Anfänger-Praktikum II Praktikumsbericht: Schwingkreis

Anfänger-Praktikum II
Praktikumsbericht:
Schwingkreis
Schwingungssiebe
Michael Seidling
Timo Raab
Sommersemester
13. Juli 2012
Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
3
2 Grundlagen
2.1 Gleichstromwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Wechselstromwiderstand . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Ein Ohmscher Widerstand im Wechselstrom
2.2.2 Ein Kondensator im Wechselstrom . . . . .
2.2.3 Eine Spule im Wechselstrom . . . . . . . . .
2.3 Ladevorgang eines Kondensators . . . . . . . . . . .
2.4 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 elektrische Feldenergie eines Kondensators .
2.4.2 magnetische Feldenergie einer Spule . . . . .
2.5 Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5.1 Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . .
2.5.2 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . .
2.6 induktive Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7 RC-Hochpass/Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8 LC-Hochpass/Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
3
4
4
5
6
8
8
8
8
9
10
11
11
13
3 Versuch
14
3.1 Aufbau & Durchführung Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.1.1 Versuchsteil 1: langsame angestoßene gedämpfte Schwingungen . . 14
3.1.2 Versuchsteil 2: angestoßene gedämpfte Schwingungen . . . . . . . 14
3.1.3 Versuchsteil 3: erzwungene Schwingungen, Resonanzkurven und
Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.1 Versuchsteil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3.2.2 Versuchsteil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2.3 Versuchsteil 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 Aufbau & Durchführung Schwingungssiebe . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.1 Versuchsteil 1: Zeitkonstante eines RC-Gliedes . . . . . . . . . . . 18
3.3.2 Versuchsteil 2: RC-Hoch- und -Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.3 Versuchsteil 3:LC-Hoch- und -Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.1 Berechnung der Zeitkonstanten τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.2 Durchlasskurven der RC- / LC-Kombinationen . . . . . . . . . . . 19
3.5 Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4 Fragen & Aufgaben
23
5 Anhang
25
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2
2 GRUNDLAGEN
1 Einführung
Im Versuch Elektrischer Schwingkreis“ soll untersucht werden, wie eine Umwandlung
”
zwischen elektrostatischer Energie und magnetischer Energie abläuft. Ebenso wird der
Einfluss von Dämpfung und einer äußeren Kraft betrachtet.
In dem Versuch Schwingungssiebe“ sollen verschiedene Kombinationen von Spulen, Wi”
derständen und Kondensatoren beobachtet werden. Insbesondere geht es darum, dass bei
einem beliebigen Wechselstromsignal, mit Hilfe einer geeigneten Schaltung, bestimmte
Frequenzanteile ausgewählt“ werden können.
”
2 Grundlagen
2.1 Gleichstromwiderstand
Wenn man Gleichstrom durch einen Leiter schickt, der dem Ohmschen Gesetz folgt,
dann sieht man, dass das Verhältnis der Spannung U und der Stromstärke I einen konstanten Wert ergibt. Dieser Wert ist abhängig von den Eigenschaften des Leiters und
heißt Gleichstromwiderstand R. Diesen Wert kann man auch über die geometrischen
Abmessungen des Körpers, wie in Bild (1) zu sehen ist, und einer Materialkonstanten,
dem spezifischen Widerstand ρ, bestimmen:
U
= const.
I
l
R=ρ
A
R=
(1)
(2)
Abbildung 1: Abmessungen des Leiters
2.2 Wechselstromwiderstand
Wenn man an einen Widerstand nun Wechselstrom anschließt, ändert sich permanent die
Momentanspannung am Widerstand. Bei sinusförmigem Wechselstrom ist der Quotient
von der effektiv Spannung Uef f und der effektiven Stromstärke Ief f der Scheinwiederstand Z.
Z=
Uef f
Ief f
3
(3)
2 GRUNDLAGEN
Da es zu einer Phasenverschiebung ϕ zwischen maximaler Spannung und maximaler
Stromstärke kommen kann, wird der Scheinwiderstand als komplexe Zahl betrachtet und
wird Impedanz Z genannt:
Z = Z · ejφ
(4)
In der komplexen Zahlenebene kann man die Impedanz auftragen und erhält somit die
komplexe Widerstandsebene mit:
Z = R + jX
(5)
Wobei R = <(Z) Wirkwiderstand, und X = =(Z) Blindwiderstand heißt.
2.2.1 Ein Ohmscher Widerstand im Wechselstrom
Wird an einen ohmschen Widerstand eine Wechselspannung U (t) angelegt, dann wird
das Ohmsche Gesetz nicht verletzt. Das bedeutet, dass sich der Widerstand zu jeder Zeit
t so verhält, wie er sich beim Anlegen einer Gleichspannung verhalten würde:
UR (t) = R · IR (t)
(6)
Wird beispielsweise eine sinusförmige Wechselspannung angelegt gilt:
UR (t) = U0 · sin(ωt)
U0
(6)
⇒ IR (t) =
· sin(ωt)
R
(7)
(8)
mit ω = 2πf . Der Ohmsche Widerstand wandelt elektrische Energie, wenn Strom durch
ihn fließt, in z.B. Wärme um. Deshalb spricht man von dem Wirkwiderstand.
