3. ¨Ubung zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik (E4) SS2015

3. Übung zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik (E4) SS2015
Aufgabe 7
Erwartungswerte
Die Wellenfunktion ψ(r) eines Teilchens in einem eindimensionalen Problem sei
eip0 r/~
ψ(r) = N √
,
a2 + r 2
wobei a, p0 reelle Parameter sind und N die Normierungskonstante ist.
a) Bestimmen Sie die Normierungskonstante N .
b) Sie messen den Ort r des Teilchens. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man das Teilchen
−a √a
, 3 ]?
im Intervall [ √
3
´∞
c) Berechnen Sie die Erwartungswerte für Ort hri = hψ|r̂|ψi = −∞ drψ ∗ (r)rψ(r) und Impuls
´∞
∂
ψ(r) des Teilchens.
hpi = hψ|p̂|ψi = −∞ drψ ∗ (r) −i~ ∂r
Aufgabe 8
Dynamik eines Teilchens im unendlich tiefen Potentialtopf
Wir betrachten ein Teilchen im Potential
V (x) =
mit Hamiltonian Ĥ =
1 2
2m p̂
(
π
a
0<x<a
sonst
und den Eigenfunktionen
ϕn (x, t) =
wobei kn =
0
∞
r
2
sin(kn x)e−iωn t
a
· n, n ∈ N.
a) Zeigen Sie, dass die Funktionen ϕn (x, t) Lösungen der zeitabhängigen Schrödingergleichung
sind. Welche Beziehung zwischen kn und ωn muss gelten, und welche Energieeigenwerte En
ergeben sich?
b) Betrachten Sie den Zustand |ψi mit der Wellenfunktion ψ(x, t) = √12 (ϕ1 (x, t) + ϕ2 (x, t)).
Berechnen Sie für |ψi den Erwartungswert des Ortes hxi als Funktion der Zeit. Welche Frequenz und Amplitude hat die Oszillation?
c) Welchen Erwartungswert der Energie E hat der Zustand |ψi?
d) Vergleichen Sie das Verhalten von hxi in der quantenmechanischen Lösung (Amplitude und
Frequenz aus b)) mit der Bewegung eines klassischen Teilchens (Massenpunkt mit kinetischer
Energie E aus c)).
Aufgabe 9
Sequentielle Messungen an Spin-1/2 Systemen
Wir betrachten ein Spin-1/2 System. Gegeben seien zwei Operatoren
 = a1 |ψ1 i hψ1 | + a2 |ψ2 i hψ2 |
B̂ = b1 |φ1 i hφ1 | + b2 |φ2 i hφ2 |
Operator  repräsentiert die Observable A und hat zwei Eigenzustände |ψ1 i, |ψ2 i mit den Eigenwerten a1 , a2 . Entsprechendes gilt für den Operator B̂ (Observable B) mit Eigenzuständen |φ1 i,
|φ2 i und Eigenwerten b1 , b2 . Zwischen den Eigenzuständen gelten die folgenden Beziehungen:
1
1
(3 |φ1 i + 4 |φ2 i)
|ψ2 i = (4 |φ1 i − 3 |φ2 i)
5
5
a) Zunächst wird die Observable A gemessen und man erhält den Wert a1 . In welchem Zustand
befindet sich das System (direkt) nach der Messung?
|ψ1 i =
b) Nun wird die Observable B gemessen. Welche Ergebnisse kann man erhalten und mit welcher
Wahrscheinlichkeit?
c) Danach werde wieder die Observable A gemessen. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit,
den Wert a1 zu erhalten? Betrachten Sie die beiden Fälle:
c1) das Ergebnis der vorherigen Messung von B ist b1 ,
c2) das Ergebnis der vorherigen Messung von B ist unbekannt.
Aufgabe 10
Materiewellen - Interferometrie
Ein Materiewelleninterferometer wird mit einzelnen Natriumatomen der Masse m = 3.82× 10−26 kg
betrieben. Die Atome bewegen sich im homogenen Gravitationsfeld der Erde, so dass auf sie das
Potential V = m · g · h wirkt. Die mittlere Geschwindigkeit der Atome sei vN a = 30 m/s. Als
Strahlteiler stehen drei freitragende Gitter mit einer Gitterkonstante von G = 200 nm zur Verfügung. Am ersten Gitter spaltet der Atomstrahl durch Beugung kohärent in zwei Teilstrahlen |ai
(nullte Beugungsordnung) und |bi (1. Beugungsordnung) auf. Mit Hilfe eines zweiten Beugungsgitters, das sich im Abstand L hinter dem ersten Gitter befindet, werden diese beiden Teilstrahlen
am dritten Beugungsgitter zur Interferenz gebracht. Das Gravitationsfeld sei so schwach, dass man
Pfadlängenänderung im Interferometer aufgrund der Fallbewegung der Atome vernachlässigen kann.
|b'⟩
|b⟩
Δh
Na-Atomstrahl
Gitter
G2
Gitter
G1
L
Detektor
|a'⟩
|a⟩
Gitter
G3
L
a) Wozu dient das dritte Gitter G3 ?
b) Wie groß muss der Abstand L zwischen erstem und zweiten Gitter gewählt werden, damit die
beiden Teilstrahlen |ai und |bi am zweiten Gitter eine Höhendifferenz ∆h von 2 mm haben?
c) Berechnen Sie den Unterschied ∆λ der De-Broglie-Wellenlängen von Atomen in Teilarmen
|ai und |b′ i.
d) Bestimmen Sie die Phasendifferenz ∆φ der am dritten Gitter interferierenden Pfade |a′ i und
|b′ i. Hinweis: Für kleine Gravitationsfelder liefern die Pfade |a′ i und |bi den selben Beitrag
zu ∆φ. D.h. ∆φ = (φb + φb′ ) − (φa + φa′ ) = φb′ − φa .