Blatt 8 - Lehrstuhl für Informatik 12

Rolf Wanka
Alexander Raß, Moritz Mühlenthaler
Erlangen, 10. Juni 2016
Übungen zur Vorlesung
Randomisierte Algorithmen
SS 2016
Blatt 8
Lovász Local Lemma:
Sei A = {A1 , . . . , An } eine Menge von Ereignissen ( unerwünschte Ereignisse“, bad events“) über
”
”
einem beliebigen Wahrscheinlichkeitsraum. Jedes Ereignis aus A habe eine Wahrscheinlichkeit von
maximal p und sei abhängig von maximal d vielen anderen Ereignissen aus A . Wenn
e · p · (d + 1) ≤ 1
ist, dann tritt mit positiver Wahrscheinlichkeit keines der Ereignisse aus A ein.
Zusammenhang mit SAT:
Sei Φ eine k-SAT Instanz. Sei Ai das Ereignis, dass die i-te Klausel nicht erfüllt ist. Es gilt p = 1/2k .
Zwei Ereignisse Ai , A j sind abhängig, wenn die i-te und die j-te Klausel gemeinsame Variablen
aufweisen. Somit folgt mit dem Lovász Local Lemma, dass Φ erfüllbar ist, wenn
2k
1
e · k · (d + 1) ≤ 1 ⇔ d ≤ − 1 (vgl. Satz aus Vorlesung).
e
2
AUFGABE 19:
Sei A = {A1 , . . . , Ad+1 } eine Menge von Ereignissen mit: (i) Pr[Ai ] = p für alle i und (ii) jedes Ai
ist maximal von d vielen anderen Ereignissen abhängig.
hS
i
(a) Welchen Wert kann Pr d+1
A
maximal annehmen?
i
i=1
(b) Zeigen Sie: falls p ≥ 1/(d + 1) ist, tritt bei geeigneter Wahl der Ai mindestens ein Ereignis
Ai ein.
(c) Ist die Ungleichung aus dem Lovász Local Lemma erfüllt?
AUFGABE 20:
Sei A = {A1 , . . . , An } eine Menge von Ereignissen mit Pr[Ai ] = p hfür alle i,iPr[A j ∩ Ak ] = p2 für alle
j 6= k (womit alle Ereignisse paarweise unabhängig sind) und Pr
hS
i
(a) Welchen Wert hat Pr ni=1 Ai ?
Tn
i=1 Ai
= p2 .
(b) Für welches p < 1 tritt mindestens ein Ereignis Ai ein?
(c) Wie kann/muss d in Abhängigkeit von n gewählt werden, sodass jedes Ereignis aus A von
maximal d vielen anderen Ereignissen abhängig ist?
(d) Ist die Ungleichung aus dem Lovász Local Lemma erfüllt?
(e) Kann diese Lücke zwischen paarweiser Unabhängigkeit und allgemeiner Unabhängigkeit
auch bei SAT auftreten?
AUFGABE 21:
Seien A = A1 ∪ A2 , A1 = {A1 , . . . , An } und A2 = {An+1 , . . . , A2·n } Mengen von Ereignissen mit
Pr[Ai ] = p für alle
Ereignisse in Ak unabhängig für k = 1 bzw. k = 2, und
h i.SDabeiseienSjeweils die
i
n
2·n
es soll gelten Pr
= 0.
i=1 Ai ∩
i=n+1 Ai
(a) Wie groß ist Pr
hS
n
i=1 Ai
i
bzw. Pr
hS
2·n
i=n+1 Ai
i
?
(Hinweis: Was ist die Wahrscheinlichkeit der Komplemente?)
hS
i
2·n
(b) Wie groß ist Pr i=1 Ai ?
(c) Zeigen Sie, dass für p = 1 − (1/2)1/n mindestens ein Ereignis Ai eintritt.
(d) Wie kann/muss d in Abhängigkeit von n gewählt werden sodass jedes Ereignis aus A von
maximal d vielen anderen Ereignissen abhängig ist?
(e) Berechnen Sie den asymptotischen Wert für e · p · (d + 1) aus der Ungleichung des Lovász
Local Lemma für p = 1 − (1/2)1/n (vgl. Teilaufgabe (c)) und n → ∞.
Hinweise:
xy = eln(x)·y ,
ez = 1 + z + O(z2 ) für z → 0 (Taylor-Approximation)