Grundbegriffe der Informatik Aufgabenblatt 1

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Grundbegriffe der Informatik
Aufgabenblatt 1
Matr.nr.:
Nachname:
Vorname:
Tutorium:
Nr.
Name des Tutors:
Ausgabe:
23. Oktober 2013
Abgabe:
31. Oktober 2013, 12:30 Uhr
im GBI-Briefkasten im Untergeschoss
von Gebäude 50.34
Lösungen werden nur korrigiert, wenn sie
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Vom Tutor auszufüllen:
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/ 16
Aufgabe 1.1 (1+1+1=3 Punkte)
Gegeben seien zwei Relationen R ⊆ {1, 2, 3} × {0, 1, 2} und S ⊆ {1, 2, 3} ×
{0, 1, 2}, die definiert sind vermöge
R = {( x, y) | x < y}
bzw.
S = {( x, y) | x ≤ y}
a) Geben Sie R und S explizit an (als Mengen von Paaren von Zahlen).
b) Welche der Eigenschaften linkstotal, rechtstotal, linkseindeutig und rechtseindeutig hat R?
c) Welche der Eigenschaften linkstotal, rechtstotal, linkseindeutig und rechtseindeutig hat S?
Lösung 1.1
a) Es ist R = {(1, 2)} und S = {(1, 1), (1, 2), (2, 2)}.
b) R ist weder links- noch rechtstotal, aber sowohl links- als auch rechtseindeutig.
c) S hat keine einzige der Eigenschaften.
Aufgabe 1.2 (2+1+1=4 Punkte)
Es seien f : A → B und g : B → C zwei beliebige Abbildungen. Eine dritte
Abbildung h : A → C sei definiert durch: ∀ a ∈ A : h( a) = g( f ( a)).
a) Beweisen Sie die Behauptung:
Wenn h injektiv ist, dann ist auch immer f injektiv.
b) Widerlegen Sie die Behauptung:
Wenn h injektiv ist, dann ist auch immer g injektiv.
c) Sind die folgenden Behauptungen richtig oder falsch?
• Wenn h surjektiv ist, dann ist auch immer f surjektiv.
• Wenn h surjektiv ist, dann ist auch immer g surjektiv.
Lösung 1.2
a) Man beweist: Wenn f nicht injektiv ist, dann ist auch h nicht injektiv:
i) Sei also f nicht injektiv.
ii) Dann existieren a1 , a2 ∈ A mit a1 6= a2 , aber f ( a1 ) = f ( a2 ).
iii) Folglich ist auch g( f ( a1 )) = g( f ( a2 )), also h( a1 ) = h( a2 ) (obwohl
a1 6= a2 ).
iv) Also ist h nicht injektiv.
oder doch: wenn h injektiv, dann auch f injektiv
i) Sei h injektiv.
ii) Folglich ist für a1 6= a2 stets h( a1 ) 6= h( a2 ) also g( f ( a1 )) 6= g( f ( a2 ))
iii) Dann muss auch f ( a1 ) 6= f ( a2 ) sein,
iv) also ist f injektiv.
b) Gegenbeispiel: Man nehme etwa A = { a}, B = {b1 , b2 } und C = {c}.
Dann muss g(b1 ) = c = g(b2 ) sein, also ist g nicht injektiv. Aber h : { a} →
{c} ist injektiv, denn da A nur ein Element enthält, können von h gar nicht
verschiedene Elemente auf das gleiche abgebildet werden.
c) Es ist
• h surjektiv impliziert f surjektiv: falsch
• h surjektiv impliziert g surjektiv: wahr
Aufgabe 1.3 (1+1=2 Punkte)
Es sei f : A → B eine Abbildung. Geben Sie prädikatenlogische Formeln an, die
ausdrücken: a) f ist injektiv. b) f ist surjektiv.
