¨Ubungen zur Aufbau der Materie IIb für LA Gymnasium Blatt 3

Übungen zur Aufbau der Materie IIb für LA Gymnasium
WS15/16
W. Söldner
Blatt 3
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Ausgabe: 03.11.2015
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Abgabe: 09.11.2015
Aufgabe 1: Schwerpunkts-Energie bei einer Zwei-Teilchen-Streuung
Betrachten Sie eine elastische Zwei-Teilchen-Streuung mit identischen Teilchen. Wie lau√
tet die Schwerpunkts-Energie s ausgedrückt durch die Energie der einfallenden Teilchen
im Schwerpunkts-System, wie im Labor-System? In welchem System muss mehr Energie aufgewandt werden, um die gleiche Schwerpunkts-Energie zu erhalten? Was folgt
daraus für die maximal erreichbaren Energien in Bezug auf Fixed-Target vs. Collider
Experimenten?
Aufgabe 2: Streuexperiment Fußball
Ein Fußball mit Radius RBall wird auf eine Torwand (Radius des Lochs RLoch ) geschossen
mit Flugrichtung senkrecht zur Torwand. Gefragt sei der (geometrische) Wirkungsquerschnitt für die (Zuschauer-)Reaktion ”TOOR!!”, also für freies Hindurchfliegen.
Aufgabe 3: ”Photon-Zerfall” und Elektron-Positron-Vernichtung I
In der Vorlesung hatten wir als Beispiel für den Prozess der Paarvernichtung angegeben,
wobei ein Elektron e− und ein Positron e+ übergehen in ein Photon γ,
e− + e+ → γ.
(1)
a) Wie groß ist die Ruhemasse und Ladung des Elektrons bzw. Positrons?
b) Wir wissen bereits, daß Photonen keine Ruhemasse besitzen, weswegen das Quadrat des Vierer-Impuls pγ des Photons verschwindet, p2γ = 0. Ist obiger Prozess
überhaupt kinematisch möglich für p2γ = 0? Ist der Prozess möglich, falls p2γ 6= 0?
Betrachten wir nun den umgekehrten Prozess γ → e− + e+ .
c) Ist obiger Prozess möglich für p2γ = 0 bzw. für p2γ 6= 0?
d) Ist es möglich in ein Bezugssystem zu wechseln, in dem das Photon in Ruhe ist?
Aufgabe 4: Elektron-Positron-Vernichtung II
Betrachten wir nun den Prozess
e− + e+ → γ + γ.
(2)
Ist dieser Prozess (für p2γ = 0) möglich?
Hinweis: Betrachten Sie dazu den Prozess im Schwerpunkts-System und untersuchen
Sie den Zusammenhang zwischen der Energie Ee des Elektrons bzw. Positrons und der
Energie Eγ bzw. dem Impulsbetrag |~
pγ | der Photonen.
Aufgabe 5: Kinematik
Die Streuamplitude eines Prozesses in einer lorentzinvarianten Theorie ist selbst eine
lorentzinvariante Größe und kann daher nur von Lorentzinvarianten abhängen. Für das
Problem der 2 → 2-Streuung mit den Impulsen p1 , p2 , p3 , p4 und Impulserhaltung p1 +
p2 = p3 + p4 lassen sich folgende Lorentzinvarianten bilden:
p21 , p22 , p23 , p24 , p1 · p2 , p1 · p3 , p1 · p4 , p2 · p3 , p2 · p4 , p3 · p4 .
(3)
Die ersten vier ergeben die Massen der teilnehmenden Teilchen, von den weiteren sechs
sind aufgrund der Impulserhaltung nur 2 linear unabhängig. Diese werden üblicherweise
durch die sogenannten Mandelstam-Variablen ausgedrückt. Dabei sind diese wie folgt
definiert:
s = (p1 + p2 )2
Schwerpunktsenergie
(4)
2
Impulsübertrag
(5)
2
Impulsübertrag auf das Rückstoßteilchen.
(6)
t = (p1 − p3 )
u = (p1 − p4 )
Da, wie geschrieben, nur zwei Größen linear unabhängig sind, sind die MandelstamVariablen linear abhängig. Zeigen Sie
s+t+u=
4
X
m2i .
(c = 1)
(7)
i=1
Desweiteren nutzen Sie die im Schwerpunktsystem gültige Beziehung p~ = p~1 = −p~2 aus,
um
q
2
2
2
s = m1 + m2 + 2~
p + 2 (~
p2 + m21 )(~
p2 + m22 )
(8)
und
S12
|~
p| = √
2 s
(9)
mit
S12 =
p
(s − (m1 + m2 )2 )(s − (m1 − m2 )2 )
(10)
zu zeigen. Drücken Sie für den zweiten Schritt |~
p| durch eine geeignete Invariante P =
p1 + p2 und p1 aus.
Zu sehen ist, daß S12 nur von s und den Massen m1 , m2 abhängt und damit auch
die Impulse im Schwerpunktsystem nur durch die Schwerpunktsenergie und die Massen
bestimmt sind.