Randomisierte Algorithmen“ ¨Ubungsblatt 2, WS 2011/12

TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TI, FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Univ.-Prof. Dr. Martin Dietzfelbinger, Dipl.-Ing. Christopher Mattern
http://www.tu-ilmenau.de/iti/lehre/lehre-ws-20112012/ra/
Randomisierte Algorithmen“
”
Übungsblatt 2, WS 2011/12
Besprechung:
Donnerstag, 3.11.2011 (44. KW). Für das Vorrechnen einer mit *“
”
markierten Aufgaben werden Bonuspunkte vergeben.
Aufgabe 1 (Bälle auf Körbe) *
N
Seien n, m ∈ , n, m ≥ 1. Wir betrachten das Zufallsexperiment, n Bälle auf m Körbe zu werfen,
wobei jeder Korb bei einem einzelnen Wurf mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/m getroffen wird.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Korb Nr. j, j ∈ {1, 2, . . . , m}, leer bleibt?
Geben Sie sowohl für den Fall n = m als auch für den allgemeineren Fall n = αm, α > 0
konstant, eine Näherung dieser Wahrscheinlichkeit an.
Hinweis: Hier wird die Unabhängigkeit gewisser Ereignisse benutzt.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in Korb Nr. j, j ∈ {1, 2, . . . , m}, genau ein
Ball landet? Geben Sie für den Fall n = m und den Fall n = αm eine Näherung dieser
Wahrscheinlichkeit an.
(c) Wie groß ist der Erwartungswert der Anzahl Y leerer Körbe?
Hinweis: Definieren Sie Xj = 1, falls Korb j leer ist, 0 sonst, und benutzen Sie Y =
X1 + · · · + Xm .
(d) Es sei nun c > 0 und n = d(c + ln m)me.
(i) Man berechne eine obere Schranke für
Pr(es gibt einen leeren Korb).
Hinweis: Aufgabenteil (a), union bound (Fakt 2.1.6(c)).
(ii) Was ergibt sich für c = ln m, das heißt für n = 2m ln m?
Aufgabe 2 (Geometrische Verteilung)1 *
Die Zufallsvariable X sei geometrisch verteilt mit Parameter p.
(Das heißt: Pr(X = i) = (1 − p)i−1 p für i ≥ 1. Die Zufallsvariable X modelliert die Wartezeit auf
Erfolg“ bei einer unabhängigen Folge von Zufallsexperimenten mit Erfolgswahrscheinlichkeit p.)
”
Beweisen Sie:
1
1−p
(a) E(X) =
und (b) Var(X) =
.
p
p2
Geometrisch verteilte Zufallsvariable mit kleinem p (Erfolgswahrscheinlichkeit) haben eine sehr
große Varianz!
1
Hier wird ein Bonuspunkt nur vergeben, wenn die Aufgaben 3 und 4 zusammen vorgerechnet werden.
2
Randomisierte Algorithmen“
”
Übungsblatt 2, WS 2011/12
Aufgabe 3 (Coupon collector’s problem) *
Betrachten Sie nun das Zufallsexperiment, so lange unabhängig wiederholt Bälle auf m Körbe zu
werfen, bis in jedem Korb mindestens ein Ball liegt, wobei wieder jeder Korb bei einem einzelnen
Wurf mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/m getroffen wird. Dieses Zufallsexperiment erinnert an
das Sammeln von Sammelbildern, bis man alle Bilder einer Serie aus m Bildern zusammen hat.
Daher der Name coupon collector’s problem.
(a) Bestimmen Sie zunächst einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum für dieses Zufallsexperiment.
(b) Angenommen, i Körbe sind leer, 1 ≤ i ≤ m, die anderen m − i sind nichtleer.
Was ist dann die erwartete Anzahl ti an Würfen, bis zum ersten Mal ein leerer Korb
getroffen wird?
Hinweis: Aufgabe 2 ist hilfreich.
(c) Angenommen, anfangs sind alle Körbe leer.
Was ist die erwartete Anzahl an Bällen, die man werfen muss, bis in jedem Korb mindestens
ein Ball liegt?
Hinweis: (b) und Linearität des Erwartungswertes.
Aufgabe 4 (Gezinkter Münzwurf)2 *
Eine gezinkte Münze wird n mal geworfen (die Zufallsexperimente sind unabhängig). Das Ereignis Kopf“ tritt dabei mit der Wahrscheinlichkeit p ein. Um ein derartiges Zufallsexperiment
”
zu modellieren betrachten wir eine Realisierung als Bitstring x1 x2 . . . xn ∈ {0, 1}n , wobei ein
Eins-Bit Kopf“ und ein Null-Bit Zahl“ entspricht.
”
”
(a) Geben Sie einen geeigneten Wahrscheinlichkeitsraum an.
(b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten
Pr(die ersten k Würfe ergeben Kopf) und Pr(genau k Würfe ergeben Kopf),
wobei 1 ≤ k ≤ n.
P
(c) Sei X : (x1 x2 . . . xn ) 7→ ni=1 xi die Zufallsvariable, die die Anzahl der Kopf“-Ereignisse
”
angibt. Berechnen Sie E(X) und Var(X).
2
Hier wird ein Bonuspunkt nur vergeben, wenn die Aufgaben 3 und 4 zusammen vorgerechnet werden.