Penalized Least Squares Methoden mit

Penalized Least Squares Methoden
mit stückweise polynomialen Funktionen
zur Lösung von partiellen Dierentialgleichungen
Dissertation zur Erlangung des naturwissenschaftlichen Doktorgrades
der Julius-Maximilians-Universität Würzburg
vorgelegt von
Patrick R. Pechmann
aus
Würzburg
Würzburg, April 2008
Eingereicht am: 15. April 2008
bei der Fakultät für Mathematik und Informatik
der Julius-Maximilians-Universität Würzburg
1. Gutachter: Prof. Dr. Manfred v. Golitschek, Universität Würzburg
2. Gutachter: Prof. Dr. Klaus Höllig, Universität Stuttgart
Tag der mündlichen Prüfung: 7. Juli 2008
Danksagung
Ich danke meinen Eltern für ihre groÿartige, unermüdliche Unterstützung und Herrn Prof. Dr.
Manfred v. Golitschek für seine ausgezeichnete Betreuung meiner Arbeit.
Patrick R. Pechmann
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Theoretische Grundlagen
2
2.1
Konventionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.2
Allgemeines
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
2.3
Lebesgue-Räume, Sobolev-Räume und Normen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.4
2.5
B-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.4.1
Allgemeine univariate B-Splines
4
2.4.2
Eine Rekursionsformel für univariate B-Splines mit äquidistanten Knoten
.
6
2.4.3
Multivariate B-Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
Der Projektionssatz
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 Penalized Least Squares Approximation
8
11
3.1
Allgemeine Probleme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
3.2
Existenz und Eindeutigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
3.3
Fehlerabschätzungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
22
4.1
Begriiches
4.2
Die Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen
. . . . . . . . . . . . . . .
24
4.3
Numerische Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
4.3.1
Vollständige, homogene Randbedingungen auf dem Gebiet von Höllig
. . .
27
4.3.2
Vollständige, inhomogene Randbedingungen auf rechteckförmigen Gebieten
40
4.3.3
4.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
22
Unvollständige, homogene Randbedingungen auf dem Gebiet von Höllig . .
53
Das Programm pls.c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.4.1
Integration mittels Gauÿ-Quadratur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
59
4.4.2
Der Gleichungssystem-Löser MUMPS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.4.3
Aufbau und Programmablauf
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
60
4.4.4
Übersicht der Hauptfunktionen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
62
4.4.5
Bedienung und Variablen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
4.4.6
Ausgabe der Resultate, Dateinamen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
66
5 Resümee und Ausblick
67
Literaturverzeichnis
68
1 Einleitung
Wir betrachten Penalized Least Squares Methoden, wie sie in [24, 25] vorgestellt und untersucht
werden. Bei Approximationsaufgaben kann es vorkommen, dass sie keine eindeutige Lösung besitzen. Wir werden sehen, dass man durch geschicktes Hinzufügen eines Penalty-Terms bei der
Minimierungsaufgabe in gewissen Situationen die Eindeutigkeit der gesuchten Lösung sicherstellen kann. Dabei kommt es neben der Gestalt besonders auf die Gewichtung des Penalty-Terms
durch einen Penalty-Parameter
λ>0
an. Dieser kann dabei unter der Prämisse, die ursprüngliche
Approximationsaufgabe nicht wesentlich zu verändern, auch sehr klein gewählt werden, um die Eindeutigkeit der Lösung sicherzustellen. Eine weitere Möglichkeit ist, dass man aus der Lösungsmenge
der ursprünglichen Approximationsaufgabe die Lösung bestimmt, die den Penalty-Term minimiert.
Wir untersuchen den Zusammenhang der Lösungen dieser beiden Aufgaben.
Das Hauptgebiet unserer Arbeit stellt die Approximation der Lösungen partieller Dierentialgleichungen mit Dirichlet-Randbedingungen dar. Partielle Dierentialgleichungen nden ihre Anwendung beispielsweise in Bereichen der Elektrostatik, der Elastizitätstheorie, der Strömungslehre sowie
bei der Untersuchung der Ausbreitung von Wärme und Schall. Eine der bekanntesten partiellen Differentialgleichungen ist die Poisson-Gleichung
∆u = f
in
D ⊂ Rm .
Wir legen zudem Dirichlet-Randbedingungen durch
u=g
auf
∂D
bzw. auf
Γ ( ∂D
fest. Dieses
Modellproblem werden wir gerade in unseren numerischen Auswertungen bei Approximation durch
B-Splines mit äquidistanten Knoten heranziehen.
Zunächst stellen wir in Kapitel 2 die theoretischen Grundlagen der Arbeit zusammen. Hierbei
beziehen wir uns auf allgemeine Terminologie, Lebesgue- und Sobolev-Räume mit den zugehörigen
Normen, B-Splines sowie den Projektionssatz in einer speziellen Variante.
In Kapitel 3 kommen wir auf zwei allgemeine Probleme der Penalized Least Squares Approximation zu sprechen. Hierbei behandeln wir die Fragen nach Existenz und Eindeutigkeit der jeweiligen
Lösung und geben Fehlerabschätzungen an.
Schlieÿlich widmen wir uns in Kapitel 4 numerischen Auswertungen auf verschiedenen Gebieten mit vollständigen und unvollständigen Dirichlet-Randbedingungen. Des Weiteren ist eine Beschreibung der Funktionsweise und Bedienung des für diese Arbeit entworfenen C-Programms pls.c
angegeben.
Ein Resümee mit Ausblick auf mögliche zukünftige Fragestellungen und Forschungsgegenstände
rundet die Arbeit in Kapitel 5 ab.
1
2 Theoretische Grundlagen
In diesem Kapitel stellen wir die den Penalized Least Squares Methoden und deren Anwendungen
zugrundeliegende Theorie zusammen.
2.1 Konventionen
Folgende Vereinbarungen werden für diese Arbeit getroen.
Mit
x, c ∈ R
denieren wir
(x − c)+ := max {x − c, 0}
Allgemein seien
Als
Ω, D ⊂ Rm , m ∈ N,
Gebiete und
D
zusätzlich abgeschlossen.
Semiprodukt bezeichnen wir eine positiv semidenite symmetrische Bilinearform.
p
h·, ·i sei generell ein inneres Produkt oder ein Semiprodukt mit Werten in R. k·k = h·, ·i ist die
durch das innere Produkt (Semiprodukt) h·, ·i induzierte Norm (Seminorm).
Pn
Es sei α = (α1 , . . . , αn ) ein Multiindex vom Betrag |α| =
i=1 αi , wobei αi ∈ N0 , n ∈ N.
Sei f : Ω → R. Wir denieren den Dierentialoperator
Dα f :=
Wie üblich bezeichnet
Die
[a, b] ⊂ R
∂ αn
∂ α1
·
·
·
f.
∂xα1 1
∂xαnn
ein reelles Intervall.
algebraischen Polynome vom Grad höchstens n sind genau
(
Pn =
P | P (x) =
n
X
)
ck x k ,
ck ∈ R .
k=0
Die
Menge der reellwertigen, r-mal stetig dierenzierbaren Funktionen auf [a, b] notieren wir mit
C r [a, b].
[a, b] eine Unterteilung ∆ : a = x0 < · · · < xn = b,
m-dimensionalen Fall auf [a, b]m := {x ∈ Rm | ai ≤ xi ≤ bi , i = 1, . . . , m} eine Unterm
teilung ∆
: ai = xi0 < · · · < xini = bi gegeben. ∆n und ∆m
n1 ,...,nm sind äquidistante Unter˜ ñ =
teilungen in n bzw. ni Teilintervalle der Schrittweiten h bzw. hi . Des Weiteren sei ∆n × ∆
{(xi , x̃j ) | i = 0, . . . , n, j = 0, . . . , ñ} ein bivariates Gitter auf [a, b] × [c, d].
Falls nicht anders erwähnt, sei auf
bzw. im
2.2 Allgemeines
Zunächst benötigen wir eine Denition.
2
2.3 Lebesgue-Räume, Sobolev-Räume und Normen
Denition 1 (Proximum, Minimalabstand)
Sei
∅ =
6 M ⊂ V
gegeben. Dann heiÿt
ũ
genau dann ein
ũ ∈ M
Ev (M)
wird als
V , k·k eine
M-Proximum an v , wenn
eine Teilmenge des linearen Raumes
Seminorm auf
V
und
v ∈ V
kũ − vk = inf ku − vk =: Ev (M).
und
u∈M
Minimalabstand von v
zu
M
bezeichnet.
In der Approximationstheorie sind vor allem Antworten auf die folgenden Fragen von Interesse:
•
Wann existiert ein Proximum?
•
Unter welchen Voraussetzungen ist die Eindeutigkeit des Proximums sichergestellt?
•
Wie lässt sich ein Proximum bestimmen?
•
Welche Abschätzungen gelten für den Minimalabstand?
Wir werden die Fragen zu Existenz und Eindeutigkeit bei der Penalized Least Squares Approximation in Kapitel 3 klären. Die Bestimmung des Proximums gelingt dabei mit Hilfe von Orthogonalitätsrelationen, die vom Projektionssatz (Satz 7) abgeleitet werden können. Ebenfalls geben wir
Fehlerabschätzungen und damit eine Antwort auf die vierte Frage an.
2.3 Lebesgue-Räume, Sobolev-Räume und Normen
Der
Lebesgue-Raum Lp (Ω), 1 ≤ p < ∞, besteht aus allen messbaren Funktionen f
Z
auf
Ω,
mit
|f |p < ∞.
Ω
Die zugehörige Seminorm ist
Z
p
|f |
kf kLp =
p1
,
Ω
welche sogar eine Norm darstellt, wenn man die Äquivalenzklassen der Funktionen, die fast überall
übereinstimmen, betrachtet.
2
Im Fall p = 2 ist L (Ω) dann Hilbertraum bzgl. des inneren Produktes
Z
hf1 , f2 i =
f1 f2 dx.
Ω
Lp (Ω)
Eine
Testfunktion φ : Ω → R
Träger.
Seien
u, v ∈ L1 (Ω). v := Dα u
C m (Ω)
bzgl. k·kLp (Ω) .
ist eine unendlich oft dierenzierbare Funktion mit kompaktem
ist die Vervollständigung von
heiÿt
Z
schwache Ableitung von u, wenn
|α|
Z
vφ dx = (−1)
Ω
uDα φ dx
Ω
3
2 Theoretische Grundlagen
φ ∈ Cc∞ (Ω) gilt.
m
Sei 1 ≤ p < ∞, m ∈ N0 . Der Sobolev-Raum Wp (Ω) besteht aus allen Funktionen f : Ω → R,
α
p
für die für jeden Multiindex α mit |α| ≤ m die schwachen Ableitungen D f existieren und in L (Ω)
für alle Testfunktionen
liegen.
Die zu
f ∈ Wpm (Ω)
gehörige Norm ist
 p1

kf kWpm (Ω) := 
X Z
|α|≤m
|Dα f |p dx .
Ω
Wpm (Ω) ist die Vervollständigung von C m (Ω) bzgl. k·kWpm (Ω) .
W2m (Ω), da es sich hierbei um Hilberträume handelt.
Wir schreiben auch
H m (Ω) :=
Für weitere Details hierzu siehe beispielsweise [14] oder [23].
2.4 B-Splines
Splines sind stückweise polynomiale Funktionen auf einem Intervall
Mit
r∈N
S r (∆) = S ∈ C r−1 [a, b] | S|[xj−1 ,xj ] ∈ Pr ,
der
[a, b]
mit Unterteilung
∆:
heiÿt
j = 1, . . . , n
lineare Raum der Splines des Grades r mit Knoten ∆. Es gilt dim S r (∆) = n + r.
B-Splines sind Splines mit vorteilhaften zusätzlichen Eigenschaften. So sind B-Splines nichtnegativ mit einem Träger, der sich nur auf wenige Intervalle
[xi , xi+1 ]
erstreckt. Zu B-Splines und
allgemeiner Splines werden u.a. in [28], S.23, [33], S.98, Zusammenfassungen vorgestellt. In den
Standardwerken [9, 10, 32] ndet sich eine eingehende Behandlung der Thematik. Wir beschränken
uns hier auf die Vorstellung der für diese Arbeit relevanten B-Spline-Theorie.
2.4.1 Allgemeine univariate B-Splines
Wir betrachten B-Splines des Grades
r ≥ 0,
die sich durch eine
2-Term-Rekursion
bestimmen
lassen, siehe hierzu [9], S.129.
Dabei denieren wir mit
0 ≤ k < n B-Splines des Grades r mit Knoten ∆
(
1 für xk ≤ x < xk+1 ,
N (x, xk , xk+1 ) :=
0 sonst.
wie folgt.
Es ist
N (x, x0 , x1 , . . . , xr+1 ) :=
xr+1 − x
x − x0
N (x, x0 , x1 , . . . , xr ) +
N (x, x1 , . . . , xr+1 ).
xr − x0
xr+1 − x1
(1)
Setzen wir eine äquidistante Unterteilung des zugrundeliegenden Intervalls voraus, so lassen sich
B-Splines wie folgt berechnen.
4
2.4 B-Splines
Satz 2 (Auswertung von B-Splines mit äquidistanten Knoten, B-Spline-Basis)
Sei ∆n : a = x0 < · · · < xj = a + jh < · · · < xn = b eine äquidistante Unterteilung des
Intervalls [a, b] in Teilintervalle der Breite h, sowie r ≥ 0. Wir denieren einen Grund-B-Spline
ϕr (x) := N (x, 0, 1, . . . , r + 1) zur Schrittweite h = 1 mit a = 0, b = r + 1. Es gilt
r+1
1X
i r+1
(x − i)r+ ,
(−1)
ϕr (x) =
i
r! i=0
x ∈ R.
r
des Grades r mit Knoten ∆n durch
Durch Translation und Skalierung lässt sich jeder B-Spline Bk,h
ϕr berechnen.
r
Bk,h
(x) := ϕr
x−a
+r+1−k ,
h
k = 1, . . . , n + r
ist eine normierte B-Spline-Basis von S r (∆n ).
Beweis:
Siehe [32], S.134f.
In Abbildung 1 sind einige
ϕr
dargestellt. Im folgenden Beispiel wird, wie ebenfalls in der Abbil-
dung ersichtlich, eine weitere Eigenschaft von B-Splines verdeutlicht: Die Symmetrie.
Abbildung 1: Univariate B-Splines
ϕr .
5
2 Theoretische Grundlagen
Beispiel 3 (Kubische B-Spline-Basis)
∆n ist
x−a
3
+2−k ,
Bk,h (x) = ϕ
h
Die kubische B-Spline-Basis zu
mit
k = 1, 2, . . . , n + 3,

(2 − |x|)3
1 
ϕ3 (x + 2) = ϕ(x) :=
4 − 6x2 + 3 |x|3
6 

0
für
für
für
1 ≤ |x| < 2,
− 1 < x < 1,
|x| ≥ 2.
2.4.2 Eine Rekursionsformel für univariate B-Splines mit
äquidistanten Knoten
Für unser Programm pls.c ist es notwendig, die Basen der B-Splines explizit ausformuliert zu haben.
Eine rekursive Bestimmung der Funktionswerte durch die Formel (1) führt bereits zu Rechenfehlern
−14
in der Gröÿenordnung von 10
bei den Funktionswerten, die sich bei den weiteren Rechnungen fortpanzen und enorm potenzieren können. Viel besser ist es, die intervallweise festgelegten
Polynome, die nur ganzzahlige Koezienten haben, zu berechnen und sie zu verwenden.
Wir ziehen deshalb die explizite Darstellung der Basiselemente heran und beschreiben diese allgemein wie folgt.
N (x, k, k + 1, . . . , k + r + 1) =

cr,r,k,0 xr + cr,r−1,k,0 xr−1 + · · · + cr,0,k,0





cr,r,k,1 xr + cr,r−1,k,1 xr−1 + · · · + cr,0,k,1


1 ..
.
r! 



cr,r,k,r xr + cr,r−1,k,r xr−1 + · · · + cr,0,k,r



0
für
für
k ≤ x < k + 1,
k + 1 ≤ x < k + 2,
.
.
.
für
(2)
k + r ≤ x < k + r + 1,
sonst.
Es gilt
cr,j,k,l := 0,
(
j∈
/ {0, 1, . . . , r} oder
falls
l∈
/ {0, 1, . . . , r}.
Wir geben nun eine Formel zur Berechnung der Koezienten
cr,j,0,l
von
ϕr
an.
Satz 4 (Koezienten der expliziten B-Spline-Basis)
Sei a = 0, h = 1. Dann gilt für die Koezienten der expliziten Basisdarstellung (2) cr,j,k,l ∈ Z. Für
r ≥ 1, 1 ≤ j ≤ r und 1 ≤ l ≤ r ist ferner:
cr,j,0,l = cr−1,j−1,0,l − cr−1,j−1,0,l−1 +
r−1
X
i=j
6
!
i
i+1
r
+
(−1)i−j cr−1,i,0,l−1 .
j
j
2.4 B-Splines
Insbesondere gilt
cr,0,0,l = (r + 1)
r−1
X
(−1)i cr−1,i,0,l−1 ,
i=0
cm,m,0,0 = 1 für m ≥ 0 (eigentlich sogar cm,m,k,0 = 1, für k ∈ Z),
cr,m,0,0 = 0 für m 6= r.
Beweis:
Der Beweis ergibt sich aus elementaren Betrachtungen der Rekursionen (1) im Fall einer
äquidistanten Unterteilung des Intervalls
[0, r + 1]
in
r+1
Teilintervalle, die folgende Gleichung
ergibt:
cr,j,0,l = cr−1,j−1,0,l + (r + 1)cr−1,j,1,l−1 − cr−1,j−1,1,l−1
r−1
r−1
X
X
i
i
i−j
i−j+1
= cr−1,j−1,0,l + (r + 1)
c
−
c
.
(−1)
(−1)
j r−1,i,0,l−1
j − 1 r−1,i,0,l−1
i=j
Auÿerdem gilt
c0,0,0,0 = 1
bzw. im allgemeinen Fall sogar
Mit Satz 4 lassen sich für
N (x, 0, 1, . . . , r + 1)
i=j−1
r ≥ 1
und
0 ≤ j, l ≤ r
c0,0,k,0 = 1, k ∈ Z.
die Koezienten
cr,j,0,l
von
ϕr (x) =
einmalig berechnen und damit der Gesamtaufwand an Rechenoperationen
und die damit entstehenden Fehler bei rekursiver Bestimmung der Splinedaten nach (1) wesentlich
reduzieren.
2.4.3 Multivariate B-Splines
Für den multivariaten Fall denieren wir Tensorprodukte von B-Splines ähnlich wie in [28], jedoch
mit gegebenenfalls unterschiedlichen Schrittweiten
hν
in den verschiedenen Variablen:
Denition 5 (Multivariater B-Spline)
r
m-dimensionale B-Spline Bk,h
vom Grad rν in der ν -ten Variablen, mit Index k = (k1 , . . . , km ),
m
und Schrittweite h = (h1 , . . . , hm ) auf [a, b]
ist deniert durch
Der
r
Bk,h
(x) :=
m
Y
Bkrνν ,hν (xν )
ν=1
Im Allgemeinen setzen wir
r1 = · · · = rm
und identizieren den Grad
r
durch eine ganze Zahl
anstelle eines Vektors ganzer Zahlen.
r
(kh−[0, r +1]m h)∩[a, b]m . Auÿerdem ist Bk,h
in
1
m
jeder Variable sowohl r − 1-mal stetig dierenzierbar als auch auf jeder Gitterzelle (i , . . . , i )h +
[0, 1]m h, 0 ≤ iν < nν , ein Polynom des Grades r. In Abbildung 2 sind einige bivariate B-Splines
Der Träger des multivariaten B-Splines
r
Bk,h
ist
verschiedenen Grades veranschaulicht.
Wir denieren den multivariaten Splineraum wie folgt.
7
2 Theoretische Grundlagen
1
Abbildung 2: Bivariate B-Splines auf [0, 26] × [0, 8] von links nach rechts: Bilinear (B(3,3),1 ),
2
3
4
biquadratisch (B(7,4),1 ), bikubisch (B(12,5),1 ) biquartisch (B(18,6),1 ) und biquintisch
5
(B(25,7),1 ).
