Anwendungen der Mathematik 2011

Gymnasium Muttenz
Maturitätsprüfung 2011
Anwendungen der Mathematik
(Profil A )
Kandidatin / Kandidat
Name Vorname: ...............................................................................
Klasse 4AB
Hinweise
- Die Prüfung dauert 4 Stunden.
- Es können maximal 48 Punkte erreicht werden.
- Alle Aufgaben werden bewertet.
- Für 40 Punkte und mehr wird die Note 6 erteilt.
- Erlaubte Hilfsmittel:1. Teil (Aufgaben 1 bis 3): TI-89
Formelsammlung Kantonsschule Zelgli
2. Teil (Aufgaben 4 und 5): Nur Formelsammlung Kantonsschule Zelgli
-
-
Vorgehen: Im 1. Teil lösen Sie die Aufgaben 1 bis 3 mit Hilfe des TI-89. Nach Abgabe
des
TI-89 erhalten Sie die Aufgaben 4 und 5, welche ohne Rechner gelöst werden
müssen.
Der Lösungsweg muss bei allen Aufgaben ersichtlich und vollständig sein. Der Einsatz
des TI-89 ist klar anzugeben.
Klasse
Examinator
Experte
4AB
Bewertung (Details siehe Lösungen)
Aufgabe
Punkte
(möglich)
1
8
2
10
3
10
4
10
5
10
Punkte
(erreicht)
Punktesumme
Benotung
" Punktesumme ! 5
Note = $
#
40
%
+ 1' , gerundet auf halbe Noten →
&
1. Teil (mit TI-89)
Aufgabe 1
8 Punkte
Ein Unternehmen der Automobil-Zulieferindustrie produziert an einem Standort A elektronische Bauteile für Personenkraftwagen. Um seine Wirtschaftlichkeit zu erhöhen,
möchte das Unternehmen einen Teil der 1'200 Mitarbeiter langfristig in zwei andere
Standorte B und C verlegen. Einige der nach Standort B und C versetzten Mitarbeiter sollen nach gewisser Zeit zurück zum Standort A kommen, um Wissenstransfer zu gewährleisten. Im Sinne einer langfristigen Personalentwicklungsplanung legt die Firma Quoten
für den Wechsel innerhalb jeden Jahres der Standorte fest, die über mehrere Jahre stabil
bleiben. Pro Jahr bleiben 70% in A, von A nach B wechseln 20% und von A nach C 10%. In
B bleiben 85%, während 10% von B nach A und 5% von B nach C wechseln. In C bleiben
90% und 10% wechseln von C nach A.
1.1.
Formulieren Sie diesen Sachverhalt in einer Übergangsmatrix.
(1 P.)
Am Anfang des ersten Jahres arbeiten sämtliche 1'200 Mitarbeiter am Standort A.
1.2.
Berechnen Sie die Verteilung der Mitarbeiter auf die Standorte A, B
und C nach einem und nach zwei Jahren.
(2 P.)
1.3.
Es gibt eine Verteilung der insgesamt 1'200 Angestellten auf die drei
Standorte A, B und C, welche im nächsten Jahr gleich bleibt. Berechnen
Sie diese Verteilung.
(2 P.)
1.4.
Das Unternehmen möchte aus Gründen der Wirtschaftlichkeit erreichen, dass nach 2 Jahren nur noch 500 Mitarbeiter am Standort A arbeiten. Zu diesem Zweck erhöht das Unternehmen die Übergangsquote
von A nach C und reduziert den Verbleib bei A entsprechend. Die übrigen Übergangsquoten bleiben unverändert. Um wie viel muss die
Übergangsquote von A nach C erhöht werden?
(3 P.)
y
Aufgabe 2
x
10 Punkte
1
Gegeben: Graph der Funktion x ! y = f(x) = – x 3 + x
9
Graph der oberen Parallelkurve im Abstand 1
2.1.
Berechnen Sie die Parameterdarstellungen der oberen Parallelkurven im
Abstand a > 0.
(2.5 P.)
2.2.
Der Graph von y = f(x) und die obere Parallelkurve im Abstand a = 1
begrenzen im 1. Quadranten eine endliche Fläche. Berechnen Sie deren
Flächeninhalt.
(3.5 P.)
2.3.
Berechnen Sie den Schnittwinkel der Parallelkurve von Aufgabe 2.2. mit
der positiven x-Achse.
(2 P.)
2.4.
Die oberen Parallelkurven im Abstand a haben für gewisse Werte von a
Rücklaufpunkte. Berechnen Sie die Parameterdarstellung der Kurve, auf
welcher diese Rücklaufpunkte liegen.
(2 P.)
Aufgabe 3
10 Punkte
Lösen Sie die drei voneinander unabhängigen Aufgaben.
3.1.
