Allgemeine Topologie - TU Darmstadt/Mathematik

Technische Universität Darmstadt
Fachbereich Mathematik
Klaus Keimel
Alexander Rohr
Sommersemester 2002
14. Juni 2002
9. Übung zur Veranstaltung
Allgemeine Topologie
Gruppenübungen
Skript Abschnitte 7 und 8
Aufgabe 91 (Kompaktheit und Abgeschlossenheit)
Sei X ein topologischer Raum und K, K 0 Teilmengen von X. Zeige:
a) (zur Erinnerung) Ist X kompakt, K abgeschlossen, so ist K kompakt.
b) Ist X ein Hausdorff-Raum, K kompakt, so ist K abgeschlossen.
c) Ist X ein Hausdorff-Raum, K und K 0 kompakt, so ist K ∩ K 0 kompakt.
Aufgabe 92 (Der Satz von der offenen Abbildung)
Sei f : X → Y eine stetige Bijektion zwischen topologischen Räumen X und Y . Zeige: Ist X
kompakt und Y ein Hausdorff-Raum, so ist f ein Homöomorphismus. Insbesondere ist X hausdorffsch.
Aufgabe 93 (Filterbasen kompakter Mengen)
a) Zeige: Ist X ein Hausdorff-Raum und (Ki )i∈I eine Filterbasis kompakter Mengen, dann ist
\
Ki
K :=
i∈I
eine nicht-leere kompakte und abgeschlossene Menge.
b) Zeige: Ist in a) die Menge U eine offene Obermenge von
i0 ∈ I mit Ki0 ⊆ U .
Aufgabe 94 (Endliche Produkte kompakter Räume)
Zeige: Das Produkt zweier kompakter Räume ist kompakt.
T
i∈I
Ki , dann gibt es bereits ein
Hausübungen
Skript Abschnitte 7 und 8
Aufgabe 95 (Folgenkompaktheit)
Definition. Eine topologischer Raum X heißt folgenkompakt, wenn jede Folge in X eine konvergente Teilfolge besitzt.
a) Zeige: Ist X ein kompakter Raum, welcher das erste Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, so ist X
folgenkompakt.
b) Zeige: jeder folgenkompakte Raum, der das zweite Abzählbarkeitsaxiom erfüllt, ist kompakt.
F c) Beweise oder widerlege: Jeder folgenkompakte Raum, der das erste Abzählbarkeitsaxiom
erfüllt, ist kompakt.
Aufgabe 96 (Folgenkonvergenz reicht nicht)
Definition. Eine Teilmenge A eines topologischen Raums X heißt folgenabgeschlossen, wenn für
jede Folge in A, welche in X einen Grenzwert x besitzt, dieser Grenzwert in A liegt.
Es sei X := [0; 1][0;1] . Zeige: Eine Funktionenfolge in X ist genau dann konvergent bezüglich der
Produkttopologie, wenn sie punktweise konvergent ist.
Untersuche, ob die Menge A aller Funktionen in X, welche an höchstens abzählbar vielen Stellen
von Null verschieden sind, die folgende Eigenschaften besitzt:
• A ist dicht in X
• A ist folgenabgeschlossen
• A ist abgeschlossen
• A ist folgenkompakt
• A ist kompakt
Welche wichtigen Sätze über Folgen lassen sich also nicht von metrischen Räumen auf beliebige
topologische Räume verallgemeinern?
Aufgabe 97 (Vergröberung und Verfeinerung kompakter Hausdorff-Topologien)
Definition. Sind O und O0 Topologien auf der selben Menge, so heißt O gröber als O0 (und
entsprechend O0 feiner als O), wenn jede offene Menge bzgl. O auch offen bzgl. O0 ist:
O gröber als O0 ⇐⇒ O ⊆ O0
Es heißt O echt gröber als O0 (und O0 echt feiner als O), wenn die Topologien zusätzlich auch
noch verschieden sind.
a) Zeige: Ist (X, O) ein kompakter Hausdorff-Raum, so ist X mit jeder echt feineren Topologie nicht mehr kompakt und mit jeder echt gröberen Topologie nicht mehr Hausdorffsch.
(Hinweis: Satz 8.4 könnte hilfreich sein.) (Hinweis: Aufgabe 92 könnte hilfreich sein.)
b) Finde Beispiele, die zeigen, daß auf die Voraussetzungen X kompakt“ bzw. Y Hausdorff”
”
Raum“ in Satz 8.4 nicht verzichtet werden kann.
Bitte wenden!
Aufgabe 98 (Trennungseigenschaften lokal kompakter Räume)
Zeige:
a) Jeder lokal kompakte Hausdorff-Raum ist vollständig regulär.
b) Es gibt einen kompakten Raum, der nicht lokal kompakt ist.