Denition 6 (Multivariater Splineraum)
Auf beschränktem
D ⊂ Rm ist der Raum der m-dimensionalen Splines des Grades r mit Schrittweite
h = (h1 , . . . , hm )
deniert als die Menge aller Linearkombinationen
(
Shr (D) :=
)
X
r
ci Bk,h
k∈Ir
aus relevanten B-Splines
Hierbei stellt
Ir
r
Bk,h
(B-Splines, deren Träger ganz oder teilweise innerhalb von
die Indexmenge dar, die aus allen
∃x∈D:
k
D
liegt).
besteht mit
r
Bk,h
(x) 6= 0.
r
r
m
Bk,h
, k ∈ Ir , ist somit eine B-Spline-Basis von Sh (D). Dabei wird [a, b] für gewöhnlich so gewählt,
m
dass es die kleinste abgeschlossene Menge ist mit D ⊆ [a, b] .
2.5 Der Projektionssatz
Es gibt für unterschiedliche Anwendungen verschiedene Varianten des Projektionssatzes. So beispielsweise in [6], S.88f, für einen Hilbertraum und eine nichtleere, abgeschlossene, konvexe Teilmenge, oder in [31], S.326f, für endlichdimensionale Unterräume eines linearen Raumes mit innerem
8
2.5 Der Projektionssatz
Produkt. Wir beziehen uns auf nicht notwendigerweise endlichdimensionale Hilberträume, die Unterräume eines linearen Raumes mit Semiprodukt sind.
Satz 7 (Projektionssatz)
Sei ein linearer Raum V über R mit Semiprodukt h·, ·i gegeben und U ⊂ V ein Unterraum der bzgl.
h·, ·i ein Hilbertraum ist. Dann gilt:
1
. Zu jedem v ∈ V existiert genau ein U -Proximum an v .
2
. ũ ist genau dann das U -Proximum an v , wenn die Orthogonalitätsrelationen
hũ − v, ui = 0
∀ u∈U
(3)
erfüllt sind.
3
. Sei U endlichdimensional mit Basis {u1 , . . . , un }. ũ = nj=1 aj uj ist genau dann das U Proximum an v , wenn folgendes Gleichungssystem erfüllt ist:
P
n
X
aj huj , uk i = hv, uk i ,
k = 1, . . . , n
j=1
Beweis:
1.: Zu
v∈V
sei
(ũk )∞
k=1 ∈ U
eine Minimalfolge, d.h.
limk→∞ kv − ũk k = Ev (U).
Mit der
Parallelogrammgleichung gilt
k(v − ũk ) − (v − ũl )k2 + k(v − ũk ) + (v − ũl )k2 = 2 kv − ũk k2 + 2 kv − ũl k2
und wegen
ũk +ũl
2
∈U
folgt
2
lim kũl − ũk k = lim
k,l→∞
k,l→∞
≤ lim
k,l→∞
2 !
ũ
+
ũ
k
l
2 kv − ũk k + 2 kv − ũl k − 4 v
−
2 2 kv − ũk k2 + 2 kv − ũl k2 − 4Ev (U)2
2
2
= 0.
Deshalb ist
(ũk )∞
k=1
Cauchyfolge und als solche im Hilbertraum
U
konvergent gegen ein
ũ ∈ U .
Wegen
Ev (U) ≤ kv − ũk = kv − ũk + ũk − ũk ≤ kv − ũk k + kũk − ũk
−−−→ Ev (U) + 0
k→∞
ist
ũ
ein
0
Sei
ũ
U -Proximum an v , was die Existenz sicherstellt.
U -Proximum an v . Dann erhalten wir
ein weiteres
2
analog:
2
kũ − ũ0 k ≤ 2 kv − ũ0 k + 2 kv − ũk2 − 4Ev (U)2 = 0
9
2 Theoretische Grundlagen
Weil
k·k
Norm auf
U
ist, muss
ũ0 = ũ
gelten, womit auch die Eindeutigkeit bewiesen wäre.
u ∈ U:
2.: Seien zunächst die Orthogonalitätsrelationen erfüllt. Dann gilt für alle
ku − vk2 = kũ − v + u − ũk2 = hũ − v + u − ũ, ũ − v + u − ũi
= kũ − vk2 + 2 hũ − v, u − ũi + ku − ũk2
{z
} | {z }
|
=0
≥0
2
≥ kũ − vk
Damit ist
ũ
ein
U -Proximum
an
v.
w ∈ U , w 6= 0,
Seien nun die Orthogonalitätsrelationen nicht erfüllt. Dann existiert ein
hũ − v, wi =
6 0.
Wir wählen nun
(
w0 =
hũ − v, w0 i < 0, w0 ∈ U
U -Proximum an v , da
Damit gilt also
ist
ũ
kein
mit
w
kwk
−w
kwk
und
falls
hũ − v, wi < 0,
falls
hu − v, wi > 0.
kw0 k = 1. Wähle λ mit 0 < λ < −2 hũ − v, w0 i, dann
2
2
kũ + λw0 − vk = kũ − vk2 + 2λ hũ − v, w0 i + λ2 kw0 k
= kũ − vk2 + λ · (2 hũ − v, w0 i + λ)
|
{z
}
<0
2
< kũ − vk .
3.: Die Aussage folgt aus 2. wegen der eindeutigen Darstellung jedes
Pn
mente u1 , . . . , un , indem man ũ =
j=1 aj uj in (3) einsetzt.
10
u∈U
durch die Basisele-
3 Penalized Least Squares
Approximation
Oft existiert keine eindeutige Lösung von Approximationsaufgaben der Gestalt
min ks − gX k2 .
(1)
s∈S
Durch geschicktes Hinzufügen eines Penalty-Terms
λ |s − gY |2
mit Penalty-Parameter
(2)
λ > 0 lässt sich jedoch die Eindeutigkeit der Lösung sicherstellen (im Folgen-
den Problem A). Ebenso gut kann man aus der Menge aller Lösungen von (1) diejenige bestimmen,
welche zudem (2) minimiert (im Folgenden Problem B). In [24] werden solche Penalized Least
Squares Approximationsprobleme untersucht. In diesem Zusammenhang sei auch [25] für den Fall
gY = 0
erwähnt. Angefangen bei der abstrakten Problemstellung, über Existenz- und Eindeutig-
keitsaussagen, bis hin zur Untersuchung wichtiger Anwendungsbeispiele und der Konvergenzrate
der beiden Lösungen für den Fall dass
λ
gegen
0
konvergiert, stellen wir nun Schritt für Schritt die
Theorie der Penalized Least Squares Approximation dar.
3.1 Allgemeine Probleme
Wir benötigen folgende Voraussetzungen, die für die Existenz und Eindeutigkeit einer Lösung der
vorgestellten Approximationsprobleme ganz bzw. teilweise unerlässlich sind.
Voraussetzungen
(a)
X, Y
(b)
k·k : X → R
und
S
|·| : Y → R
(c)
S
seien lineare Räume über
sei Seminorm auf
sei Seminorm auf
sei ein Hilbertraum bzgl.
(d) Die Menge
X,
Y,
R
mit
S ⊆ X ∩ Y.
die vom Semiprodukt
die vom Semiprodukt
h·, ·i
[·, ·]
auf
auf
Y
X
induziert wird.
induziert wird.
h·, ·i + [·, ·].
MgX := {s ∈ S | ks − gX k = EgX (S)}
der
S -Proxima
an
gX ∈ X
sei nichtleer.
Die beiden betrachteten Minimierungsaufgaben lauten wie folgt.
11
3 Penalized Least Squares Approximation
Problem A
Sei
gX ∈ X , gY ∈ Y
und
λ > 0.
Gesucht ist
sλ := sλ (gX , gY ) ∈ S
mit
Φ(gX , gY , λ) := ksλ − gX k2 + λ |sλ − gY |2 = min ks − gX k2 + λ |s − gY |2 .
s∈S
Problem B
Sei
gX ∈ X , gY ∈ Y .
Gesucht ist
s0 := s0 (gX , gY ) ∈ MgX
mit
|s0 − gY | = min |s − gY | .
(4)
s∈MgX
Wir denieren analog zu
(3)
Φ(gX , gY , λ)
Φ0 (gX , gY , λ) := ks0 − gX k2 + λ |s0 − gY |2 .
3.2 Existenz und Eindeutigkeit
Zunächst beweisen wir die Existenz und Eindeutigkeit der Lösungen für den Fall, dass gewisse
Voraussetzungen erfüllt sind. Ferner geben wir jeweils mit den Orthogonalitätsrelationen einen Weg
zur Berechnung der Lösung an. Wir beginnen mit Problem A.
Satz 8 (Problem A)
Unter den Voraussetzungen (a), (b)und (c)hat Problem A eine eindeutige Lösung sλ = sλ (gX , gY ) ∈
S . sλ ist genau dann Lösung von Problem A, wenn die Orthogonalitätsrelationen
hsλ − gX , si + λ [sλ − gY , s] = 0
∀ s∈S
(5)
erfüllt sind.
Beweis:
W := {(s, s) | s ∈ S} ⊂ X × Y = {(x, y) | x ∈ X , y ∈ Y}
{·, ·}λ durch
Wir setzen
das Semiprodukt
{(x1 , y1 ), (x2 , y2 )}λ := hx1 , x2 i + λ [y1 , y2 ] ,
welches auf
X ×Y
und denieren
x1 , x2 ∈ X , y1 , y2 ∈ Y,
die Seminorm
|||(x, y)|||λ := kxk2 + λ |y|2
21
,
x ∈ X , y ∈ Y,
S auch Hilbertraum bzgl.
des inneren Produktes h·, ·i + λ [·, ·] ist. Damit ist W Hilbertraum bzgl. {·, ·}λ . Problem A ist bzgl.
|||·|||λ äquivalent zur Suche nach einem W -Proximum an (gX , gY ). Der Projektionssatz (Satz 7)
induziert. Aus Voraussetzung (c) folgt mit fest gewähltem
12
λ > 0,
dass
3.3 Fehlerabschätzungen
besagt, dass ein eindeutiges
W -Proximum (sλ , sλ )
an
(gX , gY )
existiert, welches durch die Ortho-
gonalitätsrelationen
{(sλ , sλ ) − (gX , gY ), (s, s)}λ = 0
∀ (s, s) ∈ W
bestimmt ist. Diese sind äquivalent zu (5).
Jetzt formulieren wir die zentrale Aussage über Existenz und Eindeutigkeit bei Problem B.
Satz 9 (Problem B)
Unter den Voraussetzungen (a), (b), (c) und (d) hat Problem B eine eindeutige Lösung s0 =
s0 (gX , gY ) ∈ S . s0 ist genau dann Lösung von Problem B, wenn die Orthogonalitätsrelationen
[s0 − gY , s] = 0
∀ s ∈ M0
(6)
mit M0 := {s ∈ S | ksk = 0} erfüllt sind.
Beweis:
Für alle
m ∈ M0
gilt
kmk = 0
und deshalb
hm, mi + [m, m] = [m, m]
∀ m ∈ M0 .
M0 ist abgeschlossen bzgl. h·, ·i+[·, ·] und nach Voraussetzung (c) als Unterraum des Hilbertraums
S selbst ein Hilbertraum bzgl. [·, ·]. Nach Voraussetzung (d) gibt es ein m∗ ∈ MgX . Äquivalent zu
(4) ist
inf |m + m∗ − gY | = inf |m − (−m∗ + gY )| .
m∈M0
(7)
m∈M0
Aus dem Projektionssatz (Satz 7) folgt für den Hilbertraum M0 bzgl. [·, ·], dass ein eindeutiges
M0 -Proximum m0 an −m∗ + gY existiert, welches durch die Orthogonalitätsrelationen
[m0 − (−m∗ + gY ), m] = 0
bestimmt ist. Mit
s0 = m0 + m∗
∀ m ∈ M0
in (6) ist der Beweis erbracht.
3.3 Fehlerabschätzungen
In diesem Abschnitt untersuchen wir den Zusammenhang der beiden Lösungen
stellen wir fest, dass
sλ
die Lösung von Problem A auch für
s0
anstelle von
sλ
gX
und
s0 . Zunächst
ist.
Lemma 10
Sei gX ∈ X , gY ∈ Y und λ > 0. Es gilt
ks − gX k2 = ks − s0 k2 + ks0 − gX k2
∀ s ∈ S,
Φ(gX , gY , λ) = Φ(s0 , gY , λ) + ks0 − gX k2
(8)
(9)
und damit sλ (s0 , gY ) = sλ (gX , gY ).
13
3 Penalized Least Squares Approximation
Beweis:
Wegen
s0 ∈ MgX
gilt nach Satz 7
hs0 − gX , si = 0
für alle
s ∈ S.
Für jedes
s∈S
gilt
ks − gX k2 = hs − s0 + s0 − gX , s − s0 + s0 − gX i
= ks − s0 k2 + ks0 − gX k2 + 2 hs0 − gX , s − s0 i,
{z
}
|
=0
also (8). Damit folgt
Φ(gX , gY , λ) = min ks − s0 k2 + ks0 − gX k2 + λ |s − gY |2
s∈S
= min ks − s0 k2 + λ |s − gY |2 + ks0 − gX k2
s∈S
= Φ(s0 , gY , λ) + ks0 − gX k2 .
Φ(gX , gY , λ)
wird genau dann angenommen, wenn
Φ(s0 , gY , λ)
angenommen wird, woraus
sλ (s0 , gY ) = sλ (gX , gY )
folgt.
Ein weiteres Lemma wird es uns im Anschluss erlauben, Satz 12 zu formulieren.
Lemma 11
Es gilt:
|sλ − s0 |2 +
Beweis:
Setzt man in (5)
gX = s0
2
ksλ − s0 k2 = |s0 − gY |2 − |sλ − gY |2
λ
und
s = sλ − s0 ,
(10)
so erhält man:
Φ(s0 , gY , λ) = ksλ − s0 k2 + λ |sλ − gY |2 − (hsλ − s0 , sλ − s0 i + λ [sλ − gY , sλ − s0 ])
|
{z
}
=0
(11)
= λ [sλ − gY , s0 − gY ]
Daraus folgt
|sλ − s0 |2 +
2
2
ksλ − s0 k2 = |(sλ − gY ) − (s0 − gY )|2 + ksλ − s0 k2
λ
λ
2
= |sλ − gY |2 + |s0 − gY |2 −2 [sλ − gY , s0 − gY ] + ksλ − s0 k2
λ
|
{z
}
(11)
= −2|sλ −gY |2
= |s0 − gY |2 − |sλ − gY |2 .
Der nun folgende Satz lässt schlieÿen, dass
stellt.
14
Φ0 (gX , gY , λ)
eine Obergrenze für
Φ(gX , gY , λ)
dar-
3.3 Fehlerabschätzungen
Satz 12
Sei gX ∈ X , gY ∈ Y und λ > 0. Es ist
Φ(gX , gY , λ) = Φ0 (gX , gY , λ) − Φ(s0 , s0 , λ)
(12)
|sλ − gY | ≤ |s0 − gY | ,
√
ksλ − s0 k ≤ λ |s0 − gY | .
(13)
und
Beweis:
(14)
Aus (10) ergibt sich
2
ksλ − s0 k2 = |s0 − gY |2 − |sλ − gY |2
λ
⇐⇒ ksλ − s0 k2 + λ |sλ − gY |2 = λ |s0 − gY |2 − ksλ − s0 k2 − λ |sλ − s0 |2
|sλ − s0 |2 +
⇐⇒ Φ(s0 , gY , λ) = λ |s0 − gY |2 − Φ(s0 , s0 , λ)
(9)
⇐⇒ Φ(gX , gY , λ) = ks0 − gX k2 + λ |s0 − gY |2 − Φ(s0 , s0 , λ)
⇐⇒ Φ(gX , gY , λ) = Φ0 (gX , gY , λ) − Φ(s0 , s0 , λ),
also (12). Weiter gilt
ksλ − s0 k2 + λ |sλ − gY |2 = Φ(s0 , gY , λ)
(9)
= Φ(gX , gY , λ) − ks0 − gX k2
(12)
= λ |s0 − gY |2 − Φ(s0 , s0 , λ)
≤ λ |s0 − gY |2 ,
was (13) und (14) folgern lässt.
√
Satz 12 wirft die Frage auf, ob der Term
λ
in (14) bestmöglich ist und, ob
lim |sλ − s0 | = 0
√
gilt. Wir werden zeigen, dass
λ→0
λ
(15)
in (14) nicht bestmöglich ist und, dass (15) unter den Voraus-
setzungen (a) - (d) immer gilt.
Für spezielle lineare Räume
S,
die die nach Markov benannte Property M erfüllen, lassen sich
besondere Aussagen treen. Die Property M ist dabei wie folgt deniert.
Denition 13 (Property M)
Sei weiterhin
M0 := {s ∈ S | ksk = 0}. Wir denieren
S0 := s ∈ S | |s| = min |s − m|
m∈M0
und sagen,
S
hat
Property M, genau dann, wenn ein K = K(S) > 0 existiert mit
|s| ≤ K ksk
∀ s ∈ S0 .
(16)
15
3 Penalized Least Squares Approximation
Zunächst lässt sich unter unseren Voraussetzungen folgende Aussage bzgl. des soeben denierten
Raumes
S0
treen.
Bemerkung 14 (Property M)
Unter den Voraussetzungen (a) - (c) ist
Raum mit Seminorm
nicht nur
k·k
S0
ein normierter Raum bzgl.
k·k.
nach Denition und Voraussetzungen (a) und (b). Für
kuk = 0, sondern auch |u| = 0, da minm∈M0 |u − m| = 0
u = 0 und damit die Behauptung.
S0 ist linearer
u ∈ S0 ∩ M0 ist
Denn
ist. Nach Voraussetzung (c)
folgt schlieÿlich
Für Anwendungen ist hierzu dieses wichtige Beispiel hervorzuheben:
Beispiel 15 (Property M)
Ist
S
endlichdimensional, so hat
Denn, wenn
S
S
unter den Voraussetzungen (a) - (c) Property M.
endlichdimensional ist, sind die Normen
k·k2 + |·|2
21
und
k·k
auf
S0
äquivalent,
was (16) folgern lässt.
Im Fall, dass
S
die Property M erfüllt, lassen sich diese Abschätzungen angeben:
Satz 16 (Property M)
Hat S Property M, dann gilt:
Beweis:
ksλ − s0 k ≤ Kλ |s0 − gY |
(17)
|sλ − s0 | ≤ K 2 λ |s0 − gY |
(18)
Aus (11) folgt
ksλ − s0 k2 = λ [sλ − gY , s0 − sλ ] .
Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung erhalten wir
ksλ − s0 k2 ≤ λ |sλ − gY | |sλ − s0 | .
(19)
Aus (6) und wegen
(3)
ksλ − gX k2 + λ |sλ − gY |2 = min km + sλ − gX k2 + λ |m + sλ − gY |2
m∈M0
kmk=0
=
ksλ − gX k2 + λ min |m + sλ − gY |2
Satz 7
m∈M0
=⇒ [sλ − gY , m] = 0
∀ m ∈ M0
folgt
[sλ − s0 , m] = 0
16
∀ m ∈ M0 .
3.3 Fehlerabschätzungen
Fasst man diese Gleichung als Orthogonalitätsrelationen auf, so ist das zugehörige Minimierungsproblem
|sλ − s0 | = min |(sλ − s0 ) − m| .
m∈M0
Nach Voraussetzung besitzt
S
Property M, was wegen
sλ − s0 ∈ S0
|sλ − s0 | ≤ K ksλ − s0 k
(20)
folgern lässt. Wir erhalten
(19)
ksλ − s0 k2 ≤ λ |sλ − gY | |sλ − s0 |
(20)
≤ λ |sλ − gY | K ksλ − s0 k
(13)
≤ λ |s0 − gY | K ksλ − s0 k ,
also (17), und schlieÿlich (18), wegen
(20)
|sλ − s0 | ≤ K ksλ − s0 k
(17)
≤ K 2 λ |s0 − gY | .
