determinanten und matrizen

DETERMINANTEN
UND MATRIZEN
VON
PROF. DR. FRITZ NEISS t
FUNFTE AUFLAGE
MIT 1 ABBILDUNG
SPRINGER-VERLAG BERLIN HEIDELBERG GMBH
ISBN 978-3-662-01277-2
ISBN 978-3-662-01276-5 (eBook)
DOI 10.1007/978-3-662-01276-5
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Ohne ausdrückliche Genehmigung des Verlages ist es auch nicht gestattet,
dieses Buch oder Teile daraus auf photomecbanischem Wege
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© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1959
Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag OHG., Berlin/Gottingen/Heideiberg 1959
V orwort zur vierten Auflage.
Die Neuauflage soUte der Verfasser nicht mehr erleben: im Jahre
1952 nahm dem rastlos Schaffenden der Tod die Feder aus der Hand.
Auch der Plan einer Algebra konnte nicht mehr zu Ende gefuhrt werden.
Anwendungen des im folgenden dargebotenen Stoffes bringt die 1950
im gleichen Verlag erschienene Analytische Geometrie des Verfassers.
Fur kritische Bemerkungen sei Herrn Studienrat A. WEIMERSHAUS
und Herrn Dozent Dr. H. LENZ an dieser Stelle gedankt. Desgleichen
dem Verlag fUr seine Muhe und Sorgfalt bei der Ersetzung von S. 73, 74
und 101 durch vereinfachte Darstellungen, die vermutlich die Billigung
des Verfassers gefunden hatten.
Miinchen, Februar 1955.
IVAN PAASCHE.
Vorwort zur ersten Auflage.
Das vorliegende Buch ist aus Vorlesungen entstanden, die ich mehrfach als Einfiihrung in die hOhere Mathematik an den Universitaten
Halle und Berlin gehalten habe.
Es soIl dazu beitragen, die Schwierigkeiten zu iiberwinden, die sich
dem Studierenden beim Obergang von der Schule zur Hochschule bieten.
Diese ergeben sich z. T. daraus, daB der Lernende, von der Schule her
an die Form des abfragenden Unterrichts gewohnt, vielfach noch nicht
die Reife fUr die Obermittelung des Stoffes durch akademische Vorlesungen besitzt. Denn hier bleibt die Kontrolle dariiber, ob wirklich
alles verstanden ist, der eigenen Initiative und Selbstkritik iiberlassen.
Es ist daher anzustreben, den Studenten besonders im Anfang
seines Studiums zur starkeren aktiven Mitarbeit heranzuziehen. Diese
soIl auBer im Lasen von Aufgaben gelegentlich auch in der Wiedergabe
des in der Vorlesung gebrachten Stoffes sowie in Referaten einzelner
Abschnitte des Buches bestehen. Auf diese Weise tritt an die Stelle der
Vorlesung teilweise eine geleitete Lektiire.
An Vorkenntnissen wird so wenig wie maglich vorausgesetzt. Kombinatorik, binomischer Satz und andere Dinge, die noch in das Pen sum
der Schule gehoren, werden daher entwickeIt, jedoch in einer Form,
IV
Vorwort zur zweiten Auflage.
die sich yom elementaren Unterricht 10slOst und den Studierenden
gleich zu Anfang mit Hilfsmitteln vertraut macht, die ihm neu, aber
fUr strenge Durchfiihrung mathematischer Beweise von grundlegender
Bedeutung sind.
Es ist dies in erster Linie der InduktionsschluB. Seine vielfache Verwendung kann den Anfanger zunachst befremden; ebenso verhalt es
sich mit dem Aufbau der Determinantentheorie nach der WEIERSTRASSschen Definition. Trotzdem habe ich diese Darste11ung gewahlt. Denn
erst ens werden so die Beweise kurz und einfach, und die ganze Theorie
gewinnt an Schonheit und Eleganz, zweitens solI neben der Obermittelung des Stoffes eine EinfUhrung in mathematische Methoden und Gedankengange iiberhaupt erfolgen, wie sie im elementaren Unterricht
nicht gegeben werden konnen.
In der Behandlung der linearen Gleichungen bin ich einer Anregung
des Herrn Prof. H. W. E. lUNG, Halle, gefolgt.
Die Paragraphen 13, 14, 15 und 16 sind fUr die folgenden Kapitel
nicht erforderlich und konnen iibergangen werden.
In den Anwendungen wird die Bedeutung der Determinanten und
Matrizen fUr die analytische Geometrie gezeigt. Besonderer Wert ist
darauf gelegt, die Grundlagen fUr das Rechnen mit Vektoren zu schaffen.
Die Obungsaufgaben bieten keine besonderen Schwierigkeiten.
Einige davon sind mir von Assistenten gegeben worden, sie stammen
aus Vorlesungen, die friiher an der Berliner Universitat gehalten wurden.
Besonderen Dank schulde ich dem Verlag, der trotz der schwierigen Zeitlage das Erscheinen in so kurzer Zeit ermoglichte.
Charlottenburg, Oktober 1941.
NEISS
Vorwort zur zweiten Auflage.
In der zweiten Auflage ist noch ein Kapitel tiber quadratische Formen hinzugeftigt worden. Es enthalt die wichtigsten Satze tiber die
charakteristische Gleichung einer symmetrischen Matrix und die Hauptachsentransformation. Sonst sind keine wesentlichen Veranderungen
vorgenommen worden.
Charlottenburg, August 1943.
