§3 Vektorbündel und das Tangentialbündel

Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, SS 2014
Donnerstag 26.6
$Id: vektor.tex,v 1.6 2014/06/30 10:20:57 hk Exp $
$Id: fluss.tex,v 1.2 2014/06/30 12:36:06 hk Exp hk $
§3
Vektorbündel und das Tangentialbündel
3.4
Ableitungen von C q -Funktionen
In der letzten Sitzung haben wir die Ableitung einer C q -Funktion f : M → N durch
die definierende Formel
dfp (v)φ = v(φ ◦ f )
für p ∈ M , v ∈ Tp M , φ ∈ CN∞ (f (p)) eingeführt und wollen jetzt einige Rechenregeln
für diese Ableitung festhalten. Da jeder Keim von einer global definierten Funktion
induziert wird, reicht es dabei stets φ ∈ C ∞ (N ) zu betrachten.
Satz 3.22 (Kettenregel)
Seien M, N, P drei berandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten, q ∈ N∗ und f ∈
C q (M, N ), g ∈ C q (N, P ). Dann gilt für jeden Punkt p ∈ M die Kettenregel
d(g ◦ f )p = dgf (p) ◦ (dfp ) .
Beweis: Sei p ∈ M . Sind v ∈ Tp M und φ ∈ C ∞ (P ), so gilt
dgf (p) (dfp (v)) φ = (dfp (v)) (φ ◦ g) = v(φ ◦ g ◦ f ) = d(g ◦ f )p (v)φ.
Im nächsten Schritt schauen wir uns die Ableitung bezüglich auf M und N gegebener
Koordinatensysteme an. Als Ableitung von f ohne spezifizierten Auswertungspunkt
definieren wir die Abbildung
df : T M → T N ; v 7→ dfπ(v) v
wobei π : T M → M die Bündelprojektion ist.
Lemma 3.23 (Berechnung der Ableitung in lokalen Koordinaten)
Seien M, N zwei berandete differenzierbare Mannigfaltigkeite und f ∈ C q (M, N ) mit
q ∈ N∗ .
18-1
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, SS 2014
Donnerstag 26.6
(a) Sind (U, ϕ) = (U, x1 , . . . , xm ) eine Karte von M , (V, ψ) = (V, y1 , . . . , yn ) eine
Karte von N und p ∈ U ∩ f −1 (V ), so ist
!
!
∂(yi ◦ f ) ∂(pri ◦ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ) =
∂xj p
∂rj
ϕ(p)
1≤i≤n,1≤j≤m
1≤i≤n,1≤j≤m
die Matrix von dfp : Tp M → Tf (p) N bezüglich der Basen
∂ ∂ ∂ ∂ ,...,
von Tp M und
,...,
von Tf (p) N .
∂x1 p
∂xm p
∂y1 f (p)
∂yn f (p)
(b) Es ist df ∈ C q−1 (T M, T N ), was im Fall q = 1 die Stetigkeit von df bedeutet.
Beweis: (a) Sei 1 ≤ j ≤ m gegeben. Nach Korollar 18 gilt dann
!
!
n
n
X
X
∂ ∂ ∂(yi ◦ f ) ∂ ∂ dfp
dfp
=
(yi )
=
·
∂xj p
∂xj p
∂yi f (p)
∂yj p ∂yi f (p)
i=1
i=1
und die erste Formel ist bewiesen. Die zweite Formel entsteht dann durch Einsetzen
der Definition der partiellen Ableitungen.