2.2.2 Ein Kondensator im Wechselstrom
Wenn an Kondensator eine Wechselspannung anliegt, kommt es zum ständigen laden,
bzw. entladen des Kondensators, wobei die Frequenz der Wechselspannung ausschlaggebend ist. Es scheint, als ob der Wechselstrom durch“ den Kondensator fließt, obwohl
”
bei Gleichstrom der Strom nie durch“ den Kondensator fließen könnte. Das liegt dar”
an, dass sich die Elektronen immer hin und her bewegen. Für den Strom durch den
Kondensator können wir also sagen:
IC (t) = Q̇(t) =
d(UC (t) · C)
= C · U̇C (t)
dt
(9)
Betrachten wir nun die gleiche sinusförmige anregende Spannung wie beim Ohmschen
Widerstand ergibt sich:
UC (t) = −U0 cos(ωt)
(10)
π
= U0 · sin(ωt − ) ⇒ IC (t) = U0 Cω sin(ωt)
2
4
(11)
2 GRUNDLAGEN
Man sieht, dass der Strom neben seiner Ursprungsspannungsamplitude noch von der
Kapazität C sowie der Kreisfrequenz ω abhängt. Der Kondensator beeinflusst also das
Verhältnis zwischen Spannungsamplitude und Stromamplitude. Man kann also behaupten, dass der Kondensator einen Widerstand für Wechselstrom hat. Man nennt ihn ka”
pazitiven Blindwiderstand“ XC :
XC =
1
ωC
(12)
Zudem erkennt man, dass die Spannung am Kondensator der Erregerspannung und
dem Strom um π2 verschoben folgt. Man kann um leichter zu rechnen den kapazitiven
Blindwiderstand auch schreiben:
XC =
−i
ωC
(13)
2.2.3 Eine Spule im Wechselstrom
Liegt an einer Spule eine Gleichspannung an, wird ein Magnetfeld im inneren der Spule
aufgebaut, nach dem Faradayschen Induktionsgesetz gilt:
UL (t) = −nΦ̇(t)
d(B(t)A)
= −n
dt
n2 ˙
= −nµ0 µr AIL (t)
l
= −LI˙L (t)
(14)
(15)
(16)
(17)
2
wobei L := µ0 µr nl A die Induktivität der Spule ist.n die Windungszahl, A die Fläche
und l die Länge der Spule. µ0 ist die magnetische Feldkonstante und µr die Permeabilitätszahl. B ist die Magnetische Flussdichte und Φ der magnetische Fluss.
Haben wir nun den selben Stromverlauf, wie bei dem Kondensator oder dem Ohmschen
Widerstand ergibt sich:
IL (t) = I0 sin(ωt)
d(sin(ωt))
⇒ UL (t) = I0 L
dt
π
= I0 lω sin(ωt + )
2
(18)
(19)
(20)
Man sieht, wie bei dem Kondensator, dass das Verhältnis zwischen Spannungsamplitude
und Stromamplitude beeinflusst wird. Man hat nun einen induktiven Blindwiderstand
XL
XL = ωL
bzw. = iωL
um wieder einfacher mit der Phasenverschiebung umgehen zu können.
5
(21)
(22)
2 GRUNDLAGEN
Betrachtung im Komplexen Bisher wurde nur gesagt, dass man den Blindwiderstand
als Imaginärteil betrachten soll. Um damit aber anständig zu rechnen sollte man den
Strom und die Spannung auch umschreiben:
I(t) = I0 eiωt
iωt
UR (t) = RI0 e
−i
UC (t) =
I0 eiωt
ωC
UL (t) = iωLI0 eiωt
(23)
(24)
(25)
(26)
Für die reale Spannung und Stromstärke ist nur den Realteil ausschlaggebend. Der
Vorteil der komplexen Betrachtung liegt darin, dass man sich nicht mit Phasenverschiebungen auseinandersetzen muss und dass man ganz einfach den komplexen Gesamtwiederstand einer Schaltung berechnen kann. Diese Größe bezeichnet man als Impedanz
Z:
Z = R + iX
(27)
Wobei R = <(Z) der Wirkwiderstand ist, und X = =(Z) der gesamte Blindwiderstand.
Der Betrag von Z wird Scheinwiderstand |Z| genannt und man kann Z so auch in der
Polarform angeben:
mit :
Z = |Z| · eiφ
√
|Z| = R2 + X 2
X
ϕ = arctan
R
(28)
(29)
(30)
Das Ohmsche Gesetz gilt im Komplexen immer noch.
