Verteilungen Verteilungen

TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN-WEIHENSTEPHAN
MATHEMATIK UND STATISTIK
INFORMATIONS- UND DOKUMENTATIONSZENTRUM
Verteilungen
R. KRAFT
Zufallsvariablen und Verteilungen
Statistik
SS 00
Diskrete Zufallsvariablen
Stetige Zufallsvariablen
Fraktilen, Quantilen und Grenzen einer Verteilung
Maßzahlen einer Verteilung
Erwartungswert
Varianz und Standardabweichung
Wichtige Verteilungen
Normalverteilung
Logarithmische Normalverteilung
Binomial- oder Bernoulli-Verteilung
Poisson-Verteilung
Hypergeometrische Verteilung
Exponentialverteilung
Verteilungen
Tschebyscheffsche Ungleichung
Zentraler Grenzwertsatz
Testverteilungen
P2-Verteilung
t- oder Student-Verteilung
F-Verteilung
Verteilungen
KRAFT
Verteilungen
KRAFT
Zufallsvariablen
Verteilungsfunktion
Eine Zufallsvariable ist eine Funktion, die jedem Elementarereignis aus dem Ergebnisraum S eine reelle Zahl zuordnet.
Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X:
F(x) = P(X # x)
Diskrete Zufallsvariablen
(!4 ... x]
Zufallsvariable X (Münze) mit den Realisationen: x1 = 0 (Kopf)
und x2 = 1 (Zahl). Andere Zuordnungen sind genauso möglich.
I
x
Zufallsvariable Y (Würfel) mit Realisationen y1 = 1, y2 = 2, y3 = 3,
y4 = 4, y5 = 5, y6 = 6.
X< b
b
Zufallsvariable Z (Ferkelzahl) mit der Anzahl der Ferkel pro Sau
als Realisationen. Es interessiert z.B. die Wahrscheinlichkeit,
daß eine Sau mehr als 10 Ferkel wirft.
X< a
a<X< b
a
Stetige Zufallsvariablen
b
P(a < X # b) = P(X # b) ! P(X # a) = F(b) ! F(a)
Zufallsvariable X (Körpergröße von Studenten): X kann jeden
Wert aus einem bestimmten Intervall annehmen.
F(!4) = 0, F(+4) = 1
Zufallsvariable Y (Milchleistung von Kühen): 0#y#10000 kg/a
Zufallsvariable Z (Überlebenszeit von Ratten): Es interessiert z.B.
die Wahrscheinlichkeit, daß eine Ratte höchstens 3 Tage überlebt.
Verteilungen
KRAFT
Verteilungen
KRAFT
Diskrete Zufallsvariablen
Münzwurf
Wahrscheinlichkeitsfunktion
f(x)
1.0
F(x)
1.0
0.5
0.5
P(X = xi) = pi
pi für x xi (i 1,2,ÿ,n)
f(x) P(X x) 0 sonst
Verteilungsfunktion
0
F(x) P(X#x) j f(x)
1
x
0
x
1
P(X = Kopf) = P(X = 0) = 0.5, P(X = Zahl) = P(X = 1) = 0.5
x i#x
f(x) Stetige Zufallsvariablen
0
m
&4
0.5 für 0 # x < 1
für x $ 1
1
Würfel
x
F(x) P(X#x) F(x) sonst
Verteilungsfunktion
für x < 0
0
0.5 für x 0,1
f(t) dt
P(a < X # b) F(b) F(a) b
m
f(x) dx
a
f(x)
F(x)
1
1/6
5/6
2/3
Dichtefunktion oder Wahrscheinlichkeitsdichte
1/2
f(x) F )(x)
1/3
1/6
Fläche zwischen f(x) und x-Achse von !4 bis +4 ist 1.
