¨Ubungen zur Vorlesung Grundlagen der Stochastik Gesetz der

Löhr/Winter
Wintersemester 2013/14
Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Stochastik
Übungsblatt 8
Gesetz der Großen Zahl, ZGS & Arkussinusgesetz
Aufgabe 8.1 (Gesetz der Großen Zahl).
(4 Punkte)
Seien X1 , . . . , Xn unabhängig und Poissonverteilt mit Parameter 1, sowie Y1 , . . . , Yn unabhängig
und geometrisch verteilt mit Parameter 21 . Wir werfen (unabhängig von den Xk und Yk ) eine faire
Münze mit Ergebnis Z ∈ {0, 1}
definieren Sn P
als die Summe der Xk falls Z = 1 und sonst als
Pund
n
n
Summe der Yk . Also Sn := Z k=1 Xk + (1 − Z) k=1 Yk .
(a) Bestimme E(Sn ).
(b) Konvergiert P n1 Sn − E( n1 Sn ) > ε für ε =
1
10
gegen 0?
Aufgabe 8.2 (Zentraler Grenzwertsatz).
(4 Punkte)
Ein Fischhändler bietet als Aktion an einem bestimmten Tag auf Vorbestellung frische Hummer
an. n = 500 Kunden haben je einen Hummer bestellt. Aus Erfahrung weiß der Händler, dass jeder
Kunde (unabhängig von den anderen Kunden) mit nur 90% Wahrscheinlichkeit tatsächlich kommt,
um den Hummer abzuholen. Eventuell übriggebliebene Hummer muss der Händler wegschmeißen,
und er verliert somit den Einkaufspreis von 40¤. Für jeden Kunden, der kommt um einen bestellten
Hummer abzuholen, aber keinen mehr abbekomt rechnet der Händler mit einem Schaden (inklusive
entgangenem Gewinn) von 60¤. Sei S die Anzahl der Kunden, die kommen um einen Hummer
abzuholen, und GN der Gewinn des Händlers, falls er N ∈ N Hummer gekauft hat.
(a) Zeige: E(GN +1 ) ≥ E(GN ) ⇔ P(S ≤ N ) ≤ 53 .
(b) Berechne das N , für das der erwartete Gewinn E(GN ) maximal wird.
Hinweis: n ist groß genug, so dass Rder zentrale Grenzwertsatz angewendet werden kann. Die
1 2
x
Lösung darf die Funktion Φ(x) := −∞ √12π e− 2 t dt (und/oder ihre Inverse) enthalten.
Aufgabe 8.3 (Zentraler Grenzwertsatz).P
(4 Punkte)
n
(a) Sei Sn die einfache Irrfahrt, also Sn = k=1 Xk mit X1 , . . . , Xn unabhängig und gleichverteilt auf {−1, 1}. Zeige, dass
lim P Sn >
n→∞
√
n log(n) = 0
und
lim P |Sn | >
n→∞
Hinweis: Verwende den zentralen Grenzwertsatz.
(b) Sei Xn Poissonverteilt mit Parameter n ∈ N. Zeige, dass
√
√ n→∞
1 2
2πnP Xn = ⌊n + x n⌋ −→ e− 2 x .
Hinweis: Verwende die Stirling Formel.
Bitte wenden!
√
n log(n)
= 1.
Aufgabe 8.4 (Nikolausaufgabe).
(4 Punkte)
Eine Mutter kauft in der Adventszeit, erstmalig am 1. Advent (dieses Jahr der 1. Dezember)
und letztmalig an Heiligabend (24. Dezember) jeden Tag morgens einen Schokoladennikolaus und
verstaut ihn im kindersicheren Versteck. Falls ihre beiden Kinder brav waren (sie stellen immer
entweder zu zweit etwas an, oder sind beide brav), bekommen sie abends jeweils einen Schokonikolaus zum Essen, allerdings nur wenn auch noch zwei Nikoläuse da sind (sonst gibt es nur
Streit beim Teilen). Die Kinder sind an jedem Tag, unabhängig von den anderen Tagen, mit
Wahrscheinlichkeit 21 brav.
(a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Nikolausversteck an Heiligabend, nachdem die
Kinder im Bett sind, leer ist.
Hinweis: Setze den Nikolausbestand zu einer einfachen Irrfahrt in Beziehung.
(b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass das Nikolausversteck vom 12. Dezember bis (einschließlich) Heiligabend abends niemals leer ist.
(c) Nun verlängern wir die Adventszeit von 24 auf n ∈ N Tage und lassen n gegen unendlich
gehen. Bestimme die assymptotische Wahrscheinlichkeit (also den Grenzwert für n → ∞),
dass das Nikolausversteck im letzten Viertel der Adventszeit (also die letzten n4 Tage, der
Einfachheit halber sei n durch 4 teilbar) niemals leer wird.
Abgabe bis spätestens Di, 10.12. um 10:15 Uhr in den Übungskasten im Foyer
Aktuelle Vorträge im Probability Seminar:
Am 03.12. gibt Volker Krätschmer (Universität Duisburg-Essen) einen Vortrag über
Quasi-Hadamard differentiability of general risk functionals
and its application to statistical inference
Am 10.12. gibt Mikhail Urusov (Universität Duisburg-Essen) einen Vortrag.
Hierzu ergeht eine herzliche Einladung. Zeit: Di, 16.15 – 17.15. Raum: WSC-S-U-3.03