2.3 Ladevorgang eines Kondensators
Wird ein Kondensator, wie in Bild (2), über eine konstante Gleichspannung UQuelle
geladen, steigt die Spannung exponentiell gegen einen Grenzwert U0 , ebenso ist dies beim
entladen, wie in Bild (3) dargestellt ist. Für die jeweiligen Spannungen im Stromkreis
Abbildung 2: Schaltplan zum Laden eines Kondensators
6
2 GRUNDLAGEN
gilt:
UQuelle (t) = U0 beim Ladevorgang
UQuelle (t) = 0
beim Entladevorgang
UR (t) = R · I(t)
= R · Q̇(t)
Q(t)
UC =
C
(31)
(32)
(33)
(34)
(35)
wobei U0 die angelegte Spannung, R der Ohmsche Widerstand und C die Kapazität des
Kondensators ist. Da die Spannungen nach dem 2. Kirchhoffschen Gesetz in Verbindung
zueinander stehen, erhält man folgende Differentialgleichung:
UQuelle = UR + UC
(36)
⇒ UQuelle = R · Q̇(t) +
Q(t)
C
Diese Differentialgleichung löst man mit exponentiellem Ansatz und erhält:
t
− RC
UQuelle = U0 · 1 − e
(37)
(38)
und für den Entladevorgang gilt:
t
UQuelle = U0 · e− RC
(39)
Man stellt fest, dass RC eine zeitlich Konstanter Wert ist und nur von der Art der
Bauteile abhängt. Man nennt sie Zeitkonstante des RC-Gliedes τ . Sie sagt, dass nach
der Zeit τ der Ladevorgang zu 1 − 1e abgeschlossen ist.
Abbildung 3: (Ent-)Ladekurve eines Kondensators
7
2 GRUNDLAGEN
2.4 Energie
2.4.1 elektrische Feldenergie eines Kondensators
Ein Kondensator besteht aus 2 nicht miteinander verbundenen Elektroden. Er besitzt
die Fähigkeit elektrische Ladung zu speichern. Somit wird ein Elektrisches Feld zwischen
den Elektroden aufgebaut, in dem Energie gespeichert ist.
Zwischen den beiden Elektroden liegt eine Spannung U an, diese ist proportional zur
Ladung Q auf der Elektrode:
C=
Q
= const.
U
(40)
Wobei C die Kapazität des Kondensators ist.
Bei dieser Spannung U ist dann die Feldenergie WE :
1
WE = CU 2
2
(41)
2.4.2 magnetische Feldenergie einer Spule
Eine Spule besteht aus Wicklungen in einem Leiter. Durch Strom, der durch diese Spule
fließt, baut sich im inneren ein Magnetfeld auf. In diesem Magnetfeld ist die Energie WB
gespeichert. Diese hängt von der spezifischen Eigenschaft der Spule, der Induktivität L,
und der Stromstärke I ab:
1
WB = LI 2
2
(42)
2.5 Schwingkreis
In einem Schwingkreis ist eine Spule, mit Induktivität L, und ein Kondensator, mit
Kapazität C, in Reihe geschaltet. Lädt man den Kondensator auf und trennt die Stromquelle, stellt man fest, dass die Spannung am Kondensator sinusförmig verläuft. Das
liegt daran, dass bei der Entladung des Kondensators Strom durch die Spule fließt und
sich so ein Magnetisches Feld aufbaut. Nach nach der Lenzschen Regel, fließt der Strom
beim Abbau des Magnetfeldes in die selbe Richtung weiter, wie in Bild (4) veranschaulicht wird, und lädt den Kondensator entgegen seiner ursprünglichen Polung wieder auf.
Jedoch geht ein bisschen Energie verloren, da an der Spule aufgrund des Ohmschen
Widerstandes etwas Energie in Wärme umgewandelt wird.
8
2 GRUNDLAGEN
Abbildung 4: Skizze eines Schwingkreises
2.5.1 Schwingungsgleichung
Wenn man nun noch mittels eines Ohmschen Widerstandes R dämpft, erkennt man den
Zusammenhang:
UL (t) + UR (t) + UC (t) = 0
1
R
Q=0
⇒ Q̈ + Q̇ +
L
LC
(43)
(44)
Damit erhält man eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten, die wir im folgenden abkürzen:
R
β :=
r 2L
1
ω0 :=
LC
(45)
(46)
wobei β die Dämpfungskonstante und ω0 die Eigenfrequenz des gedämpften Systems ist.
Diese Differentialgleichung erinnert stark an die Differentialgleichungen bei der Mechanischen Schwingung.
