Randomisierte Algorithmen“ ¨Ubungsblatt 2, WS 2013/14
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TU Ilmenau, Fakultät IA
Institut TI, FG Komplexitätstheorie und Effiziente Algorithmen
Univ.-Prof. Dr. Martin Dietzfelbinger, Dipl.-Ing. Christopher Mattern
http://www.tu-ilmenau.de/iti/lehre/lehre-ws-20132014/ra/
Randomisierte Algorithmen“
”
Übungsblatt 2, WS 2013/14
Besprechung:
Freitag, 25.10.2012 (43. KW). Für das Vorrechnen einer mit *“
”
markierten Aufgaben werden Bonuspunkte vergeben.
Aufgabe 1 (Bälle auf Körbe) *
N
Seien n, m ∈ , mit n, m ≥ 1. Wir betrachten das Zufallsexperiment, n Bälle auf m Körbe zu
werfen, wobei jeder Korb bei einem einzelnen Wurf mit gleicher Wahrscheinlichkeit 1/m getroffen
wird.
(a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Korb Nr. j, für j ∈ {1, 2, . . . , m}, leer bleibt?
Geben Sie sowohl für den Fall n = m als auch für den allgemeineren Fall n = αm, α > 0
konstant, eine Näherung dieser Wahrscheinlichkeit an.
Hinweis: Hier wird die Unabhängigkeit gewisser Ereignisse benutzt.
(b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in Korb Nr. j, für j ∈ {1, 2, . . . , m}, genau ein
Ball landet? Geben Sie für den Fall n = m und den Fall n = αm eine Näherung dieser
Wahrscheinlichkeit an.
(c) Wie groß ist der Erwartungswert
P der Anzahl Y leerer Körbe?
Hinweis: Benutzen Sie Y = 1≤j≤m [Korb j ist leer].
(d) Es sei nun c > 0 und n = d(c + ln m)me.
(i) Man berechne eine obere Schranke für
Pr(es gibt einen leeren Korb).
Hinweis: Aufgabenteil (a), union bound (Fakt 2.1.6(c)).
(ii) Was ergibt sich für c = ln m, das heißt für n = 2m ln m?
Aufgabe 2 (Iverson-Notation) *
Das Glücksrad für Informatiker und Mathematiker besitzt N Segmente, die mit den Zahlen
1, 2, . . . , N nummeriert sind. Stößt man das Glücksrad an, stoppt das Glücksrad bei jedem
Segment mit gleicher Wahrscheinlichkeit. Für Segment n tritt das Ereignis Gewinn“ ein, falls
”
gilt: bn1/3 c teilt n (Was sonst?).
P
(a) Sei W :=
1≤n≤N [Segment n gewinnt] die Anzahl an Segmenten, für die das Ereignis
Gewinn“ eintritt. Zeigen Sie:
”
X
W =
[k 3 ≤ n < (k + 1)3 ][n = km][1 ≤ n ≤ N ].
k,m,n≥0
(b) Sei K die ganze Zahl mit K 3 ≤ N < (K + 1)3 , d. h. K = bN 1/3 c. Folgern Sie aus (a):
X
X
W =
(3k + 4) +
[K 3 ≤ mK ≤ N ].
1≤k<K
m≥0
Hinweis: Benutzen Sie [1 ≤ n ≤ N ] = [1 ≤ n < K 3 ] + [K 3 ≤ n ≤ N ].
(c) Zeigen Sie: Pr(Gewinn) ≤ O(N −1/3 ).
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Randomisierte Algorithmen“
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Übungsblatt 2, WS 2013/14
Aufgabe 3 (Glücksspiel) *
Bearbeiten Sie die folgenden Aufgaben und geben Sie zusätzlich jeweils einen passenden
Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, p) an.
(a) Wir betrachten eine vereinfachte Version des Spiels Lotto k aus n“. Ein Spieler tippt k
”
verschiedene Zahlen aus {1, 2, . . . , n}, anschließend werden k Zahlen aus {1, 2, . . . , n}, ohne
Zurücklegen, gezogen. Zieht man eine Zahl, sind alle wählbaren Zahlen gleichwahrscheinlich.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, genau r Zahlen richtig getippt zu haben, für 0 ≤ r ≤ k?
(b) In einem fiktiven Glücksspiel wird eine Münze geworfen, bis das Ereignis Kopf“ (mit
”
Wahrscheinlichkeit 0,5) eintritt oder die Münze maximal n mal geworfen wurde. Ergibt
k
der k-te Münzwurf Kopf“, wird der Gewinn in Höhe von 2k ausgezahlt. Tritt das Ereignis
”
Kopf“ nie ein, wird kein Gewinn ausgezahlt.
”
Wie hoch sollte man die Teilnahmegebühr wählen, damit der erwartete Gewinn 0 ist?
(c) Wir betrachten eine Roulette-Spielstrategie. Der Spieler setzt auf rot oder schwarz, beide Ereignisse sind gleichwahrscheinlich. Fällt die Roulette-Kugel auf die gewählte Farbe,
erhält er den doppelten Einsatz, ansonsten bekommt er kein Geld. Der Spieler verfährt
wie folgt: Nach k − 1 in Folge verlorenen Runden setzt er 2k−1 Euro in der k-ten Runde,
k ≥ 1. Der Spieler hört auf zu spielen, wenn er das erste mal gewinnt.
(i) Wie groß ist der erwartete Gewinn?
(ii) Ist diese Strategie sinnvoll?
(Hinweis: Betrachten Sie den mittleren Einsatz vor dem ersten Gewinn.)
(iii) Wie groß ist der erwartete Gewinn, wenn das Spiel nach einer endlichen Anzahl von
Runden abgebrochen wird?