0 1
%4
P(4 < X #4) F(4) F(4) F(4) m
2
3
4
5 6 7 x
0 1
2
3
4
5 6 7 x
f(x) dx 1
&4
Verteilungen
KRAFT
Verteilungen
KRAFT
Rechteck- oder Gleichverteilung
f(x)
Fraktilen, Quantilen und Grenzen einer Verteilung
F(x)
1
K%-Fraktile, K%-Quantile oder K-te Perzentile
1
b-a
x-Wert, bei dem K% der Fläche zwischen der Wahrscheinlichkeitsdichte (oder der Wahrscheinlichkeitsfunktion) und der xAchse erreicht werden
0.5
xK%
a
f(x) b
x
b
0
1
für a # x # b
ba
0
a
F(x) sonst
x
für x < a
K
F(xK%) F(x1& ") f(x) dx K% 1 "
m
100
&4
f(x)
xa
für a # x # b
ba
1
für x > b
F(x)
1
K%
K% = 1 - "
(100 - K )% = "
Normalverteilung
x
x K%
x1- "
f(x)
F(x)
1
0.5
x 0.5
x K%
x1- "
x
Grenzen (Symmetrie um 0)
f(x)
K% = 1 - "
0.5
x
"/2
x
"/2
- c K%
Verteilungen
KRAFT
Verteilungen
0
c K%
x
KRAFT
Erwartungswert oder Mittelwert
Varianz und Standardabweichung
Diskrete Zufallsvariablen
Diskrete Zufallsvariablen
n
n
E(X) µ j xi @ f(x i)
Var(X) F2 j (xi µ)2 @ f(x i)
i '1
i '1
Würfel:
Würfel:
6
(i 3.5)2 6.25 2.25 0.25 0.25 2.25 6.25
2.92
6
6
i '1
F F2 2.92 1.71
1
1
1
1
1
1 21
3.5
µ 1@ 2@ 3@ 4@ 5@ 6@ 6
6
6
6
6
6 6
Stetige Zufallsvariablen
F2 j
%4
E(X) µ m
Stetige Zufallsvariablen
x @ f(x) dx
%4
Var(X) F 2
&4
m
(x µ)2 @ f(x) dx
&4
Gleichverteilung:
%4
µ
b
Gleichverteilung:
a
F2 x
1
1 b 2 a 2 (b a)(b a) (a b)
x dx dx @
m ba
ba m
ba
2(b a)
2
2
&4
b
m
x
a
ab
2
2
@
1
(b a)2
dx ba
12
Normalverteilung:
Normalverteilung:
f(x)
f(x)
F
:
F
x
:
Verteilungen
KRAFT
Verteilungen
x
KRAFT
Gaußsche Glockenkurve
Normalverteilung
Histogramm mit Glockenkurve
Dichtefunktion
& (x& µ)
2
absolute Häufigkeit
30
f(x) 1
F 2B
@e
2F2
für 4 < x < 4 und F > 0
Verteilungsfunktion
20
F(x) & (t& µ)
2
x
1
@ e
m
F 2B &4
2F
2
dt
10
µ = E(X):
F2 = Var(X):
0
f(x)
0.6
3300 3700 4100 4500 4900 5300 5700 6100 6500 6900 7300
Milchleistung [kg/a]
0.5
Erwartungswert oder Mittelwert
Varianz
F = 0.7
:= 0
F=1
F = 1.5
0.4
:=1
: = -2
0.3
Galton-Brett
0.2
0.1
0.0
-5
-4
-3
-2
-1
0
Wendepunkt
Verteilungen
KRAFT
Verteilungen
: -2F
2
3
x
Wendepunkt
F
: -3F
1
: -F
F
:
: + F : +2F : +3F
x
KRAFT
Standardnormalverteilung
Transformation auf Standardnormalvariable
µ = E(X) = 0
F2 = Var(X) = 1
X - (µ,F2)-n.v., dann ist
Dichtefunktion
n(x) 1
@e
&x
F(x) M
2
für 4 < x < 4
2
2B
X µ
- (0,12)-n.v.
F
x µ
F
P(a<X#b) F(b) F(a) M
Verteilungsfunktion
M(x) 1
x
@ e
2B m
&t
b µ
a µ
M
F
F
2
2
dt
&4
n(x)
F
M(x)
1
0.4
0.3
0.5
0.2
F
: -3F
: -2F
: -F
:
-3
-2
-1
0
x
: + F : +2F : +3F
1
2
u
3
0.1
-3
-2
-1
0
1
2
3 x
-3
-2
-1
0
1
2
3 x
Additionstheorem der Normalverteilung
Die Summe von n unabhängigen normalverteilten Zufallsvariablen ist wieder eine normalverteilte Zufallsvariable:
Xi (i = 1,2,...,n) - (µi Fi2)-n.v., dann ist
n
n
n
2
2
X j ki @ X i - (µ F )-n.v. mit µ j ki @ µi und F j ki @ Fi
2
2
i '1
Verteilungen
KRAFT
Verteilungen
i '1
i '1
KRAFT
Spezielle Fraktilen und Grenzen
der Normalverteilung
Milchleistung
M - (5000,6002)-n.v.