(b) Seien πM : T M → M , πN : T N → N die Bündelprojektionen. Sei p ∈ M . Wähle
Karten (V, ψ) = (V, y1 , . . . , yn ) von N mit f (p) ∈ V und (U, ϕ) = (U, x1 , . . . , xm ) von
M mit p ∈ U ⊆ f −1 (V ). Nach Konstruktion des Tangentialbündels sind
∂
∂xi
(1 ≤ i ≤ m) Basisfelder von T M und
∂
∂yi
(1 ≤ j ≤ n) Basisfelder von T N ,
also sind
m
X
∂ ti
ζ : U ×R →
7→
und
∂x
i
p
i=1
n
X
∂ −1
tj
ξ : V × Rn → π N
(U ); (p, t) 7→
∂yj p
j=1
m
−1
πM
(U ); (p, t)
nach Lemma 10.(a) eine lokale Trivialisierung von T M beziehungsweise T N . Insbesondere sind ζ, ξ Diffeomorphismen, also sind auch
−1
Φ := (ϕ × idRm ) ◦ ζ −1 : πM
(U ) → im(ϕ) × Rm und
−1
Ψ := (ψ × idRn ) ◦ ξ −1 : πN
(V ) → im(ψ) × Rn
Diffeomorphismen und somit nach §2.Lemma 21.(e) auch Karten von T M beziehungsweise T N , wobei im berandeten Fall noch eine Permutation der Koordinaten des jeweiligen Zielraums erforderlich ist die in der Notation aber unterdrückt wird. Wegen
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ∈ C q (im(ϕ), Rn ) ist
!
−1 ∂(pr
◦ψ
◦
f
◦
ϕ
)
i
A : im(ϕ) → Rn×m ; p 7→
∂rj
p
1≤i≤n,1≤j≤m
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Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, SS 2014
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in C q−1 (im(ϕ), Rn×m ). Seien p ∈ im(ϕ) und t ∈ Rm gegeben. Dann ist
−1
−1
Φ (p, t) = ζ(ϕ (p), t) =
m
X
i=1
∂ ti
∂xi ϕ−1 (p)
und nach (a) gilt
m
X
∂ (A(p)t)j
df (Φ (p, t)) =
= ξ(f (ϕ−1 (p)), A(p)t),
∂y
j f (ϕ−1 (p))
j=1
−1
wir haben also auch
Ψ(df (Φ−1 (p, t))) = Ψ(ξ(f (ϕ−1 (p)), A(p)t)) = (ψ(f (ϕ−1 (p))), A(p)t).
Dies zeigt Ψ ◦ df ◦ Φ−1 ∈ C q−1 (im(ϕ) × Rm , R2n ). Nach §2.Lemma 34.(d,e,j) ist damit
auch
−1
−1
df |πM
(U ) = Ψ−1 ◦ (Ψ ◦ df ◦ Φ−1 ) ◦ Φ ∈ C q−1 (πM
(U ), T N ).
Damit ist df : T M → T N zum einen stetig und im Fall q > 1 ist nach §2.Lemma
34.(b) auch df ∈ C q−1 (T M, T N ).
Weiterhin ergeben sich mit Lemma 23.(a) auch die üblichen arithmetischen Ableitungsregeln für Funktionen mit Werten in einem Vektorraum. Auf dem Rd verwenden
wir die Identität als Karte, und dann sind
∂
∂
,...,
∂r1
∂rd
nach Konstruktion des Tangentialbündels T Rn Basisfelder, also ist
d
d
d
Φ : R × R → T R ; (p, t) 7→
d
X
i=1
∂ ti
∂ri p
eine lokale Trivialisierung von T Rd und insbesondere ein Diffeomorphismus.
Sei nun M eine berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit und seien weiter f, g ∈
C q (M, Rd ) mit q ∈ N∗ gegeben. Dann haben wir die Abbildung df : T M → T Rd in
C q−1 (T M, T Rd ) und können
f 0 := pr2 ◦Φ−1 ◦ df : T M → Rd .
definieren. Diese Konstruktion gibt uns eine Abbildung f 0 ∈ C q−1 (T M, Rd ) und für
jedes p ∈ M haben wir die lineare Abbildung
f 0 (p) : Tp M → Rd
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für die man meist auch einfach dfp schreibt. Sind (U, x1 , . . . , xm ) eine Karte von M und
p ∈ U , so ergibt die Formel in Lemma 23.(a) das die Matrix von f 0 (p) bezüglich der
Basis ∂/∂x1 |p , . . . , ∂/∂xm |p von Tp M und der Standardbasis e1 , . . . , ed des Rd gleich
der Jacobi-Matrix
!
