb ein Material mit εr = 2 und µr = 3. Eine Grenzflächenladungsdichte oder -stromdichte sind nicht ~ 1 = (4, 5, 6)T V/m an der vorhanden. Im Vakuum sei die elektrische Feldstärke E ~ 2 im Material auf Grenzfläche vorhanden. Wie groß ist die elektrische Feldstärke E der anderen Seite der Grenzfläche? c) Für die gleiche Grenzfläche und Materialparameter aus Aufgabenteil b): Welche Grenzflächenladungsdichte oder Grenzflächenstromdichte muss vorhanden sein, da~ 1 = (1, 2, 3)T T und im Material das Feld B ~ 2 = (5, 6, 3)T T mit im Vakuum das Feld B auftreten können? (10 Punkte) 7. Eine ebene Welle mit der Kreisfrequenz ω breitet sich im Vakuum in z-Richtung aus. Ihr elektrisches Feld ist in x-Richtung linear polarisiert. Die Feldstärke hat zur Zeit t = 0 im Ursprung des Koordinatensystems ihren Maximalwert E0 . a) Geben Sie den zugehörigen Wellenvektor ~k an. ~ r, t) als Funktion von Ort und Zeit in komplexer b) Geben Sie das elektrische Feld E(~ Darstellung an. ~ r , t). c) Berechnen Sie das zugehörige Magnetfeld H(~ d) Berechnen Sie das Verhältnis der Komponenten von elektrischem Feld zu magnetischem Feld. Wie wird dieses Verhältnis genannt? e) Wie hängt der Betrag der Leistungsflussdichte mit dem elektrischen Feld und dem im vorigen Aufgabenteil berechneten Verhältnis zusammen? f) Die Welle trifft nun senkrecht auf eine Grenzschicht zu einem Material mit εr = 4 und µr = 1. Berechnen Sie den ins Material transmittierten Bruchteil der Leistungsflussdichte der einfallenden Welle, also das Verhältnis von transmittierter zu einfallender Leistungsflussdichte. g) Berechnen Sie die Phasengeschwindigkeit der Welle im Material. (9 Punkte) Elektromagnetische Felder I Klausur 4. September 2014 Reflexion und Brechung an Grenzflächen: ✆ ☞ ☛ ✡✠ ✟ ✞ ✝ ~ senkrecht zur Einfallsebene E Z2 cos(θeinf ) − Z1 cos(θtrans ) Erefl = Eeinf Z2 cos(θeinf ) + Z1 cos(θtrans ) Etrans 2Z2 cos(θeinf ) = Eeinf Z2 cos(θeinf ) + Z1 cos(θtrans ) ✆☎ ❊✐ qt ❡ ❜❡ ❧ ✂❡ ❢✁❧ q✍ ✌t q✍ ❍r ❦r ❦t ❍t ● ① ❞✐✄ ▼❡ ❦✍ ✌ r ❍✍ ❞✐✄ ▼❡ ♠ ♠ ✷ ✶ ✌✍ ③ ② ✆ ☞ ☛ ✡✠ ✟ ✞ ✝ ~ parallel zur Einfallsebene E Z2 cos(θtrans ) − Z1 cos(θeinf ) Erefl = Eeinf Z2 cos(θtrans ) + Z1 cos(θeinf ) 2Z2 cos(θeinf ) Etrans = Eeinf Z2 cos(θtrans ) + Z1 cos(θeinf ) ✆☎ ✌✑ ● ① ❦✏ ❍✏ ❦✑ q✑ ❡ ❜❡ ❧ ✂❡ ✌ ❢✁❧ ✏ ✐ ❊ ❍✑ q✎ ❍✎ ✌✎ ❦ ✎ ❞✐✄ ▼❡ q✎ ❞✐✄ ▼❡ ♠ ✶ ③ ② ♠ ✷ Elektromagnetische Felder II Klausur 4. September 2014 8. a) Geben Sie je zwei unterschiedliche Formeln an, mit der die gespeicherte Energie in einem (idealen) Kondensator und in einer (idealen) Spule berechnet werden kann. Unterschiedlich bedeutet sowohl eine feldbasierte Formel wie eine Ersatzschaltbildformel. b) Wieso ist ein Ersatzschaltbild im dynamischen Fall generell eine Näherung bezüglich des dreidimensionalen Feldbildes? Welcher physikalische Term wird z.B. bei allen Ersatzschaltbild-Bauelementen nicht berücksichtig? (6 Punkte) 9. Ein Koaxialkabel mit Ri und Ra als Radius des ideal leitenden Innen- bzw. Außenleiters sei mit beliebiger Länge l gegeben. Es gibt zwei geschichtete Dielektrika, siehe nebenstehende Abbildung, mit unterschiedlichen Permittivitäten ε1 für r ∈ [Ri ; Rx ] und ε2 für r ∈]Rx ; Ra ]. Zwischen Innenleiter und Außenleiter wird eine Spannung U angelegt, wobei der Innenleiter positiv gepolt und der Außenleiter mit Masse verbunden, d.h. geerdet ist. Etwaige Randeffekte können im Weiteren vernachlässigt werden. U Ri Rx ε1 ε2 Ra ~ und das elektrische Feld E ~ für den a) Berechnen Sie die dielektrische Verschiebung D ~ und das elektriRadius r ∈ [Ri , Ra ]. Geben Sie die dielektrische Verschiebung D ~ für alle Radien r ∈ [0; ∞[ an. Die Ergebnisse sollen als Funktion der sche Feld E angelegten Spannung U dargestellt werden! b) Berechnen Sie den Kapazitätsbelag C ′ des Kabels, also die Kapazität pro Längeneinheit. ~ und E ~ gec) Fortan gelte 4ε1 = ε2 . Geben Sie die in der ersten Teilaufgabe für D fundenen Ausdrücke für die hier gegebenen Materialparameter an. Fassen Sie diese Ausdrücke swoweit wie möglich zusammen. ~ und E ~ qualitativ. Dabei soll eine größere Feldd) Skizzieren Sie die Feldlinien von D stärke mit einer höheren Anzahl an Feldlinien und eine kleinere mit einer geringeren Anzahl an Feldlinien deutlich dargestellt werden. (10 Punkte) 10. a) Erklären Sie den Begriff der Mode“. ” b) Welche Größe zu einer Mode gibt Auskunft darüber, ob bei einer gegebenen Frequenz ω ein reeller Leistungstransport möglich ist? Welche Mode ist hierfür im Gleichstromfall ω = 0 geeignet und wie lautet der Wert der gefragten Größe für ω = 0? c) Nennen Sie die beiden möglichen Lösungsklassen in geschlossenen metallischen Hohlrohren mit homogenem inneren Querschnitt. Welche Randbedingung ist für welche nicht-verschwindende Feldkomponente zu erfüllen? d) Wieso ist ein Multimoden-Lichtwellenleiter für die hochbitratige interkontinentale Nachrichtenübertragung unbrauchbar? (6 Punkte) Elektromagnetische Felder II Klausur 4. September 2014 z 11. Nebenstehende Abbildung zeigt den Aufbau eines Rechteckhohlleiters. In Abhängigkeit von den Indizes m und n können folgende Feldkomponenten berechnet werden. Hierbei ist A eine noch näher zu bestimmende Amplitude, welche für TE- und TM-Wellen verschieden ist. y b x a (0, 0, 0) TE-Wellen: −j vω · z mπ nπ · cos · x · sin · y · e ph Êx = A · mπ 2ωµ nπ 2 · nπ a b ( a ) +( b ) b −j ω · z · sin mπ · x · cos nπ · y · e vph Êy = −A · mπ 2ωµ nπ 2 · mπ a a b ( a ) +( b ) Êz = 0 ω −j vω · z v mπ nπ Ĥx = A · mπ 2 ph nπ 2 · mπ · sin · x · cos · y · e ph a b ( a ) +( b ) a ω −j vω · z v mπ nπ Ĥy = A · mπ 2 ph nπ 2 · nπ · cos · x · sin · y · e ph a b ( a ) +( b ) b −j ω · z Ĥz = −j · A · cos mπ · x · cos nπ · y · e vph a b TM-Wellen: ω v · cos Êx = −A · mπ 2 ph nπ 2 · mπ ( a ) +( b ) a ω vph 2 + nπ b mπ a · x · sin nπ b −j ω · z · y · e vph −j ω · z · nπ · sin mπ · x · cos nπ · y · e vph b a b ( ) ( ) −j vω · z nπ Êz = −j · A · sin mπ · x · sin · y · e ph a b −j ω · z Ĥx = A · mπ 2ωε nπ 2 · nπ · sin mπ · x · cos nπ · y · e vph b a b ( a ) +( b ) −j vω · z mπ nπ Ĥy = −A · mπ 2ωε nπ 2 · mπ · cos · x · sin · y · e ph a b ( a ) +( b ) a Ĥz = 0 Êy = −A · mπ a 2 a) Welche Feldkomponenten sind für die H10 -Mode ungleich Null? b) Berechnen Sie den Wellenwiderstand für eine Welle, die sich in positiver z-Richtung in der H10 -Mode ausbreitet. c) Bestimmen Sie die Amplitude A so, dass in der H10 -Mode die effektive Leistung (zeitlicher Mittelwert) von 1 W durch den Hohlleiter transportiert wird. d) Welche Einheit hat die ausgerechnete Amplitude A? Mit Herleitung! R R 1 1 Hinweis: sin2 ax dx = 12 x − 4a sin 2ax und cos2 ax dx = 12 x + 4a sin 2ax (8 Punkte) Elektromagnetische Felder II Klausur 4. September 2014 12. Ein Hertzscher Dipol mit Ausrichtung parallel zur z-Achse wird betrachtet. a) Geben Sie zunächst den allgemeinen Zusammenhang zwischen der Kreisfrequenz ω, der Lichtgeschwindigkeit c und der Wellenlänge λ an. b) Ab welchem Abstand r vom Hertzschen Dipol wird vom Fernfeld gesprochen? c) Geben Sie für das Nahfeld