Mathematische und statistische Methoden II
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Statistik & Methodenlehre Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike [email protected] http://psymet03.sowi.uni-mainz.de/ SoSe 2011 Fachbereich Sozialwissenschaften Psychologisches Institut Johannes Gutenberg Universität Mainz Folie 1 Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Inhalte dieser Sitzung Stetige Verteilungen Kennwerte und Darstellungen z-Standardisierung und ihre Folgen z-Test Folie 2 Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Inferenzstatistik z-Test Zusammenfassung Konfidenzintervalle Soll die Größe eine gemessenen Wertes bewertet werden, sind zunächst die Wahrscheinlichkeitsverteilung und ihre Parameter zu bestimmen, aus der dieser Wert „normalerweise“ stammen sollte Die Annahme der Form oder eines der Parameter ist die Nullhypothese H0 Die Nullhypothese bezeichnet im Allgemeinen den Zustand, den der Forscher nicht beobachten möchte Beispiele: Pflanzen sollten auf Fechners Stimulation nicht zufällig antworten; ein auf Hochbegabung zu testendes Kind sollte nicht aus der Normalpopulation stammen; nach einer Exposition sollten die Patienten nicht genau so höhenängstlich sein wie vorher Folie 4 Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Inferenzstatistik z-Test Zusammenfassung Konfidenzintervalle Dann wird theoriegeleitet festgelegt, in welche Richtung der zu testende Parameter von der H0 (also dem angenommen Wert für den Parameter) abweichen sollte. Diese Hypothesenrichtung definiert die Formulierung der Alternativhypothese H1 Die H0 ist somit einfach das Gegenteil der H1 Dabei gibt es prinzipiell nur drei Möglichkeiten: Folie 5 H 0 : p p0 H1 : p p0 H 0 : p p0 H 0 : p0i p p0 j H1 : p p0 H1 : p p0i , p p0 j Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Inferenzstatistik z-Test Zusammenfassung Konfidenzintervalle Dann wird theoriegeleitet festgelegt, in welche Richtung der gemessene Wert von der Nullhypothese (also der angenommen Verteilung) abweichen sollte. Diese Hypothesenrichtung definiert die Formulierung der Alternativhypothese H1 Lies: „Der wahre Parameter p ist größer als sein einfach angenommener Wert pder Die H0 ist dann das Gegenteil 0“ H1 Dabei gibt es prinzipiell nur drei Möglichkeiten: Folie 6 H 0 : p p0 H1 : p p0 H 0 : p p0 H 0 : p0i p p0 j H1 : p p0 H1 : p p0i ; p p0 j Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Inferenzstatistik z-Test Zusammenfassung Konfidenzintervalle Dann wird theoriegeleitet festgelegt, in welche Richtung der gemessene Wert von der Nullhypothese (also der angenommen Verteilung) abweichen sollte. Diese Hypothesenrichtung definiert die Formulierung der Alternativhypothese H1 Lies: „Der wahre Parameter p ist kleiner als Die H0 ist dann einfach das Gegenteil der H1 sein angenommener Wert p0“ Dabei gibt es prinzipiell nur drei Möglichkeiten: Folie H 0 : p p0 H1 : p p0 H 0 : p p0 H 0 : p0i p p0 j H1 : p p0 H1 : p p0i ; p p0 j Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Inferenzstatistik z-Test Zusammenfassung Konfidenzintervalle Dann wird theoriegeleitet festgelegt, in welche Richtung der gemessene Wert von der Nullhypothese (also der angenommen Verteilung) abweichen sollte. Diese Hypothesenrichtung definiert die Formulierung der Alternativhypothese H1 Lies:einfach „Der wahre Parameterder p liegt Die H0 ist dann das Gegenteil H1 außerhalb des Bereiches von p0i bis p0j“ Dabei gibt es prinzipiell nur drei Möglichkeiten: Folie H 0 : p p0 H1 : p p0 H 0 : p p0 H 0 : p0i p p0 j H1 : p p0 H1 : p p0i ; p p0 j Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Inferenzstatistik Zusammenfassung Frage: Warum wird der gemessene Wert x der Nullhypothese zugeschlagen, wo doch die Messung in einem Zufallsexperiment zumeist für die Alternativhypothese sprechen soll Grund 1: Die Nullhypothese H0 ist die „Gleichheitshypothese“, weil sie die Übereinstimmung der Beobachtung mit der Verteilungsannahme postuliert Grund 2: Die Alternativhypothese H1 soll nicht voreilig angenommen werden Folie 9 Hinweis: Wir werden sehen, dass diese Konvention nur bei diskreten, nicht aber bei