Wir widmen uns nun einer Reihe von Lemmas und beginnen mit einer Existenzaussage über eine
∞
Folge (σk )k=1 ⊂ S mit besonderen Konvergenzeigenschaften bzgl. der Seminormen k·k und |·|.
Lemma 17
Wir denieren die Menge an Folgen aus S
∞
Λ := (σk )k=1 ⊂ S | lim kσk − s0 k = 0 , lim sup |σk | < ∞
k→∞
und
k→∞
∞
β := inf lim sup |σk − gY | | (σk )k=1 ∈ Λ .
k→∞
Dann existiert eine Folge
(σk∗ )∞
k=1
∈ Λ mit
lim |σk∗ − gY | = β.
(21)
k→∞
Beweis:
Es gilt
∞
(k)
(s0 )∞
∈
Λ
=
6
∅
und
damit
β
≤
|s
−
g
|
.
Sei
k
∈
N
.
Es
gibt
Folgen
σ
∈Λ
0
Y
l=1
l
l=1
mit
Wähle
1
(k)
lim sup σl − gY < β + .
k
l→∞
n(k),
und setze
so dass
(k)
σk∗ := σn(k) .
1
1
(k)
(k)
,
σn(k) − gY < β +
σn(k) − s0 <
k
k
∗ ∞
Damit ist (σk )k=1 ∈ Λ die gesuchte Folge mit (21).
17
3 Penalized Least Squares Approximation
Wir können feststellen, dass die eben erwähnte Folge
(σk∗ )∞
k=1 ⊂ S
die Eigenschaft einer Cauchy-
folge besitzt.
Lemma 18
Die Folge (σk∗ )∞
k=1 aus Lemma 17 ist eine Cauchyfolge bzgl. der Seminorm |·| in S .
Beweis:
Wir zeigen zunächst
∗
lim |σm
+ σn∗ − 2gY |2 = 4β 2 .
(22)
m→∞
n→∞
Mit der Dreiecksungleichung folgt
∗
lim |σm
m→∞
n→∞
+
σn∗
2
− 2gY | ≤
lim
m→∞
∗
|σm
− gY | + lim
n→∞
|σn∗
2 (21)
− gY |
= 4β 2 .
Zudem gilt
∗
+ σn∗ − 2gY |2 ,
4β 2 ≤ m→∞
lim |σm
n→∞
weil es ansonsten
σk :=
∗ +σ ∗
σm
nk
k
2
∈ Λ, limk→∞ nk = ∞, limk→∞ mk = ∞,
mit
lim sup |σk − gY | < β
(23)
k→∞
gäbe, was der Denition von
β
widerspräche.
Aufgrund der Parallelogrammgleichung gilt
∗
∗
∗
|(σm
− gY ) − (σn∗ − gY )|2 + |(σm
− gY ) + (σn∗ − gY )|2 = 2 |σm
− gY | + 2 |σn∗ − gY | .
Mit (21) und (22) folgt damit
∗
− σn∗ |2 = 2β 2 + 2β 2 − 4β 2 = 0.
lim |σm
m→∞
n→∞
Über den Grenzwert
β
in Lemma 17 lässt sich schlieÿlich aussagen:
Lemma 19
Für die Folge (σk∗ )∞
k=1 aus Lemma 17 gilt:
lim |σk∗ − s0 | = 0
(24)
β = |s0 − gY | .
(25)
k→∞
Damit ist
18
3.3 Fehlerabschätzungen
Beweis:
∗ ∞
Nach Voraussetzung (c) ist S ein Hilbertraum bzgl. h·, ·i + [·, ·]. Wegen (σk )k=1 ∈ Λ gilt
limk→∞ kσk∗ − s0 k = 0. (σk∗ )∞
k=1 ist damit nicht nur Cauchyfolge bzgl. k·k, sondern nach Lemma
1
2
2 2
18 auch bzgl. |·| und damit ebenfalls bzgl. der Norm k·k + |·|
auf S . Da S vollständig bzgl.
∗
dieser Norm ist, existiert ein s0 ∈ S mit
lim kσk∗ − s∗0 k = 0,
k→∞
und damit
s0 (gX , gY )
lim |σk∗ − s∗0 | = 0
k→∞
ks∗0 − s0 k = 0.
Aus der Denition von β und der Eindeutigkeit der Lösung
∗
von Problem B folgt s0 = s0 und auch, dass (24) und (25) gelten.
s0 =
Jetzt können wir ein weiteres Hauptresultat dieses Abschnitts beweisen.
Satz 20
Sei gX ∈ X , gY ∈ Y und λ > 0. Es gilt
lim |sλ − s0 | = 0,
λ→0
(26)
1
lim √ ksλ − s0 k = 0.
λ→0 λ
Des Weiteren gilt
Φ(s0 , gY , λ)
= |s0 − gY |2 .
λ→0
λ
(27)
lim |sλ − gY | = |s0 − gY | .
(28)
lim
Beweis:
Es ist
λ→0
Denn wäre dies nicht der Fall, gäbe es wegen (13) eine Folge
(sλk )∞
k=1 , limk→∞ λk = 0,
mit
(25)
lim |sλk − gY | < |s0 − gY | = β.
k→∞
Da
(sλk )∞
k=1 ∈ Λ,
widerspräche dies der Denition von
β.
Wegen (28), erhalten wir mit (10):
2
lim |sλ − s0 | + ksλ − s0 k2
λ→0
λ
2
=0
Daraus folgt (26). Mit (26) und (28) erhält man (27).
In einem Spezialfall ergeben sich aus Satz 20 Konsequenzen bei Tykhonov Regularisierungen.
Beispiel 21 (Tykhonov Regularisierungen)
Bei Tykhonov Regularisierungen gilt
gY = 0
in Problem A und B. Ist zusätzlich
h·, ·i
ein inneres
19
3 Penalized Least Squares Approximation
Produkt auf
S
und
gX ∈ S ,
so gilt
s0 = gX ,
da
MgX = {gX }.
Mit Satz 20 folgt:
lim |sλ − gX | = 0
λ→0
1
lim √ ksλ − gX k = 0
λ→0
λ
1
ksλ − gX k2 + λ |sλ |2 = |gX |2
lim
λ→0 λ
Zum Schluss dieses Kapitels geben wir ein Beispiel zur Erzeugung von Eindeutigkeit bei Lösung
einer Dierentialgleichung mit Randbedingungen an.
Beispiel 22 (Erzeugung von Eindeutigkeit bei Lösung einer Dierentialgleichung mit
Randbedingungen)
Wir wollen den kubischen Spline
löst.
min
s∈S 3 (∆)
s ∈ S 3 (∆)
bestimmen, der die folgende Minimierungsaufgabe
2
2 !
Z 1
1
s(−1) −
+ (s(1) − e)2 +
xs00 − s0 − ex (x − 1) dx
e
−1
(29)
00
0
x
Die zugehörige Dierentialgleichung ist xu (x) − u (x) = e (x −
uc (x) = ex + c(x2 − 1), c ∈ R, welche die Randbedingungen u(−1)
Erweitert man die Minimierungsaufgabe (29) durch Addition
1) und besitzt die Lösungen
= 1e , u(1) = e erfüllen.
R 1 00 2
des Terms λ
(s ) dx, λ > 0,
−1
zur Penalized Least Squares Aufgabe
min
s∈S 3 (∆)
!
2
2
Z 1
Z 1
1
2
00 2
00
0
x
(s ) dx ,
s(−1) −
+ (s(1) − e) +
xs − s − e (x − 1) dx + λ
e
−1
−1
λ→0
− e)/4. uw (x)
so erhält man für
−1
w = (e
die in
S 3 (∆)
ist die am wenigsten gekrümmte Lösung der Form
Abbildung 1 sind einige Lösungen
20
zu approximierende eindeutige Minimallösung
uc (x)
sowie
uw (x)
veranschaulicht.
uc (x)
uw (x),
mit
von (29). In
3.3 Fehlerabschätzungen
Abbildung 1: Lösungen
uc (x)
und Lösung
uw (x)
in Beispiel 22.
21
4 Numerische Auswertungen und das
Programm pls.c
In diesem Kapitel klären wir zuerst Begriiches in Abschnitt 4.1. Dann widmen wir uns dem Modellproblem der Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen, wie es in Abschnitt 4.2 beschrieben
ist. In Abschnitt 4.3 untersuchen wir Auswertungen auf verschiedenen Gebieten. Dabei betrachten
wir zum einen die Fälle vollständiger, homogener wie inhomogener Randbedingungen, zum anderen unvollständiger, homogener Randbedingungen. Des Weiteren beschreiben wir in Abschnitt 4.4
die Funktionsweise und den Aufbau des Programms pls.c und geben einen Überblick zu dessen
Bedienung.
4.1 Begriiches
Um den Fehler der Approximationen zu vergleichen denieren wir:
Denition 23 (Approximationsfehler, Konvergenzrate)
Approximationsfehler en
Wir denieren den
lung
˜n
∆n × ∆
mit Lösung
g
auf
2
D⊂R
der Approximation
s ∈ Shr (D)
zu gegebener Untertei-
als
en (x, x̃) := |s(x, x̃) − g(x, x̃)| .
Ferner seien die
2 (D)
Konvergenzraten crLn
2 (D)
crnL
crH
n
1 (D)
H 1 (D)
crn
für gerades n
!
en/2 2
L (D)
,
:= log2
ken kL2 (D)
!
en/2 1
H (D)
:= log2
.
ken kH 1 (D)
und
deniert als
Wie bereits in der Denition angedeutet, wählen wir für den bivariaten Fall eine Unterteilung
˜n
∆n × ∆
des zugrundeliegenden Gebietes
Gitterweiten
h ≈ h̃
[a, b] × [c, d],
wobei wir darauf achten, dass für die
gelte.
Wir denieren nun relevante Zellen und B-Splines, die in Abbildung 1 veranschaulicht sind.
Denition 24 (Zellen, Zell- und B-Spline-Typen, Relevante Breite)
Zu der Unterteilung
22
˜ ñ
∆n × ∆
eines beschränkten Gebietes
Ω ⊂ R2
bezeichnen wir die Gebiete
4.1 Begriiches
Cij := [xi , xi+1 ]×[x̃j , x̃j+1 ], 0 ≤ i ≤ n−1, 0 ≤ j ≤ ñ−1, als Zellen. Innere Zellen liegen vollständig
innerhalb von Ω (Cij ∩ Ω = Cij ), äuÿere Zellen liegen vollständig auÿerhalb (Cij ∩ Ω = ∅) und
Randzellen werden vom Rand ∂Ω von Ω geschnitten (Cij ∩∂Ω 6= ∅). Als relevante Zellen bezeichnen
wir innere und Randzellen.
Rand-B-Splines. B-Splines, deren
innere B-Splines. B-Splines, deren Träger
weder Randzellen noch innere Zellen enthält, sind äuÿere B-Splines. Bei relevanten B-Splines handelt
B-Splines, deren Träger Randzellen enthält, bezeichnen wir als
Träger vollständig innerhalb des Gebietes
Ω
liegt, heiÿen
es sich um innere und Rand-B-Splines.
Die
relevante Breite einer Zelle Cij
ist
br := |xmax − xmin |
mit
xmax := max {x | (x, x̃) ∈ Cij }
xmin := min {x | (x, x̃) ∈ Cij }.
Abbildung 1: Innere Zellen (grün) und Randzellen (rot) im Falle bikubischer B-Splines und einer
Unterteilung des Gebietes in je
n = 16
Intervalle. Die relevanten B-Splines sind
mit quadratischen Punkten an der linken unteren Ecke ihres Trägers markiert. Dabei
stehen schwarz gefüllte Punkte für Rand-B-Splines und alle übrigen für innere BSplines. Bei dem Gebiet handelt es sich um das Gebiet
Abschnitt 4.3.1), dessen Rand
∂D
D
von Höllig (siehe hierzu
blau markiert ist. (Zur Veranschaulichung wurde
[−1, 1] × [− 41 , 2] fortgesetzt.)
das Gitter äquidistant auÿerhalb von
23
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
4.2 Die Poisson-Gleichung mit
Dirichlet-Randbedingungen
Motiviert durch die Betrachtungen von Höllig in [28] konzentrieren sich unsere numerischen Betrachtungen in diesem Kapitel auf die Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen:
∆u = f
in
D ⊂ Rm ,
u=g
auf
Γ ⊆ ∂D
Die Poisson-Gleichung beschreibt eine Reihe physikalischer Sachverhalte, wie sie u.a. in Bereichen
des Maschinenbaus oder der theoretischen Physik vorkommen, siehe beispielsweise [13], S.223.
Eine Penalized Least Squares Aufgabenstellung in diesem Zusammenhang sieht wie folgt aus.
D ⊂ R2 ein beschränktes Gebiet und r ≥ 3. Seien µ, λ > 0 sowie f := ∆g , g ∈ H 2 (D). Wir
Sei
setzen
gX = g
und
gY = 0.
Die Voraussetzungen (siehe Abschnitt 3.1) lauten in diesem Fall:
Voraussetzungen
(a)
(b)
(c)
X = Y = H 2 (D), S = Shr (D) ⊂ H 2 (D)
R
R
hu1 , u2 i = D (∆u1 ∆u2 ) + µ Γ (u1 u2 ), u1 , u2 ∈ H 2 (D)
qR
R
kuk = D (∆u)2 + µ Γ u2 , u ∈ H 2 (D)
R
[v1 , v2 ] = D ((v1 )xx (v2 )xx + (v1 )x̃x̃ (v2 )x̃x̃ + 2(v1 )xx̃ (v2 )xx̃ ) ,
qR
|v| = D ((vxx )2 + (vx̃x̃ )2 + 2(vxx̃ )2 ), v ∈ H 2 (D)
S = Shr (D)
sei ein Hilbertraum bzgl.
v1 , v2 ∈ H 2 (D)
h·, ·i + [·, ·]
(d)
Mg = {u ∈ Shr (D) | ku − gk = Eg (Shr (D))}
Z
Z
r
r
= u ∈ Sh (D) |
(∆u − f )∆v + µ (u − g)v = 0 ∀ v ∈ Sh (D) 6= ∅
Γ
D
Die Minimierungsaufgabe lautet
Z
Z
(∆u − f ) + µ
min
u∈Shr (D)
2
D
2
Z
2
(u − g) + λ
Γ
2
2
(uxx ) + (ux̃x̃ ) + 2(uxx̃ )
(1)
D
bzw.
Z
min
u∈Shr (D)
Z
X
2
2
(∆u − f ) + µ
(u(xe ) − g(xe )) + λ
D
e
!
(uxx )2 + (ux̃x̃ )2 + 2(uxx̃ )2 ,
D
(2)
xe ∈ Γ,
im randdiskretisierten Fall, für den eine genügend groÿe Anzahl an möglichst gleichmäÿig verteilten
Randpunkten
24
xe
herangezogen wird.
4.2 Die Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen
Bemerkung 25 (Wahl
des Penalty-Terms)
R
((uxx )2 + (ux̃x̃ )2 + 2(uxx̃ )2 ) ist für u ∈ Shr (D) nur dann gleich 0, wenn
u(x, x̃) = α + βx + γ x̃ gilt. Diese Tatsache trägt entscheidend dazu bei, dass Voraussetzung (c)
Der Penalty-Term
D
sichergestellt wird.
sµ,λ
Die Lösung
für (1) lässt sich aus den Orthogonalitätsrelationen gewinnen:
Z
Z
Z
(∆sµ,λ − f )∆u + µ
(sµ,λ − g)u + λ
D
Γ
D
(sµ,λ )xx uxx + (sµ,λ )x̃x̃ ux̃x̃ + 2 (sµ,λ )xx̃ uxx̃ = 0
∀ u ∈ Shr (D)
Sei
sµ,λ =
Z
D
+λ
X
i∈Ir
P
i∈Ir
r
.
ci Bi,h
r
u = Bk,h
Wir setzen jeweils
!
X
r
ci Bi,h
)−f
∆(
X
r
∆(Bk,h
)+µ
Z
ci
k ∈ Ir .
r
r
Bi,h
Bk,h
−
!
Z
Γ
i∈I
i∈I
für alle
r
gBk,h
Γ
r
Z r
r
r
r
r
r
r
ci
Bi,h
B
+
B
B
+
2
B
B
k,h xx
i,h x̃x̃
k,h x̃x̃
i,h xx̃
k,h xx̃ = 0
xx
∀ k ∈ Ir
D
Damit sieht das zu lösende Gleichungssystem wie folgt aus.
X
Z
ci
+λ
D
r
Bi,h
xx
r
Bk,h
xx
+
r
Bi,h
x̃x̃
sµ,λ
r
Bk,h
x̃x̃
+λ
D
r
Bi,h
xx
Z
=
D
+2
Z
Z
r
r
=
f ∆(Bk,h ) + µ gBk,h
"Z
r
Bk,h
xx̃
(3)
∀ k ∈ Ir
Γ
r
r
∆(Bi,h
)∆(Bk,h
)+µ
ci
X
D
i∈Ir
r
Bi,h
xx̃
für (2) durch dieses Gleichungssystem gegeben:
X
Z r
r
Bi,h
Bk,h
+µ
Γ
D
Analog ist die Lösung
Z
D
i∈Ir
Z r
r
∆(Bi,h
)∆(Bk,h
)
r
Bk,h
xx
+
r
f ∆(Bk,h
)+µ
r
r
(xe )Bk,h
(xe )
Bi,h
e
r
Bi,h
x̃x̃
X
r
Bk,h
x̃x̃
r
g(xe )Bk,h
(xe )
+2
r
Bi,h
xx̃
r
Bk,h
xx̃
∀ k ∈ Ir ,
(4)
xe ∈ Γ
e
Dabei gilt insbesondere:
25
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
r
)xx = (Bkr1 ,h )xx Bkr2 ,h̃
(Bk,h
r
(Bk,h
)x̃x̃ = Bkr1 ,h (Bkr2 ,h̃ )x̃x̃
r
)xx̃ = (Bkr1 ,h )x (Bkr2 ,h̃ )x̃
(Bk,h
r
∆(Bk,h
) = (Bkr1 ,h )xx Bkr2 ,h̃ + Bkr1 ,h (Bkr2 ,h̃ )x̃x̃
Bevor wir zu den numerischen Betrachtungen kommen, stellen wir zunächst den Bezug zu RitzGalerkin-Verfahren fest.
Bemerkung 26 (Analogie zu Ritz-Galerkin-Verfahren)
Die Minimierungsaufgabe (1) bzw. (2) mit den zugehörigen Orthogonalitätsrelationen (3) bzw. (4)
lässt auch die Deutung im Sinne eines Ritz-Galerkin-Verfahrens zu, siehe etwa [11], S.51. So gilt
beispielsweise:
Z
Z
aµ,λ (u, v) =
ZD
σµ (v) =
Z
∆u∆v + µ uv + λ
Z Γ
f ∆v + µ gv,
(uxx vxx + ux̃x̃ vx̃x̃ + 2uxx̃ vxx̃ ) ,
D
Γ
D
aµ,λ (u, v) eine positiv denite, symmetrische Bilinearform (im Fall λ = 1 nämlich genau die
r
Norm auf S = Sh (D)) und σµ (v) ein lineares Funktional darstellen. Die Minimierungsaufgabe (1)
R 2
R 2
ist gleichwertig mit der Minimierung des Funktionals J(u) in (5), denn
f
und
g sind als
D
Γ
wobei
Konstanten unerheblich bei der Minimierung:
1
J(u) := aµ,λ (u, u) − σµ (u) −→ min
Shr (D)
2
(5)
Das zugehörige Gleichungssystem ist
X
r
r
r
ci · aµ,λ (Bi,h
, Bk,h
) = σµ (Bk,h
)
∀ k ∈ Ir .
i∈Ir
Ferner stellen wir einen für die folgenden Betrachtungen wichtigen Bezug dieses Beispiels zu
unserer allgemeinen Theorie fest:
Bemerkung 27 (Property M)
Bei der Minimierungsaufgabe (1) bzw. (2) erfüllt der endlichdimensionale Raum
Shr (D) die Property
M. Dies ist eine Anwendung von Beispiel 15. Satz 16 liefert deshalb in diesem Zusammenhang
(gY
= 0)
mit
K>0
den in Abhängigkeit von
λ
linearen Zusammenhang
ksλ − s0 k ≤ Kλ |s0 | ,
|sλ − s0 | ≤ K 2 λ |s0 | ,
26
4.3 Numerische Ergebnisse
welcher sich nach Voraussetzung (c) durch die Normäquivalenz auf endlichdimensionalen Räumen
u.a. auf die Werte
ksλ − s0 kL2 (D)
und
ksλ − s0 kH 1 (D)
ksλ − s0 kN ≤ αN (K + K 2 )λ |s0 | ,
überträgt:
αN > 0, N
Norm auf
Shr (D)
4.3 Numerische Ergebnisse
Wir kommen nun auf die durch das Programm pls.c gewonnenen numerischen Ergebnisse für das
Modellproblem aus Abschnitt 4.2 zu sprechen. In Abschnitt 4.3.1 betrachten wir den Fall vollständiger, homogener, in Abschnitt 4.3.2 den Fall vollständiger, inhomogener Randbedingungen. Ferner
geben wir in Abschnitt 4.3.3 ein Beispiel der Anwendung der Penalized Least Squares Methode mit
unvollständigen, homogenen Randbedingungen an.
