Ubungsblatt 5 - Institut für Informatik

Universität Augsburg
Institut für Informatik
Prof. Dr. W. Vogler
Dipl.-Inform. F. Bujtor
Logik für Informatiker WS 15/16
Übungsblatt 5
(Abgabe bis Donnerstag 19.11.2015, 12:00 Uhr)
Aufgabe 1: (Hilbert-Kalkül)
3 + 4 = 7 Punkte
1. Leiten Sie folgende Aussage im Hilbert-Kalkül her. Verwenden Sie nur die Axiome 1-3,
Modus Ponens und die Eigenschaft ` A → A.
{A → (A → B)} ` A → B
2. Leiten Sie die folgende Aussage im Hilbert-Kalkül her. Verwenden Sie nur die Axiome
1-3 und den Modus Ponens.
{A → B, B → C} ` A → C
Gehen Sie bei den Konstruktionen der Herleitungen vor wie in Beispiel 2.6 beschrieben; versuchen Sie insbesondere, herzuleitende Aussagen (wie A → B in 2.6) als rechte Seiten von
Axiomen zu erkennen.
Aufgabe 2: (Deduktions-Theorem)
Betrachten Sie die folgende Herleitung:
(1)
(2)
(3)
(4)
{B, B → C} ` B
{B, B → C} ` B → C
{B, B → C} ` C
{B} ` (B → C) → C
5 Punkte
∈M
∈M
MP (1) (2)
Ded. (3)
In Zeile 4 wird das Deduktionstheorem verwendet. Konstruieren Sie aus dieser Herleitung
eine Herleitung für die letzte Zeile, die das Deduktionstheorem nicht verwendet. Gehen Sie
dabei so vor, wie im Beweis von Satz 2.8 (Deduktionstheorem) aus der Vorlesung
beschrieben!
Aufgabe 3: (Formalisierung)
5 Punkte
Wir betrachten erneut die Interpretation von Blatt 3 Aufgabe 3:
D sei eine Teilmenge natürlicher Zahlen. Gegeben seien die Prädikatssymbole P und LE mit
Interpretation ist prim“ und kleiner-gleich“ sowie die Funktionssymbole add und mult mit
”
”
Interpretation + und ·.
1. Mögliche Lösungen zur 3. Teilaufgabe ( D enthält 0“) waren:
”
(a) ∃x add(x, x) = x
(b) ∃x∀y add(x, y) = y
(c) ∃x mult(x, x) = x
(d) ∃x∀y mult(x, y) = x
Bewerten Sie die Angemessenheit dieser Formalisierungen. (Selbstverständlich mit Begründung)
2. Geben Sie eine Formel an, die besagt, dass x das Doppelte von y ist. (x, y ungebunden)
Übungsblatt 5 (Logik für Informatiker WS 15/16)
2
3. Geben Sie eine Formel an, die besagt, dass x das Dreifache von y ist. (x, y ungebunden)
Aufgabe 4: (Beweis)
5 Punkte
Seien F und G aussagenlogische Formeln, die keine gemeinsamen Atome haben.
Zeigen Sie: Ist F → G eine Tautologie, so ist F nicht erfüllbar oder G ist eine Tautologie.
Tipp: Zeigen Sie die Kontraposition der Aussage.
Aufgabe 5: (Alice II)
3 Punkte
Der Löwe und das Einhorn waren nicht die einzigen Besucher im Wald der Vergesslichkeit.
Die Zwillinge Tweedledee und Tweedledum gingen dort auch ein und aus. Einer von ihnen
verhielt sich wie der Löwe. Er log montags, dienstags und mittwochs. Der andere verhielt
sich wie das Einhorn, er log Donnerstags, Freitags und Samstags. Leider wusste Alice nicht,
welcher von beiden sich wie verhielt. Noch dazu konnte sie die beiden vom Sehen her nicht
auseinanderhalten, weil sie sich so ähnlich sahen.
Wichtig: Begründen Sie, wie immer, Ihre Antworten knapp.
1. Eines Tages trifft Alice die Zwillinge, die folgendes behaupten:
• Der eine: Ich bin Tweedledum.“
”
• Der andere: Ich bin Tweedledee.“
”
Welcher ist welcher Zwilling und an welchem Wochentag geschah das?
2. An einem anderen Tag derselben Woche behaupteten die beiden folgendes:
• Der eine: Ich bin Tweedledum.“
”
• Der andere: Wenn das stimmt, dann bin ich Tweedledee.“
”
Welcher von den beiden ist welcher?
3. Es gab zwei Tage, an denen Alice nur jeweils einen der Zwillinge getroffen hat. An dem
einen Tag sagte der Zwilling: Ich lüge heute und ich bin Tweedledee“. Am anderen Tag
”
sagte der Zwilling (Alice wusste nicht, ob es derselbe war): Ich lüge heute oder ich bin
”
Tweedledee“. Kann man herausfinden, welchem der Zwillinge sie an dem einen, bzw.
dem anderen Tag begegnet ist? Wenn ja, dann geben Sie dies auch an.
4. An einem ganz besonderen Tag konnte Alice ihre Neugier in dreierlei Hinsicht befriedigen. Sie traf die beiden Zwillinge und konnte anhand ihrer Aussagen feststellen:
1. Welcher Tag es war, 2. Welcher von den beiden Tweedledee und welcher Tweedledum
war und 3. welcher von den beiden sich wie der Löwe verhielt. Die Aussagen waren die
folgenden:
• Der eine: Heute ist nicht Sonntag.“
”
• Der andere: Genauer gesagt ist sogar Montag.“
”
• Der eine: Morgen wird Tweedledee lügen.“
”
• Der andere: Der Löwe hat gestern gelogen.“
”
Finden Sie die Antworten zu den drei Fragen.