stetigen Wahrscheinlichkeitsverteilungen eine Rolle für die berechnete Wahrscheinlichkeit spielt Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Inferenzstatistik z-Test Zusammenfassung Konfidenzintervalle Neben den Hypothesen wird das Signifikanzniveau definiert, auf dem die berechnete Wahrscheinlichkeit bewertet werden soll Schließlich werden diese Wahrscheinlichkeit p(x | H0) bestimmt und die Signifikanzaussage getroffen Die Signifikanzaussage ist prinzipiell nichts anderes als die Entscheidung für die H0 oder H1. Die Logik dabei lautet: Wenn die H0 nicht gilt, dann muss die H1 gelten Aber: Bei dieser Entscheidung irrt man sich mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 100%. Folie 10 Statistik & Methodenlehre Definition Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Stetige Zufallsvariablen Definition Kennwerte & Darstellung Normalverteilung z-Werte Folie 11 Eine Zufallsvariable, die jeden Wert in einem Intervall annehmen kann, ist eine stetige Zufallsvariable Statistik & Methodenlehre Definition Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Stetige Zufallsvariablen Definition Kennwerte & Darstellung Normalverteilung z-Werte Die Wahrscheinlichkeitsverteilung f(x) einer stetigen Zufallsvariable X wird zumeist als mathematische Funktion definiert. Sie wird bei stetigen Zufallsvariablen auch als Dichtefunktion bezeichnet. Die Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen ist dann k P( x) p X xi i 1 Diskret Folie 12 F ( x) xk f x dx x Stetig Die Verteilungsfunktion gibt wieder an, wie wahrscheinlich X einen Wert kleiner oder gleich x annimmt. Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Stetige Zufallsvariablen Definition Definition Kennwerte & Darstellung Normalverteilung Eine Funktion f(x) ist gemäß der Kolmogoroff Axiome genau dann eine Dichtefunktion, wenn gilt f ( x) 0 F ( x) und f ( x) dx 1 Dabei reicht der Wertebereich von f(x) nicht für jede stetige Verteilung von - bis + (z.B. Reaktionszeit). Standardnormalverteilung Standardnormalverteilung 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 F(z,,) f(z,,) z-Werte ‐3 Folie 13 ‐2 ‐1 0 z‐Wert 1 2 3 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 ‐3 ‐2 ‐1 0 z‐Wert 1 2 3 Statistik & Methodenlehre Definition Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Stetige Zufallsvariablen Definition Kennwerte & Darstellung Normalverteilung z-Werte Für eine stetige Zufallsvariable ist die Punktwahrscheinlichkeit f(X = x) nicht definiert (bzw. immer 0). Die Dichtefunktion f(x) liefert also nicht unmittelbar die Wahrscheinlichkeiten für Ereignisse, die Wahrscheinlichkeiten ergeben sich aus der Fläche unter der Dichtefunktion Es sind nur Wahrscheinlichkeiten für Intervalle von Realisationen zu bestimmen, also F(xi X xj). Diese werden dann berechnet als xj F ( xi X x j ) f ( x) dx F ( x j ) F ( xi ) xi Folie 14 Statistik & Methodenlehre Definition Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Stetige Zufallsvariablen Kennwerte Kennwerte & Darstellung Der Erwartungswert einer stetigen Zufallsvariablen ist ähnlich definiert wie im diskreten Fall Normalverteilung z-Werte f x x dx x Auch Varianz und Standardabweichung werden analog berechnet 2 x x Folie 15 x f x x dx 2 2 Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Stetige Zufallsvariablen Definition Darstellung Die Darstellung der Dichtefunktion und Verteilungsfunktion einer stetigen Zufallsvariablen findet zumeist über kontinuierliche Graphen statt. Normalverteilung f(z,,) z-Werte Standardnormalverteilung 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0 ‐3 ‐2 ‐1 0 z‐Wert Folie 16 Standardnormalverteilung F(z,,) Kennwerte & Darstellung 1 2 3 1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 ‐3 ‐2 ‐1 0 z‐Wert 1 2 3 Statistik & Methodenlehre Definition Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Normalverteilung Definition Kennwerte & Darstellung Normalverteilung z-Werte Folie 17 Im psychologischen Kontext ist die Normalverteilung die wohl prominenteste Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie ist theoretischer Natur, da sie (anders als z.B. die Binomialverteilung) nicht direkt aus dem Bedingungskomplex abgeleitet werden kann. Die Normalverteilung ist durch zwei Parameter, und definiert. 