Proseminar „Fourier–Reihen“ - KIT

Institut für Angewandte und
Numerische Mathematik
Prof. Dr. W. Dörfler
Dipl.–Math. techn. M Richter
23.04.2007
Proseminar „Fourier–Reihen“
SS 2007
Vortrag 1: Césaro–Summation und positive Summationskerne
Viktoriya Burlak
Definition. Sei ak eine Folge reeller oder komplexer Zahlen. Man definiert die partiellen
Summen sn und das arithmetischen Mittel der ersten n der Partialsummen σn folgendermaßen:
n
n
X
1X
s1 + s2 + · · · + sn
sk
=
sn =
ak ,
σn =
n
n k=1
k=1
P
Man sagt, dass die Reihe ∞
k=1 ak Césaro–summierbar zum Wert s ist, wenn
lim σn = s.
n→∞
Schreibweise:
∞
X
ak = s
(C, 1)
k=1
Lemma. Wenn die Reihe
P∞
k=1
ak gegen s konvergent ist, dann gilt
lim σn = s.
n→∞
Beispiel. Wir betrachten die Reihe
∞
X
(−1)k−1 = 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + . . . .
k=1
Für die Partialsummen gilt sn = 0, wenn n gerade ist, und sn = 1, wenn n ungerade ist.
Die Reihe ist also divergent. Für σn hingegen gilt:
1
σn =
wenn n gerade ist,
2
1
(n + 1)
n+1
σn = 2
=
wenn n ungerade ist.
n
2n
Daraus folgt σn → 21 für n → ∞. Die Reihe ist also Césaro–summierbar zum Wert 21 .
n
s
1
2n
1
2n
Abbildung 1: Beispiel für einen positiven Summationskern.
Definition. Sei I = (−a, a) ein endliches oder unendliches Intervall. Sei {Kn }∞
n=1 eine Folge von reellen, Riemann-integrierbaren Funktionen, die folgende Eigenschaften
besitzen:
1. Kn (s) ≥ 0.
2.
Za
Kn (s) ds = 1.
−a
3. Für alle δ > 0 gilt
lim
n→∞
Z
Kn (s) ds = 0.
δ<|s|<a
Dann heißt die Folge {Kn }∞
n=1 ein positiver Summationskern.
Beispiel. Die Funktionen Kn : R → R, definiert durch
(
n falls |s| <
Kn (s) =
0 falls |s| >
1
2n
1
2n
bilden einen positiven Summationskern (siehe Abbildung 1).
Satz. Sei I = (−a, a) ein endliches oder unendliches Intervall und {Kn }∞
n=1 ein positiver
Summationskern. Sei f : I → C eine integrierbare, beschränkte Funktion, die an der
Stelle s = 0 stetig ist. Dann gilt:
lim
Za
n→∞
−a
Kn (s)f (s)ds = f (0).
Literatur
[1] A. Vretblad. Fourier Analysis and Its Applications. Number 223 in Graduate Texts in
Mathematics. Springer, New York, 2003.