Die Quadratur des Kreises

Seminar Analysis III
Universität Dortmund / Fachbereich Mathematik
Die Quadratur des Kreises:
Transzedenzbeweis von e
Seminar
vom 15.07.2013
von Stephan Wolf (136425)
Stephan Wolf: [email protected]
INHALTSVERZEICHNIS
2
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Deutsch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Englisch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
2 Konstruierbare Zahlen
2.1 Definition: . . . . . . . . . . . .
2.2 Satz über die Abgeschlossenheit
Operationen +, −, ·, / . . . . . .
2.3 Satz . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
. . . . . . . . . . . . . . . .
der konstruierbaren Zahlen
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . .
bezüglich der
. . . . . . . .
. . . . . . . .
3 Zusatz
4 Was ist Transzendenz
4.1 Definition: Algebraische Zahl . . .
4.2 Beispiele
√ zu algebraischen Zahlen
3 . . . . . . . . . . . . .
4.2.1
4.2.2 Q . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Definition: Transzedenz . . . . . .
4.4 Bemerkung . . . . . . . . . . . .
4.5 Satz . . . . . . . . . . . . . . . .
4.6 Zusatz . . . . . . . . . . . . . . .
3
5
6
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7
7
7
7
7
7
7
8
8
5 Transzendenz von e
5.1 Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Satz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
10
10
6 Literaturverzeichnis
13
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1 EINLEITUNG
1
1.1
3
Einleitung
Deutsch
In diesem Seminarvortrag soll es um die Quadratur des Kreises gehen. Also um das Problem
die Kreiszahl π mithilfe von Zirkel und Lineal zu konstruieren. Hierbei soll zuerst darauf
eingegangen werden, welche Zahlen konstruierbar sind. Anschließend werden wir uns mit
dem Zusammenhang von konstruierbaren und algebraischen Zahlen beschäftigen um dann
abschließend zu zeigen, dass die e transzendent ist also nicht algebraisch und somit auch
nicht konstruierbar. Dies beantwortet natürlich nicht wirklich die Quadratur des Kreises,
stellt jedoch eine gute Basis dar, da der Beweis zu Pi dem von e sehr ähnlich ist.
1.2
Englisch
In this seminar, will work on the quadrature of the circle. We will conzentrate on the
construction of π using compass and straightedge. The intention is to first consider what
numbers are constructible. Then we will go on to the context of algebraic numbers and
constructible numbers. Then finally to show that e is transcendental therefore not algebraic,
and thus can not be constructed. The proof for π is very similar to e.
2
Konstruierbare Zahlen
Zuerst soll es darum gehen, was konstruierbare Zahlen sind. Wir beginnen mit der Definition.
2.1
Definition:
Die Zahl a ∈ R heißt konstruierbar, wenn bei gegebener Strecke der Länge 1 eine Strecke
der Länge |a| konstruierbar ist. Konstruierbar heißt in diesem Zusammenhang, dass man
diese Strecke geometrisch, mit Zirkel und Lineal erzeugen kann.
2.2
Satz über die Abgeschlossenheit der konstruierbaren Zahlen
bezüglich der Operationen +, −, ·, /
Sind die Zahlen a, b ∈ R konstruierbar, so auch die Zahlen a + b, a − b, a · b, a/b wobei b 6= 0
bei der Division gelten muss.
Beweis:
Seinen 1, a, b ∈ K gegeben.
Durch einfaches aneinanderlegen der Strecken bekommt man a+b bzw. a-b.
Die Strecken a/b & a · b lassen sich durch Dreiecke konstruieren, bei a/b nimmt man ein
Dreieck, dass je eine Seite der Länge a und b hat und bildet das ähnliche Dreieck, bei dem
2 KONSTRUIERBARE ZAHLEN
4
Abbildung 1: Konstruktion von a/b
die Seite b nur die Länge 1 hat. Der Beweis zu a · b verläuft ähnlich. Man beginnt mit
einem Dreieck mit je einer Seite der Länge 1 und der Länge b und bildet dann das ähnliche
Dreieck, dessen Seite nicht die Länge 1 hat sondern die Länge a. Dann ist die Seite, die
vorher der Länge b entsprach, jetzt von der Länge a/b
Abbildung 2: Konstruktion von a · b
2 KONSTRUIERBARE ZAHLEN
2.3
Auch
5
Satz
√
a ist konstruierbar, wenn a konstruierbar ist.