Wir nehmen den komplexen Ansatz:
Q(t) = Q0 · eλt
wobei Q0 die Anfangsladung ist. Wir erhalten die beiden Lösungen:
√ 2 2
Q(t) = Qo · e−βt · e±jt ω0 −β
(47)
(48)
Aus diesen beiden Lösungen lässt sich für jedes Problem, wenn die Anfangsbedingungen
bekannt sind die Lösung darstellen. Man unterscheidet in 3 Fälle:
• Schwingfall: (β 2 < ω02 )
Es entsteht eine Schwingung, bei der die Amplitude nachlässt:
Q(t) = Q0 · e−βt · a sin ωt + ϕ
9
(49)
2 GRUNDLAGEN
p
wobei ω = ω02 − β 2 und a undϕ zwei reelle Konstanten sind die durch die Anfangsbedingung gegeben sind. Das gedämpfte System schwingt also mit einer kleineren Frequenz wie das ungedämpfte System.
Die Spannung am Kondensator und die Stromstärke sind auch sinusförmig, da gilt:
Q(t)
C
I(t) = Q̇(t)
Uc (t) =
(50)
(51)
Im Experiment kann man die Dämpfungskonstante β über das Logarithmische
Dekrement Λ und der Periodendauer T ermitteln:
Λ = βT
wobei : Λ = ln
(52)
Ûn
Ûn+1
(53)
• aperiodischer Grenzfall: (β 2 = ω02 )
In diesem Fall geht die Ladung schnellst möglich gegen 0. Es kommt zu keiner
Schwingung, jedoch ist ein Nulldurchgang möglich.
Da die Wurzel in diesem Fall 0 ist muss man die zweite linear unabhängige Lösung
noch suchen. Dies geschieht durch Variation der Konstanten. Man erhält:
Q(t) = (a + bt)e−βt
(54)
wobei a und b durch die Anfangsbedingungen gegeben sind.
• Kriechfall: (β 2 > ω02 ) Es gibt keine Schwingung Ladung und Spannung fallen
langsam auf 0:
√ 2 2
√ 2 2
(55)
Q(t) = e−βt (ae−t ω0 −β + bet ω0 −β )
wobei a und b durch die Anfangsbedingungen gegeben sind.
2.5.2 Erzwungene Schwingung
Wenn man an einen Schwingkreis eine sinusförmige Wechselspannung Uerr = Uerr,0 ·
sin(ωerr t) anlegt, so entsteht eine erzwungene Schwingung. Um dies zu beschreiben muss
man die inhomogene Differentialgleichung lösen:
UC (t) = UC,homogen (t) + Uerr (t)
lim UC (t) = Uerr (t) = UC,0 · sin(ωerr t − ϕ)
t→∞
ω02
mit : UC,0 = Uerr,0 · p 2
2 )2 + 4β 2 ω 2
(ω − ωerr
err
0
2βωerr
ϕ = arctan
2 )
(ω02 − ωerr
10
(56)
(57)
(58)
(59)
2 GRUNDLAGEN
wobei ϕ die Phasenverschiebung von der erregenden Schwingung zu der Eigenschwingung
ist. Es gibt verschiedenen Möglichkeiten einen Schwingkreis anzuregen, wie in Bild (5)
gezeigt:
Abbildung 5: erzwungene Schwingung am Schwingkreis
Im Falle von der Parallelschaltung kommt es bei der Resonanzfrequenz zu einer maximalen Stromstärke. Bei einer Reihenschaltung ist die Spannung p
maximal. In jedem Fall
ist die Phasenverschiebung 0 und die Resonanzfrequenz ist ω = ω02 − 2β 2
2.6 induktive Kopplung
Sind zwei oder mehrere Stromkreise durch den Magnetischen Fluss verbunden, d.h.
Strom in einem der Stromkreise hat über den magnetischen Fluss Einfluss auf die anderen
Stromkreise und dort wird Strom induziert. wie es zum Beispiel bei einem Transformator
der Fall ist.
2.7 RC-Hochpass/Tiefpass
Eine RC-Hochpass/Tiefpass Schaltung ist eine Reihenschaltung eines Kondensators und
einem Ohmschen Widerstand. Sie unterscheiden sich lediglich an der Abnahme der Ausgangsspannung, wie im Bild (6) gezeigt. Greift man über dem Ohmschen Widerstand
ab erhält man einen RC-Hochpass, über dem Kondensator einen RC-Tiefpass. Denn
der Blindwiederstand eines Kondensators, wie in Gleichung (13) gezeigt, hängt von der
Kreisfrequenz des Erregers ab, so wird das Ausgangssignal auch frequenzabhängig. Man
kann also je nach Schaltung die hohen oder die tiefen Frequenzen unterdrücken.