∂fi ∂xj p
1≤i≤n,1≤j≤m
ist. Die Linearität der partiellen Ableitungen liefert damit für c ∈ R die Formeln
d(f + g)p = dfp + dgp ,
d(cf )p = c · dfp
für jeden Punkt p ∈ M . Weiter haben wir auch eine Produktregel, und für diese
sei zusätzlich eine reellwertige Funktion λ ∈ C q (M ) gegeben. Dann haben wir auch
λ0 ∈ C q−1 (T M, R) und für jedes p ∈ M ist λ0 (p) ∈ (Tp M )∗ eine Linearform auf Tp M .
Für alle 1 ≤ i ≤ n, 1 ≤ j ≤ m und jedes p ∈ U ist nun
∂(λ · f )i ∂(λ · fi ) ∂fi ∂λ =
= λ(p) ·
+ fi (p) ·
∂xj p
∂xj p
∂xj p
∂xj p
und somit haben wir
d(λ · f )p u = (λ0 (p)u) · f (p) + λ(p) · (dfp (u)) ,
für alle Punkte p ∈ M und Tangentialvektoren u ∈ Tp M .
Als nächsten Schritt wollen wir die Aussagen über Umkehrfunktionen differenzierbarer Funktionen vom Rn auf beliebige berandete Mannigfaltigkeiten übertragen. Man
kann den Satz über Umkehrfunktionen allerdings nicht einfach wörtlich auf den Fall
berandeter Mannigfaltigkeiten ausdehnen, beispielsweise ist schon f : R≥0 → R≥0 ; x 7→
x + 1 eine C ∞ -Funktion deren Ableitung überall invertierbar ist die aber in keiner
Umgebung von Null ein Diffeomorphismus wird. Aus §2.Lemma 25.(b) wissen wir das
Diffeomorphismen Randpunkte auf Randpunkte abbilden, und wird dies explizit als
Voraussetzung hinzugefügt, so erhalten wir auch einen Umkehrsatz im berandeten Fall.
Wir formulieren den Satz hier im C ∞ -Fall, im Fall endlicher Differenzierbarkeitsordnung gelten dann entsprechende Aussagen für C q -Diffeomorphismen.
Satz 3.24 (Umkehrsatz für berandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten)
Seien M, N zwei berandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten und f ∈ C ∞ (M, N ).
Weiter seien p ∈ M ein Punkt in dem dfp : Tp M → Tp N invertierbar ist und es
gebe eine offene Umgebung U von p in M mit f (U ∩ ∂M ) ⊆ ∂N . Dann existieren
offene Umgebungen V von p in M und W von f (p) in N so, dass f |V : V → W ein
Diffeomorphismus ist.
Beweis: Nach §2.Lemma 36.(e) gibt es eine bei f (p) zentrierte Standardkarte (W 0 , ψ)
von N und eine bei p zentrierte Standardkarte (V 0 , ϕ) von M mit f (V 0 ) ⊆ W 0 und
V 0 ⊆ U . Wir erhalten die C ∞ -Abbildung
g := ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : im(ϕ) → im(ψ)
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und da die Jacobi-Matrix g 0 (0) nach Lemma 23.(a) die Matrix von dfp bezüglich geeigneter Basen von Tp M beziehungsweise Tf (p) N ist, ist g 0 (0) invertierbar. Wir unterscheiden
jetzt zwei verschiedene Fälle.
Fall 1. Zunächst sei p ∈ M ◦ ein innerer Punkt von M . Dann ist V 0 ⊆ M ◦ und im(ϕ) =
Rn wobei n die Dimension von M und N ist. Nach dem gewöhnlichen Umkehrsatz
gibt es offene Umgebungen V 00 , W 00 von 0 im Rn so, dass g : V 00 → W 00 ein C ∞ Diffeomorphismus ist. Insbesondere ist 0 ein innerer Punkt von im(ψ) im Rn , d.h.es ist
auch im(ψ) = Rn und f (p) ∈ N ◦ . Damit sind V := ϕ−1 (V 00 ) eine offene Umgebung von
p in M und W := ψ −1 (W 00 ) eine offene Umgebung von f (p) in N und f |V : V → W
ist ein Diffeomorphismus.
