ergebnisse technische mechanik i-ii elemente der - mv.uni

E RGEBNISSE
T ECHNISCHE M ECHANIK I-II
E LEMENTE DER T ECHNISCHEN M ECHANIK I-II
Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern
WS 14/15, 28.02.2015
1. Aufgabe:
(TMI,TMI-II,ETMI,ETMI-II)
y
y
4r
3r
π
6
1
2r
x
3
2r
D
x
π
6
2r
Abbildung 1
Abbildung 2
Ein Kinobetreiber hat im Internet mehrere Filmrollen bestellt. Beim Auspacken der Rollen stellt er
fest, dass sich der Schwerpunkt der Filmrollen nicht an der eigentlich vorgesehenen Stelle befindet.
Der Kinobetreiber beschließt daraufhin die gekauften Filmrollen selbst statisch auszuwuchten, dabei
bedarf es Ihrer Hilfe.
a) Ermitteln Sie die Schwerpunktskoordinaten xs und ys der Filmrolle aus Abbildung 1 bezüglich
des gegebenen Koordinatensystems.
b) Welchen Durchmesser D muss eine Bohrung an der Stelle xB = −2r, yB = 0 besitzen, damit
in Abbildung 2 der Schwerpunkt im Koordinatenursprung (xS = yS = 0) liegt?
Gegeben: r
Kurzlösung:
a) xS = −
b) D = 12 r
7 r
12 π
q
63
π
yS = 0
2. Aufgabe:
(TMI,TMI-II,ETMI)
4q0
E
x
B
a
M = 2q0a
A
2
D
C
a
a
2a
Das dargestellte Rahmentragwerk wird durch die skizzierte dreiecksförmige Streckenlast q(x) und
ein Moment der Größe M = 2q0 a2 belastet.
Hinweis: Beachten Sie die gestrichelte Faser.
a) Ermitteln Sie die Lagerreaktionen.
b) Skizzieren Sie die Verläufe der Normalkraft N, der Querkraft Q und des Biegemoments M im
gesamten System. Geben Sie in den Punkten A, B, C, D und E dazu jeweils die Werte an.
c) Berechnen Sie die exakte Lage sowie den Wert des maximalen Moments im Rahmenabschnitt
EB. Benutzen Sie hierbei das angegebene Koordinatensystem.
Gegeben: a, q0
Kurzlösung:
a)
AV = q0 a
BV = 3q0 a
2
BH = − q0 a
3
2
AH = − q0 a
3
b) Normalkraftverlauf:
−q0a
2
qa
3 0
−
2
qa
3 0
−q0a
+
+
2
qa
3 0
2
qa
3 0
+
2
qa
3 0
Querkraftverlauf:
−3q0a
2
3 q0 a
q0 a
+
quadratischer Verlauf
+
+
q0 a
2
qa
3 0
+
q0 a
q0 a
−
Momentenverlauf:
2
2
3 q0 a
2
2
3 q0 a
0
+
+
−q0a2
0
−
+
q0 a 2
c)
xmax = a
4
Mmax = q0 a2
3
kubischer Verlauf
0
3. Aufgabe:
(TMI)
A
2a
q0
a
C
F = q0 a
a
B
a
a
Das skizzierte zweiteilige Tragwerk wird durch eine Einzelkraft F = q0 a und eine Streckenlast q0
belastet.
Berechnen Sie durch Anwendung des Prinzips der virtuellen Verrückungen
a) die horizontale Lagerkraft in A,
b) die Lagerkraft in B,
c) das Biegemoment in Punkt C.
Lösungen ohne Verwendung des Prinzips der virtuellen Verrückungen werden nicht berücksichtigt!
Gegeben: a, q0
Kurzlösung:
A
AH
2a
R
a)
δxAH
a
F
δxF
a
B
2a
AH = −q0 a
A
2a
R
δyR
b)
δϕ
a
F
δxF
a
B
δyB
a
a
B=
q0 a
2
A
2a
R1
c)
δϕ
a
δyR2
R2
δϕ
δyR1
δϕ
M M
F
δxF
a
B
a
2
a
2
a
2
a
2
M = q0 a2
4. Aufgabe:
(TMII)
2
F = q0 a
3
C
a
EI
q0
z
x
A
1
a
2
B
a
1 (0 ≤ x ≤ 2a) durch
Der dargestellte Träger mit konstanter Biegesteifigkeit EI wird im Teilbereich die abgebildete Streckenlast belastet. Weiterhin greift am Punkt C die Kraft F = 32 q0 a an.
a) Drücken Sie die Streckenlast q(x) als Funktion der Koordinate x aus.
1 durch unbestimmte Integration. Berücksichtib) Ermitteln Sie die Biegelinie w(x) im Bereich gen Sie dabei den Einfluss des Lagers bei A mit Hilfe des Föppl-Symbols.
2
Gegeben: q0 , a, EI, F = q0 a
3
Kurzlösung:
a)
q(x) = q0 − q0
x
2a
b)
1
w(x) =
EI
x5
x4 1
13 3 1 4
3
−q0