1 f ( x, , ) e 2 1 x 2 2 Ist eine Zufallsvariable X normalverteilt, wird dies häufig geschrieben als X N(, ) Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Normalverteilung Kennwerte Der Parameter ist direkt der Erwartungswert der Normalverteilung ²ist direkt die Varianz der Normalverteilung Folie 18 Statistik & Methodenlehre Definition Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Normalverteilung Warum die Normalverteilung - Zentraler Grenzwertsatz Kennwerte & Darstellung Der Zentrale Grenzwertsatz (Central Limit Theorem): Die Summe einer großen Zahl unabhängiger, identisch verteilter Zufallsvariablen ist approximativ normalverteilt. Normalverteilung z-Werte Folie 19 Dies veranlasste Sir Francis Galton (1889) zu der enthusiasmierten Lobpreisung „Ich kenne kaum etwas, das unsere Imaginationskraft so bewegen kann wie die wundervolle Form kosmischer Ordnung, die sich im ‚Gesetz der Verteilung von Fehlern‘ ausdrückt. Hätten die Griechen es gekannt, sie hätten es personifiziert und als Gottheit angebetet. Es herrscht mit bescheidener Gelassenheit in der wildesten Konfusion. Je gewaltiger die Horde, je ärger die augenscheinliche Anarchie, um so souveräner ist seine Herrschaft. Wann immer eine Menge chaotischer Elemente nach ihrer Größe angeordnet wird, tritt es hinter dem Schleier des Chaos als unverhoffte und wunderschöne Form der Regelmäßigkeit hervor.“ Statistik & Methodenlehre Definition Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Normalverteilung Warum die Normalverteilung Kennwerte & Darstellung 1. Sie ergibt sich, wenn viele Zufallsprozesse bei der Realisierung einer Zufallsvariablen additiv zusammenwirken. Normalverteilung 2. Sie ist die Verteilung des Mittelwerts aller Realisierungen bei sehr häufiger Wiederholung eines Zufallsexperimentes („Zentraler Grenzwertsatz“). z-Werte 3. Sie ist die Verteilung von Zufallsvariablen, wenn diese eine messfehlerbehaftete Erfassung eines Merkmals darstellen. 4. Sie ist mathematisch relativ leicht zu behandeln. Folie 20 Statistik & Methodenlehre Definition Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Normalverteilung Eigenschaften Kennwerte & Darstellung Normalverteilung Ist symmetrisch, eingipflig und glockenförmig Verschiedene Normalverteilungen unterscheiden sich bezüglich Erwartungswert (µ) und/oder Standardabweichung () Der Wertebereich reicht von – bis + Die Kurve berührt oder schneidet nie die x-Achse z-Werte Jedes Intervall mit einer Länge größer Null hat eine Wahrscheinlichkeit größer Null Die Verteilungsfunktion der Normalverteilung wird auch als (x) (Phi) geschrieben. Folie 21 Statistik & Methodenlehre Definition Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Standardisierung z-Transformation Kennwerte & Darstellung Normalverteilung z-Werte Ziel: Angabe der relativen Lage von Werten in einer Verteilung. 1. Angabe einer normierten Differenz eines Messwertes zum Erwartungswert 2. Umwandlung einer Skala in eine andere mit vorgegebenem und . Berechnungsvorschrift: Jede Differenz eines Messwertes wird durch die Standardabweichung aller Messwerte geteilt. Die erhaltenen Werte werden als z-Werte bezeichnet. z Folie 22 x x Statistik & Methodenlehre Definition Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Standardisierung Standardnormalverteilung Kennwerte & Darstellung z-transformiert man eine normalverteilte Zufallsvariable erhält man die Standardnormalverteilung. Für die Standardnormalverteilung gilt: = 0, = 1 Normalverteilung z-Werte Die Formel der Normalverteilung reduziert sich damit auf 1 1 z2 f ( z) e 2 2 Der Werte der Dichte- und Verteilungsfunktion hängen also nur von z ab Folie 23 Statistik & Methodenlehre Definition Stetige Verteilungen Standardnormalverteilung Wichtige Punkte Kennwerte & Darstellung Normalverteilung z-Werte Folie 24 Inferenzstatistik Statistik & Methodenlehre Definition Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Standardnormalverteilung Wichtige Punkte – die 68-95-99 Regel Kennwerte & Darstellung Normalverteilung z-Werte