Die rechte Hälfte des Randes des Querschnittes eines Schiffsrumpfes geht
durch die vier Punkte A(0|–5), B(1|–4),
C (5|0) und D(6|3) und soll durch eine
kubische Spline-Interpolation erzeugt
werden. (Randbedingung: Die Krümmung in den Endpunkten A und D soll 0
sein!)
3.1.1. Formulieren Sie die Bedingungen, welche bei der kubischen Splineinterpolation erfüllt sein müssen.
3.1.2. Wie lauten die Gleichungen der ganzrationalen Funktionen in den
einzelnen Teilintervallen?
3.2.
3.3.
Gegeben: x ! y = f(x) = e
(1.5 P)
(1 P)
1
– x
2
3.2.1. Berechnen Sie den Krümmungskreisradius und den Krümmungskreismittelpunkt im Kurvenpunkt P(0|1). Zeichnen Sie die Kurve
von y = f(x) inklusive des Krümmungskreises im Punkt P.
(2.5 P)
3.2.2. Berechnen Sie die Koordinaten der Kurvenpunkte, in welchen der
Krümmungskreisradius rK = 15 [LE] misst.
(1 P)
3.2.3. Berechnen Sie die Koordinaten des Kurvenpunktes, in dem der
Krümmungskreisradius am kleinsten ist.
(1 P)
Die logarithmische Spirale ist durch die Polardarstellung r(!) = 0.1 " e0.2"!
gegeben.
Beweisen Sie, dass jede Ursprungsgerade die gegebene Spirale unter demselben Winkel schneidet und berechnen Sie diesen Schnittwinkel.
(3 P)
Gymnasium Muttenz
Maturitätsprüfung 2011
Anwendungen der Mathematik
(Profil A )
Kandidatin / Kandidat
Name Vorname: ...............................................................................
Klasse 4AB
2. Teil (ohne Taschenrechner)
Aufgabe 4
10 Punkte
Lösen Sie die drei voneinander unabhängigen Aufgaben.
4.1.
4.2.
4.3.
Die Ellipse mit dem Mittelpunkt M(2|4) berührt beide Koordinatenachsen.
4.1.1. Formulieren Sie die Parameterdarstellung der Ellipse.
4.1.2. Diese Ellipse wird um 60° im Gegenuhrzeigersinn um den
Punkt A(2|0) gedreht. Berechnen Sie die Parameterdarstellung
der gedrehten Ellipse.
Eine perspektive Affinität mit der Achse a: 2x1 – x2 + 2 = 0 bildet den
Punkt P(0|4) auf den Punkt P'(2–4a|4a+2) ab.
4.2.1. Berechnen Sie die Abbildungsgleichungen in Abhängigkeit
von a!
4.2.2. Für welche a ist die Abbildung
– gleichsinnig,
– eine Affinspiegelung?
Das gegebene Dreieck ABC wird auf ein perspektiv-affines Dreieck
A'B'C' abgebildet, so dass der Winkel ! ' = 60° ist und der Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C' nur halb so gross ist wie derjenige des ursprünglichen Dreiecks ABC. Konstruieren Sie bei gegebener Achse a
das Bilddreieck A'B'C'. (siehe Ausgangslage auf dem speziellen Blatt)
(0.5 P)
(3.5 P)
(2 P)
(2 P)
(2 P)
a
Beiblatt zu Aufgabe 4.3.
Aufgabe 5
10 Punkte
Lösen Sie die drei voneinander unabhängigen Aufgaben.
5.1.
Vom Dreieck ABC kennt man die Eckpunkte A(–6|–10) und B(4|–10).
Der Eckpunkt C bewegt sich auf der ersten Winkelhalbierenden des
Koordinatensystems. Dabei bewegt sich der Schnittpunkt P der Höhe hc
und der Seitenhalbierenden sb = BMAC auf einer Kurve k. Berechnen Sie
die Parameterdarstellung dieser Kurve k.
5.2.
Ein senkrechter Kreiskegel mit Spitze S(–8|3|0) und Grundkreismittelpunkt M(8|15|10) liegt auf der Grundrissebene.
(2.5 P)
a
5.2.1. Weisen Sie nach, dass für den Grundkreisradius gilt:
r = 5 5 [LE] .
5.2.2. Bestimmen Sie die Parameterdarstellung der Mantelfläche des
Kegels.
5.3.
(1.5 P)
(2.5 P)
Rollt ein Kreis mit Radius r in einer Ebene ohne zu gleiten auf der
x-Achse, so beschreibt ein mit K fest verbundener Punkt P (Abstand
M'P' = c ) eine Zykloide.
5.3.1. Leiten Sie mit Hilfe der Zeichnung die Parameterdarstellung
dieser Zykloide her.
5.3.2. Die Parallele zur x-Achse durch den Kreismittelpunkt schneidet
die Zykloide in Punkten. Der Punkt P1 ist der Schnittpunkt mit
der kleinsten positiven x-Koordinate. Berechnen Sie im Punkt P1
die Punkt-Steigungs-Gleichung der Tangente an die Zykloide.
(1.5 P)
(2 P)