Fall 2. Nun nehmen wir p ∈ ∂M an. Dann ist auch f (p) ∈ ∂N also sind im(ϕ) =
im(ψ) = H n wobei n wieder die Dimension von M und N ist und wegen V 0 ⊆ U haben
wir
g(Rn−1 ) = g(ϕ(V 0 ∩ ∂M )) = ψ(f (V 0 ∩ ∂M )) ⊆ ψ(W 0 ∩ f (U ∩ ∂M ))
⊆ ψ(W 0 ∩ ∂N ) = Rn−1 .
Insbesondere ist g|Rn−1 : Rn−1 → Rn−1 wieder eine C ∞ -Abbildung und da g 0 (0) die
Form
!
(g|Rn−1 )0 (0)
∗
0
g (0) =
∂gn 0
∂rn 0
n−1 0
hat ist auch (g|R ) (0) invertierbar. Weiter gibt es eine offene Umgebung V1 von 0
im Rn und eine C ∞ -Funktion h : V1 → Rn mit h|V1 ∩ H n = g|V1 ∩ H n . Insbesondere ist
auch h0 (0) = g 0 (0) invertierbar. Eine Anwendung des Satzes über Umkehrfunktionen
liefert offene Umgebungen V2 , W1 von 0 im Rn mit V2 ⊆ V1 so, dass h|V2 : V2 → W1 ein
C ∞ -Diffeomorphismus ist. Wenden wir den Satz über Umkehrfunktionen dann auch
im Rn−1 auf g|Rn−1 an, so erhalten wir weitere offene Umgebungen V3 , W2 von 0 im
Rn mit V3 ⊆ V2 , W2 ⊆ W1 und g(V3 ∩ Rn−1 ) = W2 ∩ Rn−1 . Durch weiteres Verkleinern
erhalten wir schließlich ein > 0 mit B (0) ⊆ V3 und eine offene Umgebung W3 von 0
im Rn mit W3 ⊆ W2 so, dass h|B (0) : B (0) → W3 ein C ∞ -Diffeomorphismus ist.
Wir behaupten das dann h(B (0) ∩ Rn−1 ) = W3 ∩ Rn−1 ist. Zunächst ist h(B (0) ∩
n−1
R ) = g(B (0) ∩ Rn−1 ) ⊆ g(Rn−1 ) ⊆ Rn−1 , also haben wir h(B (0) ∩ Rn−1 ) ⊆
W3 ∩ Rn−1 . Nun sei umgekehrt y ∈ W3 ∩ Rn−1 gegeben und setze x := (h|B (0))−1 (y) ∈
B (0). Wegen y ∈ W3 ⊆ W2 ist y ∈ W2 ∩ Rn−1 = g(V3 ∩ Rn−1 ), also existiert ein
x0 ∈ V3 ∩Rn−1 mit g(x0 ) = y. Dann sind x ∈ B (0) ⊆ V3 ⊆ V2 und x0 ∈ V3 ⊆ V2 ⊆ V1 mit
h(x0 ) = g(x0 ) = y = h(x), also x = x0 ∈ B (0) ∩ Rn−1 und y = h(x) ∈ h(B (0) ∩ Rn−1 ).
Damit ist diese Zwischenbehauptung bewiesen. Die Mengen B + := {x ∈ B (0)|xn > 0}
und B − := {x ∈ B (0)|xn < 0} sind zusammenhängend und wegen h(B + ), h(B − ) ⊆
Rn \Rn−1 existieren σ+ , σ− ∈ {−1, 1} mit
h(B + ) ⊆ {x ∈ Rn | sign(xn ) = σ+ } und h(B − ) ⊆ {x ∈ Rn | sign(xn ) = σ− }.
Da aber W3 = h(B + ) ∪ h(B − ) ∪ (W3 ∩ Rn−1 ) eine offene Umgebung von 0 ist, muss
σ+ 6= σ− sein. Andererseits ist h(B + ) = g(B + ) ⊆ H n und somit σ+ = 1 und σ− =
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Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, SS 2014
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−1. Folglich ist g(B (0) ∩ H n ) = h(B (0) ∩ H n ) = W3 ∩ H n eine offene Umgebung
von 0 im Halbraum H n und (g|B (0) ∩ H n )−1 = h−1 |W3 ∩ H n ist wieder eine C ∞ Funktion, d.h. g|B (0) ∩ H n : B (0) ∩ H n → W3 ∩ H n ist ein C ∞ -Diffeomorphismus.