4.3.1 Vollständige, homogene Randbedingungen auf dem Gebiet von
Höllig
Abbildung 2: Die Lösung
g
auf dem Gebiet
D
im Beispiel von Höllig.
Wir betrachten die in Abschnitt 4.2 beschriebene Aufgabe (2). Hierzu wählen wir, wie in [28],
S.71, das durch die algebraische Kurve
2
∂D : ω(x, x̃) = 1 − x2 − x̃ + x2 − 1 = 0
(6)
27
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
begrenzte Gebiet
D,
welches in Abbildung 1 dargestellt ist. Wir beziehen für die Randbedingungen
Γ = ∂D. Damit ist die Minimierungsaufgabe bereits ohne Penalty-Term
sei g = sin(ω) die gesuchte Lösung (siehe Abbildung 2), wobei g|∂D = 0,
den vollständigen Rand ein:
eindeutig lösbar. Ferner
und
f := ∆g = ∆ sin (ω (x, x̃)) =ωxx (x, x̃) cos (ω (x, x̃)) − ωx (x, x̃) sin (ω (x, x̃))
+ ωx̃x̃ (x, x̃) cos (ω (x, x̃)) − ωx̃ (x, x̃) sin (ω (x, x̃)) .
Die Randpunkte lassen sich aus (6) wie folgt angeben.
q
−2 (x − 1) ± 4 (x2 − 1)2 − 4x2 (x2 − 1)
2
x̃1,2 =
x1,2,3,4 = ±
1
1
− x̃ ± x̃ +
2
4
2
12 ! 12
Des Weiteren ist
ωx
ωxx
ωx̃
ωx̃x̃
= −4x3 − 4x̃x + 2x,
= −12x2 − 4x̃ + 2,
= −2x̃ − 2x2 + 2,
= −2.
Auf den folgenden Seiten benden sich eine Reihe von Tabellen und Diagrammen, die die durch
das Programm pls.c gewonnenen Resultate darstellen. Wir haben hierzu jeweils den Rand
Gebietes
D
an
1000
∂D
des
Punkten diskretisiert.
log10 ke16 kL2 (D) und log10 ke16 kH 1 (D) exdar. Es ist klar, dass die Abhängigkeit der
Die Abbildung 3 stellt den Zusammenhang der Fehler
emplarisch in Abhängigkeit von
Fehler von
µ
log10 (µ)
und
log10 (λ)
direkt daran gebunden ist, ob man den Rand des Gebietes über eine Summe diskreter
Werte behandelt (und wenn ja an wie vielen Punkten diskretisiert wird), wie in (4), oder ob man
6,5
−4
über den Rand integriert, wie in (3). Für einen Bereich 1 ≤ µ ≤ 10
erhalten wir mit λ < 10
−4,1
−2,7
minimale Fehler der Gröÿenordnung ken kL2 (D) ≈ 10
und ken kH 1 (D) ≈ 10
, was ungefähr
r
der maximal möglichen Approximationsgüte bei den verwendeten Räumen Sh (D) entspricht. Bei
zunehmendem
λ
steigen die Fehler zunächst linear, bis sich ein Sättigungswert einstellt. Gleiches
6,5
gilt bei abnehmendem µ. Wählt man µ 10
so wird praktisch nur noch der Randterm minimiert
und der Fehler steigt schlagartig an.
Bei den weiteren Auswertungen wurde
µ = 103
gewählt.
ken kL2 (D) , ken kH 1 (D) , ksλ − s0 kL2 (D)
n = 4, 8, 16, 32, 64 und r = 3, 4, 5 in Abhängigkeit
In den Tabellen auf den folgenden Seiten sind die Werte
und
von
ksλ − s0 kH 1 (D)
λ aufgelistet.
jeweils logarithmisch für
Die Abbildung 4 stellt den linearen Verlauf der logarithmischen Fehler
log10 ken kH 1 (D)
log10 ken kL2 (D)
und
log10 (λ) zwischen den Sättigungsbereichen für Approximation mit biquartischen B-Splines und jeweils n = 4, 8, 16, 32, 64 dar.
Der lineare Verlauf der logarithmischen Fehler log10 ke32 kL2 (D) und log10 ke32 kH 1 (D) in Abhängigkeit von log10 (λ) zwischen den Sättigungsbereichen ist in Abbildung 5 jeweils für Approximation
in Abhängigkeit von
mit bikubischen, biquartischen und biquintischen B-Splines dargestellt.
28
4.3 Numerische Ergebnisse
Abbildung 6 zeigt die Fehlerverteilung
|e32 | auf D exemplarisch bei Approximation mit bikubischen
λ > 0.
von log10 ksλ − s0 kL2 (D)
B-Splines für verschiedene Werte
und log10 ksλ − s0 kH 1 (D) in Abhängigkeit
wird in Abbildung 7 verdeutlicht. Hierbei gilt mit der jeweiligen Norm N :
Der lineare Zusammenhang
von
log10 (λ)
für
λ→0
ksλ − s0 kN ≈ cN · λ
log10 ksλ − s0 kN ≈ log10 (cN ) + log10 (λ)
Die folgenden Tabellen stellen die zugehörigen Konvergenzraten für
L2 (D)
crn
r=3 r=4 r=5
n = 8 3, 20 3, 73 3, 52
n = 16 3, 59 4, 78 5, 39
n = 32 3, 91 4, 99 5, 97
n = 64 3, 98 5, 03 6, 06
H 1 (D)
crn
n=8
n = 16
n = 32
n = 64
λ = 10−12
dar.
r=3 r=4 r=5
2, 23 2, 69 2, 84
2, 64 3, 57 4, 35
2, 90 3, 83 4, 83
2, 97 3, 92 4, 96
In [11], Ÿ6, sowie [12], Kapitel 4, sind Approximationssätze für die Interpolation mit niten
Elementen angegeben. Diese Abschätzungen liefern oensichtlich eine obere Schranke für den Fehler
der besten Approximation. Im Wesentlichen lässt sich für unsere Betrachtungen im bivariaten Fall
mit
h ≈ h̃
zusammenfassen:
n
or+1−m
ku − u∗ kH m (Ω) ≤ c · max h, h̃
kukH r+1 (Ω) ,
Dabei ist
0 ≤ m ≤ r + 1,
c>0
u∗ der zu u ∈ H r+1 (Ω) bestapproximierende Spline vom Grad ≤ r mit Schrittweite (h, h̃).
Siehe [28], S.19, für analoge Betrachtungen.
L2 (D)
Auch in unserer Auswertung gilt crn
≈r
und der Penalty-Term durch die Wahl von
0
2
beachte, dass H (Ω) = L (Ω) ist.
H 1 (D)
+ 1 und crn
≈ r, zumal die Lösung g glatt ist
−12
λ = 10
nur unwesentlich berücksichtigt wird. Man
Im Übrigen sind in [11] und [28] die fundamentalen Sätze von Céa, Bramble-Hilbert und AubinNitsche besprochen, die teils auch in [12] Erwähnung nden. Ebenso seien [22] und [29] in diesem
Zusammenhang erwähnt.
29
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
log10 ke16 kL2 (D) (oben) und log10 ke16 kH 1 (D) (unten) in Abhängigkeit von log10 (λ) (Abszisse) und log10 (µ) (Ordinate) bei bikubischen B-Splines im
Beispiel von Höllig (∂D diskretisiert an 1000 Punkten).
Abbildung 3: Logarithmische Fehler
30
4.3 Numerische Ergebnisse
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
log10 ken kL2 (D)
8
3
4
−3, 06 −3, 46
−3, 06 −3, 46
−3, 06 −3, 46
−3, 06 −3, 46
−3, 06 −3, 46
−3, 06 −3, 46
−3, 06 −3, 46
−3, 06 −3, 46
−3, 06 −3, 46
−2, 99 −3, 11
−2, 13 −2, 13
−1, 16 −1, 16
−0, 39 −0, 39
−0, 09 −0, 09
−0, 04 −0, 04
−0, 03 −0, 03
−0, 03 −0, 03
3
−2, 09
−2, 09
−2, 09
−2, 09
−2, 09
−2, 09
−2, 09
−2, 09
−2, 10
−2, 11
−2, 11
−1, 18
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
4
4
−2, 33
−2, 33
−2, 33
−2, 33
−2, 33
−2, 33
−2, 33
−2, 33
−2, 33
−2, 31
−2, 00
−1, 15
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
3
−5, 32
−5, 32
−5, 32
−5, 32
−5, 32
−5, 32
−5, 32
−5, 07
−4, 12
−3, 12
−2, 12
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
log10 ken kL2 (D)
32
4
5
3
−6, 40 −7, 46 −6, 52
−6, 40 −7, 46 −6, 52
−6, 40 −7, 46 −6, 52
−6, 40 −7, 46 −6, 52
−6, 40 −7, 45 −6, 52
−6, 39 −7, 08 −6, 51
−6, 07 −6, 12 −6, 10
−5, 12 −5, 12 −5, 12
−4, 12 −4, 12 −4, 12
−3, 12 −3, 12 −3, 12
−2, 12 −2, 12 −2, 12
−1, 16 −1, 16 −1, 16
−0, 39 −0, 39 −0, 39
−0, 09 −0, 09 −0, 09
−0, 04 −0, 04 −0, 04
−0, 03 −0, 03 −0, 03
−0, 03 −0, 03 −0, 03
5
−2, 98
−2, 98
−2, 98
−2, 98
−2, 98
−2, 98
−2, 98
−2, 98
−2, 98
−2, 92
−2, 13
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
64
4
−7, 91
−7, 91
−7, 91
−7, 91
−7, 84
−7, 11
−6, 12
−5, 12
−4, 12
−3, 12
−2, 12
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
5
−4, 04
−4, 04
−4, 04
−4, 04
−4, 04
−4, 04
−4, 04
−4, 04
−3, 93
−3, 12
−2, 12
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
3
−4, 14
−4, 14
−4, 14
−4, 14
−4, 14
−4, 14
−4, 14
−4, 14
−4, 01
−3, 12
−2, 12
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
16
4
−4, 90
−4, 90
−4, 90
−4, 90
−4, 90
−4, 90
−4, 90
−4, 84
−4, 12
−3, 12
−2, 12
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
5
−5, 66
−5, 66
−5, 66
−5, 66
−5, 66
−5, 66
−5, 63
−5, 10
−4, 12
−3, 12
−2, 12
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
5
−9, 28
−9, 28
−9, 28
−9, 04
−8, 12
−7, 12
−6, 12
−5, 12
−4, 12
−3, 12
−2, 12
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
31
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
32
log10 ken kH 1 (D)
8
3
4
−1, 86 −2, 24
−1, 86 −2, 24
−1, 86 −2, 24
−1, 86 −2, 24
−1, 86 −2, 24
−1, 86 −2, 24
−1, 86 −2, 24
−1, 86 −2, 24
−1, 86 −2, 24
−1, 85 −2, 21
−1, 56 −1, 62
−0, 66 −0, 67
0, 10
0, 10
0, 40
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
3
−1, 19
−1, 19
−1, 19
−1, 19
−1, 19
−1, 19
−1, 19
−1, 19
−1, 19
−1, 19
−1, 18
−0, 66
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
4
4
−1, 43
−1, 43
−1, 43
−1, 43
−1, 43
−1, 43
−1, 43
−1, 43
−1, 43
−1, 43
−1, 34
−0, 66
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
3
−3, 53
−3, 53
−3, 53
−3, 53
−3, 53
−3, 53
−3, 53
−3, 53
−3, 42
−2, 63
−1, 63
−0, 67
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
log10 ken kH 1 (D)
32
4
5
3
−4, 47 −5, 52 −4, 42
−4, 47 −5, 52 −4, 42
−4, 47 −5, 52 −4, 42
−4, 47 −5, 52 −4, 42
−4, 47 −5, 52 −4, 42
−4, 47 −5, 51 −4, 42
−4, 47 −5, 41 −4, 42
−4, 38 −4, 63 −4, 35
−3, 62 −3, 63 −3, 62
−2, 63 −2, 63 −2, 63
−1, 63 −1, 63 −1, 63
−0, 67 −0, 67 −0, 67
0, 10
0, 10
0, 10
0, 40
0, 40
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
5
−1, 90
−1, 90
−1, 90
−1, 90
−1, 90
−1, 90
−1, 90
−1, 90
−1, 90
−1, 89
−1, 58
−0, 66
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
64
4
−5, 65
−5, 65
−5, 65
−5, 65
−5, 65
−5, 65
−5, 49
−4, 63
−3, 63
−2, 63
−1, 63
−0, 67
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
5
−2, 75
−2, 75
−2, 75
−2, 75
−2, 75
−2, 75
−2, 75
−2, 75
−2, 75
−2, 53
−1, 63
−0, 67
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
5
−7, 01
−7, 01
−7, 01
−7, 01
−7, 00
−6, 59
−5, 63
−4, 63
−3, 63
−2, 63
−1, 63
−0, 67
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
3
−2, 66
−2, 66
−2, 66
−2, 66
−2, 66
−2, 66
−2, 66
−2, 66
−2, 65
−2, 49
−1, 63
−0, 67
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
16
4
−3, 32
−3, 32
−3, 32
−3, 32
−3, 32
−3, 32
−3, 32
−3, 32
−3, 27
−2, 62
−1, 63
−0, 67
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
5
−4, 06
−4, 06
−4, 06
−4, 06
−4, 06
−4, 06
−4, 06
−4, 05
−3, 60
−2, 63
−1, 63
−0, 67
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
4.3 Numerische Ergebnisse
Abbildung 4: Logarithmische Fehler
(oben) und
log10 ken kH 1 (D)
(unten) in Abhän-
log10 (λ) (Abszisse) bei Approximation mit biquartischen
3
von Höllig (µ = 10 , ∂D diskretisiert an 1000 Punkten).
gigkeit von
Beispiel
log10 ken kL2 (D)
B-Splines im
33
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
log10 ke32 kL2 (D) (oben) und log10 ke32 kH 1 (D) (unten) in Abhängigkeit von log10 (λ) (Abszisse) bei bivariaten B-Splines des Grades r im Beispiel
3
von Höllig (µ = 10 , ∂D diskretisiert an 1000 Punkten).
Abbildung 5: Logarithmische Fehler
34
4.3 Numerische Ergebnisse
λ = 10−8
ke32 kL2 (D) = 4, 82 · 10−6
ke32 kH 1 (D) = 2, 95 · 10−4
λ = 10−5
ke32 kL2 (D) = 8, 59 · 10−6
ke32 kH 1 (D) = 2, 97 · 10−4
λ = 10−4
ke32 kL2 (D) = 7, 56 · 10−5
ke32 kH 1 (D) = 3, 81 · 10−4
|e32 | auf D für
1000 Punkten).
Abbildung 6: Fehler
an
verschiedene Werte
λ > 0 (r = 3, µ = 103 , ∂D
diskretisiert
35
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
36
log10 ksλ − s0 kL2 (D)
8
5
3
4
−12, 07 −12, 11 −12, 12
−11, 11 −11, 12 −11, 12
−10, 12 −10, 12 −10, 12
−9, 12
−9, 12
−9, 12
−8, 12
−8, 12
−8, 12
−7, 12
−7, 12
−7, 12
−6, 12
−6, 12
−6, 12
−5, 12
−5, 12
−5, 12
−4, 12
−4, 12
−4, 12
−3, 12
−3, 12
−3, 12
−2, 12
−2, 12
−2, 12
−1, 16
−1, 16
−1, 16
−0, 39
−0, 39
−0, 39
−0, 09
−0, 09
−0, 09
−0, 04
−0, 04
−0, 04
−0, 03
−0, 03
−0, 03
−0, 03
−0, 03
−0, 03
3
−12, 12
−11, 11
−10, 12
−9, 12
−8, 12
−7, 12
−6, 12
−5, 12
−4, 12
−3, 12
−2, 12
−1, 15
−0, 38
−0, 08
−0, 04
−0, 03
−0, 03
4
4
−12, 06
−11, 11
−10, 13
−9, 13
−8, 13
−7, 13
−6, 13
−5, 13
−4, 13
−3, 13
−2, 13
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
3
−12, 04
−11, 12
−10, 12
−9, 12
−8, 12
−7, 12
−6, 12
−5, 12
−4, 12
−3, 12
−2, 12
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
log10 ksλ − s0 kL2 (D)
32
4
5
3
−12, 06 −12, 03 −11, 41
−11, 10 −11, 11 −11, 02
−10, 12 −10, 12 −10, 11
−9, 12
−9, 12
−9, 12
−8, 12
−8, 12
−8, 12
−7, 12
−7, 12
−7, 12
−6, 12
−6, 12
−6, 12
−5, 12
−5, 12
−5, 12
−4, 12
−4, 12
−4, 12
−3, 12
−3, 12
−3, 12
−2, 12
−2, 12
−2, 12
−1, 16
−1, 16
−1, 16
−0, 39
−0, 39
−0, 39
−0, 09
−0, 09
−0, 09
−0, 04
−0, 04
−0, 04
−0, 03
−0, 03
−0, 03
−0, 03
−0, 03
−0, 03
64
4
−11, 79
−10, 94
−10, 13
−9, 12
−8, 12
−7, 12
−6, 12
−5, 12
−4, 12
−3, 12
−2, 12
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
5
−12, 11
−11, 12
−10, 12
−9, 12
−8, 12
−7, 12
−6, 12
−5, 12
−4, 12
−3, 12
−2, 12
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
5
−11, 44
−11, 00
−10, 10
−9, 12
−8, 12
−7, 12
−6, 12
−5, 12
−4, 12
−3, 12
−2, 12
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
3
−12, 11
−11, 12
−10, 12
−9, 12
−8, 12
−7, 12
−6, 12
−5, 12
−4, 12
−3, 12
−2, 12
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
16
4
−12, 12
−11, 12
−10, 12
−9, 12
−8, 12
−7, 12
−6, 12
−5, 12
−4, 12
−3, 12
−2, 12
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
5
−12, 12
−11, 12
−10, 12
−9, 12
−8, 12
−7, 12
−6, 12
−5, 12
−4, 12
−3, 12
−2, 12
−1, 16
−0, 39
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
4.3 Numerische Ergebnisse
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
log10 ksλ − s0 kH 1 (D)
8
5
3
4
−11, 46 −11, 62 −11, 63
−10, 62 −10, 63 −10, 63
−9, 63
−9, 63
−9, 63
−8, 63
−8, 63
−8, 63
−7, 63
−7, 63
−7, 63
−6, 63
−6, 63
−6, 63
−5, 63
−5, 63
−5, 63
−4, 63
−4, 63
−4, 63
−3, 63
−3, 63
−3, 63
−2, 63
−2, 63
−2, 63
−1, 63
−1, 63
−1, 63
−0, 67
−0, 67
−0, 67
0, 10
0, 10
0, 10
0, 40
0, 40
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
3
−11, 63
−10, 63
−9, 63
−8, 63
−7, 63
−6, 63
−5, 63
−4, 63
−3, 63
−2, 63
−1, 63
−0, 66
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 46
4
4
−11, 56
−10, 62
−9, 63
−8, 63
−7, 63
−6, 63
−5, 63
−4, 63
−3, 63
−2, 63
−1, 64
−0, 67
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
3
−11, 56
−10, 63
−9, 63
−8, 63
−7, 63
−6, 63
−5, 63
−4, 63
−3, 63
−2, 63
−1, 63
−0, 67
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
log10 ksλ − s0 kH 1 (D)
32
4
5
3
−11, 58 −11, 56 −10, 96
−10, 62 −10, 62 −10, 55
−9, 63
−9, 63
−9, 62
−8, 63
−8, 63
−8, 63
−7, 63
−7, 63
−7, 63
−6, 63
−6, 63
−6, 63
−5, 63
−5, 63
−5, 63
−4, 63
−4, 63
−4, 63
−3, 63
−3, 63
−3, 63
−2, 63
−2, 63
−2, 63
−1, 63
−1, 63
−1, 63
−0, 67
−0, 67
−0, 67
0, 10
0, 10
0, 10
0, 40
0, 40
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
64
4
−11, 33
−10, 47
−9, 64
−8, 63
−7, 63
−6, 63
−5, 63
−4, 63
−3, 63
−2, 63
−1, 63
−0, 67
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
5
−11, 62
−10, 63
−9, 63
−8, 63
−7, 63
−6, 63
−5, 63
−4, 63
−3, 63
−2, 63
−1, 63
−0, 67
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
3
−11, 62
−10, 63
−9, 63
−8, 63
−7, 63
−6, 63
−5, 63
−4, 63
−3, 63
−2, 63
−1, 63
−0, 67
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
16
4
−11, 63
−10, 63
−9, 63
−8, 63
−7, 63
−6, 63
−5, 63
−4, 63
−3, 63
−2, 63
−1, 63
−0, 67
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
5
−11, 63
−10, 63
−9, 63
−8, 63
−7, 63
−6, 63
−5, 63
−4, 63
−3, 63
−2, 63
−1, 63
−0, 67
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
5
−10, 99
−10, 53
−9, 62
−8, 63
−7, 63
−6, 63
−5, 63
−4, 63
−3, 63
−2, 63
−1, 63
−0, 67
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
37
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
log10 ksλ − s0 kL2 (D) (oben) und log10 ksλ − s0 kH 1 (D) (unten) in Abhängigkeit
log10 (λ) (Abszisse) bei Approximation mit biquartischen B-Splines im Beispiel
3
Höllig (n = 32, µ = 10 , ∂D diskretisiert an 1000 Punkten).