Beweis:
hier geht man wie folgt vor (vgl. Abbildung 3):
1. man konstruiert eine Linie der Länge a+1 mit den Endpunkten A,B und bem Punkt C,
der die Strecke in zwei Teile unterteilt (ein Teil der Länge a und ein Teil der Länge 1)
2. Man konstruiert den Kreis mit Radius (a + 1)/2 mit dem Mittelpunkt in der Mitte der
Strecke
3. das Dreieck ABD erzeugt durch den Punkt D, dessen Lot dem Punkt C entspricht (vgl
Abbildung 3)
√
4. Die Länge von CD ist dann a, da der Winkel am Punkt D nach dem Satz des Tales
rechtwinklig ist und nach Phytagoras gilt:
|AD|2 + |BD|2 = |AB|2
(2.1)
⇔ x2 + a2 + x2 + 1 = (a + 1)2
(2.2)
⇔ 2x2 + a2 + 1 = a2 + 2a + 1
(2.3)
⇔ x2 = a
(2.4)
Somit haben wir eine Strecke der Länge Wurzel a konstruiert.
Abbildung 3: Konstruktion von
√
a
3 ZUSATZ
3
6
Zusatz
Konstruktion der Lösung der quadratischen Gleichung
x2 + ax + b = 0
bei gegebenen Strecken a und b. Nach der pq-Formel gilt:
r
a
a2
x± = ±
− b2
2
4
(3.1)
(3.2)
nach dem Satz 2.2 und dem Satz 2.3 ist dies konstruierbar. Die Konstruktion ist wie folgt:
Man konstruiert das rechtwinklige Dreieck mit Hypothenuse a/2 und Kathete b.
als nächstes
p a konstruiert man die Schnittpunkte von Hypothenuse und Kreis mit Radius
OC = 2 − b2 um O
Die Lösungen sind dann:
|AD| = x− , |AB| = x+
Abbildung 4: Konstruktion der Lösung von Quadratischen Gleichungen
4 WAS IST TRANSZENDENZ
4
4.1
7
Was ist Transzendenz
Definition: Algebraische Zahl
Man sagt x ist eine algebraischen Zahl, wenn es n ∈ N und a0 , a1 , ....an ∈ Q gibt sodass:
a0 x0 + a1 x1 + .... + an xn = 0
(4.1)
also wenn, x eine Nullstelle einer ganz rationalen Funktion (Polynom) ist.
4.2
4.2.1
Beispiele zu algebraischen Zahlen
√
3
Zum Beispiel ist die Zahl
√
3 eine algebraische Zahl, da sie sich als:
x2 − 3 = 0
(4.2)
darstellen lässt.
4.2.2
Q
Weiter sind alle
p
q
∈ Q algebraische Zahlen denn:
x=
4.3
p
⇔x·q−p=0
q
(4.3)
Definition: Transzedenz
Eine Zahl heißt transzendent, genau dann wenn sie nicht algebraisch ist.
4.4
Bemerkung
Der Tranzedenzbegriff geht auf den Mathematiker Joseph Liouville zurück, der die ersten
Transzedenzbeweise geführt hat. Bei diesen Beweisen hat er transzendente Zahlen konstruiert, die für den Alltag aber nicht wichtig sind. Diese Zahlen, die er konstruiert hat nennen
sich Liouvillesche Zahlen. Wesentlich interessanter scheint es, dass man sich mit wichtigen, nicht rationalen Zahlen beschäftigt. Daher soll es nun im Folgenden um die Zahlen
e und π gehen. Zu diesen beiden Zahlen gibt es mehrere Unterschiedliche Beweise. Den
ersten Beweis zu e hat der französische Mathematiker Charles Hermite 1873 geführt. Mit
der Inspiration dieses Beweises hat dann Ferdinand Lindemann 1882 die Transzendenz der
Zahl π bewiesen. Hier werden wir die Beweise von Hilbert, der die ursprünglichen Beweise vereinfacht hat, nachvollziehen bzw. führen. Der Beweis über die Transzendenz von π
beantwortet die Frage der Quadratur des Kreises.
4 WAS IST TRANSZENDENZ
4.5
8
Satz
Konstruierbare Zahlen sind algebraisch.
Beweis: Konstruierbare Zahlen lassen sich in unterschiedliche Klassen einteilen:
1. Sie entstehen durch die
√ Operationen aus Satz 2.2 (⇔ sie sind aus Q)
2. Zahlen von der Form a wie in Satz 2.3 entstehen durch den Schnittpunkt von Kreisen
und Geraden. Sie sind die Lösungen von quadratischen Gleichungen ax2 + bx + c = 0. Was
ebenfalls der Definition von algebraisch entspricht. Seinen diese Zahlen nun K1
3. Wenn man nun diese Punkte nimmt und mit ihnen wieder die Schnittpunkte von Geraden und Kreisen konstruiert bekommt man wieder eine quadratische Gleichung der Form
ax2 + bx + c = 0 wobei a,b und c jetzt aus K1 sind. Diesen Schritt kann man beliebig
fortsetzen, sodass man eine Kette bekommt, aus der man die Konstruierbaren Zahlen K
erhält:
Q := K0 ⊆ K1 ⊆ K2 ⊆ K3 ⊆ ... ⊆ Km ⊆ K
(4.4)
Jedes dieser Kj+1 ist ein zweidimensionaler Vektorraum auf Kj . Die Dimension von Kj ist
daher 2j .