Damit sind schließlich V := ϕ−1 (B (0) ∩ H n ) eine offene Umgebung von p in M und
W := ψ −1 (W3 ∩ H n ) eine offene Umgebung von f (p) in N so, dass f |V : V → W ein
Diffeomorphismus ist.
Insbesondere erhalten wir Charakterisierungen lokaler und globaler Diffeomorphismen
in Termen ihrer Ableitungen. Wir beginnen mit dem lokalen Fall.
Korollar 3.25 (Charakterisierung der lokalen Diffeomorphismen)
Seien M, N zwei berandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten und f : M → N eine
C ∞ -Funktion. Dann ist f genau dann ein lokaler Diffeomorphismus wenn dfp für jedes
p ∈ M invertierbar ist und f (∂M ) ⊆ ∂N gilt.
Beweis: ”=⇒” Sei p ∈ M . Dann existieren Karten ϕ von M mit p ∈ dom(ϕ) und ψ von
N mit f (p) ∈ dom(ψ) so, dass ψ ◦ f ◦ ϕ−1 ∈ Hn,∞ gilt, wobei n die Dimension von M
und N ist. Insbesondere ist die Jacobi-Matrix (ψ ◦f ◦ϕ−1 )0 (ϕ(p)) invertierbar und nach
Lemma 23.(a) ist sie auch gleich der Matrix von dfp bezüglich geeigneter Basen von
Tp M und Tf (p) N , also ist dfp invertierbar. Nach §2.Lemma 25.(b) ist f −1 (∂N ) = ∂M ,
also auch f (∂M ) ⊆ ∂N .
”⇐=” Klar nach Satz 24 und §2.Lemma 22.(b).
Hieraus erhalten wir schließlich auch eine Kennzeichnung der Diffeomorphismen. Beachte das es auch für bijektive C ∞ -Abbildungen nicht ausreicht zu fordern das die Ableitung überall invertierbar ist, wie etwa das Beispiel f : [0, 2π) → S 1 ; t 7→ (cos t, sin t)
zeigt.
Korollar 3.26 (Charakterisierung der Diffeomorphismen)
Seien M, N zwei berandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten und f : M → N eine
bijektive C ∞ -Funktion mit f (∂M ) ⊆ ∂N so, dass dfp für jedes p ∈ M invertierbar ist.
Dann ist f bereits ein Diffeomorphismus.
Beweis: Nach Korollar 25 ist f ein lokaler Diffeomorphismus und nach §2.Lemma
22.(c.2) sogar ein Diffeomorphismus.
In der Theorie der eingebetteten Untermannigfaltigkeiten des Rd aus §1 war der Satz
über Umkehrfunktionen das entscheidende Hilfsmittel. Da uns dieser Satz nun auch
für allgemeine differenzierbare Mannigfaltigkeiten zur Verfügung steht, läst sich auch
eine Theorie der Untermannigfaltigkeiten anderer differenzierbarer Mannigfaltigkeiten
entwickeln. Dies wollen wir hier zwar nicht mehr durchführen, aber zumindest einige
der dabei auftretenden Begriffe einführen.
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Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, SS 2014
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Definition 3.13 (Immersionen und Submersionen)
Seien M, N zwei berandete differenzierbare Mannigfaltigkeiten und f : M → N eine
C ∞ -Funktion. Dann heißt f eine Immersion wenn dfp für jedes p ∈ M injektiv ist und
eine Submersion wenn dfp für jedes p ∈ M surjektiv ist. Schließlich heißt f eine Einbettung wenn f eine injektive Immersion ist und f : M → f (M ) ein Homöomorphismus
ist.