Abbildung 7: Werte
von
von
38
4.3 Numerische Ergebnisse
Bemerkung 28 (WEB-Splines)
Bei den von Höllig in [28] vorgestellten
WEB-Splines (Weighted Extended B-Splines) handelt es
sich um gewichtete erweiterte B-Splines. WEB-Splines zeichnen sich im Vergleich zu Standard-BSplines durch die vorteilhaften Eigenschaften aus, dass sie
•
wesentlichen Randbedingungen (hier: homogenen Dirichlet-Randbedingungen) genügen, was
durch die Multiplikation der B-Splines mit einer Gewichtsfunktion sichergestellt wird (welche
im Falle von Dirichlet-Randbedingungen positiv innerhalb des betrachteten Gebietes
auf dem Rand
•
∂D
gleich
0
D
und
ist),
und numerisch stabil bzgl. der Schrittweite
h sind, da Rand-B-Splines, deren Träger keine in-
nere Zelle enthält, passend (d.h. unter Erhaltung der Approximationsordnung) an eine stabile
D
Untermenge der B-Spline-Basis auf
gekoppelt werden.
Zum Vergleich mit den entsprechenden Ergebnissen bei Ritz-Galerkin-Approximation der PoissonGleichung mit vollständigen, homogenen Dirichlet-Randbedingungen mit WEB-Splines denieren
wir den
WEB-Spline-Approximationsfehler
EhWEB (x, x̃) := |whWEB (x, x̃) − g(x, x̃)|
mit der WEB-Spline-Approximation
g = sin(ω), f = ∆g ,
whWEB
mit Schrittweite
hWEB = (hWEB , hWEB ) und der Lösung
siehe [28], S.71.
In den folgenden Tabellen sind die Faktoren dargestellt, um die in diesem Beispiel die Fehler bei
λ = 10−12 , µ = 103
Penalized Least Squares Approximation mit Standard-B-Splines bei Wahl von
und Diskretisierung des Randes
∂D
an
1000
Punkten gröÿer ausfallen als bei Verwendung von
WEB-Splines bei entsprechender Ritz-Galerkin-Approximation ohne Penalty-Term.
ken kL2 (D) / kEhWEB kL2 (D) ≈
n = 4, hWEB = 2−1
n = 8, hWEB = 2−2
n = 16, hWEB = 2−3
n = 32, hWEB = 2−4
n = 64, hWEB = 2−5
r=3 r=4 r=5
6
10
5
7
10
16
10
14
25
12
14
25
11
15
30
ken kH 1 (D) / kEhWEB kH 1 (D) ≈ r = 3 r = 4 r = 5
n = 4, hWEB = 2−1
5
7
4
n = 8, hWEB = 2−2
5
7
13
n = 16, hWEB = 2−3
5
12
17
−4
n = 32, hWEB = 2
7
13
24
n = 64, hWEB = 2−5
7
14
25
Da in WEB-Splineräumen die Randbedingungen inkorporiert sind, waren diese Ergebnisse zu
erwarten. Die zugehörigen Konvergenzraten bei Ritz-Galerkin-Approximation mit WEB-Splines ver-
39
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
halten sich bei diesem Beispiel ebenso wie die Konvergenzraten in unseren Auswertungen:
log2
kEh
k 2
WEB L (D)
Eh /2 2
!
kEh
k 1
WEB H (D)
Eh /2 1
!
WEB
log2
≈r+1
L (D)
WEB
≈r
H (D)
In Abschnitt 4.3.3 wird ebenfalls ein numerisches Beispiel für die Instabilität bzgl. der Schrittweite
für
h→0
bei Standard-B-Splines gegeben.
4.3.2 Vollständige, inhomogene Randbedingungen auf
rechteckförmigen Gebieten
Wir betrachten weiterhin die in Abschnitt 4.2 beschriebene Aufgabe. Wie in Abschnitt 4.3.1 sei
g = sin(ω) und f = ∆g . Nun widmen wir uns rechteckförmigen Gebieten
D von Höllig und setzen inhomogene Randbedingungen voraus. Weiterhin
anstelle des Gebietes
ziehen wir für
Γ
den
vollständigen Rand der jeweiligen Gebiete heran.
Wir betrachten die in Abbildung 8 zusammen mit
•
R,
ein Rechteck mit den Ecken
•
L,
ein Gebiet in Form eines L mit Ecken
(−0, 2; 1, 2)
•
und
D
dargestellten rechteckförmigen Gebiete
(−0, 6; 0), (0, 6; 0), (0, 6; 1, 2)
und
(−0, 6; 1, 2),
(−0, 6; 0), (0, 6; 0), (0, 6; 0, 4), (−0, 2; 0, 4),
(−0, 6; 1, 2),
sowie F , ein Fünfeck, welches die konvexe Hülle von L ist, mit den Ecken (−0, 6; 0), (0, 6; 0),
(0, 6; 0, 4), (−0, 2; 1, 2) und (−0, 6; 1, 2).
Es gilt
R, F, L ⊂ D,
so dass die Aufgabe aus Abschnitt 4.3.1 auf
R, F
und
L
wohldeniert ist.
Für die Auswertungen haben wir, wie in Abschnitt 4.3.1, den Rand der Gebiete jeweils an
3
Punkten diskretisiert und µ = 10 gewählt.
1000
ken kL2 (Ω) , ken kH 1 (Ω) , ksλ − s0 kL2 (Ω)
und ksλ − s0 kH 1 (Ω) jeweils logarithmisch für Ω = R, F, L, n = 16, 32, 64 und r = 3, 4, 5 in
−12
Abhängigkeit von λ sowie die Konvergenzraten für λ = 10
dargestellt. Auch hier fällt auf,
L2 (Ω)
H 1 (Ω)
dass crn
≈ r + 1 und crn
≈ r gilt. Ebenso ist der lineare Zusammenhang der Fehler
zwischen den Sättigungsbereichen und generell der lineare Zusammenhang von ksλ − s0 kL2 (Ω) bzw.
ksλ − s0 kH 1 (Ω) in Abhängigkeit von λ für λ → 0 ersichtlich.
Exemplarisch zeigt Abbildung 9 das Verhalten der Fehler ke64 kL2 (Ω) und ke64 kH 1 (Ω) bei Approximation mit bikubischen B-Splines für die Gebiete R, F und L sowie, zum Vergleich, für D . Die
bessere Approximation auf den rechteckförmigen Gebieten im Vergleich zur Approximation auf D
In den Tabellen auf den folgenden Seiten sind die Werte
rührt hauptsächlich daher, dass erstere mit stückweise linearen Rändern besser mit dem Rechteckgitter übereinstimmen.
Die Abbildungen 10, 11 und 12 zeigen die Fehlerverteilung jeweils auf den Gebieten
L
40
bei Approximation mit bikubischen B-Splines für verschiedene Werte
λ > 0.
R, F und
n = 64
Hierbei ist
4.3 Numerische Ergebnisse
Abbildung 8: Die betrachteten rechteckförmigen Gebiete: Rechteck
Form
L
(blau-schwarz) und Fünfeck
Zum Vergleich ist das Gebiet
D
F
R
(rot-schwarz), Gebiet in L-
(grün-schwarz) mit Werten
a, b, c, d, s, t.
von Höllig in lila dargestellt.
µ und die hohe Zahl an diskreten
n erhalten wir besonders am Rand niedrige Fehler. Dies wird
gewählt. Durch die relativ starke Gewichtung des Randes mittels
Randpunkten sowie die hohe Wahl für
auch durch die reguläre Form der Gebiete begünstigt, die mit dem gewählten Gitter gut koinzidieren.
Wählt man beispielsweise
n
oder
µ
kleiner oder diskretisiert an nur
100
Randpunkten, so treten
besonders am Rand des jeweiligen Gebietes Fehlerspitzen auf.
log10 ksλ − s0 kL2 (Ω)
log10 (λ) für λ → 0 beispielhaft bei Approximation
n = 16 für die Gebiete R, F und L sowie, zum
Schlieÿlich verdeutlicht die Abbildung 13 den linearen Zusammenhang von
und
log10 ksλ − s0 kH 1 (Ω)
in Abhängigkeit von
mit biquintischen B-Splines auf Gittern mit
Vergleich, für
D.
41
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
n
r
L2 (R)
crn
−12
λ = 10
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
n
r
H 1 (R)
crn
−12
λ = 10
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
42
3
4, 07
−5, 71
−5, 71
−5, 71
−5, 71
−5, 71
−5, 71
−5, 71
−5, 69
−5, 01
−4, 00
−3, 01
−2, 04
−1, 30
−1, 03
−0, 94
−0, 82
−0, 67
3
3, 04
−3, 93
−3, 93
−3, 93
−3, 93
−3, 93
−3, 93
−3, 93
−3, 93
−3, 91
−3, 36
−2, 38
−1, 41
−0, 67
−0, 40
−0, 31
−0, 20
−0, 04
16
4
5, 40
−7, 05
−7, 05
−7, 05
−7, 05
−7, 05
−7, 05
−6, 88
−6, 00
−5, 00
−4, 00
−3, 01
−2, 04
−1, 30
−1, 03
−0, 94
−0, 82
−0, 67
16
4
4, 12
−5, 17
−5, 17
−5, 17
−5, 17
−5, 17
−5, 17
−5, 17
−5, 09
−4, 37
−3, 37
−2, 38
−1, 41
−0, 67
−0, 40
−0, 31
−0, 20
−0, 04
5
5, 22
−7, 85
−7, 85
−7, 85
−7, 85
−7, 85
−7, 76
−7, 00
−6, 00
−5, 00
−4, 00
−3, 01
−2, 04
−1, 30
−1, 03
−0, 94
−0, 82
−0, 67
log10 ken kL2 (R)
32
3
4
4, 05
4, 95
−6, 93 −8, 54
−6, 93 −8, 54
−6, 93 −8, 54
−6, 93 −8, 54
−6, 93 −8, 52
−6, 93 −7, 99
−6, 86 −7, 00
−6, 01 −6, 00
−5, 00 −5, 00
−4, 00 −4, 00
−3, 01 −3, 01
−2, 04 −2, 04
−1, 30 −1, 30
−1, 03 −1, 03
−0, 94 −0, 94
−0, 82 −0, 82
−0, 67 −0, 67
5
4, 34
−6, 02
−6, 02
−6, 02
−6, 02
−6, 02
−6, 02
−5, 98
−5, 36
−4, 37
−3, 37
−2, 38
−1, 41
−0, 67
−0, 40
−0, 31
−0, 20
−0, 04
log10 ken kH 1 (R)
32
3
4
3, 03
3, 89
−4, 84 −6, 34
−4, 84 −6, 34
−4, 84 −6, 34
−4, 84 −6, 34
−4, 84 −6, 34
−4, 84 −6, 33
−4, 84 −6, 20
−4, 83 −5, 37
−4, 35 −4, 37
−3, 38 −3, 37
−2, 38 −2, 38
−1, 41 −1, 41
−0, 67 −0, 67
−0, 40 −0, 40
−0, 31 −0, 31
−0, 20 −0, 20
−0, 04 −0, 04
5
5, 80
−9, 60
−9, 60
−9, 60
−9, 57
−8, 99
−8, 00
−7, 00
−6, 00
−5, 00
−4, 00
−3, 01
−2, 04
−1, 30
−1, 03
−0, 94
−0, 82
−0, 67
5
4, 72
−7, 45
−7, 45
−7, 45
−7, 45
−7, 44
−7, 26
−6, 37
−5, 37
−4, 37
−3, 37
−2, 38
−1, 41
−0, 67
−0, 40
−0, 31
−0, 20
−0, 04
3
4, 01
−8, 13
−8, 13
−8, 13
−8, 13
−8, 14
−7, 95
−7, 01
−6, 00
−5, 00
−4, 00
−3, 01
−2, 04
−1, 30
−1, 03
−0, 94
−0, 82
−0, 67
64
4
4, 86
−10, 00
−10, 00
−10, 00
−9, 83
−9, 00
−8, 00
−7, 00
−6, 00
−5, 00
−4, 00
−3, 01
−2, 04
−1, 30
−1, 03
−0, 94
−0, 82
−0, 67
3
3, 01
−5, 75
−5, 75
−5, 75
−5, 75
−5, 75
−5, 75
−5, 74
−5, 34
−4, 37
−3, 37
−2, 38
−1, 41
−0, 67
−0, 40
−0, 31
−0, 20
−0, 04
64
4
3, 88
−7, 50
−7, 50
−7, 50
−7, 50
−7, 50
−7, 28
−6, 37
−5, 37
−4, 37
−3, 37
−2, 38
−1, 41
−0, 67
−0, 40
−0, 31
−0, 20
−0, 04
5
4, 70
−11, 01
−11, 07
−11, 05
−10, 06
−9, 01
−8, 00
−7, 00
−6, 00
−5, 00
−4, 00
−3, 01
−2, 04
−1, 30
−1, 03
−0, 94
−0, 82
−0, 67
5
4, 90
−8, 92
−8, 92
−8, 92
−8, 90
−8, 36
−7, 37
−6, 37
−5, 37
−4, 37
−3, 37
−2, 38
−1, 41
−0, 67
−0, 40
−0, 31
−0, 20
−0, 04
4.3 Numerische Ergebnisse
n
r
L2 (F )
crn
−12
λ = 10
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
n
r
H 1 (F )
crn
−12
λ = 10
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
3
4, 26
−5, 81
−5, 81
−5, 81
−5, 81
−5, 81
−5, 81
−5, 81
−5, 76
−5, 08
−4, 09
−3, 09
−2, 13
−1, 38
−1, 10
−1, 03
−0, 99
−0, 90
3
3, 04
−4, 03
−4, 03
−4, 03
−4, 03
−4, 03
−4, 03
−4, 03
−4, 03
−4, 00
−3, 40
−2, 41
−1, 44
−0, 70
−0, 42
−0, 34
−0, 30
−0, 20
16
4
5, 34
−7, 17
−7, 17
−7, 17
−7, 17
−7, 17
−7, 17
−6, 98
−6, 08
−5, 09
−4, 09
−3, 09
−2, 13
−1, 38
−1, 10
−1, 03
−0, 99
−0, 90
16
4
4, 10
−5, 29
−5, 29
−5, 29
−5, 29
−5, 29
−5, 29
−5, 29
−5, 19
−4, 40
−3, 40
−2, 41
−1, 44
−0, 70
−0, 42
−0, 34
−0, 30
−0, 20
5
5, 16
−8, 00
−8, 00
−8, 00
−8, 00
−8, 00
−7, 88
−7, 08
−6, 08
−5, 08
−4, 09
−3, 09
−2, 13
−1, 38
−1, 10
−1, 03
−0, 99
−0, 90
log10 ken kL2 (F )
32
3
4
4, 03
4, 97
−7, 02 −8, 67
−7, 02 −8, 67
−7, 02 −8, 67
−7, 02 −8, 67
−7, 02 −8, 63
−7, 02 −8, 07
−6, 90 −7, 08
−6, 08 −6, 08
−5, 08 −5, 08
−4, 09 −4, 09
−3, 09 −3, 09
−2, 13 −2, 13
−1, 38 −1, 38
−1, 10 −1, 10
−1, 03 −1, 03
−0, 99 −0, 99
−0, 90 −0, 90
5
4, 29
−6, 17
−6, 17
−6, 17
−6, 17
−6, 17
−6, 17
−6, 10
−5, 40
−4, 40
−3, 40
−2, 41
−1, 44
−0, 70
−0, 42
−0, 34
−0, 30
−0, 20
log10 ken kH 1 (F )
32
3
4
3, 01
3, 90
−4, 93 −6, 46
−4, 93 −6, 46
−4, 93 −6, 46
−4, 93 −6, 46
−4, 93 −6, 46
−4, 93 −6, 46
−4, 93 −6, 28
−4, 91 −5, 40
−4, 39 −4, 40
−3, 40 −3, 40
−2, 41 −2, 41
−1, 44 −1, 44
−0, 70 −0, 70
−0, 42 −0, 42
−0, 34 −0, 34
−0, 30 −0, 30
−0, 20 −0, 20
5
5, 81
−9, 75
−9, 75
−9, 75
−9, 71
−9, 08
−8, 08
−7, 08
−6, 08
−5, 08
−4, 09
−3, 09
−2, 13
−1, 38
−1, 10
−1, 03
−0, 99
−0, 90
5
4, 73
−7, 59
−7, 59
−7, 59
−7, 59
−7, 59
−7, 33
−6, 40
−5, 40
−4, 40
−3, 40
−2, 41
−1, 44
−0, 70
−0, 42
−0, 34
−0, 30
−0, 20
3
4, 01
−8, 23
−8, 23
−8, 23
−8, 23
−8, 23
−8, 00
−7, 08
−6, 08
−5, 08
−4, 09
−3, 09
−2, 13
−1, 38
−1, 10
−1, 03
−0, 99
−0, 90
64
4
4, 87
−10, 13
−10, 13
−10, 13
−9, 95
−9, 08
−8, 08
−7, 08
−6, 08
−5, 08
−4, 09
−3, 09
−2, 13
−1, 38
−1, 10
−1, 03
−0, 99
−0, 90
3
3, 01
−5, 84
−5, 84
−5, 84
−5, 84
−5, 84
−5, 84
−5, 83
−5, 38
−4, 40
−3, 40
−2, 41
−1, 44
−0, 70
−0, 42
−0, 34
−0, 30
−0, 20
64
4
3, 88
−7, 63
−7, 63
−7, 63
−7, 63
−7, 62
−7, 34
−6, 40
−5, 40
−4, 40
−3, 40
−2, 41
−1, 44
−0, 70
−0, 42
−0, 34
−0, 30
−0, 20
5
5, 34
−11, 35
−11, 43
−11, 45
−10, 11
−9, 09
−8, 08
−7, 08
−6, 08
−5, 08
−4, 09
−3, 09
−2, 13
−1, 38
−1, 10
−1, 03
−0, 99
−0, 90
5
4, 90
−9, 07
−9, 07
−9, 07
−9, 03
−8, 40
−7, 40
−6, 40
−5, 40
−4, 40
−3, 40
−2, 41
−1, 44
−0, 70
−0, 42
−0, 34
−0, 30
−0, 20
43
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
n
r
L2 (L)
crn
−12
λ = 10
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
n
r
H 1 (L)
crn
−12
λ = 10
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
44
3
4, 13
−5, 82
−5, 82
−5, 82
−5, 82
−5, 82
−5, 82
−5, 82