NEISS
Vorwort zur dritten Auflage.
In die vorliegende Bearbeitung habe ich, ohne den Umfang des
Buches wesentlich zu vergroBern, einige Paragraphen neu aufgenommell,
von denen ich glaube, daB ihre Kenntnis wertvoll und Ihr Studium
auch fUr den Anfanger nicht zu schwer ist.
So bringt § 19 weitere Beispiele von besonderen Determinanten,
die hauptsachlich als Obungsstoff gedacht sind. Weiter hinzugefUgt
sind Satze tiber die charakteristische Gleichung, Orthogonalisierungsvedahren mit Anwendungen auf Ungleichungen und anderes.
Wer sich nur auf eine Auswahl der wichtigsten Definitionen und
Satze beschranken will, kann die Paragraphen 14, 15, 16, 17, 26, 31
und 36 auslassen.
Bei der Fertigstellung dieser Auflage hat mich Herr IVAN PAASCHE
durch manchen wertvollen Hinweis unterstiitzt. Fur seine Hilfe bei
der Anfertigung des Manuskripts und bei der Durchsicht der Korrekturbogen mochte ich ihm auch an dieser Stelle meinen besonderen Dank
aussprechen.
Chadottenburg, Mai 1948.
NEISS
Inhaltsverzeichnis.
§ 1.
§ 2.
§ 3.
§
4.
Erstes Kapitel: Allgemeine Vorbemerkungen.
InduktionsschluB . . . . . . . . . . . . .
Gebrauch des Summen- und Produktzeichens
Aufgaben . . . . . . . . . . . . .
Einiges tiber algebraische Gleichungen . . .
Zweites Kapitel: Kombinatorik.
§ 5. Permutationen
§ 6. Kombinationen. . .
§ 7. Binomischer Satz . .
§ 8. Gerade und ungerade Permutationen .
§ 9. Aufgaben
Seite
I
2
3
4
5
7
9
lO
12
Drittes Kapitel: Determinanten.
§ 10. Die Determinante nach LEIBNIZ
§ 11. Die Determinante nach WEIERSTRASS
§ 12. Einfache Slitze iiber Determinanten
§ 13. Beispiele, Aufgaben, Anwerrdungen. .
§ 14. Erweiterung der WeierstraBschen Definition.
§ 15. Satz von LAPLACE . . . . . . . . . .
§ 16. Verallgemeinertes Multiplikationstheorem
§ 17. Satz von SYLVESTER . . . . . . . . .
§ 18. Aufgaben . . . . . . . . . . . . . .
§ 19. Weitere Beispiele und Aufgaben tiber besondere Determinanten
13
16
22
26
32
33
34
36
37
38
Viertes Kapitel: Matrizen.
Rechnen mit Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
Cramersche Regel, inverse, transponierte, orthogonale, unitare Matrizen 46
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
53
Geometrische Anwendungen . . . . . . . . . . .
54
Transformation einer Matrix auf die Diagonalform.
64
§ 25. Rang einer Matrix . . . . . . . . . . . .
68
§ 26. Die charakteristische Gleichung einer Matrix. . .
71
§ 20.
§ 21.
§ 22.
§ 23.
§ 24.
Fiinftes Kapitel: Systeme linearer Gleichungen.
§ 27. Allgemeine Losung cines Systems linearer Gleichungen .
§ 28. Lineare Abhangigkeit . . . . . . . . .
§ 29. Zusatze zur Losung Ii nearer Gleichungen
§ 30. Geometrische Anwendungen
.....
74
80
84
86
Sechstes Kapitel: Orthogonalisierung.
§ 31. Orthogonalisierungsverfahren . .
§ 32. Anwendungen auf Ungleichungen . . . . . . . . . .
93
96
Siebentes Kapitel: Quadratische Formen.
§ 33. Die charakteristische Gleichung einer symmetrischen Matrix
100
§ 34. Hauptachsentransformation. : . . .
§ 35. Tragheitsgesetz quadratischer Formen
§ 36. Definite quadratische Formen.
102
Sachverzeichnis . . . • • . . . . . . . .
110
105
107
Satzverzeichnis.
Satz
1- 2
3
4- 5
6- 7
8
9-12
13-15
16
17
18
19
20
21
Seite
6
7
8
11
19
23
24
25
26
32
34
35
36
Satz
Seite
Sat.
Seite
22
23-24
25
26
27
28
29
30
31-33
34
35
36
37-38
44
49
51
57
59
66
67
69
72
73
74
78
82
39
40
41-42
43-44
45
46
47-48
49
50
51
52
53
54
83
84
94
96
97
98
101
103
104
105
106
107
108
Erstes Kapitel.
Allgemeine Vorhemerkungen.
§ 1. Der InduktionsschluB.
Fur die Summe der
1Z
ersten ganzen Zahlen gilt foIgende FormeI:
1+2+···-+-n=
n(n
+ 1)
2
'
die dem Leser wahrscheinIich als Summe einer arithmetischen Reihe
bekannt ist. Wir wollen die Formel nachpriifen, indem wir fur n irgendwelche ganzen ZahIeri einsetzen; z. B. ist fur n = 1,2, 4 bzw.
1 -
-
1 (1
+ 1)
2'
1
+ ''") -_ 2 (2 2+ 1) '
1
+ 2 + 3 + 4 -_
4 (4
+ 1)
2
usw.
