Unabhängigkeit

Q11 Mathematik
Stochastik
Unabhängigkeit von Ereignissen
Beispiel: Rauchen Jungen mehr als Mädchen?
Eine Umfrage unter den 90 Kollegiaten hat ergeben, dass 27 rauchen. Von den 50 männlichen Kollegiaten rauchen 15.
Absolute Häufigkeit
R
Veranschaulichung im Baumdiagramm
R
m
R
w
P(m  R )
+
m
R
R
Relative Häufigkeit
R
P(m  R)
P(w  R )
w
+
R
R
m
P(w  R)
Ergebnis:
w
3  P( R )
Pm (R )  Pw (R )  10
Merke:
Zwei Ereignisse heißen
stochastisch unabhängig,
Pm (R )  Pw (R ) 
7
10
 P( R )
P(m  R ) = P(m)  Pm (R) = P ( m ) ∙ P(R )
wenn gilt
P(A  B) = P(A) ∙ P(B)
das heißt: „Geschlecht“ und „Rauchen“ sind voneinander unabhängig
Zusammenfassung: Kennzeichen der Unabhängigkeit
1. Vierfeldertafel
A
A
B
B
ab
a (1-b)
für P(A) = a und P(B) = b gilt außerdem:
Sind A und B unabhängig, dann sind auch
b (1-a) (1-a)(1-b)
b
a
A und B , A und B , A und B voneinander
unabhängig.
1-a
1-b
2. Baumdiagramm: Jeder in die gleiche Richtung zeigende Ast trägt
die gleiche Wahrscheinlichkeit.
3. rechnerischer Nachweis: a. P(A  B) = P(A) ∙ P(B)
Beispiel:
Beim Werfen eines Würfels sind die Ereignisse
A(3;4;5) und B (1;2;3;4) unabhängig, da
b. PB(A) = P(A)
c. PA(B) = P(B)
www.mathematik.digitale-schule-bayern.de
 Maria Eirich, Andrea Schellmann
Q11 Mathematik
Stochastik
Unabhängigkeit von Ereignissen
Lösung
Beispiel: Rauchen Jungen mehr als Mädchen?
Eine Umfrage unter den 90 Kollegiaten hat ergeben, dass 27 rauchen. Von den 50 männlichen Kollegiaten rauchen 15.
Absolute Häufigkeit
Veranschaulichung im Baumdiagramm
R
R
m
15
35
w
12
28
40
27
63
90
50
0,3
5/9
m
0,7
R
0,3
Relative Häufigkeit
 P(m  R)
2/15
 P( w  R)
4/9
R
m
1/6
7/18
5/9
w
2/15 14/45
4/9
0,7
0,7
R
7/18
w
R
0,3
 P( m  R)
1/6
R
R 14/45
+
0,3
+
0,7
 P ( w  R)
Ergebnis:
3  P( R )
Pm (R )  Pw (R )  10
1
Zwei Ereignisse heißen
Merke:
stochastisch unabhängig,
Pm (R )  Pw (R ) 
7
10
 P(R )
wenn gilt
P( m  R ) = P(m)  Pm (R) = P ( m ) ∙ P(R )
P(A  B) = P(A) ∙ P(B)
das heißt: „Geschlecht“ und „Rauchen“ sind voneinander unabhängig
Zusammenfassung: Kennzeichen der Unabhängigkeit
1. Vierfeldertafel
für P(A) = a und P(B) = b
B
A
A
a∙b
B
a (1-b)
b (1-a) (1-a)(1-b)
b
Sind A und B unabhängig, dann sind auch
a
A und B , A und B , A und B voneinander
unabhängig.
1-a
1-b
2. Baumdiagramm: Jeder in die gleiche Richtung zeigende Ast trägt
die gleiche Wahrscheinlichkeit.
3. rechnerischer Nachweis: a. P(A  B) = P(A) ∙ P(B)
b. PB(A) = P (A)
c. PA(B) = P (B)
Beispiel:
Beim Werfen eines Würfels sind die Ereignisse
A(3;4;5) und B (1;2;3;4) unabhängig, da
a) P(A) = 1/2
P(B) = 2/3
P(A  B) = 1/3
b) PB(A) =
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P( A B)
P(B)
P(A) ∙ P(B) = P(A  B) = 1/3
= 1/3 : 2/3 = 1/2 = P(A)
 Maria Eirich, Andrea Schellmann