eines Hertzschen Dipols an, welche der jeweils drei sphä~ und des H-Feldes ~ rischen Komponenten des Evon Null verschieden sind. d) Geben Sie für das Fernfeld an, welche der jeweils drei sphärischen Komponenten des ~ und des H-Feldes ~ Ezum zeitlich gemittelten Leistungsfluss beitragen. e) Welche weitere sphärische Feldkomponente existiert noch im Fernfeld, trägt aber nicht zum zeitlich gemittelten Leistungsfluss bei? f) Welche Abstandsabhängigkeit(en) besitzen die sogenannten Fernfeldterme des Hertzschen Dipols? g) Welche Abstandsabhängigkeit(en) besitzen die sogenannten Nahfeldterme des Hertzschen Dipols? h) Welche physikalischen Idealisierungen werden bei der Definition des Hertzschen Dipols angenommen? (8 Punkte) 13. In dieser Aufgabe wird die konforme Abbildung des Einheitskreises mit Radius 1 und z Mittelpunkt im Ursprung durch w(z) = 1−z betrachtet. Parametrisieren Sie den abzujφ bildenden Einheitskreis mit zk = e . a) Berechnen Sie zunächst Real- und Imaginärteil von w(zk ). b) Wohin werden die Punkte des Einheitskreises mit φ = ǫ, φ = π und φ = 2π − ǫ abgebildet, wobei 0 < ǫ ≪ 1 gilt? c) Zeichnen oder beschreiben Sie, wohin das Innere und wohin das Äußere des Einheitskreises abgebildet werden. Eine Rechnung ist nicht erforderlich, aber eine Begründung. d) Wohin werden die drei folgenden Linienladungsdichten transformiert: τ1 am Ort z = 0 · e j0 , τ2 am Ort z = 10 · e jπ und τ3 am Ort z = 10 · e j0 ? e) Für welche der drei kombinierten Geometrien aus Einheitskreis und einer der Linienladungsdichten (τ1 , τ2 oder τ3 ) stellt die Abbildung w(z) eine Vereinfachung zur Feldberechnung dar? Geben Sie eine Begründung an. Hinweis: sin x = x − (11 Punkte) x3 3! + x5 5! − . . . und cos x = 1 − x2 2! + x4 4! − ... Elektromagnetische Felder II Klausur 4. September 2014 14. In der folgenden Abbildung sind drei Anordnungen von Ladungen und perfekt leitenden, ebenen Oberflächen dargestellt. In jeder Anordnung befindet sich eine mit Q bezeichnete positive Punktladung. Die perfekt leitenden Oberflächen sind senkrecht zur Zeichenebene unendlich ausgedehnt. Q 45◦ Q 45 (1) ◦ (2) 30◦ Q 30◦ (3) a) Geben Sie für diese Anordnungen jeweils an, wie viele positive und wie viele negative Bildladungen hinzugefügt werden müssen, um die Methode der Bildladungen anwenden zu können. Gegeben ist nun eine vergleichbare Anordnung (4), nur mit beliebigen Winkel α: b) Für welche Winkel α lässt sich das elektrische Feld mit der Methode der Bildladungen direkt berechnen? c) Geben Sie für die zulässigen Winkel an, wie viele positive und wie viele negative Bildladungen hinzugefügt werden müssen. α/2 Q α/2 (4) Gegeben ist nun eine zu Anordnung (2) modifizierte Anordnung (5): d) Lässt sich das elektrische Feld mit der Methode der Bildladungen direkt berechnen? Falls Ja, fertigen Sie eine Zeichnung mit den Platten, der gegebenen Ladung und der/den Bildladung(en) an. Falls Nein, begründen Sie. 60◦ a Q 30◦ (5) e) Für die Anordnung (1) seien die folgenden Details festgelegt: die Oberfläche liege in der (y = 0)-Ebene und die Ladung befinde sich am Ort (0, a, 0) mit der Länge a > 0. Geben Sie das Potential im oberen Halbraum (y ≥ 0) an, mit der Randbedingung, dass das Potential auf der perfekt leitenden Oberfläche gleich Null sein soll. f) Geben Sie nun das Potential im Halbraum y < 0 an. g) Lässt sich auf eine in dieser Aufgabe vorkommende Anordnung eine konforme Abbildung anwenden? Falls Ja, auf welche? Falls Nein, begründen Sie. (10 Punkte)