Es stellt sich heraus das Immersion in geeigneten Koordinatensystemen von M und
N immer die Form
f (x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xm , 0, . . . , 0)
haben und Submersionen sich entsprechend lokal als
f (x1 , . . . , xm ) = (x1 , . . . , xn )
schreiben lassen. Diese beiden Aussagen kann man als Spezialfälle eines allgemeinen
Satzes interpretieren, des sogenannten Rangsatzes. Dieser beschreibt die lokale Gestalt
von C ∞ -Funktionen deren Ableitung überall einen konstanten Rang hat. Immersionen
und Submersionen erfüllen diese Bedingung, da bei diesen der Rang der Ableitung
konstant die Dimension von M beziehungsweise N ist.
Satz 3.27 (Der Rangsatz)
Seien M, N zwei differenzierbare Mannigfaltigkeiten und f ∈ C ∞ (M, N ). Weiter gebe
es ein r ∈ N mit rang dfp = r für jedes p ∈ M . Dann gibt es für jedes p in M eine
Karte (U, ϕ) = (U, x1 , . . . , xm ) von M mit p ∈ U und ϕ(p) = 0 sowie eine Karte ψ von
N mit f (U ) ⊆ dom(ψ), so dass ψ ◦ f |U = (x1 , . . . , xr , 0, . . . , 0) ist.
Beweis: Dies ist Aufgabe (44).
Als ein Beispiel einer Immersion wollen wir den Rand einer berandeten Mannigfaltigkeit betrachten. Sei also M eine n-dimensionale berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit, und betrachte die Inklusionsabbildung i : ∂M → M . Sei p ∈ ∂M
und sei ϕ eine Karte von M mit p ∈ dom(ϕ). Schreiben wir U := dom(ϕ), so ist
ϕ(U ∩ M ) = im(ϕ) ∩ Rn−1 und ψ := ϕ|U ∩ ∂M : U ∩ ∂M → im(ϕ) ∩ Rn−1 ist eine
Karte des Randes ∂M . In koordinaten wird i zur Inklusion j := ϕ ◦ i ◦ (ϕ|U ∩ ∂M )−1 :
im(ϕ) ∩ Rn−1 → im(ϕ). Hieraus folgt zunächst das i ∈ C ∞ (∂M, M ) ist und weiter ist
j 0 (x) für jedes x ∈ im(ϕ) ∩ Rn−1 die Inklusionsabbildung Rn−1 → Rn . Schreiben wir
ϕ = (x1 , . . . , xn ), so sind die Komponenten der Karte ϕ|U ∩∂M von ∂M als xk |U ∩∂M
für 1 ≤ k ≤ n gegeben. Nach Lemma 23.(h)aben wir
!
∂
∂ dip
=
für 1 ≤ k < n,
∂(xk |U ∩ ∂M ) p
∂xk p
Damit ist dip : Tp ∂M → Tp M injektiv, die Inklusion i : ∂M → M ist also eine
Immersion, und somit sogar eine Einbettung. Über dip können wir Tp ∂M als den Un18-7
Differenzierbare Mannigfaltigkeiten, SS 2014
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tervektorraum Bild(dip ) ≤ Tp M auffassen, und in den obigen Koordinaten wird dann
∂ ∂ ,...,
≤ Tp M.
Tp ∂M =
∂x1 p
∂xn−1 p
§4
Vektorfelder
Im vorigen Kapitel haben wir Vektorfelder in einem allgemeinen Vektorbündel definiert, und nun wollen wir dies speziell auf das Tangentialbündel anwenden. Wir klären
zunächst einmal die verwendete Notation. Sei M eine berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit und bezeichne T M wieder ihr Tangentialbündel. Für jede offene Teilmenge
U ⊆ M von M und jede Differenzierbarkeitsordnung q ∈ N∗ haben wir dann den C ∞ Modul
Γq (U ) := Γq (U, T M )
der C q -Vektorfelder des Tangentialbündels über M . Ist (V, x1 , . . . , xn ) eine Karte von
M , so sind
∂
∂
,...,
∂x1
∂xn
Basisfelder von T M , und damit können wir für jedes p ∈ U ∩ V den Tangentialvektor
X(p) in Termen dieser Basisfelder als
n
X
∂ X(p) =
aj (p)
∂xj p
j=1
schreiben. Dass X ∈ Γq (U ) ist, bedeutet dann nach §3.Lemma 10.(b) das die so definierten Funktionen aj : U ∩ V → R für 1 ≤ j ≤ n in C q (U ∩ V ) sind. Traditionell
schreibt man für den Wert von X in einem Punkt p ∈ U meist Xp := X(p).
