8. Übungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik, SS 2017

8. Übungsblatt zur Vorlesung Quantenmechanik, SS 2017
Aufgabe 24: Paritätsoperator
Der Paritätsoperator Ŝ ist durch Ŝ ψ(~x) = ψ(−~x) definiert, äquivalent zu h~x|Ŝ = h−~x|. Im
Folgenden rechnen wir nur in einer Dimension. Die Aufgaben lassen sich am einfachsten in
Bra- und Ket-Notation lösen, ohne Wellenfunktionen. Zeigen Sie:
(a) Ŝ ist hermitesch. Anleitung: Matrixelemente mit Basisvektoren |xi,|yi.
Es folgt, dass Ŝ |xi = | − xi.
(b) hp| Ŝ = h−p|. Anleitung: Einschieben einer Eins und Substitution x0 = −x.
(c) Ŝ Q̂ = −Q̂Ŝ und Ŝ P̂ = −P̂ Ŝ. Anleitung: Spektraldarstellung von Q̂, Substitution
x0 = −x.
(d) Ŝ V̂ = V̂ Ŝ für ein symmetrisches Potential V̂ mit V (x) = V (−x). Anleitung: wie (c).
Aus (c) und (d) folgt, dass Ŝ mit Ĥ vertauscht, wenn das Potential symmetrisch ist.
e) Zeigen Sie, dass der Paritätsoperator nur die zwei Eigenwerte s = ±1 besitzt. Zeigen
Sie weiters, dass die Eigenfunktionen von Ŝ in der Ortsraumdarstellung die geraden
und ungeraden Funktionen sind, also ψs (x) = sψs (−x) mit s = ±1. Anleitung: Um s
zu bestimmen, wenden Sie am besten Ŝ 2 auf die Eigenfunktion von Ŝ an.
Aufgabe 25: Zeitlich veränderlicher Potentialtopf
Wir betrachten ein Teilchen der Masse m, das sich zunächst in einem Potentialtopf der Breite
L befindet, mit dem Potential
(
0 für − L2 < x < L2
V (x) =
.
∞ sonst
a) Das Potential hat die Eigenschaft V (x) = V (−x). Nach Aufgabe 24 können damit
Ĥ und der Paritätsoperator Ŝ gleichzeitig diagonalisiert werden. Das bedeutet, dass
die Eigenfunktionen von Ĥ nach geraden und ungeraden Funktionen sortiert werden
können. Bestimmen sie die allgemeine Form dieser geraden und ungeraden Funktionen.
b) Benutzen Sie nun die Randbedingungen, um die Konstanten zu bestimmen, und berechnen sie die Energieeigenwerte.
Wir nehmen nun an, das Teilchen befindet sich im Grundzustand hx|ψ0 i = ψ0 (x) dieses
Systems. Zu einem bestimmten Zeitpunkt (obdA kann t = 0 gewählt werden) werden die
Wände des Potentialtopf viermal so weit vom Ursprung nach aussen geschoben, was zum
Potential
(
0 für − 2L < x < 2L
V (x) =
∞ sonst
führt. Das Teilchen ist somit nicht mehr in einem Eigenzustand des Hamiltonoperators,
sondern ein lokalisiertes Teilchen, zentriert in der Mitte des Potentialtopfs.
c) Bestimmen Sie mit Hilfe von a) und b) die Eigenfunktionen und Eigenenergien des nun
breiten Potentialtopfs.
d) Bestimmen Sie mit Hilfe des Zeitentwicklungsoperators (Spektraldarstellung!) einen
Ausdruck für die Wellenfunktion ψ(x, t) für Zeiten t > 0 (Die auftretende Summe
kann nicht exakt aufsummiert werden).
e) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, das Teilchen im Grundzustand des breiten Potentialtopfs zu finden.
Aufgabe 26: Streuung an einem attraktiven δ-Potential
Ein von links einfallender Strom von Teilchen der Energie E trifft auf eine Potentialbarriere
V (x) = −
~2
Ω δ(x) .
m
Berechnen Sie die Wellenfunktion für x < 0 und x > 0 sowie den Reflektions- und den
Transmissionskoeffizienten. Lösen Sie dazu die Schrödingergleichung im Ortsraum.