Derartige Proben kann man beliebig vermehren. Will man indessen
aus solchen einzelnen Feststellungen folgern, daB diese Formel immer,
d. h. fur jedes n richtig ist, so ist das ein SchIuB vom Besonderen zum
Allgemeinen. Er wird InduktionsschluB genannt und ist als mathematischer Beweis in dieser Form nieht zulassig.
Der foIgende Beweis dieser Formel soIl den Leser mit einem sehr
haufig angewandten Gedankengang vertraut machen, der SchluB der
vollstandigen Induktion oder SchluJ3 von n auf n -+- 1 oder kurz
InduktionsschluB genannt wird. Die Formel selbst, die gewohnlich anders
bewiesen wird, dient hier nur als Beispiel fur dieses Beweisverfahren.
Wir iiberzeugen uns durch Einsetzen zunachst von der Richtigkeit
der Formel fur n = 1. Dann nehmen wir an, die Formel sei fur alle n < r
bewiesen, wo unter r eine beliebige feste, positive ganze Zahl zu verstehen ist. Vielleicht erscheint es im ersten Augenblick widersinnig, das
als riehtig anzunehmen, was doch erst bewiesen werden soIl. Das trifft
aber nicht zu; denn die Annahme bezieht sieh nur auf alle n < r, der
Beweis soIl aber die Giiltigkeit der Formel fiir aIle n erbringen. Wir
zeigen jetzt: Wenn die Annahme erfiillt sein sollte, d. h. wenn die FormeI
fUr aIle n < r richtig ist, dann ist sie auch fUr die folgendeZahl r + 1
richtig, oder anders ausgedriickt:
Voraussetzung: 1 +2+".+n=n(n2+1) fur n:::::r.
+ 1 ersetzt)
1 + 2 + ... + r + r + 1 = (r + 1) (r + 2) •
2
Behauptung: (n wird durch r
NeiB, Determinanten. 4. Auf!.
1
2
Allgemeine Vorbemerkungen.
+ 2 + ... + r in die nach der Vor-
Zum Beweis wird die Summe I
aussetzung zulassige Form
hauptung:
r (r
r(r:
1)
+ 1) + + I
(r
=
r
2
geschrieben. Danach lautet die Be-
+ 1) (r + 2)
2'
Das ist eine Identitat, wie man durch Umformung leicht bestatigt.
Damit ist der Beweis naturlich noch nicht fertig, es ist nur gezeigt:
Wenn die Formel etwa fUr aIle n < 17 richtig ist, dann ist sie es auch fur
n = 18. Die BeweisfUhrung beruhte auf einer Annahme, deren Gultigkeit zunachst noch offen ist und einstweilen nur fur n = I feststeht.
Daher gilt aber die Formel, wie eben gezeigt wurde, auch fUr n = 2,
ebenso kommt man von n = 2 zu n = 3, und diese SchluBweise kann belie big weit fortgesetzt werden.
Der InduktionsschluB ist, wie man sieht, nur zu gebrauchen, wenn der
zu beweisende Satz eine Aussage uber eine ganze Zahl enthalt. Es ist
auch nicht immer gesagt, daB die Gultigkeit bei n = I anfangt, sie kann
auch schon bei n = 0 oder erst an einer spateren Stelle einsetzen.
§ 2. Gehrauch des Summen- und Produktzeichens .
.2) (groBes griechisches Sigma) ist das Summenzeichen. 1st f(e) eine
Funktion von e, die nur fur ganzzahlige e erklart zu sein braucht, und
will man die Summe
f(I) + f(2) + ... + f(n)
bilden, so schreibt man dafUr
n
.2) f (e) ,
e=1
lies: "Summe von e = Ibis n"; d. h.: es werden fUr e der Reihe nach die
Zahlen 1, 2, bis n eingesetzt, und die so erhaltenen Werte t(e) werden
addiert. Haufig tritt der Summationsbuchstabe als Index auf:
n
.2)ae = a l
e=1
+ a2 + ... + an'
Auf die Bezeichnung dieser Zahl kommt es nicht an, daher ist:
n
n
n-l
.2) a y =.2) ae = .2) al.+ 1 ,
v=1
A=O
~=l
e ist durch A + I ersetzt; wenn
A von 0 bis n - 1.
e die Werte von 1 bis n durchlauft, geht
Die Regel fur die Multiplikation zweier Summen nimmt jetzt folgende Form an:
n
m
n
m
.2) ae .2) bl. =.2) .2) ae bl.•
e=1
1.=1
e=1 ).=1
3
§ 3. Aufgaben.
Die rechte Seite ist eine Doppelsumme, denn e und A durchlaufen unabhangig voneinander die Werte von 1 bis n bzw. von 1 bis m. Naturlich
mussen hier die beiden Summationsbuchstaben verschieden bezeichnet
werden.
II ,(groBes griechisches Pi) ist das Zeichen fur die Bildung eines
Produktes. Es bedeutet
n
III(c)
U=1
das Produkt von
11
=/(1)/(2) . . , f(n)
t (e).
Faktoren
§ 3. Aufgaben.
Folgende Formeln sind durch vollsUindige Induktion zu beweisen.
Die linken Seiten sind bei Aufgabe 1 bis 7 auf zwei Arten geschrieben,
urn den Leser an den Gebrauch des Summenzeichens zu gewohnen.
n
1.
1.}e2 =
J2
+ 22 + ... + n2 =
n (n
+ 1)6(2 n + 1)
e=o
n
2.
