¨Ubungen Mathematik I, Blatt 4

Übungen Mathematik I, Blatt 4
Prof. Dr. L. Eichner∗
Wintersemester 1999/2000
6
Trigonometrie
6.1
√
π
π √
3
π
, tan = 1, tan = 3
Zeigen Sie an geeigneten Dreiecken: tan =
6
3
4
3
6.2
Berechnen Sie aus cos 50◦ = 0, 6428 die Werte von sin x, cos x, tan x, cot x für x = 230◦ .
6.3
Zwei Kräfte von 12 N und 18 N wirken unter einem Winkel von 60◦ auf einen Massenpunkt. Wie
groß ist die resultierende Kraft? (Kosinussatz)
6.4
Drücken Sie in rad aus, und zwar als gekürzte rationale Vielfache von π:
α1 = 10◦ ; α2 = 315◦
6.5
Leiten Sie aus dem Additionstheoremen
sin(α ± β)
cos(α ± β)
=
=
sin α cos β ± cos α sin β
cos α cos β ∓ sin α sin β
die Formeln her:
a) tan(α + β) =
tan α + tan β
1 − tan α tan β
b) sin γ + sin δ = 2 sin
∗ Fachbereich
γ+δ
γ−δ
cos
.
2
2
MNI
1
6.6
Geben Sie die Lösungsmengen der Gleichungen an:
a) sin x = 0, 479
b) tan x = 0, 684
7
Komplexe Zahlen
7.1
Berechnen Sie i100 , i377 , i999 .
7.2
Berechnen Sie z1 + z2 , z1 − z2 , |z1 |, z1 −1, z1 · z2 ,
z1
z2
für z1 = 3 + i4, z2 = −1 − i2.
7.3
Lösen Sie in C : x2 + 4x + 13 = 0.
7.4
Geben Sie in trigonometrischer Form an: z1 = 4 + i3, z2 = −4 + i3,
z3 = −4 − i3, z4 = 4 − i3, z5 = 5, z6 = −5, z7 = i5, z8 = −i5.
7.5
Berechnen Sie in trigonometrischer Form (−1 − i)10 .
7.6
Geben Sie alle Wurzeln von w3 =
√
3 − i in trigonometrischer Form an.
7.7
Zerlegen Sie vollständig in Linearfaktoren: x5 + 3x4 + 3x2 − 4x − 2.
Hinweis: z = −1 + i ist eine Nullstelle.
7.8
Geben Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung x5 = 1 in trigonometrischer und eulersche Form
an. Skizzieren Sie die ungefähre Lage der Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene.
7.9
Sei z = reiϕ . Geben Sie an: (z), (z); ferner z −1 in Exponentialform.
2
7.10
Geben Sie in trigonometrischer Form an: ea+ib .
7.11
Zeigen Sie: |eiϕ | = 1.
7.12
π
Geben Sie in kartesischer Form an: ei 2 , eiπ
4. Hausaufgabe. Abgabe bis Mo, 8.11.1999, 11.20 Uhr (in der
Vorlesung oder im Dekanat)
H.7
a) Leiten Sie aus den Additionstheoremen
sin(α ± β)
= sin α cos β ± cos α sin β
cos(α ± β)
= cos α cos β ∓ sin α sin β
die folgende Formel her:
sin γ − sin δ
=
2 cos
γ+δ
γ−δ
sin
2
2
b) Berechnen Sie cos 75◦ mit Hilfe der Additionstheoreme und den speziellen Werten von sin
und cos für 45◦ und 30◦ .
H.8
a) Geben Sie alle komplexen Lösungen der Gleichung x4 = −2 in trigonometrischer und eulerscher Form an. Skizzieren Sie die ungefähre Lage der Lösungen in der Gaußschen Zahlenebene
an.
b) Zerlegen Sie das Polynom p(x) = x4 + 2 in zwei reelle quadratische Polynome.
3