Prof. S. Krauter Ähnlichkeitsgeometrie. WS 05-06

Prof. S. Krauter
Ähnlichkeitsgeometrie. WS 05-06.
Blatt02.doc
Anwendungen zu den Strahlensätzen:
1.
Gegeben ist ein Pyramidenstumpf mit rechteckiger Grundfläche mit der Länge
a = 10 cm und der Breite b = 6 cm. Der Stumpf ist h = 3 cm hoch und die längere
Seite des Deckrechtecks hat die Länge c = 7,5 cm.
a)
Zeichnen Sie den Stumpf im Grund- und Aufriss. Skizzieren Sie ein Schrägbild.
b) Ermitteln Sie die Länge der Seitenkanten und der Seitenhöhen durch Zeichnung
und Rechnung. Ermitteln Sie ebenso die Länge der zweiten Seite des
Deckrechtecks durch Zeichnung und Rechnung.
c)
Bestimmen Sie die Oberflächengröße des Stumpfes.
d) Berechnen Sie den Rauminhalt, indem Sie zu einer Pyramide ergänzen und nur die
Formel für das Pyramidenvolumen verwenden.
2.
Beweisen Sie den Satz von der Winkelhalbierenden im Dreieck:
Die Winkelhalbierende eines Dreiecks sowie die seines Nebenwinkels
(Außenwinkel im Dreieck) teilen die Gegenseite des Dreiecks harmonisch im
Verhältnis der dem Winkel anliegenden Seiten.
3.
Gegeben sei das Dreieck ABC. Die Winkelhalbierenden des Winkels γ und seines
Außenwinkels (Nebenwinkels) schneiden die Gegenseitengerade AB in den
Punkten X und Y. Zeigen Sie nun:
Jeder Punkt P, für den gilt PA : PB = XA : XB = YA : YB = CA : CB, liegt auf dem
Thaleskreis über XY.
Dieser Thaleskreis ist der Apolloniuskreis über AB für das Verhältnis CA : CB.
4.
Kantenschwerpunkt eines Zweibeins:
Gegeben sind zwei homogene Stäbe AB und AC mit dem gleichen Anfangspunkt.
Bestimmen Sie den Massenschwerpunkt der beiden Stäbe.
Warum muss dieser Schwerpunkt auf alle Fälle auf der Verbindungsstrecke der
beiden Streckenmitten liegen?
In welchem Verhältnis muss der Schwerpunkt diese Strecke teilen?
Hinweis: Man kann sich die Masse jedes einzelnen Stabes in seinem Schwerpunkt
(Mittelpunkt) vereinigt denken. Benutzen Sie den Winkelhalbierendensatz.
5.
Lösen Sie die Aufgaben 9 bis 11 aus Kap. 8.2.