−5, 82
−5, 57
−4, 62
−3, 62
−2, 66
−1, 92
−1, 64
−1, 54
−1, 47
−1, 20
3
3, 05
−4, 05
−4, 05
−4, 05
−4, 05
−4, 05
−4, 05
−4, 05
−4, 05
−4, 05
−3, 66
−2, 69
−1, 73
−0, 99
−0, 70
−0, 61
−0, 52
−0, 32
16
4
5, 36
−7, 19
−7, 19
−7, 19
−7, 19
−7, 19
−7, 18
−7, 15
−6, 59
−5, 61
−4, 61
−3, 62
−2, 66
−1, 91
−1, 64
−1, 54
−1, 47
−1, 20
16
4
4, 08
−5, 30
−5, 30
−5, 30
−5, 30
−5, 30
−5, 30
−5, 30
−5, 27
−4, 67
−3, 68
−2, 69
−1, 73
−0, 98
−0, 70
−0, 61
−0, 52
−0, 32
5
5, 04
−8, 01
−8, 01
−8, 01
−8, 01
−8, 01
−8, 00
−7, 59
−6, 62
−5, 62
−4, 62
−3, 62
−2, 66
−1, 92
−1, 64
−1, 54
−1, 47
−1, 20
log10 ken kL2 (L)
32
3
4
3, 83
4, 95
−6, 97 −8, 68
−6, 97 −8, 68
−6, 97 −8, 68
−6, 97 −8, 67
−6, 98 −8, 67
−6, 98 −8, 47
−6, 99 −7, 59
−6, 61 −6, 59
−5, 60 −5, 59
−4, 59 −4, 59
−3, 60 −3, 59
−2, 64 −2, 63
−1, 90 −1, 90
−1, 63 −1, 63
−1, 54 −1, 54
−1, 47 −1, 47
−1, 20 −1, 20
5
4, 18
−6, 18
−6, 18
−6, 18
−6, 18
−6, 18
−6, 18
−6, 16
−5, 67
−4, 69
−3, 69
−2, 69
−1, 73
−0, 99
−0, 70
−0, 61
−0, 52
−0, 32
log10 ken kH 1 (L)
32
3
4
3, 03
3, 88
−4, 97 −6, 47
−4, 97 −6, 47
−4, 97 −6, 47
−4, 97 −6, 47
−4, 97 −6, 47
−4, 97 −6, 47
−4, 97 −6, 40
−4, 96 −5, 66
−4, 62 −4, 66
−3, 67 −3, 67
−2, 67 −2, 67
−1, 71 −1, 71
−0, 98 −0, 98
−0, 70 −0, 70
−0, 61 −0, 61
−0, 52 −0, 52
−0, 32 −0, 32
5
5, 77
−9, 75
−9, 75
−9, 75
−9, 74
−9, 51
−8, 59
−7, 59
−6, 59
−5, 59
−4, 59
−3, 59
−2, 64
−1, 90
−1, 63
−1, 54
−1, 47
−1, 20
5
4, 71
−7, 59
−7, 59
−7, 59
−7, 59
−7, 59
−7, 48
−6, 66
−5, 67
−4, 67
−3, 67
−2, 67
−1, 71
−0, 98
−0, 70
−0, 61
−0, 52
−0, 32
3
4, 16
−8, 23
−8, 23
−8, 23
−8, 23
−8, 23
−8, 21
−7, 57
−6, 57
−5, 57
−4, 57
−3, 57
−2, 62
−1, 90
−1, 63
−1, 54
−1, 47
−1, 20
64
4
4, 80
−10, 12
−10, 12
−10, 12
−10, 06
−9, 52
−8, 56
−7, 57
−6, 57
−5, 57
−4, 57
−3, 57
−2, 62
−1, 90
−1, 63
−1, 54
−1, 47
−1, 20
3
3, 00
−5, 87
−5, 87
−5, 87
−5, 87
−5, 87
−5, 87
−5, 86
−5, 58
−4, 65
−3, 65
−2, 66
−1, 70
−0, 97
−0, 70
−0, 61
−0, 52
−0, 32
64
4
3, 88
−7, 64
−7, 64
−7, 64
−7, 64
−7, 64
−7, 49
−6, 65
−5, 65
−4, 65
−3, 65
−2, 65
−1, 70
−0, 98
−0, 70
−0, 61
−0, 52
−0, 32
5
5, 98
−11, 55
−11, 55
−11, 44
−10, 57
−9, 57
−8, 57
−7, 57
−6, 57
−5, 57
−4, 57
−3, 57
−2, 62
−1, 90
−1, 63
−1, 54
−1, 47
−1, 20
5
4, 90
−9, 07
−9, 07
−9, 07
−9, 06
−8, 62
−7, 65
−6, 65
−5, 65
−4, 65
−3, 65
−2, 66
−1, 70
−0, 98
−0, 70
−0, 61
−0, 52
−0, 32
4.3 Numerische Ergebnisse
log10 ke64 kL2 (Ω) (oben) und log10 ke64 kH 1 (Ω) (unten) in Abhänlog10 (λ) (Abszisse) bei Approximation mit bikubischen B-Splines für die
R, F und L sowie, zum Vergleich, für D (µ = 103 , Rand jeweils an 1000
Abbildung 9: Logarithmische Fehler
gigkeit von
Gebiete
Punkten diskretisiert).
45
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
λ = 10−8
ke64 kL2 (R) = 7, 23 · 10−9
ke64 kH 1 (R) = 1, 78 · 10−6
λ = 3, 2 · 10−7
ke64 kL2 (R) = 3, 09 · 10−8
ke64 kH 1 (R) = 1, 78 · 10−6
λ = 10−5
ke64 kL2 (R) = 9, 94 · 10−7
ke64 kH 1 (R) = 4, 58 · 10−6
|e64 | auf R für
1000 Punkten).
Abbildung 10: Fehler
an
46
verschiedene Werte
λ > 0 (r = 3, µ = 103 , ∂R
diskretisiert
4.3 Numerische Ergebnisse
λ = 10−8
ke64 kL2 (F ) = 5, 91 · 10−9
ke64 kH 1 (F ) = 1, 44 · 10−6
λ = 3, 2 · 10−7
ke64 kL2 (F ) = 2, 65 · 10−8
ke64 kH 1 (F ) = 1, 45 · 10−6
λ = 10−5
ke64 kL2 (F ) = 8, 23 · 10−7
ke64 kH 1 (F ) = 4, 20 · 10−6
|e64 | auf F für
1000 Punkten).
Abbildung 11: Fehler
an
verschiedene Werte
λ > 0 (r = 3, µ = 103 , ∂F
diskretisiert
47
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
λ = 10−8
ke64 kL2 (L) = 5, 91 · 10−9
ke64 kH 1 (L) = 1, 35 · 10−6
λ = 10−6
ke64 kL2 (L) = 2, 66 · 10−8
ke64 kH 1 (L) = 1, 37 · 10−6
λ = 10−5
ke64 kL2 (L) = 2, 69 · 10−7
ke64 kH 1 (L) = 2, 60 · 10−6
|e64 | auf L für
1000 Punkten).
Abbildung 12: Fehler
an
48
verschiedene Werte
λ > 0 (r = 3, µ = 103 , ∂L
diskretisiert
4.3 Numerische Ergebnisse
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
3
−12, 91
−11, 99
−11, 00
−10, 00
−9, 00
−8, 00
−7, 00
−6, 00
−5, 00
−4, 00
−3, 01
−2, 04
−1, 30
−1, 03
−0, 94
−0, 82
−0, 67
16
4
−12, 89
−12, 00
−11, 00
−10, 00
−9, 00
−8, 00
−7, 00
−6, 00
−5, 00
−4, 00
−3, 01
−2, 04
−1, 30
−1, 03
−0, 94
−0, 82
−0, 67
log10 ksλ − s0 kL2 (R)
32
5
3
4
−12, 96 −12, 14 −12, 33
−12, 00 −11, 83 −12, 00
−11, 00 −11, 02 −11, 01
−10, 00 −10, 00 −10, 00
−9, 00
−9, 00
−9, 00
−8, 00
−8, 00
−8, 00
−7, 00
−7, 00
−7, 00
−6, 00
−6, 00
−6, 00
−5, 00
−5, 00
−5, 00
−4, 00
−4, 00
−4, 00
−3, 01
−3, 01
−3, 01
−2, 04
−2, 04
−2, 04
−1, 30
−1, 30
−1, 30
−1, 03
−1, 03
−1, 03
−0, 94
−0, 94
−0, 94
−0, 82
−0, 82
−0, 82
−0, 67
−0, 67
−0, 67
3
−12, 29
−11, 37
−10, 37
−9, 37
−8, 37
−7, 37
−6, 37
−5, 37
−4, 37
−3, 37
−2, 38
−1, 41
−0, 67
−0, 40
−0, 31
−0, 20
−0, 04
16
4
−12, 28
−11, 37
−10, 37
−9, 37
−8, 37
−7, 37
−6, 37
−5, 37
−4, 37
−3, 37
−2, 38
−1, 41
−0, 67
−0, 40
−0, 31
−0, 20
−0, 04
log10 ksλ − s0 kH 1 (R)
32
5
3
4
−12, 34 −11, 56 −11, 74
−11, 37 −11, 22 −11, 37
−10, 37 −10, 38 −10, 38
−9, 37
−9, 37
−9, 37
−8, 37
−8, 37
−8, 37
−7, 37
−7, 37
−7, 37
−6, 37
−6, 37
−6, 37
−5, 37
−5, 37
−5, 37
−4, 37
−4, 37
−4, 37
−3, 37
−3, 37
−3, 37
−2, 38
−2, 38
−2, 38
−1, 41
−1, 41
−1, 41
−0, 67
−0, 67
−0, 67
−0, 40
−0, 40
−0, 40
−0, 31
−0, 31
−0, 31
−0, 20
−0, 20
−0, 20
−0, 04
−0, 04
−0, 04
5
−12, 46
−11, 90
−11, 01
−10, 00
−9, 00
−8, 00
−7, 00
−6, 00
−5, 00
−4, 00
−3, 01
−2, 04
−1, 30
−1, 03
−0, 94
−0, 82
−0, 67
3
−11, 03
−11, 22
−11, 29
−10, 00
−9, 00
−8, 00
−7, 00
−6, 00
−5, 00
−4, 00
−3, 01
−2, 04
−1, 30
−1, 03
−0, 94
−0, 82
−0, 67
64
4
−11, 21
−12, 02
−11, 08
−9, 97
−9, 00
−8, 00
−7, 00
−6, 00
−5, 00
−4, 00
−3, 01
−2, 04
−1, 30
−1, 03
−0, 94
−0, 82
−0, 67
5
−11, 38
−11, 26
−11, 21
−10, 00
−9, 00
−8, 00
−7, 00
−6, 00
−5, 00
−4, 00
−3, 01
−2, 04
−1, 30
−1, 03
−0, 94
−0, 82
−0, 67
5
−11, 87
−11, 28
−10, 38
−9, 37
−8, 37
−7, 37
−6, 37
−5, 37
−4, 37
−3, 37
−2, 38
−1, 41
−0, 67
−0, 40
−0, 31
−0, 20
−0, 04
3
−10, 45
−10, 63
−10, 57
−9, 37
−8, 37
−7, 37
−6, 37
−5, 37
−4, 37
−3, 37
−2, 38
−1, 41
−0, 67
−0, 40
−0, 31
−0, 20
−0, 04
64
4
−10, 62
−11, 39
−10, 43
−9, 35
−8, 38
−7, 37
−6, 37
−5, 37
−4, 37
−3, 37
−2, 38
−1, 41
−0, 67
−0, 40
−0, 31
−0, 20
−0, 04
5
−10, 79
−10, 68
−10, 52
−9, 37
−8, 37
−7, 37
−6, 37
−5, 37
−4, 37
−3, 37
−2, 38
−1, 41
−0, 67
−0, 40
−0, 31
−0, 20
−0, 04
49
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
50
3
−13, 02
−12, 08
−11, 09
−10, 09
−9, 09
−8, 09
−7, 09
−6, 09
−5, 09
−4, 09
−3, 09
−2, 13
−1, 38
−1, 10
−1, 03
−0, 99
−0, 90
16
4
−13, 06
−12, 08
−11, 09
−10, 08
−9, 08
−8, 08
−7, 08
−6, 08
−5, 08
−4, 09
−3, 09
−2, 13
−1, 38
−1, 10
−1, 03
−0, 99
−0, 90
log10 ksλ − s0 kL2 (F )
32
5
3
4
−13, 09 −12, 57 −12, 66
−12, 08 −12, 03 −12, 09
−11, 08 −11, 09 −11, 09
−10, 08 −10, 08 −10, 08
−9, 08
−9, 08
−9, 08
−8, 08
−8, 08
−8, 08
−7, 08
−7, 08
−7, 08
−6, 08
−6, 08
−6, 08
−5, 08
−5, 08
−5, 08
−4, 09
−4, 09
−4, 09
−3, 09
−3, 09
−3, 09
−2, 13
−2, 13
−2, 13
−1, 38
−1, 38
−1, 38
−1, 10
−1, 10
−1, 10
−1, 03
−1, 03
−1, 03
−0, 99
−0, 99
−0, 99
−0, 90
−0, 90
−0, 90
3
−12, 34
−11, 40
−10, 40
−9, 40
−8, 40
−7, 40
−6, 40
−5, 40
−4, 40
−3, 40
−2, 41
−1, 44
−0, 70
−0, 42
−0, 34
−0, 30
−0, 20
16
4
−12, 38
−11, 40
−10, 40
−9, 40
−8, 40
−7, 40
−6, 40
−5, 40
−4, 40
−3, 40
−2, 41
−1, 44
−0, 70
−0, 42
−0, 34
−0, 30
−0, 20
log10 ksλ − s0 kH 1 (F )
32
5
3
4
−12, 41 −11, 91 −12, 00
−11, 40 −11, 35 −11, 41
−10, 40 −10, 41 −10, 40
−9, 40
−9, 40
−9, 40
−8, 40
−8, 40
−8, 40
−7, 40
−7, 40
−7, 40
−6, 40
−6, 40
−6, 40
−5, 40
−5, 40
−5, 40
−4, 40
−4, 40
−4, 40
−3, 40
−3, 40
−3, 40
−2, 41
−2, 41
−2, 41
−1, 44
−1, 44
−1, 44
−0, 70
−0, 70
−0, 70
−0, 42
−0, 42
−0, 42
−0, 34
−0, 34
−0, 34
−0, 30
−0, 30
−0, 30
−0, 20
−0, 20
−0, 20
5
−12, 76
−12, 04
−11, 09
−10, 08
−9, 08
−8, 08
−7, 08
−6, 08
−5, 08
−4, 09
−3, 09
−2, 13
−1, 38
−1, 10
−1, 03
−0, 99
−0, 90
3
−11, 41
−11, 52
−11, 20
−10, 08
−9, 08
−8, 08
−7, 08
−6, 08
−5, 08
−4, 09
−3, 09
−2, 13
−1, 38
−1, 10
−1, 03
−0, 99
−0, 90
64
4
−11, 62
−12, 10
−11, 11
−10, 07
−9, 09
−8, 08
−7, 08
−6, 08
−5, 08
−4, 09
−3, 09
−2, 13
−1, 38
−1, 10
−1, 03
−0, 99
−0, 90
5
−11, 79
−11, 60
−11, 18
−10, 09
−9, 09
−8, 08
−7, 08
−6, 08
−5, 08
−4, 09
−3, 09
−2, 13
−1, 38
−1, 10
−1, 03
−0, 99
−0, 90
5
−12, 10
−11, 36
−10, 41
−9, 40
−8, 40
−7, 40
−6, 40
−5, 40
−4, 40
−3, 40
−2, 41
−1, 44
−0, 70
−0, 42
−0, 34
−0, 30
−0, 20
3
−10, 75
−10, 86
−10, 51
−9, 40
−8, 40
−7, 40
−6, 40
−5, 40
−4, 40
−3, 40
−2, 41
−1, 44
−0, 70
−0, 42
−0, 34
−0, 30
−0, 20
64
4
−10, 96
−11, 42
−10, 43
−9, 39
−8, 40
−7, 40
−6, 40
−5, 40
−4, 40
−3, 40
−2, 41
−1, 44
−0, 70
−0, 42
−0, 34
−0, 30
−0, 20
5
−11, 13
−10, 94
−10, 49
−9, 40
−8, 40
−7, 40
−6, 40
−5, 40
−4, 40
−3, 40
−2, 41
−1, 44
−0, 70
−0, 42
−0, 34
−0, 30
−0, 20
4.3 Numerische Ergebnisse
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
3
−13, 60
−12, 62
−11, 62
−10, 62
−9, 62
−8, 62
−7, 62
−6, 62
−5, 62
−4, 62
−3, 62
−2, 66
−1, 92
−1, 63
−1, 54
−1, 47
−1, 20
16
4
−13, 62
−12, 61
−11, 61
−10, 61
−9, 61
−8, 61
−7, 61
−6, 61
−5, 61
−4, 61
−3, 62
−2, 65
−1, 91
−1, 63
−1, 54
−1, 47
−1, 20
log10 ksλ − s0 kL2 (L)
32
5
3
4
−13, 59 −13, 44 −13, 46
−12, 62 −12, 57 −12, 59
−11, 62 −11, 59 −11, 59
−10, 62 −10, 59 −10, 59
−9, 62
−9, 59
−9, 59
−8, 62
−8, 59
−8, 59
−7, 62
−7, 59
−7, 59
−6, 62
−6, 59
−6, 59
−5, 62
−5, 59
−5, 59
−4, 62
−4, 59
−4, 59
−3, 62
−3, 60
−3, 59
−2, 66
−2, 64
−2, 63
−1, 91
−1, 90
−1, 90
−1, 63
−1, 63
−1, 63
−1, 54
−1, 54
−1, 54
−1, 47
−1, 47
−1, 47
−1, 20
−1, 20
−1, 20
3
−12, 67
−11, 69
−10, 69
−9, 69
−8, 69
−7, 69
−6, 69
−5, 69
−4, 69
−3, 69
−2, 69
−1, 73
−0, 99
−0, 70
−0, 61
−0, 52
−0, 32
16
4
−12, 69
−11, 68
−10, 68
−9, 68
−8, 68
−7, 68
−6, 68
−5, 68
−4, 68
−3, 68
−2, 69
−1, 72
−0, 98
−0, 70
−0, 61
−0, 52
−0, 32
log10 ksλ − s0 kH 1 (L)
32
5
3
4
−12, 66 −12, 53 −12, 55
−11, 69 −11, 65 −11, 67
−10, 69 −10, 67 −10, 67
−9, 69
−9, 67
−9, 67
−8, 69
−8, 67
−8, 67
−7, 69
−7, 67
−7, 67
−6, 69
−6, 67
−6, 67
−5, 69
−5, 67
−5, 67
−4, 69
−4, 67
−4, 67
−3, 69
−3, 67
−3, 67
−2, 69
−2, 67
−2, 67
−1, 73
−1, 71
−1, 71
−0, 98
−0, 98
−0, 98
−0, 70
−0, 70
−0, 70
−0, 61
−0, 61
−0, 61
−0, 52
−0, 52
−0, 52
−0, 32
−0, 32
−0, 32
5
−13, 51
−12, 58
−11, 59
−10, 59
−9, 59
−8, 59
−7, 59
−6, 59
−5, 59
−4, 59
−3, 60
−2, 64
−1, 90
−1, 63
−1, 54
−1, 47
−1, 20
3
−12, 56
−12, 38
−11, 60
−10, 57
−9, 57
−8, 57
−7, 57
−6, 57
−5, 57
−4, 57
−3, 57
−2, 62
−1, 90
−1, 63
−1, 54
−1, 47
−1, 20
64
4
−12, 73
−12, 57
−11, 57
−10, 56
−9, 57
−8, 57
−7, 56
−6, 57
−5, 57
−4, 57
−3, 57
−2, 62
−1, 90
−1, 63
−1, 54
−1, 47
−1, 20
5
−12, 86
−12, 41
−11, 58
−10, 57
−9, 57
−8, 57
−7, 57
−6, 57
−5, 57
−4, 57
−3, 57
−2, 62
−1, 90
−1, 63
−1, 54
−1, 47
−1, 20
5
−12, 59
−11, 66
−10, 67
−9, 67
−8, 67
−7, 67
−6, 67
−5, 67
−4, 67
−3, 67
−2, 67
−1, 71
−0, 98
−0, 70
−0, 61
−0, 52
−0, 32
3
−11, 67
−11, 47
−10, 68
−9, 65
−8, 65
−7, 65
−6, 65
−5, 65
−4, 65
−3, 65
−2, 66
−1, 70
−0, 97
−0, 70
−0, 61
−0, 52
−0, 32
64
4
−11, 83
−11, 65
−10, 65
−9, 64
−8, 65
−7, 65
−6, 65
−5, 65
−4, 65
−3, 65
−2, 65
−1, 70
−0, 97
−0, 70
−0, 61
−0, 52
−0, 32
5
−11, 96
−11, 50
−10, 66
−9, 65
−8, 65
−7, 65
−6, 65
−5, 65
−4, 65
−3, 65
−2, 66
−1, 70
−0, 97
−0, 70
−0, 61
−0, 52
−0, 32
51
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
log10 ksλ − s0 kL2 (Ω) (oben) und log10 ksλ − s0 kH 1 (Ω) (unten) in Abhängiglog10 (λ) (Abszisse) bei Approximation mit biquintischen B-Splines für die
3
Gebiete R, F und L sowie, zum Vergleich, für D (n = 16, µ = 10 , Rand jeweils
an 1000 Punkten diskretisiert).