2/e
3
= J3
+ 23 + ... + n
3
= (n (n 2+ 1)r
e=o
n
,\'1
3. L.; (e -
1
1)
e=2
n
'\'
1
4. L..;!! (e
2)
+ =
e=1
1
+ W + ... + (n -
1
+ H + ... + n (n + 2) =
e = t:2
}:3
1
1
1
1
n
5.
~'1
L..;
e=1
e (e
+ 1)1 (e + 2) =
1
1·2·3
1) n
=
n - 1
-n-
3 n2 + 5 n
4 (n
1) (n
2)
+
+
n-1
,\'1
6. L..; qO = 1
>
I
+ 2·3·4
1
+ . . . + n (n + 1)1 (n + 2)
n (n+3)
4 (n
n
+ 1) (n + 2)
+ q + q2 + ... + qn-l =
n~ 1
qn - 1
q_ 1
n
>1
e=O
n
7. ~ e 21!-1
=
2 . 21
+ 3· 22 + ... + n 2
n-
1 = (n - I) 2 n
1'=2
n
"'.!L=2_
8. L..;
2~
n
e=1
9.
n
.l)cos (e x) =
1'=0
+2
2n
sin
(n ~ 1 x) cos ( ; x)
,
8m
n~O
x
2
1*
4
Allgemeine Vorbemer kungen.
10. Jede ganze Zahl N laBt sich auf die Form bringen:
N = eo + e1 ' 3 + e2 3 2 + ... + en 3n ,
wo die GreBen eo, e1 , • •• , en nur die Werte + 1,0, - I annehmen diiden.
Anleitung: Beachte N' =
N;
80
<
N.
II. Man beweise die BERNOuLLIsche Ungleichung:
(I + p)n > I + np
fiir p > - lund n positiv und ganz.
§ 4. Einiges iiher algebraische Gleichungen.
Es werden hier ohneBeweis einige elementare Satze iiber algebraische
Gleichungen zusammengestellt, die in der allgemeinen Theorie der Determinanten und Matrizen, wie sie hier entwickelt wird, nicht benutzt
werden. Lediglich bei einigen Beispielen und besonderen Anwendungen
wird auf diesen Paragraphen verwiesen werden.
I. Alle positiven und negativen Zahlen einschlieBlich der Null heiBen
reell, sie kennen rational (z. B. 5, - 3, t) oder irrational (z. B. f2,:re,
log 2) sein. Die Quadratwurzel aus einer negativen Zahl, etwa
3
ist keine reelle Zahl, sie heiBt imaginar. Die imaginare Einheit ist
I, sie wird mit i bezeichnet; danach ist
1-
1-
V-3=V3i.
Eine Zahl der Form a + bi (a und b reell) heiBt komplex, a ist
der reelIe, bi der imaginare Bestandteil. Mit komplexen GreBen kann
man ebenso rechnen wie mit reellen Zahlen, es gelten dieselben Rechenregeln. a - bi wird die zu x = a + bi konjugiert komplexe GroBe
genannt. Sie wird vielfach mit x bezeichnet, also
x = a b i , x = a - b i , und xx = a2 b2.
+
+
Wer mit komplexen GreBen nicht vertraut ist, wird sich ohne weiteres unter den im folgenden verwendeten Buchstaben reelle GreBen
vorsteIlen. Doch sei bemerkt, daB iiberaIl, wo nicht ausdrucklich andere
Festsetzungen getroffen sind, auch komplexe Werte zugelassen sind.
I(x) = ao xn + a1 xn-1 + ... + an = 0
ist eine algebraische Gleichung; ao, aI' ... , an sind die Koeffizienten, x ist die Unbekannte. 1st ao =l= 0, so ist I(x) yom n ten Gradel.
Eine Zahl x = Xl' fur die l(x1) = 0 ist, heiBt eine Wurzel der Gleichung. Nach dem Fundamen talsa tz der Alge br a sind Immer
n Wurzeln vorhanden.
3. 1st 1(Xl) = 0, so HiBt sich 1(x) durch X - Xl teilen:
I(x) = (X - Xl) 11 (X),
2.
1 f (x) heiJ3t dann eine ganze rationale Funktion n ten Grades von x (oder
Polynom n ten Grades in x).
5
§ 5. Permutationen.
wo Idx) vom (n _l)ten Grade ist. Hat man 1Z Wurzeln Xl'
Xn '
so ergibt sich die Zerlegung
(x) = ao(x - Xl) (x - x2 ) • • • (x - xn) .
4. Sind aile Koeffizienten ao' .. " an reell und ist Xl cine komplexe
Wurzel, so ist Xl ebcnfalIs Wurzel der Gleichung. Die komplexen
Wurzeln treten also immer paarweise auf.
5. 1st Xl = x 2 = ... = x 11 (P < n), aber von allen anderen Wurzeln
X 11 +1 ' .•• , xn verschieden, so hei13t Xl eine p-fache Wurzel. t (X) ist dann
durch (X - Xl )11 teilbar.
6. Aus der Zerlegung von t(x) in n Faktoren folgt, daB t(x) = 0
nicht mehr als n Wurzeln haben kann. Wenn also von einer solchen
Funktion bekannt ist, daB sie fur mehr als n Werte verschwindet, so
muB sie identisch Null sein, d. h. aIle av mussen = 0 sein. Hat man
zwei ganze rationale Funktionen n ten Grades t (xl und g (x), die fUr
mehr aIs n Werte ubereinstimmen, so sind sie idcntisch; denn dann
hat die Gleichung t(x) - g(x) = 0 mehr als n Wurzeln.
