Kontinuierliche Optimierung

Prof. Dr. K. Eppler
M. Sc. N. Strasdat
Institut für Numerische Mathematik
WS 2016/17
Kontinuierliche Optimierung
7. Übungsblatt (30.01.2017)
Aufgabe 31
Lösen Sie das folgende Optimierungsproblem mit dem P2-Verfahren von Zoutendijk:
2
3
f (x) := x2 −
(x21 − 2x1 + 5) + (x1 − 2)2 → min
2
(x1 − 1)2 − 32 x2
bei g(x) :=
≤ 0.
x21 + x2 − 8
>
Wählen Sie dabei k · k = k · k∞ und den Startvektor x0 := (0, 32 ) , sowie die Parameter
ε = 0.1 (für die Bestimmung von Iε (x)) und δ = 0.2 (in der Armijo-Bedingung).
Aufgabe 32
Bestimmen Sie die optimale Lösung der Optimierungsaufgabe
f (x) := −x1 − x2 → min


−x1
 ≤ 0.
−x2
bei g(x) := 
2
2
4 − x 1 − x2
Stellen Sie die Nebenbedingungen des dem Punkt x̄ := (−1, −1)> zugeordneten SQPTeilproblems auf. Zeigen Sie zudem, dass der zulässige Bereich dieses Problems für
J(x̄) = {1, 2, 3} leer ist.
Aufgabe 33
(a) Beweisen Sie Lemma 2.19 aus Kapitel 3:
Es sei φ : R2 → R eine Funktion mit folgender Eigenschaft:
φ(a, b) = 0 ⇐⇒ a ≥ 0, b ≥ 0, ab = 0.
Dann ist jeder KKT-Punkt des Problems
f (x) → min
bei g(x) ≤ 0
eine Lösung der Gleichung


∇x L(x, u)
 φ(−g1 (x), u1 ) 


Hφ (x, u) := 
 = 0,
..


.
φ(−gm (x), um )
und umgekehrt.
1 von 2
(b) Weisen Sie nach, dass die Funktionen φmin und ϕ mit
√
φmin (a, b) := min{a, b} und ϕ(a, b) := a2 + b2 − a − b
die obige Eigenschaft haben.
Aufgabe 34
(a) Beweisen Sie Lemma 2.22 aus Kapitel 3:
Seien H : Rn → Rn eine stetig differenzierbare Abbildung und z ? eine Nullstelle
von H. Die Matrix ∇H(z ? ) sei regulär. Dann gibt es Zahlen ω > 0 und δ > 0,
sodass Z ? ∩ Bδ (z ? ) = {z ? } gilt und die Error Bound Condition
kH(z)k ≥ ω dist[z, Z ? ] für alle z ∈ Bδ (z ? )
erfüllt ist.
Dabei bezeichne Z ? die Lösungsmenge des Systems H(z) = 0.
(b) Geben Sie eine stetig differenzierbare Funktion H : R`1 → R`2 an, sodass H eine
nichtisolierte Nullstelle z ? besitzt und die Error Bound Condition mit gewissen
Konstanten ω > 0 und δ > 0 gilt.
Aufgabe 35
Skizzieren Sie diejenige Punktmenge, die von keinem Punkt des Filters
F := {(4, −2), (2.5, −1), (2, 1), (2, 2), (1.5, 1), (1, 2), (1, 3)}
dominiert wird.
Welche Paare (G, f ) werden vom Filter akzeptiert, wenn γ =
2 von 2
1
4
und β =
3
4
gewählt wird?