11
2 GRUNDLAGEN
(a) Hochpass
(b) Tiefpass
Abbildung 6: RC-Schaltpläne
Für den RC-Hochpass gilt:
U3
R
=
U1
R + XC
R
=
1
R + iωC
U3 1
= q
U1 2
1
1 + ωRC
(60)
(61)
(62)
Für den RC-Tiefpass gilt:
U4
XC
=
U1
R + XC
=
1
iωC
R+
1
iωC
U4 1
= p
U1 1 + (ωRC)2
Man erhält nach Gleichung (30) somit eine Phasenverschiebung von:
1
Hochpass :
ϕ = arctan
ωRC
Tiefpass :
ϕ = arctan (−ωRC)
(63)
(64)
(65)
(66)
(67)
Besondere Bedeutung hat die sogenannte Grenzfrequenz“ ωgr . Dort ist der Wert für
”
das Verhältnis Ausgangsspannung zu Eingangsspannung genau √12 und aus Gleichungen
(62) und (65) folgt:
ωgr =
1
1
=
RC
τ
12
(68)
2 GRUNDLAGEN
2.8 LC-Hochpass/Tiefpass
Ebenso ist es möglich Frequenzfilter aus einer Spule und einem Kondensator, welche in
Reihe geschaltet sind, bauen. Man hat wieder 2 Möglichkeiten die Spannung abzugreifen,
an der Spule (Hochpass) oder am Kondensator (Tiefpass), wie in Bild (7) dargestellt.
Man erhält ebenso die Gleichungen:
(a) Hochpass
(b) Tiefpass
Abbildung 7: LC-Schaltpläne
LC − Hochpass :
U5
=
U1
U5 =
U1 XL
X L + XC
1
1 − 21 ω LC
LC − Tiefpass :
U6
XC
=
U1 XL + XC
U6 1
=
U1 |1 − ω 2 LC|
(69)
(70)
(71)
(72)
Zu einer Phasenverschiebung, zwischen Erreger und Ausgangsfrequenz kommt es in diesem Fall nicht.
Ein besonders starkes Ausgangssignal kommt bei der Grenzfrequenz ωgr zustande, wenn
der Nenner 1 ergibt. Dies ist der Fall bei:
ωgr = √
1
LC
(73)
Es ist also nicht nur eine Filterung möglich, sondern auch eine Überhöhung des Ausgangssignals bei idealisierten Bedingungen um ωgr .
13
3 VERSUCH
3 Versuch
3.1 Aufbau & Durchführung Schwingkreis
3.1.1 Versuchsteil 1: langsame angestoßene gedämpfte Schwingungen
Wir bauen eine Schaltung nach Bild (8) und zeichnen den Spannungsverlauf auf.
Abbildung 8: Schaltplan für Versuchsteil 1
3.1.2 Versuchsteil 2: angestoßene gedämpfte Schwingungen
In der Schaltung nach Bild (9) bestimmen wir, bei einer Rechteck“-Spannung, für 3
”
verschiedene Werte von dem regelbaren Widerstand R jeweils die Schwingzeit T und
das Dämpfungsverhältnis k zweier aufeinander folgender Maxima.
Abbildung 9: Schaltplan für Versuchsteil 2
3.1.3 Versuchsteil 3: erzwungene Schwingungen, Resonanzkurven und
Phasenverschiebung
In dem Schaltplan (10) sind die beiden Spulen induktiv gekoppelt wobei eine mit Sinus“”
Spannung angeregt wird. Wir messen, bei 3 verschiedenen Werten von dem regelbaren
Widerstand R, die Amplitude am Kondensator sowie die Phasenverschiebung.
14
3 VERSUCH
Abbildung 10: Schaltplan für Versuchsteil 3
3.2 Auswertung
3.2.1 Versuchsteil 1
Aus den aufgenommen Kurven bestimmen wir die Periodendauer T aus der Schreibgeschwindigkeit v und der Strecke s zwischen 2 Nullstellen. Daraus lässt sich dann die
Frequenz f bestimmen:
f=
1
1
=
T
v·s
(74)
mit der Genauigkeit von:
∂f 1
δf = · δs = 2 δs
∂s
vs
(75)
Und das Dämpfungsverhältnis k berechnet man aus den Verhältnis 2 aufeinanderfolgender Maxima:
k=
Mn
Mn+1
(76)
Für den Fehler wird die Standartabweichung genommen. Man erhält dann:
Spule 1
Spule 2
Frequenz f in
in Hz
0,95
1,89
δf
in Hz
±,2
±0,3
Theoretische
Frequenz
0,95
1,91
Dämpfungsverhältnis
k
1,81
1,8
δk
±0,09
±0,1
Tabelle 1: Dämpfungsverhältnis und Frequenz
Aus der Frequenz und dem Dämpfungsverhältnis lässt sich die Dämpfungskonstante
β berechnen:
β = f · ln k
∂β ∂β f
δβ = · δk + · δf = δk + ln k · δf
∂k
∂f
k
15
(77)
(78)
3 VERSUCH
Aus β lässt sich dann mit der Induktivität L der Spule der Gesamtwiderstand des
Schwingkreises berechnen:
RG = β · 2L
∂RG · δβ = 2L · δβ
δR = ∂β Spule 1
Spule 2
β in N s m−1
0,56
1,1
δβ
±0,16
±0,4
(79)
(80)
RG in Ω
722
357
δRG
±198
±120
Tabelle 2: Dämpfungskonstante und Gesamtwiderstand
Der Gesamtwiderstand ist im Vergleich zu den angegebenen 280Ω bzw. 140Ω ist unser
gesamte Widerstand um einiges größer. Vermutlich liegt das daran, dass die Spule warm
wurde und so der Widerstand zunimmt, da der Spezifische Widerstand von Kupfer mit
der Temperatur zunimmt. Natürlich haben die anderen Bauteile auch einen Widerstand,
aber dieser ist so gering, dass das keine Erklärung für diese große Differenz.
