Stoch_AB13 Unabhängigkeit_V12_11

LK Mathematik
Stochastik
13
4.2 Stochastisch unabhängige Ereignisse
Beispiel: Rauchen Jungen mehr als Mädchen?
Eine Umfrage unter den 90 Kollegiaten hat ergeben, dass 27 rauchen. Von den 50 männlichen Kollegiaten rauchen 15.
Absolute Häufigkeit
R
Veranschaulichung im Baumdiagramm
R
m
R
w
P(m ∩ R )
+
m
R
R
Relative Häufigkeit
R
P(m ∩ R )
P( w ∩ R )
w
+
R
R
m
P( w ∩ R )
Ergebnis:
w
Pm (R ) = Pw (R ) =
3
10
Pm (R ) = Pw ( R ) =
7
10
= P( R )
Merke:
Zwei Ereignisse heißen
stochastisch unabhängig,
= P(R )
wenn gilt
P(m ∩ R ) = P(m) ⋅ Pm (R ) = P(m) · P(R )
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
das heißt: „Geschlecht“ und „Rauchen“ sind voneinander unabhängig
Zusammenfassung: Kennzeichen der Unabhängigkeit
1. Vierfeldertafel
für P(A) = a und P(B) = b gilt außerdem:
B
A
A
a⋅b
B
a (1-b)
b (1-a) (1-a)(1-b)
b
Sind A und B unabhängig, dann sind auch
a
A und B , A und B , A und B voneinander
unabhängig.
1-a
1-b
2. Baumdiagramm: Jeder in die gleiche Richtung zeigende Ast trägt
die gleiche Wahrscheinlichkeit.
Beispiel:
Beim Werfen eines Würfels sind die Ereignisse
A(3;4;5) und B (1;2;3;4) unabhängig, da
3. rechnerischer Nachweis: a. P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
b. PB(A) = P(A)
c. PA(B) = P(B)
Beachte: A, B unvereinbar:
A, B unabhängig:
wenn A ∩ B = { } ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Satz 1:
Falls P(A) ≠ 0 und P(B) ≠ 0 gilt: A, B unvereinbar ⇒ A und B abhängig
Satz 2:
A, B unabhängig ⇒ A und B vereinbar
www.mathematik.digitale-schule-bayern.de
Maria Eirich, Andrea Schellmann
LK Mathematik
Stochastik
13
4.2 Stochastisch unabhängige Ereignisse
Lösung
Beispiel: Rauchen Jungen mehr als Mädchen?
Eine Umfrage unter den 90 Kollegiaten hat ergeben, dass 27 rauchen. Von den 50 männlichen Kollegiaten rauchen 15.
Absolute Häufigkeit
m
w
R
R
15
35
Veranschaulichung im Baumdiagramm
50
0,3
12
28
40
27
63
90
5/9
0,7
R
0,3
R
7/18
= P (m ∩ R )
2/15
= P(w ∩ R)
w
4/9
R
R
m
1/6
7/18
5/9
w
2/15 14/45
4/9
0,7
0,7
= P (m ∩ R )
m
Relative Häufigkeit
0,3
1/6
R
R
14/45
+
0,3
+
0,7
= P(w ∩ R )
Ergebnis:
3 = P( R )
Pm (R ) = Pw (R ) = 10
1
Merke:
Zwei Ereignisse heißen
stochastisch unabhängig,
Pm (R ) = Pw ( R ) =
7
10
= P( R )
wenn gilt
P(m ∩ R ) = P(m) ⋅ Pm (R ) = P(m) · P(R )
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
das heißt: „Geschlecht“ und „Rauchen“ sind voneinander unabhängig
Zusammenfassung: Kennzeichen der Unabhängigkeit
1. Vierfeldertafel
für P(A) = a und P(B) = b
B
A
A
a·b
B
a (1-b)
b (1-a) (1-a)(1-b)
b
Sind A und B unabhängig, dann sind auch
a
1-a
1-b
2. Baumdiagramm: Jeder in die gleiche Richtung zeigende Ast trägt
die gleiche Wahrscheinlichkeit.
3. rechnerischer Nachweis: a. P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
b. PB(A) = P (A)
c. PA(B) = P (B)
Beachte: A, B unvereinbar:
A, B unabhängig:
A und B , A und B , A und B voneinander
unabhängig.
Beispiel:
Beim Werfen eines Würfels sind die Ereignisse
A(3;4;5) und B (1;2;3;4) unabhängig, da
a) P(A) = 1/2
P(B) = 2/3
P(A ∩ B) = 1/3
b) PB(A) =
P( A ∩B )
P(B )
P(A) · P(B) = P(A ∩ B) = 1/3
= 1/3 : 2/3 = 1/2 = P(A)
wenn A ∩ B = { } ⇒ P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
P(A ∩ B) = P(A) · P(B)
Satz 1:
Falls P(A) ≠ 0 und P(B) ≠ 0 gilt: A, B unvereinbar ⇒ A und B abhängig
Satz 2:
A, B unabhängig ⇒ A und B vereinbar
www.mathematik.digitale-schule-bayern.de
Maria Eirich, Andrea Schellmann