Hierraus können wir schließen, dass die j+1 Elemente aus Kj , 1, κ, κ2 , κ3 , ..., κ2j , linear
abhängig sind. Es also bl ∈ Q gibt sodass:
m
2
X
bl κl = 0
(4.5)
l=0
gilt. Somit ist κ algebraisch
4.6
Zusatz
Die Ki sind Unterkörper
Beweis:
z.z. Abgeschlossenheit der Addition und Multiplikation. Der Rest folgt aus 4.6
Wir führen hier den Beweis per Induktion:
Induktionsanfang:
K0 := Q
(4.6)
Q ist abgeschlossen bzgl Multiplikation und Addition. Den Körper K1 bilden wir durch
Hinzunahme von Zahlen, welche Lösungen einer quadratischen Gleichung mit p, q ∈ Q
sind. Somit die Form haben:
r
p
p
± ( )2 − q
(4.7)
2
2
Dies vereinfachen wir zu:
q1 ±
√
q2
(4.8)
4 WAS IST TRANSZENDENZ
9
mit qi aus Q. Durch mehrfaches ausführen von der Konstruktion aus Satz 2.3 und aneinander setzen von den Längen q gehören ebenfalls zu K1 Elemente der Form:
n
X
√
q1 +
± qi
(4.9)
i=2
mit n ∈ N.
√
√
Abgeschlossenheit von K1 bzgl Addition: Sei k1 := q1 ± q2 , k2 := q3 ± q4 beide aus K1
k1 + k2
= (q1 ±
√
q2 ) + (q3 ±
(4.10)
√
√
√
q4 ) = q 1 + q3 ± q2 ± q4
| {z }
(4.11)
∈Q
Ist also in K1 vgl mit 4.9
Abgeschlossenheit von K1 bzgl Multiplikation, k1 , k2 wie oben.
q
q
√
√
√
2
k1 · k2 = (q1 ± q2 ) · (q3 ± q4 ) = q1 · q3 ± q1 q3 ± q32 q2 ± q2 q4
| {z }
(4.12)
∈Q
Ist also in K1 vgl mit 4.9
Induktionsschritt:
Angenommen Kj ist abgeschlossen bzgl Addition und Multiplikation
z.z. Kj+1 ist abgeschlossen unter Addition und Multiplikation.
Seien nun ki ∈ Kj+1 und qi ∈ Kj
√
√
Abgeschlossenheit von Kj+1 bzgl Addition: Sei k1 := q1 ± q2 , k2 := q3 ± q4 ∈ Kj
k1 + k2
= (q1 ±
√
q2 ) + (q3 ±
(4.13)
√
√
√
q4 ) = q 1 + q3 ± q2 ± q4
| {z }
(4.14)
∈ Kj
Ist also in Kj+1 vgl mit 4.9
Abgeschlossenheit von Kj+1 bzgl Multiplikation, k1 , k2 wie oben.
q
q
√
√
√
2
k1 · k2 = (q1 ± q2 ) · (q3 ± q4 ) = q1 · q3 ± q1 q3 ± q32 q2 ± q2 q4
| {z }
∈Kj
Ist also in Kj+1 vgl mit 4.9.
Somit sind die Kj Unterkörper
(4.15)
5 TRANSZENDENZ VON E
5
5.1
10
Transzendenz von e
Grundlagen
Für alle k ∈ N0 gilt
Z∞
xk · e−x dx = k!
(5.1)
0
Beweis:
Z∞
−x
k
x · e dx
0
[−xk e−x ]∞
x=0
=
P artielleIntegration|
{z
}
=0
Z∞
=
k−mal−P artielle−Integration
Z∞
+
kxk−1 e−x
(5.2)
0
k!e−x dx = k!