7. Wir setzen ao = 1 und
t
t(x)
= xn -
51 x n - l
+ 52 x n -
n
2 -
•••
± 5 n = II (x -
XQ)'
11-1
Zwischen den Koeffizienten 51' ... , 5 n und den Wurzeln dcr Gleichung
besteht folgender Zusammenhang, wie man durch Auflosen der Klammern
bestatigt (VIETAScher Wurzelsa tz):
51 =
52 =,
+ . . . + xn
Xl X 2 + Xl X3 + . . . + Xn_l Xn
5n =
Xl X 2 ••• X n ·
Xl
+
x2
51' .,., Sn heiBen die clementarsymmetrischen Funktionen
von Xl' • . . , X n . Die pte, d. i. 5 11 , ist folgendermaBen zusammengesetzt:
aus Xl' • . . , X,. greife man p heraus und bilde deren Produkt. Es entstehen ebenso viele Produkte, wie es Kombinationen zur pten Klasse
gibt - ein Begriff, der erst in § 6 erklart wird. Die Summe aller dieser
Produkte ist 5 11 ,
Zweites Kapitel.
Kombinatorik.
§ 5. Permutationen.
Fur n = 1,2,3, ... , also fUr alle positiven ganzen Zahlen, bedeutet
das Zeichen n! (lies n Fakultiit) das Produkt def ersten n Zahlen:
n!=1.2·3 ... n,
oder mit Benutzung des Produktzeichens
n
nl=11I}.
e=l
6
Kombinatorik.
Auf Grund dieser Festsetzung Mtte O! keinen Sinn. Wie sich aber bei
dem spateren Gebrauch zeigen wird, ist es zweckmaJ3ig, das Symbol
O! = 1
zu setzen. Danach ist: 1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120;
6! = 720 usw.
Es seien a, b, c, ... eine Anzahl begrifflich unterschiedener Dinge,
die auch Elemente genannt werden. Eine bestimmte Anordnung derselben heiJ3t eine Permutation; z.B. sind acb; bac; abc Permutationen
der drei Elemente abc.
P n bezeichnet die Anzahl der verschiedenen Permutationen von
n Elementen.
Satz I: P n = n!
Beweis: Fur n = 1 ist P l = 1! = 1. Wir nehmen an, fur n < r sei
P n = n!, wo r eine feste Zahl bezeichnet, und zeigen, daJ3 auch
Pr+l = (r
1)! ist.
1 Elementen zu bilden, denken wir
Urn aIle Permutationen von r
uns aIle von r Elementen aufgesteIlt: abc ... sei eine solche. x ist ein
r + 1tes Element. Aus jeder Permutation von r Elementen machen wir
durch Hinzufugen von x genau r + 1 Permutationen von r + 1 Elementen, indem x erst an den Anfang, dann zwischen das erste und
zweite Element usw. gesetzt wird:
+
+
xabc ...
axbc ...
abxc ...
abcx ...
Verfahrt man in gleicher Weise mit allen r! Permutationen der r Elemente, so erhaIt man alle Permutationen der r + 1 Elemente und jede
nur einmal, daher ist:
P r +1
=
P r (r
+ 1)
=
r! (r
+ 1)
=
(r
+
I)!.
Permutationen mit Wiederholungen sind solche, bei denen
einzelne Elemente mehrfach auftreten, z. B. aaabb. Ihre Anzahl ergibt
sich aus folgendem
Satz 2: a mage IX mal, b mage fJmal usw. vorkommen, dann ist die
Anzahl P der verschiedenen Permutationen:
P
n!
= cx-'-p-'. ...• .
Fur das obige Beispiel ist n = 5, IX = 3, fJ = 2, also P = 10.
B eweis: Wir denken uns aIle verschiedenen Permutationen dieser
Art hingeschrieben, z. B.:
abcaacab . ..
An die Elemente a fiigen wir Indices:
a l b ca 2 a aca 4 b . ..
und permutieren unter Beibehaltung der b, c nur die al' a2 ,
aabcala4ca2b ...
a~,
... , etwa:
7
§ 6. Kombinationen.
Man erhalt aus jeder Permutation IX! neue, bei denen die al' a2 , a 3 , ••• , als
verschieden anzusehen sind. Insgesamt ist also PIX! die Anzahl der
verschiedenen Permutationen von den n Elementen:
a l a2 • •• aa. b b . .. c c . .. ,
wo die aI' a2 , aa ... verschieden sind und nur unter den b bzw. c gleiche
auftreten k6nnen. Wendet man dasselbe Verfahren auf die b, dann auf
die c an, so erhaIt man aIle Permutationen von n verschiedenen Elementen, deren Anzahl n! ist. Also:
PIX! (J!. .. = n!
§ 6. Kombinationen.
p sei eine positive ganze Zahl, n beliebig, dann wird das Zeichen (;)
(lies "n uber P"), wie folgt, erklart:
( n)
P
Z. B.:
=
n (n - 1) ... (n - p
I· 2 ... P
+ I) .
8.7.6
( 221) = ~ (I~. 2- 1)
(8)3 =1.2.3=56,
Fur p = 0 wird erganzend (~) = 1 festgesetzt.
Da wir im folgenden das Symbol nur fUr positive ganzzahlige n gebrauchen, soIl jetzt n eine soIche Zahl bezeichnen. 1st p > n, so kommt
im Zahler einmal der Faktor 0 vor. Also ist
furn<p.
