Ausarbeitung Theorie für Mathematik 1 für Informatiker 1

Ausarbeitung Theorie für Mathematik 1 für Informatiker
1. Vollständige Induktion
Induktionsanfang: n einsetzen und Gleichung berechnen
Induktionsschritt: Voraussetzung = Ursprungsgleichung, Behauptung: n=n+1
2. Komplexe Zahlen
Multiplikation: z1z2 = [r1, phi1][r2, phi2] = [r1*r2, phi1+phi2]
Potenzieren: z = [r, phi] => zn = [rn, n*phi] … rn*(cos(n*phi) + i*sin(n*phi))
Radizieren: wn = z = [r,phi]
w = [nsqrt(r), (phi+2pi*k)/n] mit k=0,1,….,n-1
=> gleichseitiges n-Eck in der Gaußschen Zahlenebene.
3. Mengen, Relationen, Abbildungen
Satz: wenn M endlich ist, ist |P(M)| = 2|M|
Definition: Relation zwischen Mengen A,B ist Teilmenge AxB. Für A=B -> bin. Rel.
a) Äquivalenzrelation: Reflexiv (aRa Va€A)
Symmetrisch (aRb => bRa Va,b € A)
Transitiv (aRb und bRc => aRc Va,b,c € A)
Definition: Partition einer Menge A ist System von Teilmengen mit den
Eigenschaften
Ki != leere Menge Vi € I
Ki ∩ Kj = leere Menge
Vereinigung aller Teilmengen = A
Satz: Äquivalenzrelation auf A und Partition von A umkehrbar eindeutig
b) Halbordnung:
Reflexiv
Antisymmetrisch (aRb und bRa => a=b Va,b € A)
Transitiv
c) Abbildungen:
Definition: Relation R ⊆ AxB ist Abbildung (Funktion) wenn zu jedem a €
A genau ein b € B existiert mit aRb ⊆
injektiv: zu jedem b€B gibt es höchstens ein a€A, sodass f(a) = b
surjektiv: zu jedem b€B mindestens ein a€A, sodass f(a) = b
bijektiv: zu jedem b€B genau ein a€A, sodass f(a) = b
Satz: ist f:A->A eine Abbildung auf endlicher Menge A, ist f immer bijektiv
4. Kombinatorik:
a) Permutation: Anordnung der Elemente einer n-elementigen Menge
n! Permutationen bei |M| = n
Definition: Permutation mit Wdhg = Anordnung der Elemente einer
Multimenge
n! / (k1!*k2!)
n  n 
Binomialkoeffizient:   = 

k  n−k 
n
 n   n +1
  +
 =

k
 k +1   k +1 
b) Variation: geordnetes k-Tupel (a1, ….ak) versch. Elemente von A.
z.B. Toto: 12 Runden mit 1,0 oder x: 312 mögliche Tipps
c) Kombination: ungeordnetes k-Tupel versch. Elemente von A, k-elementige
Teilmenge von A
z.B. Lotto: (45 über 6)
Kombination mit Wdhg: ungeordnetes k-Tupel von nicht notwenigerweise
versch. Elementen von A, also k-elementige Multimenge mit Elementen von
A
d) Inklusions/Exklusions-Prinzip
|A ∪ B| = |A| + |B| - |A ∩ B|
Anwendbar wenn man wissen will: | ∪ Ai| = ?
z.B. Anzahl aller Wörter mit Länge 4 aus {a,b,c,d,e} mit mind. ein a,b,c
Wa = Wörter ohne a usw.
= |W| - (|Wa| + |Wb| + |Wc|) + (|Wa ∩ Wb| + |Wa ∩ Wc| + |Wb ∩ Wc| |Wa ∩ Wb ∩ Wc| = 54 – 3*44 + 3*34 – 24 = 84
5. Graphentheorie
Definition: Graph = Trippel <V,E,f>, bestehend aus Knotenmenge V(G),
Kantenmenge E(G) und Inzidenzabbildung f:E->V²,
dabei gilt f(e) = (v,w) wenn Kante e die Knoten v,w verbindet.
G ohne Mehrfachkanten und Schleifen = schlichter Graph <V,E>
Satz (Handschlaglemma):
Im ungerichteten Graphen G gilt: Summe aller Knotengrade = 2* Kantenmenge
Im gerichteten Graphen G gilt: Summe d+ = Summe d- = |E(G)|
Folge heißt Kantenzug, falls alle Kanten paarweise verschieden
Weg (oder Bahn) falls alle Kanten und Knoten verschieden.
Definition:
ungerichteter Graph zusammenhängend wenn zwischen je 2 Knoten ein Weg existiert.
