Ubungen zur Struktur der Materie 3
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Übungen zur Struktur der Materie 3 WiSe 14/15 N. Offen, C. Lange, P. Perez-Rubio, W. Soeldner, A. Trottmann Blatt 1 — Ausgabe: 06.10.2014 — Abgabe: 13./14./15./16.10.2014 Aufgabe 1: Natürliche Einheiten In der Vorlesung wurden natürliche Einheiten oder Heaviside-Lorentz-Einheiten eingeführt. Diese sind durch c = 1, ~ = 1 sowie 0 = µ0 = 1 und in der Teilchenphysik seltener relevant kB = 1 definiert. Finden Sie Zusammenhänge zwischen der Energie [eV], Zeit [s], Länge [m], Gramm [g], Temperatur [K] und Stromstärke [A] und geben Sie diese im natürlichen Einheitensystem an. Zeigen Sie, dass der Impuls ebenso in eV angegeben wird wie die Energie und dass die Ladung einheitenlos ist. Geben Sie einen Zahlenwert für die Elementarladung an. Aufgabe 2: Lorentzinvarianz, Konstanz der Lichtgeschwindigkeit, zeitliche Abfolge von Ereignissen und Zeitdilatation a) Zeigen Sie explizit, dass die Lorentztransformation v ct0 = γc t − 2 x , x0 = γ(x − vt), c y 0 = y, z 0 = z 2 zweier Ereignisse das Abstandsquadrat S12 2 S12 = c2 (t2 − t1 )2 − (x1 − x2 )2 − (y1 − y2 )2 − (z1 − z2 )2 invariant läßt. Zeigen Sie zudem, dass für dx =c dt auch gilt, indem Sie zunächst dx0 =c dt0 dt0 dt und dx0 dt berechnen. b) Betrachten Sie das Abstandsquadrat zweier Ereignisse, wobei Sie die y-und zKoordinate vernachlässigen und das erste Ereignis auf x1 = 0, t1 = 0 setzen: 2 S12 = c2 t22 − x22 . Nehmen Sie nun der Einfachheit halber an, dass sowohl t2 wie auch x2 größer als null sind. 2 < 0 ein Bezugssystem finden Zeigen Sie, dass sich für raumartige Abstände S12 läßt, in welchem t2 < 0 ist, d.h. in welchem sich die zeitliche Abfolge der Ereignisse umgekehrt hat. 2 > 0 nicht möglich ist. Zeigen Sie dann, dass dies für zeitartige Abstände S12 c) Zeigen Sie explizit, dass sich γ als γ= E mc2 schreiben läßt, wobei m die Ruhemasse und E die Gesamtenergie ist. d) Myonen sind die schweren Brüder der Elektronen. Sie haben eine Masse von mµ = 105.7 MeV , verglichen mit me = 0.511 MeV , und eine mittlere Lebensc2 c2 dauer von τ ≈ 2.2 µs. Sie entstehen vorwiegend in etwa 10 km Höhe als Folge der kosmischen Strahlung. Nehmen Sie den konkreten Fall an, dass Myonen mit einer kinetischen Energie von 5 GeV in 10 km Höhe entstünden. Welcher Prozentsatz dieser Myonen käme auf der Erdoberfläche an, wenn Sie klassisch rechneten, welcher, wenn Sie relativistisch rechneten? Aufgabe 3: Kinematik Die Streuamplitude eines Prozesses in einer lorentzinvarianten Theorie ist selbst eine lorentzinvariante Größe und kann daher nur von Lorentzinvarianten abhängen. Für das Problem der 2 → 2-Streuung mit den Impulsen p1 , p2 , p3 , p4 und Impulserhaltung p1 + p2 = p3 + p4 lassen sich folgende Lorentzinvarianten bilden: p21 , p22 , p23 , p24 , p1 · p2 , p1 · p3 , p1 · p4 , p2 · p3 , p2 · p4 , p3 · p4 . Die ersten vier ergeben die Massen der teilnehmenden Teilchen, von den weiteren sechs sind aufgrund der Impulserhaltung nur 2 linear unabhängig. Diese werden üblicherweise durch die sogenannten Mandelstam-Variablen ausgedrückt. Dabei sind diese wie folgt definiert: s = (p1 + p2 )2 Schwerpunktsenergie t = (p1 − p3 ) 2 Impulsübertrag u = (p1 − p4 ) 2 Impulsübertrag auf das Rückstoßteilchen Da, wie geschrieben, nur zwei Größen linear unabhängig sind, sind die MandelstamVariablen linear abhängig. Zeigen Sie s+t+u= 4 X m2i . i=1 Desweiteren nutzen Sie die im Schwerpunktsystem gültige Beziehung p~ = p~1 = −~ p2 aus, um q p2 + m22 ) p2 + m21 )(~ s = m21 + m22 + 2~ p2 + 2 (~ und S12 |~ p| = √ 2 s mit S12 = p (s − (m1 + m2 )2 )(s − (m1 − m2 )2 ) zu zeigen. Drücken Sie für den zweiten Schritt |~ p| durch eine geeignete Invariante aus P = p1 + p2 und p1 aus. Zu sehen ist, dass S12 nur von s und den Massen m1 , m2 abhängt und damit auch die Impulse im Schwerpunktsystem nur durch die Schwerpunktsenergie und die Massen bestimmt sind. Aufgabe 4: Schwerpunktsenergie Nehmen Sie ein Zweiteilchensystem mit dem Systemimpuls p = p1 + pp 2 . Zeigen p Sie, dass die Schwerpunktsenergie Lorentzinvariant ist und durch ECM = c p2 ( p2 für natürliche Einheiten) gegeben ist. Zeigen √ Sie dann, dass die Schwerpunktsenergie für ein System, in dem Teilchen 2 ruht mit E1 ansteigt, während sie für Teilchen mit entgegengesetzt gleich großen Impulsen p~1 = −~ p2 und gleichen Massen linear mit E1 ansteigt.