3.2.2 Versuchsteil 2
Aus Gleichung 46 und der bekannten Kapazität C sowie mit der gemessenen Periodendauer T lässt sich die Induktivität der Spule berechnen.
T2
(2π)2 C
∂L T
δL = · δT = 2
∂T
2π C
C = 0, 01µFT = 66 ± 3µsL =
(81)
Man erhält eine Induktivität von:
L = 11 ± 1, 2mF
Mit den selben Gleichungen wie bei Versuchsteil 1 berechnet man k,β und RG :
Geregelter Widerstand R
in Ω
50
100
300
Dämpfungsverhältnis k
δk
1,8
1,9
2,6
0,2
0,3
0,4
β
in kN s m−1
8,6
9,5
14,3
δβ
2,1
2,3
2,4
RG
in Ω
190
212
319
δRG
44
50
52
Tabelle 3: Dämpfungskonstante und Gesamtwiderstand
Man sieht, dass bei dem großen Regelwiderstand das Ergebnis sehr nahe an dem
eingestellten Widerstand. Bei kleinen Widerständen sind die Stromstärken so groß, das
sich die Leitungen erhitzen und so der Widerstand steigt.
16
3 VERSUCH
3.2.3 Versuchsteil 3
Bei dem angeregten Schwingkreis wurde die Resonanzkurve aufgenommen, zudem wurde
die Phasenverschiebung notiert.
Abbildung 11: Resonanzkurve
Man sieht, dass das Amplituden Maximum bei größeren R bei einer niedrigeren Kreisfrequenz ist als bei kleineren. Jedoch ist die Phasenverschiebung immer an der selben
Stelle. Wie es nach der Theorie zu erwarten war.
Abbildung 12: Phasenverschiebung bei verschiedenen Erregerfrequenzen
17
3 VERSUCH
3.3 Aufbau & Durchführung Schwingungssiebe
3.3.1 Versuchsteil 1: Zeitkonstante eines RC-Gliedes
Wir bestimmen in dem Aufbau nach Bild (2) die Zeitkonstante τ bei 5 verschiedenen
Kombinationen aus Kondensatoren und Ohmschen Widerständen. Dazu benutzen wir
die Rechteckspannung am Funktionsgenerator.
3.3.2 Versuchsteil 2: RC-Hoch- und -Tiefpass
In dem Aufbau nach Bild (6) mit einem Widerstand von R = 600Ω, einem beliebigen
Kondensator und einer sinusförmigen Erregerspannung nehmen wir eine Durchlasskurve
für den RC-Hoch- und Tiefpass auf. Dabei messen wir die Phasenverschiebung unterhalb
der Grenzfrequenz, bei der Grenzfrequenz und oberhalb der Grenzfrequenz.
3.3.3 Versuchsteil 3:LC-Hoch- und -Tiefpass
In der Schaltung nach Bild (7) mit einem Kondensator mit C ≈ 27nF , einem Widerstand von R = 600Ω und einer beliebigen Spule messen wir das Spannungsverhältnis
zuerst ohne den angeschlossenen Widerstand und nehmen anschließend, mit Widerstand,
ebenso die Durchlasskurven auf und bestimmen die Phasenverschiebung unterhalb der
Grenzfrequenz, bei der Grenzfrequenz und oberhalb der Grenzfrequenz.
18
3 VERSUCH
3.4 Auswertung
3.4.1 Berechnung der Zeitkonstanten τ
Da wir die Halbwertszeit T 1 gemessen haben, müssen wir diesen Wert umrechnen. Nach
2
der Halbwertszeit liegt die Hälfte der maximalen Spannung am Kondensator an. Nach
der Zeit τ liegt 1e der Maximalen Spannung an.
t
U (t) = U0 · (1 − e− τ )
U (T 1 ) =
2
⇒τ =
U0
= U0 · (1 − e
2
(82)
T1
− τ2
)
(83)
T1
2
(84)
ln 2
mit der Genauigkeit:
∂τ δT 1
2
δτ = · δT 12 =
∂T 1 ln 2
(85)
2
Kombination
R in Ω C in nF
500
44
700
44
1000
44
500
25
700
25
τtheo in µs
22,0
30,8
44,0
12,5
17,5
τexp in µs
23,1
31,7
43,3
14,4
20,0
δτexp in µs
±1
±1
±1
±2
±2
Tabelle 4: Theoretische und experimentell Zeitkonstanten
3.4.2 Durchlasskurven der RC- / LC-Kombinationen
Die Durchlasskurven werden logarithmisch aufgetragen. Die Genauigkeit berechnet sich:
U U ∂ E UE ∂ UEA UA
1
U δ
=
δUA + 2 δUE
(86)
· δUA + A · δUE =
∂UE UA ∂UA UE
UE
Dabei wird die Frequenz als genau angenommen, da das Oszilloskop und der Frequenzgenerator fast immer identische Werte lieferten.