Gerichteter Graph stark zusammenhängend wenn es einen Weg von v nach w und von
w nach v gibt, für v,w € V(G). Schwach zusammenhängend wenn Schatten
zusammenhängend ist.
Eulersche Linie: Kantenzug, der jede Kante genau einmal enthält.
geschlossene Eulersche Linie wenn alle Knotengrade gerade sind.
offene Eulersche Linie wenn genau 2 Knoten ungeraden Grad haben.
Hamiltonsche Linie: Weg, der jeden Knoten genau einmal enthält.
Definition: Ungerichteter Graph G ohne Kreise heißt Wald. Ist G zusammenhängend,
heißt G Baum. Baum, wenn je 2 versch. Knoten durch genau einen Weg verbunden.
Für jeden endlichen Baum T gilt: |V| = |E| + 1
Gerüst: Teilgraph von G mit selben Knoten (kreisfrei)
6. Algebraische Strukturen
Definition: Zweistellige Operation ist eine Vorschrift, die jedem Paar (a,b) € M x M
genau ein Element a o b € M zuordnet, also eine Abbildung o: M x M -> M
Eine Menge zusammen mit einer oder mehreren Operationen o, *, heißt algebraische
Struktur oder Algebra <M, o, *, …>
z.B. <Z; +, - >
7. Gruppentheorie:
Satz: Sei <G, . > eine Gruppe (mit Einheitselement 1) und U ⊆ G, U ≠ ∅
Dann gilt:
(a) a,b, € U => a*b € U
U ≤ G (b) 1 € U
(c) a € U => a-1 € U
(d) a,b€U => ab-1 € U (Untergruppenkriterium)
Satz (Nebenklassenzerlegung einer Gruppe)
(i) Menge aller LNK KL = {aU | a€G} bildet Partition von G, genannt
„LNK-Zerlegung“ von G nach U
(ii) |aU| = |Ua| = |U| Va € G
(iii) |LNK| = |RNK|
(iv) wenn G kommutativ (abelsch) ist, gilt LNK = RNK und U = Normalteiler
Definition (Satz von Lagrange) ist G endlich und U ≤ G gilt: |U| ist Teiler von |G|
wenn Normalteiler bildet die Menge der NK eine Gruppe (Faktorgruppe G/N)
Definition: Seien <G,. > und <H, *> Gruppen. Abbildung phi: G->H heißt
Homomorphismus, falls gilt: phi(a.b) = phi(a) * phi(b)
Ist phi bijektiv, so heißt phi Isomorphismus und G und H isomorph.
Ringe, Körper
Definition:
<R,+,. > heißt Ring, falls <R,+> eine abelsche Gruppe, <R, . > eine Halbgruppe und .
distributiv gegenüber + ist.
<R,+,. > heißt Integritätsring, falls gilt: R ist ein kommutativer Ring (bez. . ), es gibt
ein Einselement 1 und R besitzt keine Nullteler
<K,+,. > heißt Körper, falls K ein kommutativer Ring und <K\{0}, . > eine Gruppe ist.
Satz: Der Restklassenring <Zn , + , . > ist genau dann ein Körper falls n eine Primzahl.
8. Konvergenz von Folgen und Reihen
Eigenschaften von Folgen: Monotonie, Beschränktheit, Existenz eines Grenzwerts
Eine Folge (xn) konvergiert gegen den Grenzwert c, falls in jeder epsilon-Umgebung
von c fast alle Glieder der Folge liegen, andernfalls divergiert sie.
Satz: (i) jede beschränkte Folge konvergiert
(ii) monotone Folgen genau dann konvergent, wenn sie beschränkt sind
(Hauptsatz für monotone Folgen)
(iii)
Reihen: Existiert der Grenzwert der Folge der Partialsummen lim sn = s , so heißt die
unendliche Reihe konvergent und s ihre Summe, andernfalls ist die Reihe divergent.
∞
Satz: Ist
∑
an konvergent, folgt lim an = 0, aber nicht umgekehrt. (notwendig aber
n =0
nicht hinreichend)
Definition: Eine Reihe ∑ an heißt absolut konvergent wenn | ∑ an | konvergiert.
Satz: Eine absolut konvergente Reihe ist konvergent, aber nicht umgekehrt.
