Logik für Informatiker - TU Darmstadt/Mathematik

A
Fachbereich Mathematik
Prof. Christian Herrmann
Richard Holzer
Tobias Löw
TECHNISCHE
UNIVERSITÄT
DARMSTADT
Sommersemester 2004
21. Juni 2004
Logik für Informatiker
Lösungshinweise zum zehnten Übungsblatt
Hausübungen
(H 31) Prädikatenlogische Resolution mit Gleichheit in der Peano-Arithmetik
Gegeben sei eine Signatur mit einem Typ, mit einer Konstanten 0 und einem einstelligen Funktionssymbol s und
Gleichheit = . Beweise die Formel
∀ x. s(x) 6= x
mit Hilfe des Resolutionsverfahrens. Verwende hierzu folgende Axiome der Peano-Arithmetik
1. ∀ x. 0 6= s(x)
2. ∀ x. ∀ y. s(x) = s(y) → x = y
3. A(0) ∧ ∀ x. (A(x) → A(s(x))) → ∀ x. A(x)
(Induktionsschema)
für alle Variablen x und Formeln A(x) der obigen Signatur.
und erweitere diese noch um die Leibnizschen Identitätsaxiome.
Hinweis: Instanziere das Induktionsschema mit der Formel A ≡ s(x) 6= x. Bestimme die daraus resultierenden
Klauseln und führe zusammen mit den anderen Klauseln das Resolutionsverfahren durch.
Wir müssen zeigen, daß die Formel ¬ ∀ x. s(x) 6= x unerfüllbar ist. Pränexen und skolemisieren ergibt die Klausel
1. {s(c) = c}
Instanziert man das Induktionsschema mit der Formel A ≡ s(x) 6= x, dann erhält man
s(0) 6= 0 ∧ ∀ x. (s(x) 6= x → s(s(x)) 6= s(x)) → ∀ x. s(x) 6= x
⇔ s(0) 6= 0 ∧ ∀ x. (s(x) 6= x → s(s(x)) 6= s(x)) → ∀ y. s(y) 6= y
⇔ ∀ x. s(0) 6= 0 ∧ (s(x) 6= x → s(s(x)) 6= s(x)) → ∀ y. s(y) 6= y
⇔ ∃ x. s(0) 6= 0 ∧ (s(x) 6= x → s(s(x)) 6= s(x)) → ∀ y. s(y) 6= y
⇔ ∃ x. ∀ y. s(0) 6= 0 ∧ (s(x) 6= x → s(s(x)) 6= s(x)) → s(y) 6= y
⇔ ∃ x. ∀ y. ¬ s(0) 6= 0 ∧ (s(x) = x ∨ s(s(x)) 6= s(x)) ∨ s(y) 6= y
⇔ ∃ x. ∀ y. s(0) = 0 ∨ (s(x) 6= x ∧ s(s(x)) = s(x)) ∨ s(y) 6= y
⇔ ∃ x. ∀ y. s(0) = 0 ∨ s(x) 6= x ∨ s(y) 6= y ∧ s(0) = 0 ∨ s(s(x)) = s(x) ∨ s(y) 6= y
woraus die beiden Klauseln
2. {s(0) = 0, s(d) 6= d, s(y) 6= y}
3. {s(0) = 0, s(s(d)) = s(d), s(y) 6= y}
folgen. Zusammen mit den Klauseln
4. {0 6= s(x)}
5. {s(x) 6= s(y), x = y}
6. {x 6= y, y = x}
(Symmetrie)
folgt nun:
Substitution von 4. mit [0/x], von 6. mit [s(0)/x][0/y] und Resolution von beiden ergibt
7. {s(0) 6= 0}
Resolution von 7. und 2. bzw. 7. und 3. ergibt
8. {s(d) 6= d, s(y) 6= y}
9. {s(s(d)) = s(d), s(y) 6= y}
Substitution von 8. bzw. 9. mit [c/y] und Resolution mit 1. ergibt
10. {s(d) 6= d}
11. {s(s(d)) = s(d)}
Substitution von 5. mit [s(d)/x][d/y] und Resolution mit 10. ergibt
12. {s(s(d)) 6= s(d)}
Schließlich ergibt Resolution von 11. und 12. die leere Klausel, womit wir ∀ x. s(x) 6= x bewiesen hätten.
(H 32) κ-kategorische Theorien
Zeige, daß die Theorie der Vektorräume (als einsortige Struktur) über dem zweielementigen Körper ℵ0 -kategorisch
ist.
(ℵ0 (sprich aleph-null“) ist die Mächtigkeit von N)
”
Die abzählbar unendlichen Vektorräume sind genau die von abzählbar unendlicher Dimension. (Die Elemente sind
Vektoren der Form (xi )i∈N , xi ∈ {0, 1} und nur endlich viele xi gleich 1.) Sind nun A bzw. B abzählbar unendliche
Vektorräume mit den Bases {an | n ∈ N} bzw. {bn | n ∈ N}, dann wird durch f (an ) = bn eine bijektive lineare
Abbildung von A nach B definiert, also sind A und B isomorph.