19
3 VERSUCH
Abbildung 13: Durchlasskurve der RC-Kombinationen
Die Grenzfrequenz liegt nach Gleichung 68 bei
fgr = 10610Hz
Während dem Versuch nahmen wir an sie liegt bei 11000Hz in Bild 13 ist sie als x-Wert
des Schnittpunktes der Durchlasskurven abzulesen.
Frequenz
f1 = 4kHz fgr
f1 = 20kHz fgr
f1 = 11kHz ≈ fgr
Phasenverschiebung in ◦
Hochpass
Tiefpass
60 ± 5
20 ± 4
25 ± 4
61 ± 2
47 ± 3 44 ± 3
Tabelle 5: Gemessene Phasenverschiebung bei RC-Hoch- und RC-Tiefpass
Kommentar zu der Phasenverschiebung Bei dem Hochpass und dem Tiefpass ist
die Phasenverschiebung bei der Grenzfrequenz bei 45◦ . Jedoch verhalten sich Hoch- und
Tiefpass genau unterschiedlich, wenn man die Frequenz erhöht, senkt. Die Phasenverschiebung beim Tiefpass nähert sich 90◦ wenn man die Frequenz erhöht und 0◦ wenn
man die Frequenz senkt. Bei dem Hochpass ist dies genau umgekehrt. Da bestätigen
auch unsere Messwerte:
20
3 VERSUCH
Abbildung 14: Durchlasskurve der LC-Kombinationen
Die Grenzfrequenz f0 bei der LC-Kombination ist ebenso im Bild 14 als x-Wert des
Schnittpunktes der Durchlasskurven abzulesen. In der Theorie berechnet er sich nach
Gleichung 73:
f0 = 10065Hz
womit wir mit unserer Auswertung im Versuch von 10000Hz sehr genau bei der theoretischen Grenzfrequenz.
Frequenz
f1 = 4kHz f0
f1 = 20kHz f0
f1 = 10kHz ≈ f0
Phasenverschiebung in ◦
Hochpass
Tiefpass
137 ± 8
23 ± 3
40 ± 5
136 ± 4
90 ± 2 77 ± 3
Tabelle 6: Gemessene Phasenverschiebung bei LC-Hoch- und LC-Tiefpass
Kommentar zu der Phasenverschiebung An der Grenzfrequenz ist bei Hoch- und
Tiefpass die Phasenverschiebung 90◦ . Hoch- und Tiefpass verhalten sich bei der Frequenz Erhöhung, Senkung wieder entgegengesetzt. Der Hochpass nähert sich für höheren
Frequenzen 90◦ an und für niedrige 90◦ . Der Tiefpass reagiert genau andersherum. Das
stimmt auch mit unseren gemessenen Werten überein:
21
3 VERSUCH
3.5 Fehlerbetrachtung
Vergleicht man bei den Durchlasskurven die Messwerte mit den Theoriekurven sieht man,
dass die Messwerte bei niedrigen Ausgangsspannungen nicht sehr gut sind. Das kann
daran liegen, dass unsere Schaltungen nicht so optimal funktionieren wie es die Theorie
vorhersagt. Dennoch ist es möglich diese Schaltungen als Frequenzfilter zu benutzen, da
die nicht gewollten Frequenzen auf ein Minimum gesenkt werden und die gewollten mit
voller Intensität durchgelassen werden. Die Zeitkonstanten der Schaltungen sind auch
im Rahmen unserer Genauigkeit bestimmt worden.
Um die Durchlasskurven besser nähern zu können wären mehrere Messpunkte nötig
gewesen. Ebenso wären höhere und niedrigere Frequenzen interessant gewesen.
Bei dem Versuch Schwingkreis hatten wir bei Versuchsteil 1 unerklärliche Messwerte,
aber bei einem erneuten Durchführen kamen wir auf die jetzigen Werte. Diese Werte
sind realistisch und auch zu erklären. Jedoch wäre es besser gewesen einen Widerstand
in den Schwingkreis einzubauen, da dann die Kabel nicht so heiß werden würden und
der Gesamtwiderstand näher an den Werten der Bauteile liegen. Ebenso ist dies bei
Versuchsteil 2 besser große Widerstände zu benutzen.
Alles in allem sind die Messwerte aber gut.