0.0007
0.0006
M(!x)
M(x)
M(x)!M(!x)
0.000
1.000
1.645
1.960
2.000
2.326
2.576
3.000
3.090
3.290
4.000
0.5000
0.1587
0.0500
0.0250
0.0228
0.0100
0.0050
0.0013
0.0010
0.0005
0.5000
0.8413
0.9500
0.9750
0.9773
0.9900
0.9950
0.9987
0.9990
0.9995
0.0000
0.6826
0.9000
0.9500
0.9545
0.9800
0.9900
0.9974
0.9980
0.9990
0.9999
0.0005
Dichte
x
0.0004
0.0003
0.0002
0.0001
0.0000
3000
4000
5000
6000
1F-Bereich: P(µ!1F#M#µ+0F)=P(4400#M#5600).68%
2F-Bereich: P(µ!2F#M#µ+2F)=P(3800#M#6200).95%
3F-Bereich: P(µ!3F#M#µ+3F)=P(3200#M#6800).99%
1F-Bereich: P(µ!1F<X#µ+0F) = M(1)!M(!1) = 0.6826 . 068%
2F-Bereich: P(µ!2F<X#µ+2F) = M(2)!M(!2) = 0.9545 . 095%
3F-Bereich: P(µ!3F<X#µ+3F) = M(3)!M(!3) = 0.9974 > 099%
4F-Bereich: P(µ!4F<X#µ+4F) = M(4)!M(!4) = 0.9999 . 100%
P(µ!1.960F#M#µ+1.960F)=P(3824#M#6176)=95.0%
P(µ!2.576F#M#µ+2.576F)=P(3454#M#6546)=99.0%
P(µ!3.290F#M#µ+3.290F)=P(3026#M#6974)=99.9%
P(µ!1.960F<X#µ+1.960F) = 0.950 = 95.0%
P(µ!2.576F<X#µ+2.576F) = 0.990 = 99.0%
P(µ!3.290F<X#µ+3.290F) = 0.999 = 99.9%
P(M=6000)=0
P(M<5000)=P(M#5000)=P(M>5000)=P(M$5000)=0.5
P(M<6000)=F(6000)=M((6000!5000)/600)=M(1.67)=0.9525
P(M>6200)=1!F(6200)=1!M(2)=1!0.9773=0.0227
P(5000#M#6000)=F(6000)!F(5000)=0.9525!0.5=0.4525
68%
16%
: -F
Verteilungen
16%
: :+ F
2.5%
x
: -1.96 F
95%
:
2.5%
: +1.96 F
7000
Milchleistung [kg/a]
x
KRAFT
P(M#c)=0.9]F(c)=M((c!5000)/600)=0.9]
](c!5000)/600=u0.95=1.282]c=5769
also P(M#5769)=90% und P(M>5769)=1-0.9=0.1=10%
P(µ!c#M#µ+c)=0.9]F(µ+c)!F(µ!c)=0.9]
] M((µ+c!µ)/F)!M((µ!c!µ)/F)=M(c/F)!M(!c/F)=0.9]
]c/F=80.9=1.645Yc=1.645@600=987
also P(4013#M#5987)=90%
Verteilungen
KRAFT
Logarithmische Normalverteilung
Hydroxymethylfurfurolgehalt von Honig
X logarithmisch normalverteilt, wenn Y = log X normalverteilt
Y = log X - (log>,F2)-n.v.
