Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
2. Vorlesung - 14.10.2016
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit
1933 hat der russische Mathematiker Andrei Nikolaevici Kolmogorov im
Buch ”Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung” die axiomatische
Definition der Wahrscheinlichkeit eingeführt.
Die Wahrscheinlichkeit ist eine Funktion P : K → R so dass: jedem
zufälligen Ereignis A ∈ K der Wert P(A) zugeordnet wird
K hat die Struktur einer σ-Algebra (siehe Definition 1)
P erfüllt bestimmte Axiome (siehe Definition 2)
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σ-Algebra
Definition 1
Eine Familie K von Ereignissen aus der Grundmenge Ω wird σ-Algebra
genannt, wenn:
(i) K 6= ∅;
(ii) wenn A ∈ K, dann A ∈ K;
(iii) wenn An ∈ K, n ∈ N, dann
∞
[
An ∈ K.
n=1
Das Paar (Ω, K) nennt man messbarer Raum.
Beispiele:
• A ⊂ Ω ⇒ K = {∅, A, Ā, Ω} ist eine σ-Algebra.
• Die Menge aller Teilmengen aus Ω ist eine σ-Algebra und wird mit P(Ω)
bezeichnet. Wenn Ω endlich ist, wie viele Elemente hat P(Ω)?
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Eigenschaften einer σ-Algebra
Mit Hilfe von Definition 1 und den Gesetzen von De Morgan kann man
beweisen:
Satz 1
Wenn K eine σ-Algebra in Ω ist, so gelten folgende Eigenschaften:
(1) ∅, Ω ∈ K;
(2) A, B ∈ K =⇒ A ∩ B, A \ B ∈ K;
∞
\
(3) An ∈ K, n ∈ N =⇒
An ∈ K.
n=1
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σ-Algebra
Satz 2
Sei A eine Familie von Teilmengen aus Ω. Man definiert
\
σ(A) := {F : A ⊆ F, F ist eine σ-Algebra}.
⇒ σ(A) ist die kleinste σ-Algebra in P(Ω), die A enthält.
Beweisidee:
• σ(A) 6= ∅, weil F := P(Ω) eine σ-Algebra ist welche A enthält
• σ(A) ist eine σ-Algebra (anhand Def. 1)
• A ⊆ σ(A) und σ(A) is minimal, laut (1).
Definition 2
σ(A) heisst die von der Menge A erzeugte σ-Algebra
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(1)
Spezielle σ-Algebren: Borel-σ-Algebren
• Seien Ω := [a, b] (mit a < b)
A=die Menge aller abgeschlossenen Intervalle aus [a, b]
B([a, b]) := σ(A) heisst Borel-σ-Algebra auf [a, b] und ist die kleinste
σ-Algebra, die die Menge aller abgeschlossenen Intervalle aus [a, b] enthält
⇒ [a, b], B([a, b]) ist ein messbarer Raum
• Seien Ω := R
A=die Menge aller abgeschlossenen Intervalle aus R
B(R) := σ(A) heisst Borel-σ-Algebra auf R und ist die kleinste σ-Algebra,
die die Menge aller abgeschlossenen Intervalle aus R enthält
⇒ R, B(R) ist ein messbarer Raum
Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik
Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit
Definition 3
Sei K eine σ-Algebra in Ω. Eine Funktion P : K → R wird
Wahrscheinlichkeitsmaß genannt, wenn folgende Axiome gelten:
(i) P(Ω) = 1
(ii) P(A) ≥ 0 für alle A ∈ K;
(iii) jede Folge (An )n∈N von paarweise disjunkten Ereignissen (d.h.
Ai ∩ Aj = ∅ für alle i 6= j) aus K gilt
P
∞
[
n=1
∞
X
An =
P(An )
n=1
Das Tripel (Ω, K, P) heisst Wahrscheinlichkeitsraum.
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Eigenschaften des Wahrscheinlichkeitsmaßes
Satz 3
Sei (Ω, K, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Es gilt:
(1) P(A) = 1 − P(A) şi 0 ≤ P(A) ≤ 1
(2) P(∅) = 0
(3) P(A \ B) = P(A) − P(A ∩ B)
(4) A ⊆ B =⇒ P(A) ≤ P(B), d.h. P ist monoton.
(5) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B).
Übung: P(A ∪ B ∪ C ) =???
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Folgen von Ereignissen aus der σ-Algebra K
(An )n ist eine wachsende Folge von Ereignissen, wenn An ∈ K und
An ⊆ An+1
(Bn )n ist eine fallende Folge von Ereignissen, wenn Bn ∈ K und
Bn+1 ⊆ Bn
Beispiele:
1. Seien Ω := [0, 1], K := B([0, 1]) Borel-σ-Algebra auf [0, 1]
∞
[
1 1 1
, −
,n ≥ 4
⇒
An =?
An =
n 2 n
n=4
2. Seien Ω = [−1, 2], K := B([−1, 2]) Borel-σ-Algebra auf [−1, 2]
∞
\
1
1
An = − , 1 +
,n ≥ 1
⇒
An =?
n
n
n=2
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Satz 4
Sei (Ω, K, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum. Es gelten folgende
Eigenschaften:
(1) Wenn (An )n eine wachsende Folge von Ereignissen aus K ist, dann
lim P(An ) = P
n→∞
∞
[
An .
n=1
(2) Wenn (Bn )n eine fallende Folge von Ereignissen aus K ist, dann
lim P(Bn ) = P
n→∞
∞
\
Bn .
n=1
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Beispiel
1. Ω := [0, 1] Grundraum, K := B([0, 1]) Borel-σ-Algebra auf [0, 1]; sei P
das Wahrscheinlichkeitsmaß auf [0, 1], d.h. für jede α < β aus [0, 1]
berechnet man
P [α, β] = P [α, β) = P (α, β] = P (α, β) := β − α
P entspricht dem Lebesgue Maß
1 1 1
für An =
, −
,n ≥ 4
⇒ P(An ) =?
n 2 n
!
∞
[
⇒P
An =?
n=4
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