Fur 0 < p < n laBt sich das Symbol durch EinfUhrung von q = n in eine symmetrische Form bringen, indem mit q! erweitert wird:
woraus (;) =
richtig:
Satz 3:
( n)
p
=
=
(:)
p
n!
P!q!'
G) sofort zu erkennen ist. Das ist auch fUr p = 0, q = n
(~)
G) + (p: I)
= l.
=
(;
! ~) .
Diese Formel ergibt sich leicht, wenn man die beiden Bruche links gleichnamig macht und addiert:
n!
n!
P!q!+ (p+I)!(q-I)!
=
n!(p+q+l)
(P+I)!q!
=
(n+I)!
(P+I)!q!
n!(p+l)+n!q
(P+l)!ql
=
(n+l)
p+l·
Fur p > n ist die Formel auch richtig, eben falls fur beliebige n.
8
Kombinatorik.
Satz 4: (;) ist immer eine ganze Zahl.
Beweis durch Induktion nach n. Fur n = 1 ist der Satz richtig,
weil
(~) =
G) = 1, sonst (~) = O. Ferner ist (~) = 1 fUr jedes n, wir
brauchen nur noch p > 1 zu betrachten. Angenomrpen, (;) sei fUr n
< r,
wo r einen festen Wert bezeichnet, und aIle p bereits als ganzzahlig erkannt, dann ist fUr p > 1:
(r~l) = (;) + (P~I);
das ist die Summe zweier ganzen Zahlen, also ist der Satz auch fUr
n = r + 1 richtig.
Greift man aus n verschiedenen Elementen p heraus, wobei es auf
die Reihenfolge nicht ankommt, so heiBt eine solche Zusammenstellung
eine Kombination von n Elementen zur pen Klasse. Z. B. sind aed,
bee, ade Kombinationen der fUnf Elemente abede zur dritten Klasse.
Satz 5: Die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur pten Klasse
. (11)
zst
P .
Die Gleichung (;)
= (;)
Hil3t danach folgende Deutung zu: jeder
Kombination zur pten Klasse kann eine und nur eine zur qten Klasse
zugeordnet werden. Nimmt man namlich von den 1t Elementen p heraus,
so bleiben qiibrig, die dann jedesmal die zugehorige Kombination zur
qten Klasse bilden. Die Anzahl beider ist also gleich.
Erster Beweis durch Induktion nach p. Es sei n eine feste Zahl,
und p durchlaufe die Werle von 1 bis n. Fur p = 1 ist (;) = n, und nMoglichkeiten gibt es, aus n Elementen eines herauszunehmen. Bis zu p = r,
wo 1 < r < n, sei der Satz bewiesen, dann lassen sich die Kombinationen
I ten Klasse folgendermaBen abzahlen: Wir bilden alle Komzur r
+
binationen zur r ten Klasse, deren Anzahl (:) ist, und setzen jedesmal eines
der ubrigen n - r Elemente dazu, so daB aus jeder Kombination zur r ten
Klasse n - r Kombinationen zur r + 1ten Klasse entstehen. So erhalt
man alle Kombinationen zur r
1ten Klasse und jede einzelne r
1 mal,
denn jedes der r + 1 Elemente einer solchen Kombination kann das
hinzugefUgte r + I te Element sein. Demnach ist die Anzahl der verschiedenen Kombinationen zur r + 1ten Klasse:
+
(:) ; ; ; =
+
(r: I) .
Zweiter Beweis. Es wird gezeigt, daB die Anzahl der Kombinationen von n Elementen zur pten Klasse gleich der Anzahl der Permutationen
von n Elementen ist, von denen je p und je q einander gleich sind:
aa ... abb ... b
12...
n
9
§ 7. Der binomische Satz.
In der ersten Zeile steht pmal a und q mal b, in der zweiten entsprechend
darunter die Zahlen von 1 bis n, so daB unter jeden Buchstaben eine
Zahl kommt. Fuhren wir in der erst en Zeile eine Permutation aus und
lassen die Zahlen in ihrer naturlichen Reihenfolge darunter stehen:
babaa . . .
12345 ... ,
so bilden die unter den a stehenden Zahlen eine Kombination von n Elementen zur pten Klasse. Jeder soIchen Permutation wird dadurch eine
und nur eine Kombination zugeordnet und umgekehrt. Die Anzahl der
Permutationen ist bekannt, namIich gleich p~~! = (;), und dies ist
auch die Anzahl der verschiedenen Kombinationen.
Dritter Beweis durch Induktion nach n. Fur n = 1 ist der Satz
richtig, ebenso fUr p = 1 und jedes n, daher betrachten wir nur p > l.
Wir nehmen an, er sei fur alle n < r und fur jedes p bewiesen. AIle Kombinationen von r
1 Elementen zur pten Klasse sollen jetzt in der Weise
gebildet werden, daB unter den r + 1 Elementen eines hervorgehoben
wird (es moge x genannt werden), und die Kombinationen in soIche eingeteilt werden, die x enthalten, und in soIche, die x nicht enthaIten.
+
(p 1)'
~ denn HiBt man x weg, so bleiben alle
Die Anzahl der ersteren ist
Kombinationen der restlichen r Elemente zur p - 1ten Klasse ubrig,
deren Anzahl auf Grund der Induktionsannahme bekannt ist. Die Kombinationen ohne x sind einfach diejenigen von r Elementen zur ptcn
Klasse, deren Anzahl (;) ist. Insgesamt ist also nach Satz 3:
(p ~ 1) + (;) = ('! 1)
die gesuchte Anzahl der Kombinationen von r
Klasse.