Abbildung 13: Werte
keit von
52
4.3 Numerische Ergebnisse
4.3.3 Unvollständige, homogene Randbedingungen auf dem Gebiet
von Höllig
Wir widmen uns nun wieder dem Gebiet
D
von Höllig und betrachten weiterhin die in Abschnitt
4.2 beschriebene Aufgabe. Wie in Abschnitt 4.3.1 sei
g = sin(ω)
und
f = ∆g .
Der einzige und
wesentliche Unterschied besteht nun darin, dass wir die homogenen Randbedingungen alleine auf
einem zusammenhängenden Teil
Γ ( ∂D
des Randes
∂D
beschränken.
Zunächst einmal lässt sich feststellen, dass in diesem Fall die modizierte Randwertaufgabe
∆u = f
in
D,
u=g
auf
Γ.
nicht mehr eindeutig lösbar ist, was sich insbesondere darin äuÿert, dass das innere Produkt
R
R
hu
,
u
i
=
(∆u
∆u
)
+
µ
(u u ), µ > 0, im Allgemeinen zu einem Semiprodukt hu1 , u2 iΓ =
1
2
1
2
D
∂D 1 2
R
R
(∆u1 ∆u2 ) + µ Γ (u1 u2 ) auf H 2 (D) wird. Nun erhält der Penalty-Term seine wesentliche BeD
deutung bei der Findung einer eindeutigen Lösung.
Für die Auswertungen haben wir, wie in Abschnitt 4.3.1, den Rand des Gebietes D jeweils an
3
Punkten diskretisiert und µ = 10 gewählt. Für Γ haben wir 800 benachbarte der 1000
1000
diskreten Randpunkte herangezogen, siehe Abbildung 14.
Als Referenzapproximation haben wir
s10−13
herangezogen, da wir im Fall unvollständiger Rand-
bedingungen wie erwähnt keine eindeutige Lösung der Poisson-Gleichung mit Dirichlet-Randbedingungen ohne Penalty-Term (λ
= 0)
voraussetzen können.
log10 ksλ − s10−13 kL2 (Ω) und log10 ksλ − s10−13 kH 1 (Ω)
tabellarisch jeweils für n = 4, 8, 16, 32, 64 und r = 3, 4, 5 in Abhängigkeit von λ aufgelistet. Hieraus
wird der lineare Zusammenhang von ksλ − s10−13 kL2 (Ω) bzw. ksλ − s10−13 kH 1 (Ω) in Abhängigkeit
von λ für λ → 0 ersichtlich.
Die Abbildung 15 verdeutlicht den linearen Zusammenhang von log10 ksλ − s10−13 kL2 (Ω) und
log10 ksλ − s10−13 kH 1 (Ω) in Abhängigkeit von log10 (λ) für λ → 0 beispielhaft bei Approximation mit
B-Splines des Grades r = 3, 4, 5 auf einem Gitter mit n = 16, die Abbildung 16 für Approximation
mit bikubischen B-Splines und n = 4, 8, 16, 32, 64.
Bei relativ kleinen Schrittweiten h, wie sie etwa bei der Wahl von n = 64 auftreten, stoÿen
Auf den folgenden Seiten sind die Werte
wir oensichtlich an eine Grenze, jenseits der bei der Verwendung von herkömmlichen bivariaten
B-Splines, insbesondere für
λ → 0,
keine stabilen numerischen Ergebnisse mehr garantiert werden
können. Die hierbei auftretenden Fehler sind, wie es Höllig in [28], S.46, erwähnt, auf B-Splines
zurückzuführen, dessen Träger nur sehr wenig innerhalb des betrachteten Gebietes liegt. Er gibt
in seiner Arbeit mit WEB-Splines eine Möglichkeit, diese Unzulänglichkeit zu überwinden. In Ab−10
bildung 16 erkennen wir im Fall n = 64 für 10
≤ λ < 10−6 , dass der Penalty-Term den
ksλ − s10−13 kN ≈ cN · λ stabilisiert, wie er bei einem stabilen numerischen
(n ≤ 32) generell für λ → 0 zu erwarten wäre.
linearen Zusammenhang
Verfahren
Hinzu kommt, dass die Maschinengenauigkeit double, die unseren Berechnungen zugrundeliegt,
10−16 beträgt. Diese Tatsache muss für λ → 0 berücksichtigt werden. Sie kann bei der
ungefähr
Wahl von sehr kleinen Werten
λ
eine zusätzliche Fehlerquelle darstellen.
ksλ − s10−13 kL2 (Ω) bzw. ksλ − s10−13 kH 1 (Ω)
umso geringer ausfallen, je kleiner der Grad r der bei der Approxi-
Bei den Auswertungen ist interessant, dass die Werte
bei gleichem Wert
0<λ1
mation verwendeten Splines und je kleiner
n
gewählt wurde.
53
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
Abbildung 14: Wahl von
Γ ( ∂D in unseren Auswertungen. Der Rand ∂D des Gebietes D von
1000 Punkten diskretisiert, wovon 800 für Γ herangezogen wurden.
Höllig wurde an
54
4.3 Numerische Ergebnisse
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
3
−11, 86
−10, 83
−9, 83
−8, 83
−7, 83
−6, 83
−5, 83
−4, 83
−3, 83
−2, 85
−1, 96
−1, 20
−0, 40
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
3
−8, 26
−7, 50
−6, 54
−5, 55
−4, 55
−3, 55
−2, 58
−1, 81
−1, 46
−1, 32
−1, 26
−1, 17
−0, 40
−0, 09
−0, 04
−0, 04
−0, 03
4
4
−11, 93
−10, 91
−9, 92
−8, 93
−7, 93
−6, 93
−5, 93
−4, 93
−3, 93
−2, 95
−2, 09
−1, 22
−0, 40
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
log10 ksλ − s10−13 kL2 (D)
8
5
3
4
−9, 85 −10, 87 −10, 79
−8, 82 −9, 83
−9, 74
−7, 80 −8, 82
−8, 73
−6, 80 −7, 82
−7, 73
−5, 80 −6, 82
−6, 73
−4, 80 −5, 82
−5, 73
−3, 80 −4, 82
−4, 73
−2, 81 −3, 83
−3, 74
−1, 87 −2, 84
−2, 83
−1, 25 −1, 98
−2, 21
−1, 07 −1, 53
−1, 87
−1, 03 −1, 19
−1, 19
−0, 42 −0, 40
−0, 39
−0, 10 −0, 09
−0, 08
−0, 05 −0, 04
−0, 03
−0, 04 −0, 03
−0, 03
−0, 04 −0, 03
−0, 03
log10 ksλ − s10−13 kL2 (D)
32
4
5
3
−6, 86 −5, 04 −6, 10
−5, 55 −4, 16 −5, 90
−4, 51 −3, 21 −5, 29
−3, 52 −2, 42 −4, 37
−2, 56 −2, 05 −3, 38
−1, 84 −1, 79 −2, 42
−1, 55 −1, 60 −1, 70
−1, 41 −1, 47 −1, 40
−1, 31 −1, 38 −1, 28
−1, 24 −1, 33 −1, 21
−1, 22 −1, 32 −1, 19
−1, 16 −1, 19 −1, 15
−0, 41 −0, 40 −0, 41
−0, 09 −0, 09 −0, 09
−0, 04 −0, 04 −0, 04
−0, 04 −0, 03 −0, 04
−0, 04 −0, 03 −0, 04
64
4
−3, 91
−4, 13
−2, 92
−2, 09
−1, 69
−1, 51
−1, 40
−1, 32
−1, 27
−1, 23
−1, 23
−1, 17
−0, 40
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
5
−9, 03
−8, 00
−6, 99
−5, 99
−4, 99
−3, 99
−3, 01
−2, 17
−1, 72
−1, 52
−1, 40
−1, 19
−0, 40
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
3
−9, 70
−8, 69
−7, 68
−6, 68
−5, 68
−4, 68
−3, 69
−2, 71
−1, 89
−1, 49
−1, 35
−1, 18
−0, 40
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
16
4
−8, 14
−7, 10
−6, 09
−5, 09
−4, 09
−3, 10
−2, 18
−1, 59
−1, 39
−1, 27
−1, 22
−1, 15
−0, 41
−0, 09
−0, 04
−0, 04
−0, 04
5
−6, 88
−5, 84
−4, 83
−3, 83
−2, 86
−2, 03
−1, 66
−1, 51
−1, 39
−1, 32
−1, 28
−1, 17
−0, 40
−0, 09
−0, 04
−0, 03
−0, 03
5
−1, 99
−1, 77
−1, 66
−1, 53
−1, 44
−1, 36
−1, 31
−1, 26
−1, 23
−1, 21
−1, 21
−1, 16
−0, 41
−0, 09
−0, 04
−0, 04
−0, 04
55
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
n
r
λ = 10−12
λ = 10−11
λ = 10−10
λ = 10−9
λ = 10−8
λ = 10−7
λ = 10−6
λ = 10−5
λ = 10−4
λ = 10−3
λ = 10−2
λ = 10−1
λ = 100
λ = 101
λ = 102
λ = 103
λ = 104
56
4
3
4
−11, 19 −11, 12
−10, 16 −10, 23
−9, 16 −9, 24
−8, 16 −8, 24
−7, 16 −7, 24
−6, 16 −6, 24
−5, 16 −5, 24
−4, 16 −4, 24
−3, 16 −3, 24
−2, 17 −2, 26
−1, 28 −1, 40
−0, 60 −0, 65
0, 11
0, 10
0, 40
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 46
0, 45
3
−7, 68
−6, 92
−5, 96
−4, 97
−3, 97
−2, 97
−2, 00
−1, 23
−0, 89
−0, 76
−0, 69
−0, 53
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
log10 ksλ − s10−13 kH 1 (D)
8
5
3
4
−9, 24 −10, 26 −9, 96
−8, 21 −9, 23 −8, 92
−7, 20 −8, 22 −7, 91
−6, 19 −7, 22 −6, 91
−5, 19 −6, 22 −5, 91
−4, 19 −5, 22 −4, 91
−3, 20 −4, 22 −3, 91
−2, 20 −3, 22 −2, 92
−1, 27 −2, 24 −1, 99
−0, 64 −1, 37 −1, 36
−0, 46 −0, 90 −1, 09
−0, 36 −0, 57 −0, 63
0, 12
0, 10
0, 10
0, 40
0, 40
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 46
0, 46
0, 45
0, 46
log10 ksλ − s10−13 kH 1 (D)
32
4
5
3
−6, 25 −4, 42 −5, 52
−4, 94 −3, 54 −5, 32
−3, 91 −2, 58 −4, 71
−2, 91 −1, 80 −3, 78
−1, 95 −1, 45 −2, 80
−1, 23 −1, 21 −1, 84
−0, 96 −1, 04 −1, 12
−0, 83 −0, 92 −0, 83
−0, 75 −0, 84 −0, 72
−0, 69 −0, 79 −0, 66
−0, 65 −0, 76 −0, 62
−0, 51 −0, 56 −0, 50
0, 11
0, 10
0, 11
0, 40
0, 40
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 45
0, 46
0, 45
64
4
−3, 31
−3, 54
−2, 31
−1, 48
−1, 09
−0, 93
−0, 83
−0, 77
−0, 72
−0, 68
−0, 66
−0, 53
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
5
−8, 42
−7, 39
−6, 39
−5, 39
−4, 39
−3, 39
−2, 41
−1, 57
−1, 12
−0, 93
−0, 80
−0, 56
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
5
−1, 37
−1, 15
−1, 06
−0, 95
−0, 87
−0, 80
−0, 75
−0, 71
−0, 68
−0, 66
−0, 64
−0, 52
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
3
−9, 12
−8, 11
−7, 11
−6, 11
−5, 11
−4, 11
−3, 11
−2, 13
−1, 31
−0, 92
−0, 77
−0, 55
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
16
4
−7, 54
−6, 49
−5, 49
−4, 49
−3, 49
−2, 50
−1, 57
−0, 99
−0, 80
−0, 70
−0, 64
−0, 50
0, 11
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
5
−6, 26
−5, 22
−4, 22
−3, 22
−2, 24
−1, 42
−1, 04
−0, 91
−0, 82
−0, 75
−0, 69
−0, 53
0, 10
0, 40
0, 45
0, 45
0, 45
4.3 Numerische Ergebnisse
log10 ksλ − s10−13 kL2 (D) (oben) und log10 ksλ − s10−13 kH 1 (D) (unten) in Abhängigkeit von log10 (λ) (Abszisse) bei Approximation mit B-Splines vom Grad r im
3
Beispiel von Höllig mit unvollständigen Randbedingungen (n = 16, µ = 10 , von
den 1000 diskreten Randpunkten wurden nur 800 benachbarte ausgewertet).
Abbildung 15: Werte
57
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
log10 ksλ − s10−13 kL2 (D) (oben)
hängigkeit von log10 (λ) (Abszisse) bei
Abbildung 16: Werte
und
log10 ksλ − s10−13 kH 1 (D)
(unten) in Ab-
Approximation mit bikubischen B-Splines im
3
Beispiel von Höllig mit unvollständigen Randbedingungen (µ = 10 , von den 1000
diskreten Randpunkten wurden nur
58
800
benachbarte ausgewertet).
4.4 Das Programm pls.c
4.4 Das Programm pls.c
4.4.1 Integration mittels Gauÿ-Quadratur
Das Programm pls.c verwendet als numerische Integrationsmethode die Gauÿ-Quadratur, siehe [1],
S.887f. Es gilt
b
Z
a
p
b−aX
f (x)dx =
ωi f (xi ) + Rp
2 i=1
mit einem Restglied der Form
Rp =
Schon für relativ kleines
(b − a)2p+1 (p!)4 (2p)
f (ξ),
(2p + 1) ((2p)!)3
ξ ∈ (a, b).
p lassen sich deshalb die Integrale über glatte Integranden f sehr genau
f ∈ P2p−1 exakt. Im Vergleich zu Newton-Cotes-Formeln
approximieren. Die Gauÿ-Quadratur ist für
oder Extrapolationsverfahren liefert die Gauÿ-Quadratur bei gleicher Zahl an Funktionsauswertun(2p)
gen die höchste Ordnung. Da sich das Verhalten von f
in (a, b) und damit die Gröÿe des
Restgliedes
Rp
meist nicht leicht abschätzen lässt, muss man gewöhnlich für wachsendes
p
die
Genauigkeit der Approximation prüfen, bis diese zufriedenstellend ist, siehe [33], S.181f.
0
Die Gewichte ωi und Standardknoten xi der Gauÿ-Quadratur auf dem Intervall [-1,1] wurden [1],
b−a 0
0
S.916f, entnommen. Dabei werden die xi durch xi =
xi + a+b
auf [a, b] abgebildet. Für eine
2
2
innere Zelle Cij gilt:
Z
p
p̃
f=
Cij
hh̃ X X
ωi ω̃j f (xi , x̃j )
4 i=1 j=1
Die Abbildung 17 stellt die Anwendung der Gauÿ-Quadratur bei Integration über Randzellen
exemplarisch dar. Wir benutzen die Gauÿ-Quadratur auf drei unterschiedliche Weisen:
•
Integrale von Produkten bivariater B-Splines des Grades
Zellen lösen wir exakt mit
p = p̃ = r + 1,
r
und deren Ableitungen über innere
da es sich hierbei um Polynome des Grades
2r
in
jeder Variablen handelt.
•
Integrale von Produkten bivariater B-Splines des Grades
zellen lösen wir exakt in
x̃-Richtung
mit
p̃ = r + 1
r
und deren Ableitungen über Rand-
und in
x-Richtung
mit
p
groÿ genug, um
möglichst genau zu integrieren.
•
r
Integrale glatter Integranden (f ∆(Bk,h ),
wir mit
p = p̃
en
. . . ) auf inneren Zellen oder Randzellen lösen
groÿ genug, um möglichst genau zu integrieren.
Mit unserem Programm betrachten wir nur Gebiete, für die ein
relevante Breite von Randzellen
am unteren Rand der Randzelle angenommen wird, wenn
•
am oberen Rand der Randzelle angenommen wird, wenn
•
genau bei
angenommen wird, wenn
Wir bezeichnen den Wert
mit
existiert, so dass die
Cij
•
x̃0
x̃0 ∈ R
(x, x̃0 ) ∈ Cij
x̃ > x̃0
x̃ < x̃0
für ein
x̃, an dem die relevante Breite br
∀ (x, x̃) ∈ Cij ,
∀ (x, x̃) ∈ Cij ,
x ∈ R.
der Randzelle
Cij
angenommen wird,
x̃Cij .
59
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
Abbildung 17: Beispiele der Gauÿ-Quadratur bei Randzellen mit
p = 6, p̃ = 4:
Gauÿ-Knoten (rot)
(Rand des Gebietes blau, Rand der Randzellen grün). Die relevante Breite
br
ist
jeweils in schwarz markiert.
4.4.2 Der Gleichungssystem-Löser MUMPS
Des Weiteren wird zum schnellen und eektiven Lösen der teils groÿen, schwach besetzten Gleichungssysteme MUMPS (
Multifrontal Massively Parallel sparse direct Solver) in der Version 4.7.3
verwendet, siehe [25, 20, 21, 26, 27] für Details.
Basic Linear Algebra Subprograms),
MUMPS benötigt das BLAS-Paket (
siehe hierzu [8, 15
19, 30]. Dabei wählen wir den Zugang zu BLAS über die ATLAS-Programmbibliothek (
tically Tuned Linear Algebra Software),
siehe u.a. [34, 35]. Die von
0
Automa-
verschiedenen Werte der
groÿen, schwach besetzten Matrizen der Gleichungssysteme werden an MUMPS mit ihren jeweiligen Spalten- und Zeilenindizes übergeben. Ferner erfordert MUMPS die Angabe der Zahl insgesamt
von
0 verschiedener Werte der Matrix und natürlich die rechte Seite des Gleichungssystems. Wichtig
hierbei ist, nur die Koezienten der relevanten B-Splines zu berücksichtigen.