Eine weitere Schreibweise ist nützlich. Angenommen wir haben wieder zwei in M
offene Mengen U, V ⊆ M , ein Vektorfeld X : U → T M , also π ◦ X = idU wobei
π : T M → M die Projektion ist, und eine Funktion f ∈ C q+1 (V ) für ein q ∈ N∗ . Für
jedes p ∈ U ∩ V ist Xp ∈ Tp M dann ein Tangentialvektor von M in p, kann also auf
die Funktion f angewandt werden. Dies gibt uns eine Abbildung
Xf : U ∩ V → R; p 7→ Xp f.
Ist dabei X ∈ Γq (U ), so ist auch Xf ∈ C q (U ∩V ), denn ist p ∈ U ∩V und (W, x1 , . . . , xn )
eine Karte von M mit p ∈ W , so haben wir
X|U ∩ W =
n
X
j=1
18-8
aj
∂
∂xj
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mit Funktionen a1 , . . . , an ∈ C q (U ∩ W ) und damit ist für alle z ∈ U ∩ V ∩ W auch
n
X
∂f q
Xf (z) = Xz f =
aj (z)
also Xf |U ∩ V ∩ W ∈ C (U ∩ V ∩ W ).
∂x
j
p
j=1
Somit ist Xf ∈ C q (U ∩ V ). Tatsächlich ist diese Eigenschaft kennzeichnend für C q Vektorfelder, was wir nun in einem Lemma festhalten wollen.
Lemma 4.1 (Charakterisierung der C q -Vektorfelder)
Seien M eine berandete differenzierbare Mannigfaltigkeit, q ∈ N∗ , π : T M → M das
Tangentialbündel von M und X : M → T M eine Abbildung mit π ◦ X = idM . Dann
sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) Es ist X ∈ Γq (M ).
(b) Für jede Karte (U, x1 , . . . , xn ) von M sind die durch
n
X
∂
ai
X|U =
∂xi
i=1
definierten Funktionen a1 , . . . , an : U → R in C q (U ).
(c) Für jeden Punkt p ∈ M gibt es eine Karte (U, x1 , . . . , xn ) von M mit p ∈ U so,
dass die durch
n
X
∂
X|U =
ai
∂xi
i=1
definierten Funktionen a1 , . . . , an : U → R in C q (U ) sind.
(d) Für jede Funktion f ∈ C ∞ (M ) ist Xf ∈ C q (M ).
Beweis: Die Aussagen (a), (b) und (c) sind nach §3.Lemma 10.(b) äquivalent, es ist also
nur noch die Äquivalenz dieser Aussagen mit (d) zu beweisen. Die Implikation von (a)
nach (d) haben wir dabei bereits oben eingesehen. Nehme nun an, dass Xf ∈ C q (M )
für jedes f ∈ C ∞ (M ) gilt. Wir zeigen, dass dann Aussage (c) gilt. Sei also ein Punkt
p ∈ M gegeben und wähle eine Karte (U, x1 , . . . , xn ) von M mit p ∈ U . Dann existiert
eine in M offene Umgebung V von p in M mit p ∈ V ⊆ V ⊆ U und nach Aufgabe
(31.a) gibt es fı̈r jedes 1 ≤ j ≤ n eine Funktion fj ∈ C ∞ (M ) mit fj |V = Xj |V und für
jedes z ∈ V haben wir dann auch
Xz (xj ) = Xz fj = Xfj (z),
also ist aj := Xxj |V = Xfj |V ∈ C q (V ). Für alle z ∈ V ist nach §3.Korollar 18
n
n
X
X
∂ ∂ Xz =
Xz (xj )
aj (z)
=
∂x
∂xj p
j
z
j=1
j=1
und da auch (V, x1 |V, . . . , xn |V ) eine Karte von M ist, haben wir (c) eingesehen.
18-9