¨Ubungen zur Vorlesung ”Molekül- und Festkörperphysik” (WS 2013

Übungen zur Vorlesung ”Molekül- und Festkörperphysik” (WS 2013/14)
Prof. Dr. Peter Michler und Dr. Sven M. Ulrich
Übungblatt 02
Ausgabe am 29.10.2013
Besprechung am 05./06.11.2013
2.1 Polarisierbarkeit von Molekülen I (6 Punkte)
Hochsymmetrische Moleküle, wie z.B. H2 (H-H), N2 (N-N), O2 (O-O), oder auch CO2
(O=C=O), besitzen kein permanentes elektrisches Dipolmoment, d.h. p⃗perm = 0. Dennoch
⃗ eine Ladungsverschieist es möglich, durch Anlegen eines äußeren elektrischen Feldes E
bung innerhalb der ansonsten unpolaren Moleküle zu erzeugen und somit ein Dipolmoment zu induzieren.
Allgemein gilt für das induzierte Dipolmoment
⃗ loc
p⃗ind = α ·ϵ0 · E
=
,
wobei
α:
Polarisierbarkeit (Tensor 2. Stufe)
=
ϵ0 :
Dielektrizitätskonstante
⃗
Eloc : elektrisches Feld am Ort des Moleküls
bezeichnen.
Speziell für elektrische Felder parallel und orthogonal zur Achse der o.g. linearen Moleküle kann die Polarisierbarkeit als Skalar (α∥ bzw. α⊥ ) angegeben werden. Hierbei gilt
allgemein, daß α∥ ≫ α⊥ . Zusätzlich findet man in der Literatur häufig Angaben zur mittleren Polarisierbarkeit α, welche ein einzelnes Molekül in einem statistisch orientierten
Ensemble (ohne Vorzugsrichtung der Molekülachsen) beschreibt.
(a) Welche physikalischen Einheiten besitzen Polarisierbarkeit α und Dipolmoment p⃗?
(2 Punkte)
(b) Die folgende Tabelle stellt Werte von α∥ , α⊥ und α gegenüber. Bestimmen Sie hierfür
die induzierten Dipolmomente unter der Voraussetzung, daß sich jeweils ein einzelnes
Molekül in einem homogenen Feld eines Plattenkondensators der Potentialdifferenz
V = 1 MV befindet. Der Plattenabstand betrage 100 cm. Das Molekül befinde sich
in Vakuum (ϵ = 1). (4 Punkte)
H2
α∥
α⊥
α
10.7 · 10−30
7.66 · 10−30
9.93 · 10−30
20.1 · 10−30
O2
CO2
82.9 · 10−30
40.2 · 10−30
2.2 Polarisierbarkeit von Molekülen II (8 Punkte)
Mit Hilfe eines stark fokussierten Lichtstrahls (z.B. eines Lasers) und der damit verbundenen hohen lokalen elektrischen Feldstärke Eloc kann in einzelnen Molekülen gezielt ein
Dipolmoment induziert werden.
(a) Bestimmen Sie die Größe des induzierten Dipolmoments |⃗pind | für Sauerstoff O2
mit α = 20.1 · 10−30 m3 im Fokus eines Lasers mit Plaser = 1 W Leistung und
einem Fokusdurchmesser (Strahltaille) von df oc = 2 µm. (Anmerkung: Es gilt für
2
die Laserleistung Plaser = c0 · Af oc · Wtot mit Fokusfläche Af oc und Wtot = ϵ0 · Eloc
als gesamter Volumen-Energiedichte des elektromagnetischen Feldes im Vakuum.)
(4 Punkte)
(b) Wir betrachten nun 1 Mol O2 unter der Annahme eines idealen Gases unter Normalbedingungen (Normaldruck p0 = 101.3 kPa und T = 0◦ C). Ein Laser mit denselben
Parametern wie unter Aufgabenteil (a) werde in das Gas fokussiert. Bestimmen
Sie den Wert der makroskopischen Polarisation |P⃗ind | = N · |⃗pind | mit N als Volumendichte der O2 -Moleküle. Geben Sie ebenfalls den Wert der elektrischen Suszeptibilität χel und der aus der Polarisation des Gases resultierenden dielektrischen
Konstante ϵ an. (4 Punkte)
2.3 Permanentes Dipolmoment von Molekülen: Feldausrichtung (10 Punkte)
Das H2 O-Molekül (Wasser) besitzt aufgrund seiner gewinkelten Symetrie (s. Abbildung)
und den damit verbundenen Überschußladungen δ − (am Sauerstoffatom) und δ + (auf der
Seite der beiden Wasserstoffatome) ein permanentes Dipolmoment p⃗perm mit |⃗pperm | =
1.844 Debye = 6.152 · 10−30 C m.
d+
H
p
O
d+
H
d-
Abbildung 1: Bindungsgeometrie und Dipolstruktur des Wassermoleküls.
(a) Geben Sie zunächst den allgemeinen Ausdruck für die potentielle Energie U = Epot
des Dipols in einem äußeren elektrischen Feld an, und bestimmen Sie damit die
minimale potentielle Energie eines einzelnen Dipols von H2 O für vollständige Ausrichtung entland des Feldes. Die Feldstärke am Ort des Dipols sei E = 1M V m−1 .
(4 Punkte)
(b) Gesucht ist im folgenden die mittlere Orientierung eines Ensembles von Dipolen
p⃗ in H2 O bei Raumtemperatur (T = 300 K). Dabei ist zu berücksichtigen, daß im
thermischen Gleichgewicht die Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Besetzung eines
Zustands der potentiellen Energie Epot durch den Boltzmann-Faktor als unnormierte
Verteilungsfunktion
(
)
Epot
W (θ) = exp −
kB T
beschrieben wird (mit kB = 1.380658 · 10−23 JK−1 = 8, 61833958 10−16 eVK−1 als
Boltzmann-Konstante).
Bestimmen Sie mit dem Ergebnis von Aufgabenteil (a) den Erwartungswert ⟨cos(θ)⟩
(und daraus den mittlere Winkel ⟨θ⟩) als Maß für die Orientierung der Dipole eines Ensembles im thermischen Gleichgewicht (Temperatur T = 300 K) über das
normierte Integral
∫∫
dS · cos (θ) · W (θ)
∫∫
⟨cos θ⟩ =
.
dS · W (θ)
Frage: Was kann aus dem errechneten Wert des mittleren Orientierungswinkels geschlossen werden? Anmerkung: Die Integration umfaßt alle möglichen Raumorientierungen der Dipole und stellt sich daher als Oberflächenintegral (Flächenelement:
dS) über alle Winkel der Einheitssphäre S1 (d.h. eine Kugel mit Radius 1) dar!
(Kleiner Tip: Da für 300 K kB T ≫ Epot gilt, können Sie W (θ) in eine Taylorreihe
bis zur ersten Ordnung entwickeln und damit das Integral auswerten!) (6 Punkte)