¨Ubungen zur Physik 2 – Lösungen zu Blatt 10

Übungen zur Physik 2 – Lösungen zu Blatt 10
(Dated: April 30, 2010)
I.
MAXWELL-GLEICHUNGEN
1. Die Maxwell-Gleichungen beschreiben sowohl zeitabhängige als auch zeitunabhängige Phänomene. Sie bilden
die Grundlage der gesamten Elektrodynamik.
2. In Abwesenheit von elektrischen Ladungen und Strömen sind die Maxwell-Gleichungen symmetrisch bezüglich
Vertauschung von E- und B-Feld. Dies ist nicht der Fall bei Anwesenheit von Ladungen: Elektrische Feldlinien
enden auf elektrischen Ladungen, während magnetische Feldlinien stets geschlossen sind (keine magnetische
Monopole).
3. Auch in Vakuum können elektromagnetische Felder existieren. Dies ist eine Folge der 3. und 4. MaxwellGleichungen welche besagen dass zeitlich veränderliche E- und B-Felder sich gegenseitig bedingen. Eine
unmittelbare Folge dieser Tatsache ist die Existenz elektromagnetischer Wellen welche sich auch in Vakuum
fortpflanzen können (kein Trägermedium nötig wie beispielsweise bei Schallwellen).
4. Wie aus den Maxwell-Gleichungen folgt, sind elektromagnetische Wellen in Vakuum stets transversale Wellen,
d.h. der elektrische und magnetische Feldvektor schwingt senkrecht zur Ausbreitungsrichtung der Welle.
5. Wie sich aus den Maxwell-Gleichungen ergibt, schwingen elektrisches Feld und magnetisches Feld eine elektromagnetischen Welle in Vakuum stets in Phase. In Medien ist dies nicht immer der Fall.
II.
ELEKTROMAGNETISCHER ENERGIEFLUSS
1. Aus den Beziehungen Q = CU = ϵ0 A
d U = ϵ0 AE mit dem Plattenabstand d ergibt sich für das elektrische Feld
Q(t)
der Ausdruck E(t) = ϵ0 A . Aus dem konstanten Ladestrom I = Q̇ resultiert ein zeitlich linearer Anstieg der
elektrischen Feldstärke
E(t) =
It
.
ϵ0 A
(1)
Unter Vernachlässigung aller Randeffekte steht das elektrische Feld stets senkrecht auf den Kondensatorplatten.
2. Nach der 4. Maxwell-Gleichung bewirkt ein zeitlich veränderliches E-Feld ein B-Feld. In unserem Fall bildet
das B-Feld kreisförmige Feldlinien um die Kondensatorachse deren Richtung sich aus der rechten-Hand-Regel
ergibt. Zur Berechnung von B betrachten wir eine ringförmige Schleife C mit Radius r um die z-Achse (=
Kondensatorachse). Es gilt
I
B · dl = µ0 ϵ0 Φ̇e
(2)
C
∫
mit dem elektrischen Fluss Φe = Ar EdA = Eπr2 durch die Fläche Ar = πr2 der Schleife C. Aufgrund der
Zylindersymmetrie lässt sich Gleichung (2) vereinfachen zu
2πrB = µ0 ϵ0 Φ̇e =
µ0 Iπr2
.
A
(3)
2
Das Magnetfeld nimmt demnach dem Betrage nach radial nach aussen zu
B(r) =
Für r = R ergibt sich das bekannte Resultat B(R) =
Verschiebungsstrom IV .
µ0 Ir
.
2A
µ0 I
2πR ,
(4)
d.h. der Ladestrom I ist gleich dem gesamten
3. Die Einheit des Poynting-Vektors ergibt sich aus
[S] =
1
Am V Vs
VA
W
[E][B] =
= 2 = 2.
2
µ0
Vs m m
m
m
(5)
Der Betrag des Poynting-Vektors gibt an wieviel elektromagnetische Energie (in Joule) pro Sekunde durch die
Fläche 1 m2 fliesst. Die Richtung des Poynting-Vektors bestimmt die Richtung dieses Energieflusses.
4. Da innerhalb des Kondensators elektrisches Feld und magnetisches Feld senkrecht zueinander stehen, können
wir schreiben
−1
S(r, t) = µ−1
0 E(t)B(r) sin α = µ0 E(t)B(r) =
tI 2 r
2ϵ0 A2
(6)
mit dem Winkel α = 90◦ zwischen E- und B-Feld. Nach der rechten-Hand-Regel zeigt der Poynting-Vektor
radial zur z-Achse, siehe Skizze.
S
E
B
z
5. Wir teilen die Oberfläche des Kondensatorvolumens in seine Mantelfläche M = 2πRd und die beiden Plattenflächen auf. Der Energiefluss durch die Plattenflächen ist gleich Null, da der Poynting-Vektor keine Komponente senkrecht zu ihnen besitzt.
Pro Zeiteinheit dt fliesst durch die Mantelfläche M die Energie dW :
dW
=
dt
∫
S · dA = S(R, t)M =
M
Trägt der Kondensator die Ladung Q = I∆t so ist die Energie W =
den Kondensatorplatten geflossen.
tI 2 d
.
ϵ0 A
∫ ∆t
0
dW =
(7)
Q2 d
2ϵ0 A
in das Volumen zwischen
2
Mit der Kapazität C = ϵ0 A/d stimmt dieses Ergebnis mit der gesamten elektrischen Energie Ee = Q
2C überein
welche nach dem Ladevorgang im elektrischen Feld des Kondensators gespeichert ist. Dieses Ergebnis zeigt,
dass nicht die elektrischen Ladungen die elektromagnetische Energie tragen und transportieren, sondern das
von ihnen erzeugte elektromagnetische Feld.
3
III.
LICHTMÜHLE
1. Das Licht welches auf die Flügel der Lichtmühle trifft übt einen Strahlungsdruck auf diese aus. Da der
Impulsübertrag auf die reflektierenden Flächen doppelt so gross ist wie auf die absorbierenden (vgl. elastischer und inelastischer Stoss in der Mechanik), wird ein Nettodrehmoment ausgeübt, welches die Mühle in
Gegenuhrzeigersinn in Drehung versetzt.
2. Der Strahlungsdruck einer ebenen elektromagnetischen Welle der Intensität I ist gegeben durch PS = I/c,
mit der Lichtgeschwindigkeit c. Die Kraft auf ein absorbierendes Flächenelement a · dx im Abstand x von der
Drehachse beträgt demnach dFa = a · dx · I/c. Damit beträgt das gesamte Drehmoment der absorbierenden
Flügelseite
∫
b+a/2
x dF =
Ma =
b−a/2
a2 bI
.
c
(8)
Da die reflektierende Seite des gegenüber liegenden Flügels den doppelten Strahlungsdruck erfährt, beträgt das
gesamte Drehmoment M = 2Ma − Ma = Ma = 2.7 · 10−10 Nm.
3. Durch die einfallende Strahlungsenergie kommt es zu einer Temperaturerhöhung der absorbierenden
Flügelflächen. Ein Teil dieser thermische Energie wird in Form von kinetischer Energie an Gasmolelüle
welche mit der absorbierende Fläche stossen übertragen. Der resultierende Impulsübertrag führt zu einem
Nettorückstoss der absorbierenden Fläche; die Lichtmühle beginnt sich im Uhrzeigersinn zu drehen. Das resultierende Drehmoment ist um mehrere Grössenordnungen grösser als das oben berechnete, weshalb sich der
Nachweis des Strahlungsdruckes mit Hilfe einer evakuierten Lichtmühle als sehr schwierig gestaltet.