Descriptive Statistics
Variable: HMF
Dichte- und Verteilungsfunktion
Anderson-Darling Normality Test
A-Squared:
P-Value:
& (logx&log >)
2
log e
f(x) Fx 2B
@e
2F2
für x > 0
0
2
4
6
8
für x # 0
0
95% Confidence Interval for Mu
1
@
log x &
m
F 2B &4
F(x) (t&log >)2
e
2F2
3.085
0.000
Mean
StDev
Variance
Skewness
Kurtosis
N
2.34312
1.64210
2.69648
1.73887
3.83100
80
Minimum
1st Quartile
Median
3rd Quartile
Maximum
0.27000
1.14000
1.87500
2.92250
9.41000
95% Confidence Interval for Mu
1.97769
dt
1.6
für x > 0
2.1
2.6
2.70856
95% Confidence Interval for Sigma
1.42116
1.94502
95% Confidence Interval for Median
95% Confidence Interval for Median
1.61115
2.41885
für x # 0
0
Descriptive Statistics
Variable: ln HMF
1.0
F(x)
0.9
Anderson-Darling Normality Test
A-Squared:
P-Value:
0.8
f(x), F(x)
0.7
0.6
0.5
-1.00
-0.25
0.50
1.25
2.00
0.4
0.3
95% Confidence Interval for Mu
0.2
0.180
0.913
Mean
StDev
Variance
Skewness
Kurtosis
N
0.637234
0.669219
0.447854
-1.4E-01
-4.7E-02
80
Minimum
1st Quartile
Median
3rd Quartile
Maximum
-1.30933
0.13103
0.62861
1.07243
2.24177
95% Confidence Interval for Mu
0.48831
0.1
0.5
f(x)
0.6
0.7
0.8
0.9
0.57918
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
95% Confidence Interval for Median
10
0.78616
95% Confidence Interval for Sigma
0.79267
95% Confidence Interval for Median
0.47689
0.88327
x
Verteilungen
KRAFT
Verteilungen
KRAFT
Bernoullisches Zufallsexperiment
Bernoulli- oder Binomialverteilung
2 Komplementäre Ereignisse: A (Erfolg) und A (kein Erfolg) mit
P(A) = p und P( A ) = q = 1 ! p (also p + q = 1)
Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion
n-malige Durchführung eines Bernoullischen Zufallsexperiments
liefert Folge von n Ereignissen A oder A ,
f(x) P(n,x,p) n
x
@ p x @ (1 p)n&x für x 0,1,2,ÿ,n
0
z.B. AAA A A A ... A A AA (n mal)
mit P(AAA A A A ... A A AA) = p@p@p@q@p@q@...@q@q@p@p
Reihenfolge egal
P(AA...A k mal und A A ... A n!k mal) = pk@qn!k
n
n!
Anordnungen mit Wahrscheinlichkeit pk@qn!k
k
k!
(nk)!@
F(x) sonst
j f(t) für x $ 0
t#x
für x < 0
0
Erwartungswert und Varianz
E(X) = n @ p, Var(X) = n @ p @ q
P(n,k,p) n
k
@ p k @ q n&k
(k 0,1,2,...,n)
0.4
p = 0.1
n = 10
p = 0.9
Münzwurf
p = q = 0.5
p = 0.25
0.3
(symmetrische Münze)
p = 0.75
p = 0.5
f(x)
Urne: a rote, b grüne Kugeln, Ziehen mit Zurücklegen
0.2
p = a / (a + b), q = b / (a + b) = 1 ! p
0.1
Toxizitätsprüfung an Laborratten
Mortalitätsrate
Überlebensrate
p = 0.1 = 10%
q = 0.9 = 90% = 1 ! p
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Verteilungen
KRAFT
Verteilungen
KRAFT
Toxizitätsprüfung
Binomial- und Poisson-Verteilung
10 Ratten, Mortalitätsrate 10%
Bernoulli-Experiment: n groß, p sehr klein (seltenes Ereignis)
x
f(x) = P(X = x)
F(x) = P(X # x)
0
1
2
3
4
5
6
0.3487
0.3874
0.1937
0.0574
0.0112
0.0015
0.0001
0.3487
0.7361
0.9298
0.9872
0.9984
0.9999
1.0000
Mit 8 = n@p Approximation der Binomial- durch Poisson-Vertlg.:
8k &8
P(n,k,p) P(k,8) .
@ e für n@p # 10 und n > 1500@p
k!
Beispiele:
10
@ 0.12 @ 0.98 45 @ 0.01 @ 0.43 0.19 19%
2
P(#2) = F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 0.35 + 0.39 + 0.19 = 0.93 = 93%
P(<2) = f(0) + f(1) = F(1) = 0.35 + 0.39 = 0.74 = 74%
P(>2) = 1 ! P(#2) = 1 ! 0.93 = 0.07 = 7%
P($9) = P(9) + P(10) = 0.00 + 0.00 = 0
P(2) f(2) Radioaktiver Zerfall ("-Teilchen pro Zeitintervall)
Druckfehler pro Seite
Fahrzeuge pro Zeitintervall
Unkrautsamen pro Flächeneinheit
Chromosomenaustausch in Zellen
Binomial-, Poisson- und Normalverteilung
1.0
0.9
Binomialverteilung mit E(X) = n @ p, Var(X) = n @ p @ q
0.8
f(x), F(x)
0.7
& = n@p # 10 und n > 1500@p:
Poissonverteilung mit E(X) = 8, Var(X) = 8
0.6
n = 10, p = 0.1
0.5
0.4
8 $ 9:
Normalverteilung mit E(X) = µ = 8 und Var(X) = F2 = 8
0.3
0.2
0.1
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x
Verteilungen
KRAFT
Verteilungen
KRAFT
Poisson-Verteilung
Schadschwellenkonzept
Wahrscheinlichkeits- und Verteilungsfunktion
P(x,8) f(x) 8x &8
@ e für x 0,1,2,ÿ
x!