+ q0 − q0 ahx − ai − q0 a + q0 a
240
24 3
80
8
5. Aufgabe:
(TMII, TMI-II)
EA =
3 EI
8 a2
a
q0
A
a
2
EI, dehn- und schubstarr
a
a
Gegeben ist ein dehn- und schubstarrer Winkel (Biegesteifigkeit EI), der wie skizziert durch eine
Streckenlast q0 belastet wird. Der Winkel ist an einem Ende fest eingespannt und wird am anderen
3 EI
) unterstützt. Ermitteln Sie
Ende zusätzlich durch einen Stab (Dehnsteifigkeit EA =
8 a2
a) mit dem Prinzip der virtuellen Kräfte die Stabkraft,
b) die Absenkung des Punktes A.
Lösungswege in a) ohne Verwendung des Prinzips der virtuellen Kräfte werden nicht berücksichtigt.
3 EI
Gegeben: a, q0 , EI, EA =
8 a2
Kurzlösung:
a)
S=
7
q0 a
16
v=
7 q0 a4
6 EI
b)
6. Aufgabe:
(TMII, TMI-II)
1
0
0
1
0
1
F
0
1
0
1
0
1
0
1
Schnitt A-A
1
0
0
1
0
1
F
0
1
0
1
0
1
0
1
A
1111
0000
11111111
0000
0000
0000
1111
0000
0000 1111
1111
0000
1111
0000 1111
1111
0000
1
E1 , A1
ν, αT
l1
z
l2
y
x
s
2
E2 , A2 , ν
111111111
000000000
111111111
000000000
y
z
x
A
In der abgebildeten Druckkammer mit starren Wänden befinden sich zwei homogene elastische Körper,
deren Materialkennwerte sowie (erforderliche) Abmessungen der Skizze zu entnehmen sind.
Körper 1 befindet sich spiel- und zwängungsfrei im oberen Teil der starren Kammer. Zwischen
Körper 1 und Körper 2 befindet sich wie abgebildet ein starrer Stempel. Im unteren Teil der starren
Kammer befindet sich Körper 2 und berührt in der skizzierten Lage zwei gegenüberliegende Wände
spiel- und zwängungsfrei.
Alle Wände und Oberflächen sind glatt, so dass beide Körper und beide Stempel reibungsfrei gleiten
können. Es wird angenommen, dass sich in beiden Körpern homogene Spannungszustände einstellen.
Über den oberen Stempel werden die Körper durch die Kraft F zusammengepresst.
a) Ermitteln Sie die resultierenden Spannungszustände in beiden Körpern in Abhängigkeit von der
Kraft F . Geben Sie alle Spannungskomponenten an.
b) Um welche Strecke s senkt sich der obere Stempel ab?
c) Nun wird Körper 1 zusätzlich erwärmt. Wie groß muss die Temperaturerhöhung △T sein, damit
in Körper 1 ein hydrostatischer Spannungszustand resultiert.
Gegeben: E1 , E2 , F , ν > 0, αT , l1 , l2 , A1 , A2
Kurzlösung:
a) Körper 1
σz(1) =
−F (1)
(1)
(1)
, τxy = 0, τxz
= 0, τyz
=0
A1
σx(1) = σy(1) =
ν −F
1 − ν A1
Körper 2
σz(2) =
−F (2)
(2)
(1)
, τ = 0, τxz
= 0, τyz
= 0, σy(2) = 0
A2 xy
σx(2) = ν
−F
A1
b)
1 − ν − 2ν 2 1
1
2
s=
l1 + (1 − ν )
l2 F
1−ν
E1 A1
E2 A2
c)
△T =
F (1 − 2ν)
E1 A1 αT
7. Aufgabe:
(ETMII)
v0
D
α
a
y
z
x
A
a
C
a
B
2a
In der Abbildung ist der Mechanismus eines Katapultes dargestellt. Während des Schleudervorganges wird der Kulissenstein D wie abgebildet mit konstanter Geschwindigkeit v0 geradlinig in einer
Schiene (Neigungswinkel α = 30◦ zur Horizontalen) bewegt. Im Punkt C sind der Hebel ACB und
die Stange CD gelenkig miteinander verbunden.
Berechnen Sie für die dargestellte Lage
a) den Ortsvektor ~rMCD des Momentanpols der Stange CD bezüglich des abgebildeten Koordinatensystems,
b) den Winkelgeschwindigkeitsvektor ~ωCD und den Geschwindigkeitsvektor ~vC ,
c) den Winkelgeschwindigkeitsvektor ~ωACB und den Geschwindigkeitsvektor ~vB ,
d) die Zentripetalbeschleunigung ar im Punkt B.
Gegeben: a, v0 , α = 30◦
Kurzlösung:
a)
~rMCD