Folie 25 Statistik & Methodenlehre Definition Stetige Verteilungen Standardnormalverteilung Verteilungsfunktion Kennwerte & Darstellung Normalverteilung z-Werte Folie 26 Inferenzstatistik Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Normalverteilung z-Test z-Test Konfidenzintervalle Ein Gesundheitspsychologe beschäftigt sich mit dem BurnoutSyndrom. Er möchte das Maslach Burnout Inventory (Maslach & Jackson, 1981) verwenden, um Personen zu identifizieren, die an Burnout leiden. Der Psychologe hat herausgefunden, dass Normalpersonen im MBI einen Erwartungswert von 11.4 Punkten erzielen. Die Varianz beträgt 5.76. Zudem nimmt der Psychologe auf Basis theoretischer Erwägungen an, dass der MBI Punktwert normalverteilt ist. Ein Patient hat einen MBI Punktwert von 16.3. Stammt er aus der Verteilung der Normalpersonen? Welchen Wert müsste ein Patient erreichen, damit er unter der gegebenen Verteilungsannahme statistisch signifikant wird? Folie 27 Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Normalverteilung z-Test z-Test Konfidenzintervalle Ziel: Prüfung, ob eine Beobachtung aus einer Population stammen kann, deren Wahrscheinlichkeitsverteilung eine Normalverteilung mit gegebenen und ist. Als „Beobachtung“ ist hier die Messung der Realisation einer gegebenen Zufallsvariablen zu verstehen Weitere Beispiele: Ist ein Schüler zu intelligent, um der Population normal intelligenter Kinder ( =100, =10) anzugehören? Sind die Leistungen eines Bewerbers im AC zu schlecht, um ihn der Population normal geeigneter Bewerber zuzuordnen? Folie 28 Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Normalverteilung z-Test z-Test Konfidenzintervalle Der z-Test folgt exakt der bereits kennen gelernten Logik des Hypothesentestens, allerdings mit einem weiteren Zwischenschritt 1. Prüfgröße z bestimmen (diese ist eine Realisation der neuen Zufallsvariablen Z) 2. Verteilungsannahme treffen: Normalverteilt mit den gegebenen und 3. Hypothesenrichtung festlegen und statistische Hypothesen formulieren 4. Signifikanzniveau festlegen 5. Wahrscheinlichkeit für die berechnete Prüfgröße bestimmen und mit dem Signifkanzniveau vergleichen Folie 29 Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Normalverteilung z-Test z-Test – das Konzept der Prüfgröße Konfidenzintervalle Beim z-Test wird nicht die Wahrscheinlichkeit für die beobachtete Realisation x selbst, sondern für eine so genannte Prüfgröße bestimmt Eine Prüfgröße ist ein Zahlenwert, der durch mathematische Umformungen aus dem beobachteten x berechnet wird (anders als z.B. beim Binomialtest) Prüfgrößen sind also nichts anderes als neue Zufallsvariablen, die durch Transformation der alten entstehen Folie 30 Prüfgrößen kommen immer dann zum Einsatz, wenn die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X, aus der die Beobachtung x stammt, nicht oder nicht einfach bestimmt werden kann – diejenige der Prüfgröße aber sehr wohl Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Normalverteilung z-Test z-Test – das Konzept der Prüfgröße Konfidenzintervalle Beim z-Test lautet die Prüfgröße z x Aus der Zufallsvariablen X wird über eine mathematische Transformation eine neue Zufallsvariable Z erzeugt Deren Wahrscheinlichkeitsverteilung ist bekannt, nämlich die Standardnormalverteilung Damit kann auch jede Intervallwahrscheinlichkeit bei der Hypothesenprüfung, z.B. p(Z≤z), bestimmt werden Folie 31 Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik z-Test z-Test Hypothesen Konfidenzintervalle Beim z-Test sind weitaus häufiger als z.B. beim Binomialtest alle drei möglichen Hypothesenrichtungen von Interesse. H 0 : p ( Z z ) Verwerfen der Verteilungsannahme H1 : p ( Z z ) bei einem zu großen Wert H 0 : p ( Z z ) Verwerfen der Verteilungsannahme H1 : p ( Z z ) bei einem zu kleinen Wert „Einseitige“ oder „gerichtete“ Hypothese Folie 32 H 0 : p ( zi Z z j ) Verwerfen der Verteilungsannahme H1 : p ( zi Z z j ) bei einem zu extremen Wert „Zweiseitige“ oder „ungerichtete“ Hypothese Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Normalverteilung z-Test z-Test – Zusammenfassung Konfidenzintervalle Beobachtung im Experiment: X=x Frage: Kann x aus einer Normalverteilung N(, ) stammen? Geht die Höhe des Wertes x auf einen Stichprobenfehler zurück? (1) Bestimmung der Verteilung der Zufallsvariablen Z (2) Festlegung des Signifikanzniveaus α (3) Berechnung der Prüfgröße z (4) Bestimmung der Wahrscheinlichkeit für dieses z unter Annahme der H0, z. B. p(Z≤z) Folie 33 (5) Vergleich von p mit α und Treffen der Signifikanzaussage Aber: Bei dieser Aussage irrt man sich mit einer Wahrscheinlichkeit von α·100% Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Konfidenzintervalle z-Test Zwei Perspektiven Konfidenzintervalle Ist die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen bekannt, a) kann die Überschreitungswahrscheinlichkeit für einen gegebenen Wert ermittelt werden b) kann ein so genannter kritischer Wert zu einer gegebenen Überschreitungswahrscheinlichkeit (i.e. Signifikanzniveau) gefunden werden Folie 34 Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Konfidenzintervalle z-Test Zwei Perspektiven Konfidenzintervalle Frage 1: Unterschreitet die Wahrscheinlichkeit für eine so extreme oder noch extremere Abweichung der Beobachtung von der Erwartung, gegebenen dass die H0 gilt, ein Signifikanzniveau ? Diese Frage wird über inferenzstatistische Tests beantwortet. Frage 2: Welches Intervall um den Erwartungswert überdeckt typische Beobachtungen mit einer Wahrscheinlichkeit von 1-. Diese Frage wird über Konfidenzintervalle beantwortet Folie 35 Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Konfidenzintervalle z-Test Die inverse Verteilungsfunktion Konfidenzintervalle Für die Ermittlung des kritischen Wertes ist es wichtig, die Inverse der Verteilungsfunktion der Normalverteilung zu kennen. Erst dann kann für eine gegebene Wahrscheinlichkeit der kritische Wert berechnet werden. Die Inverse der Verteilungsfunktion einer normalverteilten Zufallsvariablen wird geschrieben als F-1(x) oder -1(x). Sowohl die Verteilungsfunktion der Normalverteilung (x) als auch deren Inverse -1(x) sind mathematisch nicht als einfacher Formelausdruck zu beschreiben (anders als die Dichtefunktion). Folie 36 Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Konfidenzintervalle z-Test Bestimmung der Grenzen Konfidenzintervalle x Die Prüfgröße im z-Test lautet z Diese Gleichung lässt sich umstellen zu x z Mit einem kritischen Wert wird daraus x z z ist dabei der kritische Wert zu einem Signifkanzniveau , der aus einer Normalverteilung mit den Parametern und ermittelt wurde. Folie 37 Das berechnete x ist dann der Wert, den ein Datum unterschreiten müsste, um signifikant zu werden Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik z-Test Konfidenzintervalle Konfidenzintervalle Mithilfe des Vorzeichens lassen sich nun zwei Grenzen bestimmen Bestimmung der Grenzen xUG z ˆ X Folie 38 xOG z1 ˆ X Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik z-Test Konfidenzintervalle Konfidenzintervalle Beim Konfidenzintervall interessiert der Bereich, der die typischen Werte überdeckt, nicht der Bereich außerhalb. Bestimmung der Grenzen Für die symmetrische Normalverteilung spielt dies aber keine Rolle, da F(-z) = F(z). xUG z1 ˆ X Folie 39 xOG z ˆ X Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Konfidenzintervalle z-Test Bestimmung der Grenzen Konfidenzintervalle Einseitige Konfidenzintervalle sind möglich, allerdings ist die zweiseitige Variante wesentlich verbreiteter Man veranschaulicht dies, in dem man den kritischen Wert mit /2 kennzeichnet. z 2 ˆ X x z1 2 ˆ X Folie 40 Statistik & Methodenlehre Stetige Verteilungen Inferenzstatistik Konfidenzintervalle z-Test Normalverteilte Prüfgrößen – Zusammenfassung Konfidenzintervalle Für Konfidenzintervalle für normalverteilte Daten wird zunächst ein kritischer Wert z bzw. z/2 bestimmt. Die Bestimmung verläuft über die Standardnormalverteilung Die Grenzen der einseitigen Konfidenzintervalle sind dann z ; bzw. ; z1 Das zweiseitige Konfidenzintervall ist z 2 ; z1 2 Folie 41 Statistik & Methodenlehre Relevante Excel Funktionen Normalverteilung, z-Test, z-Transformation • NORM.VERT(), NORM.S.VERT() • NORM.INV(), NORM.S.INV() • STANDARDISIERUNG() Folie 42