(H 33) Zusammenhängende Graphen
Zeige, daß die Theorie der zusammenhängenden Graphen nicht axiomatisierbar ist.
Hinweis: Ein Graph ist genau dann zusammenhängend, wenn es zwischen je zwei verschiedenen Punkten einen
Weg endlicher Länge gibt. Gehe beim Beweis ähnlich vor wie in (P32) (b) und gönne Dir diesmal sogar zwei neue
Konstanten.
Angenommen Γ axiomatisiert die Klasse der zusammenhängenden Graphen. Wir geben zur Signatur die neuen
Konstanten c und d hinzu und betrachten folgende Aussagen (die Kantenrelation sei mit E bezeichnet)
^
αn ≡ ¬ ∃ x0 . . . . ∃ xn . c = x0 ∧ d = xn ∧
E(xi , xi+1 )
i=0,...,n−1
d. h. αn bedeutet, daß es im Graph G zwischen den Ecken cG und dG keinen Weg der Länge n gibt (α0 bedeutet
cG 6= dG ). Sei Γ0 ⊆endl. Γ ∪ {αn | n ∈ N}. Da Γ0 endlich ist gibt es ein maximales n mit αn ∈ Γ0 , und die
Kette K der Länge n + 1, wobei cK das erste und dK das letzte Element ist, ist ein Model von Γ0 . Aus dem
Kompaktheitssatz folgt die Existenz eines Models M von Γ. Da M αn für alle n ∈ N, sind die Elemente cM und
dM verschieden und können durch keinen endlichen Weg verbunden werden, also ist M nicht zusammenhängend.
Da M natürlich auch eine Struktur der nicht um die Konstenten erweiterten Signatur ist, folgt ein Widerspruch.
Also ist die Klasse der zusammenhängenden Graphen nicht axiomatisierbar.
(H 34) Vervollständigungen
Zuerst ein paar Definitionen:
• Eine Theorie T 0 ⊇ T heißt Erweiterung von T .
• Eine Theorie T heißt vollständig, falls es keine konsistente Erweiterung von T gibt.
• Eine Theorie T 0 ⊇ T heißt Vervollständigung von T , falls T 0 vollständig ist.
(a) Zeige: Für eine Theorie T sind gleichwertig
1. T hat nur endlich viele Erweiterungen.
2. T hat nur endlich viele Vervollständigungen.
3. Jede Erweiterung T 0 ⊇ T ist eine endliche, d. h. es gibt α1 , . . . , αn , sodaß T 0 von T ∪ {α1 , . . . , αn }
erzeugt wird.
Hinweis: Benutze für (3.) ⇒ (1.), daß die Menge aller Erweiterungen einer Theorie T die Struktur einer
Booleschen Algebra trägt, und daß jede unendliche Boolesche Algebra eine unendliche aufsteigende Kette
enthält.
• (1.) ⇒ (2.): trivial
• (2.) ⇒ (3.): Sei T ∪ {α1 , α2 , . . .} eine nicht endliche Erweiterung, dann können wir o. B. d. A. T ∪
{α1 , . . . , αn−1 } 6 αn annehmen. Seien die Tn Vervollständigungen von T ∪ {α1 , . . . , αn−1 , ¬αn }, dann
gilt Ti 6= Tj für i 6= j. Also, gibt es unendlich viele Vervollständigungen. Widerspruch.
• (3.) ⇒ (1.): Angenommen T hat unendlich viele Erweiterungen, dann bilden die Erweiterungen eine unendliche Boolesche Algebra, und eine solche enthält immer eine unendliche aufsteigende Kette
{Ki | i ∈ N}. . Wir können annehmen, daß jede Erweiterung eine endliche ist. Dann können wir jeder
Erweiterung KV
i eine endlich Menge MKi von Aussagen zuordnen, sodaß Ki von T ∪ MKi erzeugt wird.
Es folgt, daß { MKi | i ∈ N} eine unendliche Erweiterung von T ist. Widerspruch.
(b) Sei T eine rekursiv axiomatisierbare Theorie mit nur endlich vielen Vervollständigungen. Zeige, daß T entscheidbar ist.
Seien T1 , . . . , Tn die Vervollständigungen von T . Für einen Satz α gilt, daß er entweder ein T gilt oder in
mindestens einer Vervollständigungen von T der Satz ¬α gilt, also
α∈T
⇔
α ∈ Ti für alle i = 1, . . . , n
da vollständige, rekursiv axiomatisierbare Theorien entscheidbar sind, sind die Ti entscheidbar und damit
auch T .