(5.3)
0
5.2
Satz
Die Zahl e ist transzendent
Beweis: Zu zeigen ist, dass für alle n ∈ N, a0 , a1 , .., an ∈ Z mit a0 6= 0 und an 6= 0
gilt:
an en + an−1 en−1 + ... + a1 e1 + a0 6= 0
(5.4)
Zum Beweisen führen wir einen Widerspruchsbeweis, wir nehmen also an, es gäbe solche
ai für die diese Gleichung erfüllt ist. Also:
an en + an−1 en−1 + ... + a1 e1 + a0 = 0
(5.5)
Nun multiplizieren wir auf beiden Seiten mit dem Integral
Z∞
Z∞
:= z k [(z − 1)(z − 2)...(z − n)]k+1 e−z dz,
0
0
sodass wir
an e
(5.6)
n
Z∞
n−1
Z∞
+an−1 e
0
+... + a1 e
0
1
Z∞
Z∞
+a0
0
=0
(5.7)
0
erhalten. Nun betrachten wir nur die linke Seite. Diese zerlegen wir in die beiden Ausdrücke
P1 und P2 wobei natürlich
P1 + P 2 = 0
(5.8)
gelten soll. Die Zerlegung sieht wie folgt aus:
Z∞
Z∞
Z∞
Z∞
2
n
P1 = a0 +a1 e +a2 e
+... + an e
0
1
2
n
(5.9)
5 TRANSZENDENZ VON E
11
Z1
P 2 = a1 e
+a2 e2
0
Z2
+... + an en
Zn
0
(5.10)
0
Es wurden also nur die Integrale aufgeteilt. Wir beginnen mit P2
Wir betrachten nun die Maxima der beiden Funktionen auf dem Intervall z ∈ [0; n]:
M = max(z(z − 1)(z − 2)...(z − n))
(5.11)
m = max((z − 1)(z − 2)...(z − n)e−z )
(5.12)
Wir können dann P2 abschätzen, in dem wir die Integrale über die Maxima ausdrücken.
Z n
Z 2
Z 1
k
k
| < |nmM k |
(5.13)
| < |2mM |, ...|
| < |mM |, |
|
0
0
0
wenn wir hiermit P2 ausdrücken erhalten wir:
|P2 | < (|a1 e| + 2|a2 e2 | + ... + n|an en |)mM k
(5.14)
Nun bestimmen wir eine ganze Zahl k, welche erstens durch a0 ·n! teilbar ist und für welche
k
zweitens (|a1 e| + 2|a2 e2 | + ... + n|an en |)m Mk! = 1.
Weiter können wir nun mit der Voraussetzung 5.1 zeigen, dass P1 durch k! teilbar ist und
R∞
einer ganzen Zahl entspricht. Dazu betrachten wir zuerst das integral
0
Z∞
Z∞
:=
0
z k [(z − 1)(z − 2)...(z − n)]k+1 e−z dz
(5.15)
0
Z∞
n
X
=
(
cm z m )k+1 · z k e−z dz
|{z}
m=0 0
=
n
X
∈Z
Z∞
bm
|{z}
m=0 ∈Z
=
n
X
(5.16)
z m∗(k+1)+k e−z dz
(5.17)
0
bm · (m(k + 1) + k)!
(5.18)
m=0
also sind alle Summanden des ersten Terms von P1 durch mindestens k! teilbar. Betrachten
wir nun den j-ten Summanden von P1
aj e
j
Z∞
j
z k [(z − 1)(z − 2)...(z − n)]k+1 e−z dz
(5.19)
5 TRANSZENDENZ VON E
12
Substituieren nun z = z 0 + j ⇔ dz = dz 0
j
Z∞
= aj e
0
(z 0 + j)k [((z 0 + j) − 1) · ((z 0 + j) − 2) · ... · ((z 0 + j) − n)]k+1 e−(z +j) dz 0 (5.20)
0
Z∞
= aj
0
(z 0 + j)k [((z 0 + j) − 1) · ((z 0 + j) − 2) · ... · ((z 0 + j) − n)]k+1 e−(z +j)+j dz 0 (5.21)
0
mit z 0 := z
Z∞
= aj
(z + j)k [((z + j) − 1) · ((z + j) − 2) · ... · ((z + j) − n)]k+1 e−z dz
(5.22)
0
Wenn man die eckige Klammer betrachtet, dann ist die niedrigste Klammer im Integranden
z k+1 somit lässt sich sich P1 darstellen als:
P1 = q (k + 1)! + a0 (n!(−1)n )k+1 k!
|{z}
(5.23)
∈Z
Dies führt zu der Kongruenz:
P1
≡ ±a0 (n!)k+1
k!
(5.24)
6 LITERATURVERZEICHNIS
13
Daher ist P1 durch k! teilbar und eine ganze Zahl.
Es fehlt noch, dass P1 6= 0 gilt. Sei (±a0 · (n!)k+1 )/(k + 1) = z1 , Rest(a) mit z1 ∈ Z und
a ∈ Z, dann ist dieses a ungleich Null, weil a0 < k (vgl. Definition von k nach 5.14).
Daraus folgt dann, nach 5.24, dass P1 auch nicht 0 ist. Somit können wir nun die folgende
Gleichung zum Widerspruch führen.
P2
P1
+
=0
k!
k!
|{z}
|{z}
6=0,∈Z
(5.25)
<1
Hiermit haben wir gezeigt, dass die Gleichung 5.5 falsch ist.
6
Literaturverzeichnis
Winfried Kaballo: Einführung in die Analysis I, 2. Auflage
Mathematische Analen Bd.43, S. 216-219 (1893): David Hilbert, Über die Transzendenz
der Zahlen e und π