+ 1 Elementen
zur pten
§ 7. Der hinomische Satz.
Fur ganzzahlige positive n und beliebige a und b ist
n
(a
+ b)n = ~-y
(;)
an-/> be
=
an
+ G) an- l b + (;) an- 2 b2 + ... + bn
e~O
~
= ':::"P!ql
"'"
a P bQ '
wo diese Summe uber aIle Werte p und q zu erstrecken ist, fUr die
p + q = n ist.
Der Beweis wird entweder so gefiihrt, daB man das Produkt
(a + Xl) (a + %2)' •• (a + Xn)
ausmuItipliziert, nach Potenzen von a ordnet und dann Xl = x 2 = xa
= ... = b setzt, oder durch den im folgenden angegebenen InduktionsschluB:
10
Kombinatorik.
Multipliziert man die als richtig angenommene Gleichung
(a
•
+ bY = 2)(;) a'-
P
bp
p=o
+ b, so wird
r
p
(a + b)r+1 = 2)(;) ar-pH b + 2) (;)a'- p bpH
beiderseits mit a
r
p=o
p=o
•
.-1
= ar+l + 2) (;) a·-pH bp + 2) (;)a r- p bpH + br+l.
p=1
p=O
In der zweiten Summe wird P durch
von P = 1 bis P = r erstreckt:
=
r
arH
+.2(;)
= ar+l + J:l'O(r)
..;;..J
p=l
\P
1 ersetzt und die Summation
•
ar-pH bp
p=l
•
P-
+ (P -r
+.2 (p ~ 1) ar-pH bp + br+l
p=l
1
)] a.-pH bp + br+l
.+1
>,(r + l)ar-pH bp
P
,
=
..:...;
p=O
was zu beweisen war.
Eine entsprechende Formel fUr eine Summe von drei Gliedern erhalt
man, wenn b = c + d gesetzt wird:
(a
+ c + d)n =
~
nl
.L.J P! ~! a P (c
p+q=no
n!
P
= 2) --a
P! q!
p+q=n
_
-
+ d)'l
.2 -'-c'd
a!
r! 5!
s
.+8=q
.2 pi.n!r. s. a
__
I
I
p
r
8
cd,
wo p, r, s aile Werte annehmen, fUr die P + r + s = n ist. Das Verfahren
laBt sich auf Summen von belie big vielen Gliedern ausdehnen, und so
erhalt man den polynomischen Satz:
(al
+ a + ... + ar)n = L.t PI! P2!n!... PrJ ar' a~' . .. a~r ,
~
2
PI' P2' Pa, ... , Pr
PI + pz + Pa + ... +P. = n
hier ist die Summe iiber aIle
zu erstrecken, fUr die
ist.
§ 8. Gerade und ungerade Permutationen.
Setzt man fUr die Elemente einer Permutation eine bestimmte Reihenfolge als die "natiirliche" oder "urspriingliche" fest, so bezeichnet
man bei einer Permutation die Stellung zweier Elemente als eine Inversion, wenn ein Element, das bei der natiirlichen Reihenfolge vor
einem anderen steht, jetzt nach diesem seinen Platz hat. Z. B. 1 2 345
§ 8. Gerade und ungerade Permutationen.
11
sei die natiirliche Reihenfolge, 2 4 1 5 3 eine Permutation, dann bilden
2 und 1, 4 und 1, 3 und 4, 3 und 5 je eine Inversion; hier sind also vier
Inversionen vorhanden. Wiirde man 5 4 3 2 1 als natiirliche Reihenfolge festsetzen, so hatte das obige Beispiel sechs Inversionen, namlich 2 und 5,4 und 5, 1 und 5, 2 und 4, 3 und 1, 3 und 2. Je nachdem
diese Anzahl der Inversionen gerade oder ungerade ist, sprechen wir
von einer geraden oder ungeraden Permutation.
Vertauscht man in einer Permutation zwei Elemente miteinander,
so sagt man, es sei eine Transposition ausgefiihrt worden. Jede Permutation kann durch eine gewisse Anzahl von Transpositionen aus der
natiirlichen Reihenfolge hergestellt werden. Z. B.:
Aus
1 2 345 entsteht:
2 1 345 durch Vertauschung von 2 u. 1,
24315
4 u. 1,
3 u. 1,
24135
24153
5 u. 3.
Es waren vier Transpositionen erforderlich. Diese Anzahl steht nicht
eindeutig fest, denn man kann auch anders verfahren, so daB evtl. mehr
Transpositionen herauskommen, aber es gilt folgender
Satz 6: Jede gerade (bzw. ungerade) Permutation kann nur durch
eine gerade (bzw. ungerade) Anzahl von Transpositionen aus der natiirlichen Reihenfolge gebildet werden.
Zunachst beweisen wir
Satz 7: Wird eine Transposition ausgefiihrt, so andert sich die Anzahl der Inversionen um eine ungerade Zahl.
Beweis: 1st
ab ... xy ... mn ...
eine Permutation, in der die beiden nebeneinander stehenden Elemente
x und y umgestellt werden:
ab ... yx ... mn ... ,
so wird, je nachdem x vor oder nach y eingeordnet ist, eine Inversion
gewonnen, oder es geht eine verloren. Ihre Anzahl andert sich also urn
1 oder -1.
Stehen die beiden Elemente nicht nebeneinander. etwa:
+
abo •• XC 1 C2 • • • cry . . . mn . .. ,
so wird die Transposition x, y in folgenden einzelnen Schritten durchgefiihrt:
... c1 X c2 • •• Cr y . . .