1
 a 1 − √3 

=


0
0

b)
~ωCD


0
 0 

=
 v0 √3 
2a

 v0
~vC = 
2

0
√

3+1 
0
c)


~ωACB =  v
0
2a


0

0
√ 
1+ 3
0

√ 
3
~vB =  v0 1 + 3 
2
0
d)
ar = −
√ 2
3 v02 1+ 3
4a
8. Aufgabe:
(ETMII, ETMI-II)
ϕ1
M0
ϕ2
masselos, r
g
F = 2mg
masselos
2m, 2r
reibungsfrei
m
µ
x3
α
Ein Brett der Masse m wird durch ein Seil über eine rauhe schiefe Ebene gezogen. Der Reibungskoeffizient zwischen der Ebene und dem Brett beträgt µ = 21 . Über einen reibungsfrei geführten
masselosen Stempel drückt die Kraft F = 2mg auf das Brett. Das Seil läuft ohne zu rutschen über
eine dünne Hohlwalze (Masse 2m, Radius 2r) mit masselosen Speichen und wird auf einer masselosen Walze mit dem Radius r aufgewickelt. Die Walze wird wie skizziert durch das Moment M0
angetrieben. Das Seil ist dehnstarr und während der ganzen Bewegung gespannt.
Ermitteln Sie
a) die Beschleunigungen ẍ3 , ϕ̈2 und ϕ̈1 ,
b) das erforderliche Antriebsmoment M0 , um das Brett die Ebene hinaufzuziehen,
c) die Seilkraft S im Seil zwischen Brett und Hohlwalze für ein gegebenes Antriebsmoment M0
und den Sonderfall µ = 0.
Gegeben: m, r, α = 30◦ , F = 2mg, g sowie
in a) M0 , µ = 21 ,
in b) µ = 12 ,
in c) M0 , µ = 0
Kurzlösung:
a)
√
M0
6+ 3
ẍ3 =
−
g
3mr
12 √
6+ 3g
M0
−
ϕ̈2 =
2
6mr
24√ r
M0
6+ 3g
ϕ̈1 =
−
2
3mr
12 r
b)
√
6+ 3
mgr
M0 >
4
c)
1
S=
3
M0
+ mg
r
9. Aufgabe:
(ETMII, ETMI-II)
B
A
h
m
g
M
v0
a
l
S
e=0
8m
l
4
l
4
y
ϕ
x
Die skizzierte Schießscheibe besteht aus einem starren Balken der Masse m, welcher am unteren Ende
durch ein weiteren Balken der Masse 8m beschwert ist. Die Schießscheibe ist im Punkt A gelenkig
an der Decke befestigt.
a) Ermitteln Sie das Massenträgheitsmoment ΘA der Schießscheibe (ohne Pfeil) bezüglich des
Lagers A, sowie den Abstand a des Schwerpunkts S der Scheibe vom Lager. Die Dicke der
Balken sei vernachlässigbar.
Der Mitarbeiter M. S. (Sternzeichen Schütze) schießt nun mit einem Pfeil der Masse M auf die Scheibe. Die Masse des Pfeils sei in seiner Spitze konzentriert. Der Pfeil trifft wie abgebildet die Scheibe
horizontal, ohne Rotation mit der Geschwindigkeit v0 und bleibt im Abstand h von der Aufhängung
in der Scheibe stecken (e = 0).
b) Ermitteln Sie für den ideal plastischen Stoß die Winkelgeschwindigkeit ω̄S der Scheibe unmittelbar nach dem Aufprall.
c) Wie groß darf im Fall h = l/2 und M = 2m die Geschwindigkeit v0 des Pfeils maximal sein,
damit die Scheibe (mit Pfeil) nicht in B gegen die Decke stößt? Verwenden Sie Energiebetrachtungen.
Gegeben:
l, h, m, M, e = 0, g, sowie nur in b) v0 ,
l
nur in c) h = , M = 2m
2
Kurzlösung:
a)
ΘA =
a=
17 2
ml
2
17
l
18
b)
ω̄s =
Mhv0
+ Mh2
17
ml2
2
√
c) v0 < + 171gl