Übungen zu Physik I - WS 2009/2010 Aufgabenblatt 5

Übungen zu Physik I - WS 2009/2010
Aufgabenblatt 5 Musterlösungen
Aufgabe 16 Energieerhaltung - Harmonischer Oszillator
k x
a) Bewegungsgleichung mẍ = −k · x → ẍ = − m
Lösungsansatz: x = a · cos(ωt + α)
q
k/m
Einsetzen führt auf −ω 2 ẍ = −k
x
und
damit
ω
=
m
Anfangsbedingungen:
x(0) = x0 = a · cos(α)
ẋ(0) = 0 = −a · sin(α)
⇒ a = x0 und α = 0
Lösung ist
x(t) = x0 · cos(ωt)
ẋ(t) = −ωx0sin(ωt)
x(t) = 0 → cos(ωt) = 0; ωt = π/2 (1. Nulldurchgang)
⇒ ẋ(t) = −ωx0 · sin(π/2) = −ωx0
⇒ |ẋ| = ωx0
Energiesatz:
E = EP otZ + EKin = const.
Z
Epot = − F · dx = kxdx = 1/2 kx2
Ekin = 1/2 mẋ2
Bei t = 0 ist E = Epot = 1/2 kx20
Bei x = 0 ist E = Ekin = 1/2 mẋ2
⇒ 1/2 mẋ2 = 1/2 kx20
q
⇒ |ẋ| = k/m · x0 = ωx0
b) Bewegungsgleichung (s. Vorlesung):
2
mẍ = m d 2 (lθ) = mlθ̈ = F = −mgsinθ
dt
Für kleine Winkel: θ̈ = − gl θ
→ DGL: θ̈ = − gl sinθ
Ist exakt vom gleichen DGL Typ wie obige bei der Feder
⇒ Lösung der Bewegungsgleichung:
q
θ(t) = θ0 · cos(ωt) mit ω = g/l
Weiterer Lösungsweg ist analog wie bei Feder und wir erhalten für den 1.
Nulldurchgang (θ = 0, entsprechend ωt = π/2)
d (lθ)| = lθ̇ = lωθ
θ̇(t) = −ωθ0 ⇒ Geschwindigkeit | dt
0
Energiesatz:
Epot = mgy = mgl(1 − cos(θ)) ≈ mglθ2/2
Ekin = m(lθ̇)2/2
√
Gleichsetzen: m(lθ̇)2/2 = mglθ02/2
⇒ lθ̇ = glθ0 = lωθ0
Virialsatz: Feder und Pendel sind grundsätzlich äquivalent, diskutiere hier Lösung
am Beispiel der Feder:
hEpot i =
1
T
Z T
0
k
k 1
dt x2(t) = x20
2
2 T
Z T
0
dt cos2 (ωt) = Epot,max
1ZT
1
Erfahrene wissen/sehen sofort dass
dt cos2 (ωt) =
T 0
T
Hier folgt der Beweis:
Substituiere t′ = ωt → dt′ = dt/ω und mit ω = 2π/T
1
⇒
T
Z T
0
Z T
0
1
T
Z T
0
dt cos2 (ωt)
dt sin2 (ωt) = 1/2
1 Z 2π ′
dt cos (ωt) =
dt cos2 (t′ )
2π 0
1 Z 2π ′
=
dt 1/2(cos(2t′) + 1)
2π 0
1
1/2[1/2sin(2t′) + t′ ]|2π
=
0 = 1/2
2π
2
⇒ hEpot i = 1/2Epot,max
1
m
1ZT
1ZT m 2
dt ẋ (t) = (ωx0)2
dt sin2 (ωt) = Ekin,max
hEkin i =
T 0
2
2
T 0
T
Z T
0
2
dt sin (ωt) =
Z T
0
Z T
dt [1 − cos2 (ωt)] = T − 1/2T = T /2
⇒ hEkini = 1/2Ekin,max = 1/2Epot,max
0
dt sin2 (ωt)