3. ¨Ubung zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik (E4) SS2017
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3. Übung zur Vorlesung Atom- und Molekülphysik (E4) SS2017
Aufgabe 7
Materiewellen - Interferometrie
Ein Materiewelleninterferometer wird mit einzelnen Natriumatomen der Masse m = 3.82×10−26 kg
betrieben. Die Atome bewegen sich im homogenen Gravitationsfeld der Erde, so dass auf sie das
Potential V = m · g · h wirkt. Die mittlere Geschwindigkeit der Atome sei vN a = 30 m/s. Als Strahlteiler stehen drei freitragende Gitter mit einer Gitterkonstante von G = 200 nm zur Verfügung.
Am ersten Gitter spaltet der Atomstrahl durch Beugung kohärent in zwei Teilstrahlen |ai (0. Beugungsordnung) und |bi (1. Beugungsordnung) auf. Mit Hilfe eines zweiten Beugungsgitters, das
sich im Abstand L hinter dem ersten Gitter befindet, werden diese beiden Teilstrahlen am dritten
Beugungsgitter zur Interferenz gebracht. Das Gravitationsfeld sei so schwach, dass man Pfadlängenänderung im Interferometer aufgrund der Fallbewegung der Atome vernachlässigen kann.
|b'⟩
|b⟩
Δh
Gitter
G2
Gitter
G1
Detektor
|a'⟩
|a⟩
Na-Atomstrahl
L
Gitter
G3
L
a) Wozu dient das dritte Gitter G3 ?
b) Wie groß muss der Abstand L zwischen erstem und zweiten Gitter gewählt werden, damit die
beiden Teilstrahlen |ai und |bi am zweiten Gitter eine Höhendifferenz ∆h von 2 mm haben?
c) Berechnen Sie die Differenz ∆λ der De-Broglie-Wellenlängen von Atomen in Teilarmen |ai
und |b0 i. Hinweis: die Differenz ist klein, benutzen Sie eine geeignete Näherung.
d) Bestimmen Sie die volle Phasendifferenz ∆φ der am dritten Gitter interferierenden Pfade
|a0 i und |b0 i. Hinweis: Für kleine Gravitationsfelder liefern die Pfade |a0 i und |bi den selben
Beitrag zu ∆φ, also ∆φ = (φb + φb0 ) − (φa + φa0 ) = φb0 − φa .
Aufgabe 8
Erwartungswerte
Die Wellenfunktion ψ(r) eines Teilchens in einem eindimensionalen Problem sei
eip0 r/~
ψ(r) = N √
,
a2 + r 2
wobei a, p0 reelle Parameter sind und N die Normierungskonstante ist.
a) Bestimmen Sie die Normierungskonstante N .
b) Sie messen den Ort r des Teilchens. Mit welcher Wahrscheinlichkeit findet man das Teilchen
−a √a
im Intervall [ √
, 3 ]?
3
´∞
c) Berechnen Sie die Erwartungswerte für Ort hri = hψ|r̂|ψi = −∞ drψ ∗ (r)rψ(r) und Impuls
´∞
∂
hpi = hψ|p̂|ψi = −∞ drψ ∗ (r) −i~ ∂r
ψ(r) des Teilchens.
Aufgabe 9
Sequentielle Messungen an Spin-1/2 Systemen
Wir betrachten ein Spin-1/2 System. Gegeben seien zwei Operatoren
 = a1 |ψ1 i hψ1 | + a2 |ψ2 i hψ2 |
B̂ = b1 |φ1 i hφ1 | + b2 |φ2 i hφ2 |
Operator  repräsentiert die Observable A und hat zwei Eigenzustände |ψ1 i, |ψ2 i mit den Eigenwerten a1 , a2 . Entsprechendes gilt für den Operator B̂ (Observable B) mit Eigenzuständen |φ1 i,
|φ2 i und Eigenwerten b1 , b2 . Zwischen den Eigenzuständen gelten die folgenden Beziehungen:
|ψ1 i =
1
(3 |φ1 i + 4 |φ2 i)
5
|ψ2 i =
1
(4 |φ1 i − 3 |φ2 i)
5
a) Zunächst wird die Observable A gemessen und man erhält den Wert a1 . In welchem Zustand
befindet sich das System (direkt) nach der Messung? Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhalten
Sie bei einer wiederholten Messung von A die Ergebnisse a1 bzw. a2 ?
b) Nun wird die Observable B gemessen. Welche Ergebnisse D
kann
E man erhalten und mit welcher
Wahrscheinlichkeit? Bestimmen Sie den Erwartungswert B̂ .
c) Danach werde wieder die Observable A gemessen. Wie hoch ist jetzt die Wahrscheinlichkeit,
den Wert a2 zu erhalten? Betrachten Sie die beiden Fälle:
c1) das Ergebnis der vorherigen Messung von B ist b1 ,
c2) das Ergebnis der vorherigen Messung von B ist unbekannt.
Aufgabe 10
Dichtematrizen
Wir betrachten ein System mit zwei Basiszuständen |↑i und |↓i.
a) Geben Sie die Dichtematrix ρ der folgenden Zustände
Sie die Matrixform in der
an. Benutzen
1 0
1
.
Basis {|↑i , |↓i}, z.B. für den Zustand |↑i =
ist ρ =
0 0
0
a1) |↓i,
a2)
a3)
√1
2
q
(|↑i + i |↓i),
q
2
1
|↑i
−
3
3 |↓i,
2
3
Anteil |↑i und
1
3
Anteil |↓i.
0 1
b) Bestimmen Sie den Erwartungswert des (Pauli-)Operators σ̂x =
für die Zustände
1 0
aus a).
a4) ein (inkohärentes) Gemisch aus
c) Es sei ein unbekannter Zustand ρ gegeben. Bei Messungen in der Basis {|↑i , |↓i} erhalten
Sie die beiden Ergebnisse mit gleicher Wahrscheinlichkeit 0.5. Ist der Zustand ρ rein oder
gemischt? Welche Messungen sind ggf. notwendig, um die beiden Fälle zu unterscheiden?