F c) Es gibt einen lokal kompakten Hausdorff-Raum, der nicht normal ist.
Aufgabe 99 (Filterbasen kompakter Mengen)
Es seien X und Y Hausdorff-Räume und f : X → Y stetig. Zeige: Ist G eine Filterbasis kompakter
Teilmengen von X, so gilt
T
T
f
f (G) | G ∈ G .
{G | G ∈ G} =
Gilt das auch für eine Filterbasis abgeschlossener Teilmengen von X?
Aufgabe 100 (Filterbasen zusammenhängender Mengen)
In einem kompakten Hausdorff-Raum X sei (Ai )i∈I eine Filterbasis
abgeschlossener Mengen.
T
Zeige: Sind alle Ai zusammenhängend, so ist auch der Schnitt i∈I Ai zusammenhängend.
F Aufgabe 101 (Umgebungen kompakter Mengen in der Produkttopologie)
Seien X, Y topologische Räume und K ⊆ X, L ⊆ Y kompakt. Ferner sei U eine Umgebung
von K × L in X × Y . Zeige: Es gibt Umgebungen V von K in X und W von L in Y mit
K × L ⊆ V × W ⊆ U.
Aufgaben zu Anwendungen der Topologie in der Algebra
Aufgabe 102 (Topologie und Algebra)
Bekanntlich ist Z ein Hauptidealring, d. h. die Ideale sind von der Form nZ = {nz | z ∈ Z}. Das
Spektrum Spec Z des Rings der ganzen Zahlen besteht aus den Primidealen und dem Nullideal
{0}. Dabei nennen wir ein echtes Ideal P ( Z ein Primideal, wenn aus ab ∈ P folgt: a ∈ P oder
b ∈ P . Das sind gerade die Ideale P = pZ mit primem p. Für s ∈ Z und S ⊆ Z definiere
\
As := {P ∈ Spec Z | s ∈ P }
AS := {P ∈ Spec Z | S ⊆ P } =
As
A = {AS | S ⊆ Z}
s∈S
Im folgenden soll gezeigt werden:
a) Die Menge A ist ein System abgeschlossener Mengen einer Topologie auf Spec Z, der ZariskiTopologie. Die Familie (As )s∈Z , bildet eine Basis für A und die einelementigen Mengen {pZ}
mit p prim bilden eine Subbasis von A.
b) Spec Z mit der Zariski-Topologie ist kompakt.
Zu a) i) Zeige As ∪ At = Ast
ii) Was sind A0 und Ap für p prim?
S
Q
iii) Zeige: Ist s 6= 0, 1 und s = ki=1 pαi i seine Primfaktorzerlegung, so gilt As = ki=1 Api .
iv) Beweise a)
Zu b) Sei Ds = Spec Z \ As
i) Zeige: Spec Z ist
S kompakt, falls man zeigen kann, daß jede offene Überdeckung der
Form Spec Z = s∈S Ds eine endliche Teilüberdeckung besitzt.
S
ii) Sei also eine offene Überdeckung Spec Z = s∈S Ds gegeben .
α) Zeige, daß das von S erzeugte
Ideal gleich Z ist. Insbesondere läßt sich 1 als
Pk
Linearkombination 1 = i=1 mi si endlich vieler Elemente aus S schreiben
S
S
β) Zeige ki=1 Dsi = s∈S Ds
Aufgabe 103 (Noch mehr Algebra)
Der Polynomring C[X] besteht aus allen Polynome in der Variablen X mit komplexen Koeffizienten. Für jedes Zahl z ∈ C ist die Menge Pz := {p ∈ C[X] | p(z) = 0} aller in z verschwindenden
Polynome ein maximales Ideal und damit insbesondere ein Primideal in diesem Ring.
Wir definieren das Spektrum S := Spec C[X] und die Zariski-Topologie darauf analog zu Aufgabe
102.
Zeige, daß die Abbildung z 7→ Pz injektiv ist. Auf dem Bild dieser Abbildung betrachten wir die
Spurtopologie der Zariski-Topologie. Welche bekannte Topologie auf C muß man wählen, damit
diese Abbildung ein Homöomorphismus auf ihr Bild wird?
Anmerkung: Eine solche Injektion, die ein Homöomorphismus auf ihr Bild ist, nennt man auch
kurz eine Einbettung.
Aufgabe 104 (Immer mehr Algebra)
Es sei X ein vollständig regulärer topologischer Raum. Betrachtet man den Ring C(X, R) aller
stetigen reellwertigen Funktionen auf X, so ist die analog zu oben definierte Menge Pz für z ∈ X
ebenfalls ein maximales Ideal. Zeige, daß die Abbildung z 7→ Pz : X → Spec C(X) eine Einbettung
ist.