22
4 FRAGEN & AUFGABEN
4 Fragen & Aufgaben
Schwingkreis 1 Ist die in diesem Experiment mit dem Oszilloskop erzielte Messgenauigkeit ausreichend, um die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Dämpfung zu
bestimmen?
Nein, denn um die Abhängigkeit sichtbar zu machen, müsste man die Dämpfung durch
große Widerstände erhöhen. Wird dies aber getan, so ist die Amplitude der Schwingung
nicht mehr auf dem Oszilloskop zu erkennen oder ist wegen Störsignalen nicht mehr
erkennbar.
Schwingkreis 2 Beweisen Sie, dass das
p sog. Spannungsresonanzmaximum für die Spannung UC am Kondensator bei ωerr = ω02 − β 2 liegt.
In Gleichung 58 suchen wir das Maximum in Abhängigkeit von ω:
!
0=
∂UC,0
∂ωerr
(87)
2
)
2ω 2 ωerr (ω02 − 2β 2 − ωerr
!
0 = Uerr,0 · p 0
3
2 )2 + 4β 2 ω 2
(ω02 − ωerr
err
=⇒ ωerr,1 = 1
2
& 0 = ω02 − ωerr
+ 2β
q
=⇒ ωerr,2;3 = ± ω02 − β 2
(88)
(89)
(90)
(91)
p
Physikalisch relevant ist nun, dass das Maximum entweder bei ωerr = ω02 − β 2 liegt,
da die negative Lösung nur mathematisch Sinn macht, oder bei ωerr = 0, wenn β groß
genug ist.
Schwingkreis 3 Beweisen Sie, dass im Gegensatz zur vorhergehenden Aufgabe das
Stromresonanzmaximum bei ωres = ω0 liegt.
Für den Strom gilt nach Gleichung 51 und 50:
I(t) = C · Uerr˙ (t) = C · Uerr,0 ωerr cos (ωerr t − ϕ)
ω02
=⇒ I(ω) = Cωerr · Uerr,0 · p 2
2 )2 + 4β 2 ω 2
(ω0 − ωerr
err
23
(92)
(93)
4 FRAGEN & AUFGABEN
Sucht man die Maxima:
!
0=
=⇒ ωerr
∂I
∂ωerr
(94)
4
)
Cω02 (ω04 − ωerr
0 = Uerr,0 · p
3
2 )2 + 4β 2 ω 2
(ω02 − ωerr
err
4
=⇒ 0 = ω04 − ωerr
= ±ω0
(95)
(96)
(97)
Wobei die negative Lösung nur mathematische Bedeutung hat und physikalisch irrelevant
ist.
Schwingkreis 4 Warum muss bei der induktiven Ankopplung des Erregerkreises an den
Schwingkreis die gegenseitige Induktivität der Spulen klein gegen die Selbstinduktivität
der Spule im Schwingkreis sein?
Um eine Rückkopplung zu vermeiden, denn wäre die gegenseitige Induktivität groß,
so würde der Schwingkreis einen nicht vernachlässigbaren Teil der Energie an den Sinusgenerator abgeben, welche beim eigentlichen Schwingvorgang dann fehlt.
24
Literatur
5 Anhang
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Abmessungen des Leiters . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltplan zum Laden eines Kondensators . . . . . . . .
(Ent-)Ladekurve eines Kondensators . . . . . . . . . . .
Skizze eines Schwingkreises . . . . . . . . . . . . . . . . .
erzwungene Schwingung am Schwingkreis . . . . . . . . .
RC-Schaltpläne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
LC-Schaltpläne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltplan für Versuchsteil 1 . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltplan für Versuchsteil 2 . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltplan für Versuchsteil 3 . . . . . . . . . . . . . . . .
Resonanzkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phasenverschiebung bei verschiedenen Erregerfrequenzen
Durchlasskurve der RC-Kombinationen . . . . . . . . . .
Durchlasskurve der LC-Kombinationen . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
6
7
9
11
12
13
14
14
15
17
17
20
21
Dämpfungsverhältnis und Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . .
Dämpfungskonstante und Gesamtwiderstand . . . . . . . . . . .
Dämpfungskonstante und Gesamtwiderstand . . . . . . . . . . .
Theoretische und experimentell Zeitkonstanten . . . . . . . . . .
Gemessene Phasenverschiebung bei RC-Hoch- und RC-Tiefpass
Gemessene Phasenverschiebung bei LC-Hoch- und LC-Tiefpass .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
15
16
16
19
20
21
Tabellenverzeichnis
1
2
3
4
5
6
Literatur
Anfängerpraktikum: Versuchsanleitung. Universität Konstanz, 2012, Abbildung (3)
Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Harrri Deutsch Verlag, 2008
Dekorsy, Thomas/Nowak, Ulrich: Mitschrift des IK 2. Markus Gruber, 2010
Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik. Springer, 2008
Internet: www..elektroniktutor.de.
Internet: www.wikipedia.de.
25