Komplexe Funktionen für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg
Dr. K. Rothe
SoSe 2014
Komplexe Funktionen
für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Aufgaben und Theoriehinweise zu Blatt 2
Komplexe Funktionen, K. Rothe, SoSe 2014, Theoriehinweise zu Blatt 2
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Elementare komplexe Funktionen: (Fortsetzung)
Hauptwert der Wurzelfunktion
Der Hauptwert der Umkehrfunktion zu f (z) = z 2 = w wird für w = reiϕ mit
r > 0 und −π < ϕ < π definiert durch
√
f −1 (w) = w := r1/2 eiϕ/2 .
Hauptwert der Logarithmusfunktion
Der Hauptwert der Umkehrfunktion zu f (z) = ez = w wird für w = reiϕ mit
r > 0 und −π < ϕ = arg w < π definiert durch
f −1 (w) = ln w = ln |w| + i arg w .
trigonometrische Funktionen:
eiz + e−iz
eiz − e−iz
, cos z :=
,
sin z :=
2i
2
hyperbolische Funktionen:
ez − e−z
,
sinh z :=
2
ez + e−z
cosh z :=
,
2
tan z :=
tanh z :=
sin z
cos z
sinh z
cosh z
Aufgabe 5:
a) Für den Hauptwert des komplexen Logarithmus ln und
z1 = −1 + i und z2 = i berechne man
ln(z1 ) , ln(z2 ) und ln(z1 z2 ),
und überprüfe an diesem Beispiel, ob für den Hauptwert die Funktionalgleichung gilt:
ln(z1 ) + ln(z2 ) = ln(z1 z2 ) .
b) Die sin-Funktion wird im Komplexen definiert durch
1 iz
e − e−iz .
2i
Man berechne Real- und Imaginärteil von sin z und bestimme alle
Lösungen von sin z = 2.
sin z =
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Aufgabe 6:
1
Gegeben sei die Joukowski-Funktion w = f (z) :=
2
z 3
+
.
3 z
a) Man bestimme die Bilder
(i) des Kreises |z| = 3,
(ii) des Halbstrahls Re(z) = Im(z) > 0,
(iii) des Halbstrahls Re(z) = 0 , Im(z) > 0.
b) Man berechne die Umkehrfunktion z = f −1 (w) für |z| > 3.
Kreissymmetrie:
Zwei Punkte z1 , z2 ∈ C heißen symmetrisch zum Kreis C: |z − z0 | = R,
falls gilt
(z1 − z0 )(z̄2 − z̄0 ) = R2 .
Speziell legt man z0 und ∞ (unendlich ferner Punkt) als symmetrisch zu
C fest.
Zwei Punkte z1 , z2 ∈ C heißen symmetrisch zur Geraden G, falls z1 bzw.
z2 durch Spiegelung an G in z2 bzw. z1 übergeht.
Man definiert C ∗ := C ∪ {∞}.
Kreise und Geraden in C ∗ werden als verallgemeinerte Kreise in C ∗ bezeichnet.
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Möbius-Transformationen:
Eine Abbildung T : C ∗ → C ∗ heißt Möbius-Transformationen, wenn gilt
T (z) =
az + b
cz + d
mit ad − bc 6= 0 .
Sind zwei Tripel z1 , z2 , z3 und w1 , w2 , w3 jeweils verschiedener Zahlen aus C
gegeben, dann gibt es genau eine Möbius-Transformation, für die wj = T (zj )
mit j = 1, 2, 3 gilt. Diese lässt sich berechnen, durch Auflösen der folgenden
Dreipunkteformel nach w:
w − w1 w3 − w1
z − z1 z3 − z1
:
=
:
.
w − w2 w3 − w2
z − z2 z3 − z2
Eigenschaften:
a) Eine Möbius-Transformation ist bijektiv auf C ∗ .
b) Die Umkehrabbildung einer Möbius-Transformation ist wieder eine
Möbius-Transformation.
c) Ein Möbius-Transformation T ist kreistreu, d.h. sie bildet verallgemeinerte Kreise auf verallgemeinerte Kreise ab.
d) Ein Möbius-Transformation erhält die Symmetrie zu verallgemeinerten Kreisen.
e)
z0 − z1 z3 − z1
:
z0 − z2 z3 − z2
der vier verschiedenen
D(z0 , z1 , z2 , z3 ) :=
wird als Doppelverhältnis
z0 , z1 , z2 , z3 ∈ C bezeichnet.
Punkte
f) z0 , z1 , z2 , z3 ∈ C liegen genau dann auf einem (verallgemeinerten) Kreis,
wenn D(z0 , z1 , z2 , z3 ) ∈ IR gilt.
g) Unter einer Möbius-Transformation T ist das Doppelverhältnis invariant, d.h. es gilt:
D(z0 , z1 , z2 , z3 ) = D(T (z0 ), T (z1 ), T (z2 ), T (z3 )) .
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Aufgabe 7:
Gegeben seien die Punkte
z1 = 1, z2 = 1 + 2i, z3 = i
und
w1 = 0, w2 = 1 + i, w3 = −1 − i .
a) Man berechne die Möbius-Transformation T , für die mit
j = 1, 2, 3 gilt:
wj = T (zj ) .
b) Liegen z0 = 2 + i und z1 , z2 , z3 auf einem (verallgemeinerten) Kreis K?
c) Liegen w0 = T (z0 ) und w1 , w2 , w3 auf einem (verallgemeinerten) Kreis
T (K)?
Aufgabe 8: (Klausur SoSe 10)
a) Für die Kreise K1 = {z ∈ C | |z − 3i| = 2} und
K2 = {z ∈ C | |z + 3i| = 2} berechne man die Punkte z1 und z2 , die
symmetrisch zu beiden Kreisen liegen.
b) Man gebe eine Möbius-Transformation T an, mit:
√
√
T (i 5) = 0 , T (−i 5) = ∞ und T (i) = 1 .
c) Zur imaginären Achse und den Kreisen K1 und K2 bestimme man die
(verallgemeinerten) Bildkreise unter T , gegebenenfalls mit ihren Radien.