Grundlagen der Elektrotechnik II (S8801) Institut

Grundlagen der Elektrotechnik II (S8801)
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Lösungen zu Übungsaufgaben
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7. Aufgabe
Der ideale Transformator ist verlustfrei!
Daten:
N1 = 1000, P = 10 kW
R = 100 Ω, U1 = 230 V, f = 50 Hz
1. Berechnung der Windungszahl N2:
Dazu wird zunächst die benötigte Sekundärspannung bestimmt.
2
U2
aus P folgt: U2 P ] R 10000 W] 100 Ω 1000 V
R
Aus dem Übersetzungsverhältnis ergibt sich die Windungszahl.
N1
U
N ]U
1000 ] 1000 V
1 damit wird: N2 1 2 4347,83
N2
U2
U1
230 V
Nur ganzzahlige Windungszahlen sind möglich, daher runden.
N2 4348
2. Berechnung des primärseitig wirkenden Widerstandes:
Die primär aufgenommene Leistung muß bei verlustlosem Transformator genauso groß wie die sekundär
abgegebene Leistung sein. Daraus ergibt sich der auf die Primärseite umgerechnete Sekundärwiderstand.
2
2
2
U1
U2
U1
damit wird R2 ] R2 ü 2 ] R2
´
2
R
R2
U2
2
Mit eingesetzten Zahlenwerten:
(230 V)2
R2 ] 100 Ω 5,29 Ω
(1000 V)2
3. Leistungsaufnahme bei 60 Hz bzw. bei 0 Hz (Gleichspannung):
1) f = 60 Hz (Verlust- und streufreier Transformator)
Wie man aus der Trafoentwurfsgleichung erkennen kann, wird bei konstantem U1 mit steigender
Frequenz der Fluß kleiner.
U1 4,44 ] N1 ] f ] Φ̂
Φ̂ U1
4,44 ] N1] f
J
1
f
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Für die Sekundärseite folgt:
U2 4,44 ] N2 ] f ] Φ̂ 4,44 ] N2 ] f ]
U2 U1
4,44 ] N1] f
N2
N1
] U1
1
] U £f ( f )
ü 1
Das Übersetzungsverhältnis ist unabhängig von der
Frequenz!
Aus dem Ersatzschaltbild ist erkenntlich, daß lediglich
der Magnetisierungsstrom Iµ wegen des proportional
mit der Frequenz erhöhten Blindwiderstandes Xh
sinkt, die Spannung U2' bleibt aber unverändert.
Da bei steigender Frequenz sowohl der Fluß als auch
die Magnetisierungsstrom sinkt, ist eine Frequenzerhöhung im allgemeinen für einen Transformator
zulässig, eine Frequenzerniedrigung jedoch nicht.
2) f = 0 Hz (Gleichspannung)
Bei f = 0 Hz stellt die Hauptinduktivität im eingeschwungenen Zustand einen Kurzschluß dar, damit
wird U2´ = 0.
Ein Trafo funktioniert nicht mit Gleichspannung!
Berücksichtigt man die Übergangsvorgänge beim Einschalten, so ergeben sich bei einem realen Trafo
(mit verlustbehafteten Spulen) die folgenden Verhältnisse:
Der Strom i(t) steigt nach dem Anlegen der Gleichspannung nach einer e)Funktion an und erreicht nach
etwa 3 bis 5 Zeitkonstanten T = L/R den stationären Endwert U/R. Der Fluß Φ ist dem Strom proportional. Mit dem Erreichen des stationären Endwertes wird daher die Flußänderung Null und damit auch
die in der Spule 2 induzierte Spannung.
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Betrachtet man jedoch den idealen Transformator (ohne ohmschen Wicklungswiderstand), so ergibt sich
folgendes:
Für die induzierte Spannung der Spule 1, die gleich der angelegten (Gleich-)Spannung ist, gilt:
d i(t)
d Φ (t)
U1 Lh ]
N1 ]
dt
dt
Damit ergibt sich der Strom zu:
U1
U1
U
dt ] dt 1 ]t
i L
L
L
Und entsprechend der Fluß zu:
U1
U
U
Φ dt 1 dt 1 ]t
N1
N1
N1
Strom i(t) und Fluß Φ(t) steigen also linear mit der Zeit an, d.h. die Flußänderung ist konstant und damit
auch die in der Spule 2 induzierte Spannung U2.
Die in der Spule 2 induzierte Spannung U2 ergibt sich zu
U2 N2 ]
dΦ
d U
N2 ] ] 1 ] t
dt
d t N2
Die Sekundärspannung ergibt sich demnach unabhängig von der Zeit (Gleichspannung).
N
U2 2 ] U1 £ f ( f )
N1
Dies gilt jedoch nur für einen idealen Transformator, bei dem R1 = R2 = 0 und der magnetische Widerstand im Eisen unabhängig von der Flußdichte ist (keine Sättigung).
Beim realen Transformator steigen Magnetisierungsstrom und Fluß, wie oben gezeigt, nicht linear
sondern entsprechend einer e-Funktion an, so daß die Sekundärspannung nicht konstant ist, sondern
exponentiell abfällt.
Im Einschaltaugenblick ergibt sich jedoch auch beim realen Transformator bei primärer Gleichspannung
die Sekundärspannung direkt aus dem Übersetzungsverhältnis.
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Aufgabenblatt
Lösung Aufgabe 1
Lösung Aufgabe 2
Lösung Aufgabe 3
Lösung Aufgabe 4
Lösung Aufgabe 5
Lösung Aufgabe 6
Lösung Aufgabe 7
Lösung Aufgabe 8
Lösung Aufgabe 9
Übersicht
Arnuphap Dowrueng
11.9.1999
Übung zur Grundlagen der Elektrotechnik II