Lösung 1.3
a) zum Beispiel
∀ a1 ∈ A : ∀ a2 ∈ A : a1 6 = a2 ⇒ f ( a1 ) 6 = f ( a2 )
oder äquivalent
∀ a1 ∈ A : ∀ a2 ∈ A : f ( a1 ) = f ( a2 ) ⇒ a1 = a2
b)
∀b ∈ B : ∃ a ∈ A : f ( a) = b
Aufgabe 1.4 (3 Punkte)
Es seien A und B Aussagevariablen. Stellen Sie die Wahrheitstabelle auf für die
Formel
( A ⇒ B) ∨ ( B ⇒ A)
Lösung 1.4
Zum Beispiel so
oder so
Aufgabe 1.5
A
B
A⇒B
B⇒A
( A ⇒ B) ∨ ( B ⇒ A)
f
f
w
w
f
w
f
w
w
w
f
w
w
f
w
w
w
w
w
w
(A ⇒
B)
∨ (B ⇒
A)
f
f
w
w
f
w
f
w
w
w
w
w
f
f
w
w
w
w
f
w
(1+1=2 Punkte)
f
w
f
w
w
f
w
w
Es seien A, B und C drei Aussagevariablen.
a) Geben Sie zwei verschiedene Belegungen für ( A, B, C ) an, bei der jeweils
nicht alle Variablen den gleichen Wahrheitswert haben.
b) Geben Sie eine aussagenlogische Formel F an, die für Ihre in Teil a) angegebenen Variablenbelegungen wahr wird und sonst nicht.
Lösung 1.5
a) Zum Beispiel so: A
B
C
w f f
w w f
b) ( A ∧ ¬ B ∧ ¬C ) ∨ ( A ∧ B ∧ ¬C )
Aufgabe 1.6 (1+1=2 Punkte)
Es sei A eine Aussagenvariable. In dieser Aufgabe geht es aussagenlogische Formeln, in denen außer A nur die Konnektive ∨, ∧ und ⇒ vorkommen, aber nicht
die Negation ¬.
a) Gibt es eine solche Formel, die äquivalent ist zur Formel ¬ A?
b) Erläutern Sie Ihre Antwort aus Teil a).
Lösung 1.6
a) Nein.
b) Die Lösung dieser Teilaufgabe geriet deutlich umfangreicher als es sich der
Aufgabensteller ursprünglich dachte.
Der Einfachheit halber bezeichnen wir mit > die „Pseudoaussagevariable“,
die immer nur mit wahr belegt wird.
Die Formeln A ∧ A und A ∨ A sind äquivalent zur Formel A. Die Formel
A ⇒ A ist äquivalent zu >.
Man stelle sich nun vor, dass in einem ersten Schritt in der ursprünglichen
Formel jedes Vorkommen von A ⇒ A durch > ersetzt wird.
Damit hat man eine Formel der folgenden Bauart: Es kommen die „Variablen“ A und > vor und (noch immer) höchstens die Konnektive ∨, ∧ und
⇒ (aber kein ¬).
Solche Formeln kann man auch vereinfachen, indem man beachtet:
• Für ∨ gilt:
– Die Formel A ∨ A ist äquivalent zu A.
– Die Formeln A ∨ >, > ∨ A und > ∨ > sind äquivalent zu >.
• Für ∧ gilt:
– Die Formel > ∧ > ist äquivalent zu >.
– Die Formeln A ∧ A, A ∧ > und > ∧ A sind äquivalent zu A.
• Für ⇒ gilt:
– Die Formeln A ⇒ A, > ⇒ > und A ⇒ > sind äquivalent zu >.
– Die Formel > ⇒ A ist äquivalent zu A.
Durch diese Vereinfachungen bleibt es eine Formel der gleichen Bauart.
Man kann die Formel also nach obigen Regeln so weit vereinfachen, dass
am Ende überhaupt keine Konnektive mehr vorkommen.
Ergebnis ist also entweder A oder >.
Und beide sind offensichtlich nicht äquivalent zu ¬ A.