Randomisierte Algorithmen SS 2017 – ¨Ubung 3

Rev. 1, 24.03.2017
TU Ilmenau, Fakultät für Informatik und Automatisierung
FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Univ.-Prof. Dr. M. Dietzfelbinger, M.Sc. P. Schlag
http://www.tu-ilmenau.de/iti/lehre/lehre-ss-2017/ra/
Randomisierte Algorithmen SS 2017 – Übung 3
Besprechung: Mittwoch, 24. Mai 2017
Hinweis: Für das erfolgreiche Vorrechnen einer mit *“ gekennzeichneten Aufgabe wird ein Bo”
nuspunkt vergeben, es gibt maximal zwei Bonuspunkte pro Studierendem im Semester.
Aufgabe 1 (Maximale Last beim vollständig zufälligen Hashing) *
Wir betrachten das Zufallsexperiment, n Bälle auf m Körbe zu werfen (äquivalent: n Schlüssel mit einer
rein zufälligen Hashfunktion auf m Fächer zu verteilen), wobei jeder Korb bei einem einzelnen Wurf mit
gleicher Wahrscheinlichkeit 1/m getroffen wird. Es sei α = n/m der Auslastungsfaktor mit α ≤ α0 für
eine Konstante α0 > 0.
(a) Sei k ∈ N und j ∈ {1, . . . , m} fest. Es sei pk, j die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Korb Nummer j
mindestens k Bälle enthält. Beweisen Sie:
pk, j ≤
αk
.
k!
Hinweis: Wenn Korb j mindestens k Bälle enthält, dann muss es eine Menge A ⊆ {1, . . . , n} mit
|A| = k geben, so dass alle Bälle mit Nummer i ∈ A in Korb j liegen.
(b) Sei k ∈ N fest. Geben Sie eine obere Schranke u(n, k) für die erwartete Anzahl der Körbe mit k oder
mehr Bällen an.
(c) Zeigen Sie:
αk
Pr( es gibt einen Korb mit ≥ k Bällen“) ≤ m · .
”
k!
Hinweis: Nützlich sind (b) und die Markov-Ungleichung.
k
(d) Zeigen Sie: Gilt |ln α0 | + ln α0 + 1 < ln k − lnkn für k ≥ 1, so folgt m · αk! < 1.
k
ki
k k
k
Hinweis: Wegen kk! ≤ ∑∞
i=0 i! = e gilt k! ≥ e .
(e) Zeigen Sie, dass für die Wahl k = k2 :=
2 ln n
ln ln n
und genügend große n gilt:
Pr( es gibt einen Korb mit ≥ k Bällen“) < 1.
”
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2
Randomisierte Algorithmen SS 2017 – Übung 3
(f) Sei L die maximale Beladung eines Korbes. Zeigen Sie, dass für genügend große n gilt:
E(L) ≤ k2 + O(1).
Hinweis: Nützlich sind Fakt 2.2.8 sowie folgende Beobachtung:
i
α
≤ k2α+1 . Für genügend große n gilt
Sei ai = m · αi! . Für i ≥ k2 gilt aai+1
= i+1
i
Konstante β .
α
k2 +1
≤ β < 1 für eine
Aufgabe 2 (Geometrische Verteilung) *1
Die Zufallsvariable X sei geometrisch verteilt mit Parameter p ∈ (0, 1), d. h. Pr(X = i) = (1 − p)i−1 p für
i ≥ 1. (Die Zufallsvariable X modelliert die Wartezeit auf Erfolg“ bei einer unabhängigen Folge von
”
Zufallsexperimenten mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.)
Zeigen Sie:
1
1− p
E(X) =
und Var(X) = 2 .
p
p
d
Hinweis: Benutzen Sie i · qi−1 = dq
qi , um E(X) zu berechnen. Zweimaliges Differenzieren von Termen der Form qi hilft ebenfalls bei der Berechnung von Var(X).
Aufgabe 3 (Coupon collector’s problem) *1
Betrachten Sie nun das Zufallsexperiment, so lange unabhängig wiederholt Bälle auf m Körbe zu werfen,
bis in jedem Korb mindestens ein Ball liegt, wobei wieder jeder Korb bei einem einzelnen Wurf mit
gleicher Wahrscheinlichkeit 1/m getroffen wird. Dieses Zufallsexperiment erinnert an das Sammeln von
Sammelbildern, bis man alle Bilder einer Serie aus m Bildern zusammen hat. Daher der Name coupon
collector’s problem.
(a) Bestimmen Sie zunächst einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum für dieses Zufallsexperiment.
(b) Angenommen, i Körbe sind leer, 1 ≤ i ≤ m, die anderen m − i sind nicht-leer. Was ist dann die
erwartete Anzahl ti an Würfen, bis zum ersten Mal ein leerer Korb getroffen wird?
Hinweis: Aufgabe 2 ist hilfreich.
(c) Angenommen, anfangs sind alle Körbe leer.
Was ist die erwartete Anzahl an Bällen, die man werfen muss, bis in jedem Korb mindestens ein
Ball liegt?
Hinweis: (b) und Linearität des Erwartungswertes.
1 Um
einen Bonuspunkt zu erhalten, lösen Sie Aufgabe 2 und Aufgabe 3.