Konvergenzkriterien:
gilt für
ist
∑
∑
an ,
∑
bn , dass |an| <= bn für fast alle n und ist
Ist
∑
∑
bn konvergent, dann
an absolut konvergent (Majorantenkriterium)
a 
an , dass  n +1  <= q < 1 für fast alle n ist
 an 
(Quotientenkriterium)
Gilt für
∑
∑
∑
an absolut konvergent
an eine alternierende Reihe, sodass |an| monoton gegen 0 konvergiert, dann ist
an konvergent (Leibnitzkriterium)
∞
Satz (Konvergenz von Potenzreihen): Zu jeder Potenzreihe ∑ anxn gibt es eine
n =0
Zahl R mit 0<=R<= ∞ , sodass die Reihe für |x| < R absolut konvergent und für
|x| > R divergent ist. R ist der Konvergenzradius.
9. Elementare Funktionen, Stetigkeit
Satz: Jede auf einem Intervall I streng monotone Funktion f:I -> f(I) ist bijektiv und
lässt sich daher auf I umkehren.
Definition: Eine Funktion f besitzt an der Stelle x0 den Grenzwert c wenn für jede
Folge (xn) mit xn != x0, lim xn = x0 folgt: lim f(xn) = c
n→∞
n→∞
Satz: mit lim xn = x0 (aber xn != 0, Vn € N) gilt: lim f(xn) = c
n→∞
n→∞
Definition: Eine Funktion f:D->R heißt an der Stelle x0 € D stetig, wenn
f(x0) = lim f(x). f heißt stetig in D wenn f stetig in x0 für alle x0 € D.
x → x0
Nullstellensatz: f:I = [a,b] -> R ist stetig, f(a) < 0, f(b) > 0 => f besitzt mind. 1
Nullstelle x0 € I, d.h. f(x0) = 0
Zwischenwertsatz: f nimmt auf I einen kleinsten Wert und einen größten Wert an,
sowie alle Werte dazwischen mind. einmal.
10.Differentialrechnung
Definition: Unter der Ableitung einer Funktion f:D->R im Punkt x0 € D versteht man
f ( x) − f ( x0 )
den Grenzwert f´(x0) = lim
x → x0
x − x0
Existiert dieser Grenzwert, ist f in x0 differenzierbar.
Jede in x0 differenzierbare Funktion ist dort auch stetig.
Satz (Mittelwertsatz der Differentialrechnung)
Ist f auf dem Intervall I = [a,b] differenzierbar, dann gibt es mindestens eine Stelle ξ
f (b) − f (a )
mit a < ξ < b, sodass gilt: f´( ξ ) =
.
b−a
11.Lineare Algebra
a)
Vektoren, Matrizen, Determinanten
Vektoren in Rn:
Satz: Vektoren x1, …., xn sind genau dann l.u. wenn gilt: lambda1x1 +
…+lambdan xn = 0 => lambda1 = lambda2 = …. = lambdan = 0
Im R3 sind 4 (oder mehr) Vektoren stehts l.a.. 3 Vektoren sind l.a. wenn sie
in der Ebene liegen, 2 sind l.a. wenn sie auf einer Geraden liegen.
b)
Matrizen
Rechengesetze: -A = (-1)*A
(AB)T = BT AT , (AT)T = A
sind A und B invertierbar => AB invertierbar und (AB)-1 = B-1 A-1
Eigenwert einer Matrix: det(Matrix A – Einheitsmatrix*Lambda)
Nullstellen sind dann die Eigenwerte
c)
Lineare Gleichungssysteme
Cramersche Regel: ersetze jeweils die i.te Spalte durch den Lösungsvektor,
die det dieser Matrix durch die det der Ursprungsmatrix (nur sinnvoll bei
wenig Zeilen, weil sonst fette dets rauskommen)
12.Vektorräume und lineare Abbildungen
a) Definition: ein Vektorraum <V,+,K> über einem Körper K besteht aus
einer Menge V von Vektoren zusammen mit einer Addition + auf V, sowie
einer Multiplikation von Vektoren mit dem Einselement aus K, sodass gilt:
i. <V,+> ist eine kommutative Gruppe
ii. λ ( µ x) = ( λ µ )x
1.x = x
λ (x+y) = λ x + λ y
( λ + µ )x = λ x + µ x
Vx,y € V und V λ , µ € K
Besitzt ein Vektorraum eine endliche Basis, dann haben alle möglichen
Basen dieselbe Anzahl von Elementen (Dimension des Vektorraums)
Satz: Ungleichung von Cauchy-Schwarz: |(x,y)| <= ||x|| ||y|| Vx,y € V
b) Lineare Abbildungen
Definition: Seien <V,+,K> und <W,+,K> Vektorräume über dem selben
Körper K. Eine Abbildung f: V -> W heißt lineare Abbildung falls gilt:
1.) f(x+y) = f(x) + f(y)
2.) f( λ x) = λ f(x)