0
F(x) e&8 @ j
t#x
Zählrahmen an 50 Stellen:
Problemunkräuter
Häufigkeit
0
1
2
3
4
5
6
06
15
12
13
02
01
01
sonst
8t
für x $ 0
t!
für x < 0
0
Erwartungswert und Varianz
x 1.94, s 2 1.69
E(X) = 8, Var(X) = 8
Schadschwelle:
> 4 Unkräuter pro Zählrahmen
0.7
Modell:
lambda = 0.5
0.6
Poisson-Modell mit 8 = 1.94
0.5
P(X # 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) =
= e-1.94@(1.940/0!+1.941/1!+1.942/2!+1.943/3!+1.944/4!) =
= 0.1437 @ (1 + 1.94 + 1.8818 + 1.2169 + 0.5902) =
= 0.9526 = 95.25%
f(x)
0.4
0.3
lambda = 1
0.2
P(X > 4) = 1 ! P(X # 4) = 1 ! 0.9526 = 0.0474 = 4.74%
lambda = 4
0.1
0.0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
Wahrscheinlichkeit, daß mehr als 4 Unkräuter vorkommen, ist
also kleiner als 5%
x
Verteilungen
KRAFT
Verteilungen
KRAFT
Hypergeometrische Verteilung
Biologiestudenten
Zufallsexperiment: Urne mit N Kugeln, davon sind N1 weiß und
N2 = N ! N1 schwarz. Aus der Urne werden n Kugeln gezogen.
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit, genau k weiße zu ziehen.
20 Biologiestudenten, davon 15 weiblich (w) und 5 männlich (m),
10 Studenten zufällig ausgewählt
Wahrscheinlichkeit nur weibliche:
6
mit Zurücklegen
ohne Zurücklegen 6
N
n
MUGE:
P
N1 k
N1
GUGE:
N1
N n
Binomialverteilung
Hypergeometrische Verteilung
k
P(10w) NN1
nk
NN1
@
k
@
15
10
@
N
n
P(8w,2m) 15
8
N n
f(x) P
N1 x
NN1
x
@
5
2
20
10
Wahrscheinlichkeitsfunktion
@
0.016 1.6%
20
10
Wahrscheinlichkeit 8 weibliche und 2 männliche:
nk
N1
5
0
0.348 34.8%
Wahrscheinlichkeit 5 weibliche und 5 männliche:
nx
für x 0,1,2,ÿ,min(N1,n)
N
n
P(5w,5m) 0
sonst
15
5
@
20
10
5
5
0.016 1.6%
Erwartungswert und Varianz
E(X) n @
Verteilungen
N1
N
, Var(X) n @
N1
N
@ 1
N1
N
@
Nn
N1
KRAFT
Verteilungen
KRAFT
Exponentialverteilung
Tschernobyl
137
Dichte- und Verteilungsfunktion
55
8 @ e&8 @ x für x $ 0, 8 > 0
f(x) 1 8 @ e&8 @ x
F(x) 0
56
Ba +
0
&1
e,
tH = 30 a
Halbwertszeit = Median: tH = t0.5 = 30 a
Zerfallskonstante 8: F(tH) = 0.5 = 1 ! e!8 @ 30 a, also 8 = 0.023 a!1
Erwartungswert: E(T) = 1/8 = 43 a
für x $ 0, 8 > 0
für x < 0
Wahrscheinlichkeit, daß Cäsiumkern höchstens 30 a überlebt:
P(T # 30 a) = 50% = 0.5 = F(30 a) = 1 ! e!0.023 1/a @ 30 a
Erwartungswert und Varianz
E(X) 137
Lebensdauer T (Zeit bis zum Zerfall) eines Cäsiumkerns ist exponentialverteilt nach f(t) = 8 @ e!8 @ t bzw. F(t) = 1 ! e!8t
für x < 0
0
Cs 6
1
1
, Var(X) 8
82
Wahrscheinlichkeit, daß Cäsiumkern höchstens 43 a überlebt:
P(T # 43 a) = F(43 a) = 1 ! e!0.023 1/a @ 43 a = 1 ! 0.37 = 0.63 = 63%
Wahrscheinlichkeit, daß Cäsiumkern mindestens 100 a überlebt:
P(T $ 100 a) = 1 ! F(100 a) = e!0.023 1/a @ 100 a = 0.10 = 10%
1.0
f(x)
F(x)
1.0
0.9
0.7
0.5
0.6
8=1
F(t)
f(x), F(x)
0.8
0.5
0.4
0.3
0.2
0.0
0.1
0
1
2
3
4
0.0
5
0
x
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
t [a]
Verteilungen
KRAFT
Verteilungen
KRAFT
P2-Verteilung
Tschebyscheffsche Ungleichung
X beliebig verteilt mit E(X) = µ und Var(X) = F2 … 0, dann gilt:
X1, X2, ..., Xn - (0,12)-normalverteilt, unabhängig
P(|X ! µ| < k@F) $ 1 ! 1/k2 oder P(|X ! µ| $ k@F) # 1/k2
Pn2 = X12 + X22 + ... + Xn2 ist P2-verteilt mit n Freiheitsgraden
µ = n, F2 = 2n
P(|X!µ|<2F) = 0.75 = 75% oder P(|X!µ|$2F) = 0.25 = 25%
P(|X!µ|<3F) = 0.89 = 89% oder P(|X!µ|$3F) = 0.11 = 11%
P(|X!µ|<4F) = 0.94 = 94% oder P(|X!µ|$4F) = 0.06 = 06%
Bei einer beliebigen Verteilung liegen also mindestens 75% aller
möglichen Realisationen innerhalb des 2F-Bereichs, 89% innerhalb des 3F-Bereichs und 94% innerhalb des 4F-Bereichs.
Oder anders herum: Höchstens 25% liegen außerhalb des 2FBereichs, 11% außerhalb des 3F-Bereichs und 6% außerhalb
des 4F-Bereichs.
f(x)
0.2
n=1
n = 10
0.1
n = 20
Für spezielle Verteilungen kann man natürlich schärfere Aussagen formulieren, z.B. für die Normalverteilung:
P(|X!µ| $ 2F) = 0.0455
P(|X!µ| $ 3F) = 0.0027
P(|X!µ| $ 4F) = 0.0000
0.0
0
10
20
30
40
x
Pn2 für n 6 4 normalverteilt mit µ = n und F2 = 2n, also
Zentraler Grenzwertsatz
F(x) . M
x n
für n 6 4
2n
Xi (i = 1,2,...,n) mit E(Xi) = µi und Var(Xi) = Fi2 beliebig verteilt
n
Fraktilen: P2n;K% = P2n;1! "
X j Xi - (nµ,nF2)-n.v. für n 6 4 (praktisch für n relativ groß)
i'1
Verteilungen
KRAFT
Verteilungen
KRAFT
t- oder Student-Verteilung
F-Verteilung
X - (0,12)-normalverteilt, Q - Pn2-verteilt, unabhängig
Tn X
X2 - Pm2-verteilt, Y2 - Pn2-verteilt
Fm,n ist Student- oder t-verteilt mit n Freiheitsgraden
Q/n
µ = 0, F2 n
n2
µ
Y 2/n
ist F-verteilt mit m Zähler-, n Nennerfreiheitsgraden
n
2 n 2 (m n 2)
, F2 n2
m(n 2)2 (n 4)
n=4
0.4
X 2/m
1.0
m,n = 10,50
0.9
n=4
0.8
0.3
m,n = 10,10
0.7
n=1
f(x)
f(x)
0.6
0.2
0.5
m,n = 10,4
0.4
0.3
0.1
0.2
0.1
0.0
0.0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0
1
x
3
4
5
x
Tn für n 6 4 normalverteilt mit µ = 0 und F2 = 1
F1,n = Tn2,
Fraktilen: tn;K% = tn;1!"
Verteilungen
2
1
Fn,m
Fm,n
Fraktilen: Fm,n;K% = Fm,n;1!"
KRAFT
Verteilungen
Fm,n;1&" 1
Fn,m;"
KRAFT