4.4.3 Aufbau und Programmablauf
Die einzelnen Projektdateien sind in folgender Übersicht aufgelistet.
Dateien des Programms
Datei
Details
pls.c
Das Hauptprogramm mit der Funktion main und den weiteren
grundlegenden Funktionsaufrufen.
utils.c
Zubehör, wie Funktionen für Dateizugrie oder Zeitmessung.
diss.h
Die Header-Datei des gesamten Projekts.
func.c
Enthält die mathematischen Funktionen und Parameter für die
Makele
Compiliert und linkt MUMPS 4.7.3 und die Datei libblas.so.3.0
Gauÿ-Quadratur.
aus der Atlas-Bibliothek zusammen mit den weiteren Programmbestandteilen zum Programm pls. Aufruf im Verzeichnis durch make,
Löschen der ausgegebenen Dateien durch make clean möglich.
Der Programmablauf von pls.c stellt sich in wesentlichen Zügen wie folgt dar.
60
4.4 Das Programm pls.c
1.
Setze die Parameter für die Gauÿ-Quadratur auf:
p, Gewichte und Knoten drei Fälle werden
unterschieden.
2.
Setze die Werte der univariaten Splines sowie deren erste und zweite Ableitung an den Knoten
der Gauÿ-Quadratur auf den
r+1
Trägerteilintervallen auf, um redundante Berechnungen
der Werte im weiteren Programmverlauf zu umgehen.
(xi , x̃j )
3.
Bestimme die Knoten
der B-Splines, die innerhalb des betrachteten Gebietes liegen.
4.
Setze die relevante B-Spline-Basis auf (innere und Rand-B-Splines). Überprüfe hierfür, ob es
sich bei den Knoten auf dem Rand des Trägers der jeweiligen B-Splines um innere Knoten
handelt. Gilt
n ≤ r+1
oder
ñ ≤ r + 1,
so überprüfe alle Knoten innerhalb des B-Spline-
Trägers.
5.
Unterscheide zwischen inneren Zellen und Randzellen. Überprüfe hierfür, ob die Knoten an
den Ecken der Zellen innere Knoten sind.
xe
6.
Setze die diskreten Randpunkte
7.
Gebe ein Tableau der Input-Werte aus.
8.
Bestimme die Werte der bivariaten Splines
ten
9.
xe
auf und gebe sie in Datei aus.
Bkl
sowie die Funktionswerte
an den Randpunk-
ebenfalls zur Vermeidung von Redundanzen.
Berechne einmalig die Grundintegrale, d.h. die Integrale von Produkten von B-Splines und
deren Ableitungen, deren Träger vollständig innerhalb von
10.
g
D
liegt.
Bestimme die Integrale und Summen und gebe diese in Dateien aus bzw. lese diese aus
Dateien ein.
•
•
•
Beziehe dabei nur relevante Integrale ein:
|i − k| ≤ r, |j − l| ≤ r
Summiere Teilintegrale über relevante Zellen.
Verwende gegebenenfalls die Grundintegrale.
11.
Setze jeweils das Gleichungssystem für die gewünschten Werte
12.
Löse das Gleichungssystem mit MUMPS.
13.
Berechne Fehler
ken kL1 (Ω) , ken kL2 (Ω)
und
ken kH 1 (Ω) .
µ
und
λ
auf.
Gebe ferner cond1 und cond2 der Sy-
stemmatrix und eine durch MUMPS errechnete Fehlerschranke aus.
14.
Gebe verschiedene plotbare Werte aus:
•
Auf dem Gebiet, falls gewünscht, für je ein bestimmtes
Approximation
sµ,λ ,
die Lösung,
f , g , ∆sµ,λ ,
Logarithmische Fehler
gigkeit von
15.
log10 (λ)
und
µ:
Fehlerverteilung
|en |,
sowie für den Fall unvollständiger Rand-
bedingungen die Referenzapproximation für kleines
•
λ
log ken kL1 (Ω) , log ken kL2 (Ω)
log10 (µ).
λ.
und
log ken kH 1 (Ω)
jeweils in Abhän-
und
Gebe die verstrichene Zeit insgesamt und aufgeschlüsselt nach Programmkomponenten aus.
61
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
4.4.4 Übersicht der Hauptfunktionen
In den folgenden Tabellen sind die Hauptfunktionen der einzelnen Dateien aufgelistet und beschrieben.
Hauptfunktionen in der Datei func.c
Funktion
Details
omega
Die Funktion
omega_x
omega_yy
ωx (x, x̃)
ωxx (x, x̃)
ωx̃ (x, x̃)
ωx̃x̃ (x, x̃)
solution
Die Lösung - in unserem Beispiel
solution_x
solution_y
gx (x, x̃)
gx̃ (x, x̃)
f
Funktion
g
Funktion
set_gaussparameter
Setzt Gewichte und Knoten der Gauÿ-Quadratur (implementiert
omega_xx
omega_y
ω(x, x̃)
- nötig zur Bestimmung
g(x, x̃)
von ken kH 1 (Ω)
- dito
f (x, x̃) = ∆g(x, x̃)
g(x, x̃) ∈ H 2 (Ω)
sind die Werte für
p = 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 24
und
48
Knoten)
phi
Die Funktion
phi_x
(ϕr )x
(ϕr )xx
phi_xx
B
B_x
B_xx
ϕr
r
Univariater B-Spline Bk,h (greift auf phi zurück)
r
(Bk,h
)x (greift auf phi_x zurück)
r
(Bk,h
)xx (greift auf phi_xx zurück)
Hauptfunktionen in der Datei utils.c
Funktion
Details
output_werte
Gibt ein Tableau der Input-Werte in die Datei Swerte.dat und auf
output_zeit
Programmdauer der einzelnen Teilprozesse wird auf dem Bildschirm
output_dateien
Ausgabe der berechneten Integrale, Summen und weiterer Details
dem Bildschirm aus
ausgegeben
in Dateien dient zum beschleunigten Wiederaufruf des Programms
mit anderen Werten für
input_dateien
output_plotten
λ
und
µ
Wiedereinlesen der von output_dateien ausgegebenen Werte
ken kH 1 (Ω)
62
f , g , en , sµ,λ , ∆sµ,λ ,
ken kL1 (Ω) , ken kL2 (Ω) und
Plotbare Werte werden in Dateien ausgegeben:
diskrete Randpunkte, gesuchte Lösung,
4.4 Das Programm pls.c
Hauptfunktionen in der Datei pls.c
Funktion
Details
xi
x_index
Gibt Knoten
laplace_Bi_Bj
r
∆Bk,h
zurück
begrenzung_y
Gibt unteren/oberen Rand des Gebietes in Abhängigkeit von
begrenzung_x
Gibt linken/rechten Rand des Gebietes in Abhängigkeit von
x
zu-
x̃
zu-
rück
rück
set_randpunkte
Aufsetzen der diskreten Randpunkte
set_bsplinewerte
Setzt zur schnelleren Bestimmung der Integrale für innere Zellen
die Werte der B-Splines sowie deren Ableitungen an den Knoten
der Gauÿ-Quadratur auf
set_knoten
Innere Knoten der B-Splines werden aufgesetzt
check_knoten
Prüfe ob Knoten in der Liste der inneren Knoten vorkommt
set_bsplines
Bestimme innere und Rand-B-Splines
set_zellen
Bestimme innere Zellen und Randzellen
r
g und Bk,h
an den Randpunkten auf
Setze u.a. die Werte a, b, c, d, s und t in Abhängigkeit vom Gebiet
set_randwerte
set_abcd
Setze die Funktionswerte von
auf
return_integrand
Gebe den Wert der einzelnen Integranden zurück
set_grundintegrale
Setze die Integrale auf, die nur Produkte von B-Splines und deren
check_lage
Bestimme die Lage von
Ableitungen enthalten und vollständig innerhalb des Gebietes liegen
x̃Cij
innerhalb von
Cij
set_integrale_summen
Setze alle Integrale und Summen auf
berechne_fehler
Berechne die Fehler
call_mumps
Löse Gleichungssystem mit MUMPS und berechne cond1 und cond2
ken kL1 (Ω) , ken kL2 (Ω)
und
ken kH 1 (Ω)
der Systemmatrix sowie eine Fehlerschranke für das Lösen des Gleichungssystems.
loese_gs
Setze das Gleichungssystem für gewünschte Werte
λ und µ aus den
berechneten Integralen und Summen auf und löse es mit MUMPS
(call_mumps)
gaussquadratur
Integration mittels Gauÿ-Quadratur
main
Hauptprogramm, dass alle anderen Funktionen direkt oder indirekt
aufruft
63
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
4.4.5 Bedienung und Variablen
In den folgenden Tabellen sind alle wichtigen Variablen des Programms mit Details aufgelistet. Für
den Fall, dass Gebiete verändert werden, müssen gegebenenfalls Anpassungen in begrenzung_y,
begrenzung_x, set_randpunkte, set_abcd sowie an omega, omega_x, omega_xx, omega_y und
omega_yy vorgenommen werden.
Beispielgebiete
gebietnr
Art des Gebietes
0
Rechteck
1
Gebiet von Höllig
2
Kreisgebiet
3
Fünfeck
R
D
K (0, 36 − x2 − (y − 0, 6)2 = 0)
4
F
L-Gebiet L
bspnr
Lösungsfunktion
-1
sin B(r
0
r
B-Spline B(SPLINE_X,
1
Beispiel von Höllig
2
K
K
Beispiel von Höllig auf Kreisgebiet K : sin ω (x, x̃) , ω
:= 0, 36−x2 −(y−0, 6)2
r
auf Kreisgebiet K
B-Spline B
(SPLINE_X, SPLINE_Y),(
FACTOR_X·h,FACTOR_Y·h̃)
K
sin FACTOR_BSP · ω (x, x̃)
Beispielfunktionen
3
4
SPLINE_X, SPLINE_Y
),(H_X,
SPLINE_Y
H_Y
)
),(H_X,
H_Y
)
sin (ω (x, x̃))
Variablen in der Datei diss.h
Variable
Details
JOB_INIT, JOB_END,
Werte zur Steuerung von MUMPS
USE_COMM_WORLD
SPLINE_X
SPLINE_Y
H_X
H_Y
FACTOR_X
FACTOR_Y
PERC_RAND
k1 des Splines bei Beispielen mit Splines als Lösung
= −1, 0, 3)
Index k2 des Splines bei Beispielen mit Splines als Lösung
= −1, 0, 3)
Schrittweite h des Lösungsplines (bspnr = −1, 0)
Schrittweite h̃ des Lösungsplines (bspnr = −1, 0)
Lösungsspline hat Schrittweite FACTOR_X ·h (bspnr = 3)
Lösungsspline hat Schrittweite FACTOR_Y ·h̃ (bspnr = 3)
Index
(bspnr
(bspnr
Verhältnis des entfernten Randes der oberen und rechten Seite von
R
bei Gebieten
F und L (0 < PERC_RAND < 1)
ω um den Faktor FACTOR_BSP (bspnr = 4)
FACTOR_BSP
Streckung von
PLOT_POINTS
Anzahl der Punkte je Achse bei der Ausgabe der plotbaren Dateien
64
4.4 Das Programm pls.c
Variablen in der Datei pls.c
Variable
Details
a, b , c , d , s
Variablen
gebietnr
Nummer des Gebietes
bspnr
Nummer des Beispiels
0
y_breite ist genau x̃ (Im Fall der Gebiete
y_breite
y_breite
= 0,
K
bei
und
t
a, b, c, d, s, t
D , R, F
steigung
Steigung der rechten oberen Kante von Gebiet
schalter_input_dateien
Ist dieser Wert
0,
und
L
ist
die Ordinate des Kreismittelpunktes)
F
so werden alle Summen und Integrale berechnet,
ansonsten werden die in den Dateien gespeicherten Werte eingelesen und wiederverwendet
log_lambda_output,
log10 (λ) bei den Auswertungen
Stopwert für log10 (λ)
Inkrement für log10 (λ), d.h. nach der Auswertung für log10 (λ) erfolgt die Auswertung für log10 (λ) + log_lambda_inc
Startwert für log10 (µ) bei den Auswertungen
Stopwert für log10 (µ)
Inkrement für log10 (µ), d.h. nach der Auswertung für log10 (µ) folgt
die Auswertung für log10 (µ) + log_mu_inc
Für den Fall, dass log10 (λ) = log_lambda_output und log10 (µ) =
log_mu_output
log_mu_output werden die plotbaren Werte in die Dateien ausge-
log_lambda_min
log_lambda_max
log_lambda_inc
log_mu_min
log_mu_max
log_mu_inc
Startwert für
geben
N
Unterteilung erfolgt in N Intervalle
n
Unterteilung
n_tilde
Unterteilung
r
Grad der Splines
∆n
˜ ñ
∆
mit standardmäÿig
mit standardmäÿig
n=
ñ =
n
=
N
n_tilde
=
N
rp_gesamt
Anzahl der diskreten Randpunkte
rp_ausgewertet
Anzahl der ausgewerteten Randpunkte, bei vollständigen Randbedingungen gilt rp_ausgewertet = rp_gesamt
gw
Anzahl
p
Gauÿ-Knoten
bzw.
p̃
bei
Integration
von
B-Spline-
Produkten sowie deren Ableitungen
gw_rand
Anzahl Gauÿ-Knoten am Rand
p
bzw.
p̃
(bei Integration von B-
Spline-Produkten sowie deren Ableitungen am Rand gilt nur
gw_rand und
gw_glatt
gw)
Anzahl Gauÿ-Knoten zur Integration von glatten Integranden auf
inneren Zellen
schalter_comparison
p̃ =
p=
p
bzw.
p̃
Falls schalter_comparison
mation für
λ=
= 1:
Vergleiche Fehler bzgl. Approxi-
lambda_comparison (für den Fall unvollständiger
Randbedingungen)
lambda_comparison
Referenzapproximation für
λ=
lambda_comparison bzgl. der die
Approximationen bei unvollständigen Randbedingungen verglichen
werden sollen
65
4 Numerische Auswertungen und das Programm pls.c
4.4.6 Ausgabe der Resultate, Dateinamen
Das Programm pls.c erstellt eine Reihe von Dateien, die entweder zum Plotten von Funktionen oder
Fehlern nützlich sind oder um die Berechnungen der Integrale und Summen zu speichern und diese
beim erneuten Aufruf des Programms zum Aufsetzen des Gleichungssystems wiederzuverwenden.
Letzteres ist vor allem nützlich, wenn
und
λ
n
und
r
groÿ gewählt werden und für verschiedene Werte
geplottet werden sollen.
Dateien mit Werten zum schnellen erneuten Aufruf des Programms
Datei
Details
Swerte.dat
Ssumme_2.dat
Wertetableau mit allen wichtigen Variablen
R
r
r
Alle Werte von
P rD ∆(Bi,hr )∆(Bk,h )
Alle Werte
e Bi,h (xe )Bk,h (xe )
Sintegral_3.dat
Alle Werte
Sintegral_1.dat
Z r
Bi,h
D
Sintegral_4.dat
Alle Werte
Ssumme_5.dat
Alle Werte
xx
r
Bk,h
r
+ Bi,h
xx
x̃x̃
r
Bk,h
r
+ 2 Bi,h
x̃x̃
xx̃
r
Bk,h
xx̃
R
r
f ∆(Bk,h
)
D
P
r
e g(xe )Bk,h (xe )
Sindex_gs_zeile.dat
Jeweiliger Zeilenindex der Matrixwerte für Aufruf von MUMPS
Sindex_gs_spalte.dat
Jeweiliger Spaltenindex der Matrixwerte für Aufruf von MUMPS
Slaundex_gs.dat
Anzahl von Null verschiedener Werte in der Matrix des Gleichungssystems für Aufruf von MUMPS
Dateien mit plotbaren Werte
Datei
Details
Prand.dat
Diskrete Randpunkte des betrachteten Gebietes.
PL1.dat
Logarithmische Fehler
und
PL2.dat
PH1.dat
log10 ken kL1 (Ω)
in Abhängigkeit von
log10 (λ)
log10 ken kL2 (Ω)
in Abhängigkeit von
log10 (λ)
log10 (µ)
Logarithmische Fehler
und
log10 (µ)
Logarithmische Fehler
log10 ken kH 1 (Ω) in Abhängigkeit von log10 (λ)
Pf.dat
log10 (µ)
Funktion f
Pg.dat
Funktion
Psol.dat
Die Lösungsfunktion
Perror.dat
|en | auf dem Gebiet bzw.
für den Fall, dass schal
ter_comparison = 1, Werteverteilung sµ,λ − sµ,
Approximation sµ,λ
Approximation sµ,λ für λ = lambda_comparison im Fall, dass
schalter_comparison = 1
∆sµ,λ
und
g
Fehlerverteilung
lambda_comparison
Papprox.dat
Pcomparison.dat
Plaplace.dat
66
µ
Fehlerauswertungen vorgenommen werden oder verschiedene Fehler oder Approximationen
5 Resümee und Ausblick
Wir haben die vorgestellte Theorie der Penalized Least Squares Approximation an verschiedenen
Modellproblemen untersucht und die Anwendungsmöglichkeiten bei Randwertproblemen partieller
Dierentialgleichungen dargestellt. Dabei konzentrierte sich unser Hauptaugenmerk auf die Approximation in B-Splineräumen auf Rechteckgittern. Dies ist jedoch nur ein Beispiel für den breiten
Kreis der heute so populären Finite Elemente Methoden, bei dem die Penalized Least Squares
Methoden zum Einsatz kommen können.
Es bieten sich Anwendungen und Tests mit WEB-Splines oder Standard-Finiten-Elementen anstelle von allgemeinen bivariaten B-Splines an, siehe hierzu etwa [7, 11, 28]. Dies gilt insbesondere,
weil allgemeine bivariate B-Splines im Gegensatz zu WEB-Splines weder wesentlichen Randbedingungen genügen noch notwendigerweise zu stabilen numerischen Verfahren führen, wenn die
Schrittweite gegen
0
konvergiert (was an B-Spline-Basiselementen liegt, dessen Träger nur margi-
nal innerhalb des betrachteten Gebietes liegt).
Das vorgestellte C-Programm löst zweidimensionale Randwertaufgaben partieller Dierentialgleichungen zweiten Grades mit vollständigen wie unvollständigen, homogenen wie inhomogenen
Randbedingungen, wobei stark auf eine eziente Umsetzung geachtet wurde. Dabei stehen unsere
numerischen Ergebnisse im Einklang mit den theoretischen Aussagen. Im Übrigen lässt sich das
Programm auch auf andere Probleme verallgemeinern. Die Entwicklung eines Programms für drei
oder mehr Dimensionen stellt jedoch eine naturgemäÿ stark zeitraubende Aufgabe dar.
Die in Kapitel 3 vorgestellte Theorie lieÿe sich mit analogen Anpassungen an die Voraussetzungen
auch auf mehr als nur zwei Semiprodukte und damit mehrere Penalty-Terme erweitern. Denkbar
wäre auch eine Anwendung und Untersuchung der Penalized Least Squares Methoden bei Anfangswertproblemen partieller Dierentialgleichungen. Interessant und abhängig vom Anwendungsbereich
ist hierbei die Gestalt des Penalty-Terms, der je nach Bedarf angepasst werden kann.
Zusammenfassend kann die Penalized Least Squares Methode bei folgenden Fällen zum Einsatz
kommen:
•
Ist die Eindeutigkeit der Lösung einer Minimierungsaufgabe nicht sichergestellt, so kann durch
geschicktes Hinzufügen eines Penalty-Terms die Eindeutigkeit der Lösung erzwungen werden.
•
Bei bereits theoretisch erwiesener Eindeutigkeit der Lösung einer Minimierungsaufgabe kann
möglicherweise durch Anwendung der Penalized Least Squares Methode in bestimmten Fällen
eine höhere Stabilität des numerischen Verfahrens gewonnen werden.
67
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