. . . c1 c2 X • •• Cr y . . .
12
Kombinatorik.
+
Bis dahin sind r
1 Transpositionen gemacht worden. Jetzt wird y
nach links gebracht:
Y C2 • •• Cr
. . . Y CI C2 • •• Cr
••• CI
X • ••
X • ••
Hierzu waren r Transpositionen erforderlich. Die Umstellung von x und
y ist durch 2r + I Transpositionen ausgefUhrt worden, die so beschaffen
waren, daB immer nur zwei nebeneinander stehende Elemente vertauscht wurden. Die Anzahl der Inversionen ist also 2r
I mal urn eine
ungerade Zahl, narnlich
1, verandert worden. Wenn aber eine ungerade
Anzahl von ungeraden Zahlen addiert wird, so ist die Summe ungerade.
Bei der natiirlichen Reihenfolge ist die Anzahl der Inversionen = O.
Fiihrt man t Transpositionen aus, so hat sich die Zahl der Inversionen
tmal urn eine ungerade Zahl geandert, ist t gerade, so ist die Anzahl
der Inversionen auch gerade und umgekehrt, womit auch Satz 6 bewiesen ist.
§ 9. Aufgahen.
+
±
Die drei erst en Aufgaben sind Beziehungen zwischen Binomialkoeffizienten, die durch Induktion zu beweisen sind.
1.
2.
3.
(~)
+ (rl t 1) + ... + (rl ~ n) = (rl + : + 1) ,
(n + : - 1) ~ C+ ~ - 2) + ... + G) =
22
< (2 n) <-1/ 2211 .
! ~) ,
n-I
1/-
yn
=
.n
-
3n+l
4. J ede ganze rationale Funktion
I(x) = aoxn
a1x n- 1
laBt sich auf die Form bringen:
+
I(x) = Ao
wo
(;
Ak
+ ... +a n
+ Al G) + A2 G) + ... + An G),
= j(k) - (~) j(k - I) +(~)j(k - 2) _ ... ± 1(0).
Anleitung: Es geniigt, den Satz fiir ganzzahlige x::2: 0 zu beweisen.
= 0 ist die Identitat leicht zu erkennen. Wir nehmen an, die Formel sei bis zu einer Zahl x als richtig erkannt, und zeigen ihre Giiltigkeit
fUr x + 1. Wir setzen
I(x + I) = j(x)
g(x),
dann ist g(x) auch ganz und rational vom Grade n - lund kann in
der Form
n-l
Fiir x
+
g(x) =
.2 Bk (Z)
k=O
§ 10. Definition der Determinante nach
geschrieben werden. Dann ist:
Bo = g(O) = 1(1) - 1(0) = Al
Bl = g(l) - g(O) = 1(2) - 1(1) - 1(1)
13
LEIBNIZ.
+ 1(0) =
A2
5. 1st peine Primzahl und a eine beliebige ganze Zahl, so ist a fl - a
dUrch p teilbar (Kleiner FERMAT scher Satz).
Anleitung: Man nehme a positiv und schlieBe von a auf a + l. Es
ist zu beachten, daB (~) fUr 1 < k < P immer durch p teilbar ist.
6. Wieviel Inversionen hat die Permutation n, 11 - 1, ... , 2, 1,
wenn 1, 2, ... , 1Z die natiirliche Reihenfolge ist?
7. Es ist zu zeigen, daB die Anzahl der geraden Permutationen von
n Elementen gleich der Anzahl der ungeraden ist.
Aufgabe 8 und 9 sind aus MANGOLDT-KNoPp, EinfUhrung in die
hohere Mathematik, entnommen.
8. Man bezeichne die Anzahl aller Inversionen, die aIle Permutationen von n Elementen zusammengenommen aufweisen, mit In' so
daB II = 0, 12 =1, la = 9 ist. Man zeige, daB sich diese Anzahlen
rekursiv mittels der Formel
In+! = (n + 1) In +~n[(n + I)!]
und unmittelbar durch die Formel
In = (n - 2) ! (n (n 2-
I)Y
bestimmen lassen. Hiernach ist 14 = 72, 15 = 600 usw.
9. Ein Stadtteil von der Form eines Rechtecks ist auf seinen 4 Seiten
von StraBen begrenzt und auBerdem von ex StraBen durchzogen, welche
dem einen, und {J StraBen, welche dem anderen Paar von Gegenseiten
des begrenzenden Rechtecks parallel laufen. Auf wieviel verschiedenen
Wegen kann man, ohne Umwege zu machen, von einer der vier auBersten
Ecken des Stadtteils zu der diagonal gegeniiberliegenden Ecke gelangen 1
(0(. + fJ + 2)!
Antwort: Auf (0(. + I)! (/1 + I)! Wegen.
Drittes Kapitel.
Determinanten.
§ 10. Definition der Determinante nach LEIBNIZ.
Urn die Determin an te einzufiihren, gehen wir von einem System
von n linearen Gleichungen mit n Unbekannten aus. Bei der Losung
wird man auf gewisse ganze rationale Funktionen gefiihrt, die Determinanten genannt werden. Diese Funktionen treten nicht nur an dieser
Stelle auf, sondern haben eine weit groBere Bedeutung; sie ermoglichen
in vielen Fallen, Formeln elegant zu schreiben und Satze iibersichtlich
zu formulieren. Sie bilden ein unentbehrliches Hilfsmittel in fast allen