Geometrische Wahrscheinlichkeiten für nichtkonvexe Testelemente

Geometrische Wahrscheinlichkeiten
für nichtkonvexe Testelemente
Dissertation
zur Erlangung des akademischen Grades
Dr. rer. nat.
FernUniversität in Hagen
Fakultät für Mathematik
und Informatik
vorgelegt von
Dr.-Ing. Uwe Bäsel
Januar 2008
1. Gutachter: Prof. Dr. Andrei Duma (Hagen)
2. Gutachter: Prof. Dr. Marius I. Stoka (Turin)
Tag der mündlichen Prüfung: 31. März 2008
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
iii
1 Grundlagen
1.1 Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen
1.2 Kinematische Dichte und kinematisches Maß
1.3 Konvexe geometrische Objekte . . . . . . . .
1.4 Zwei konvexe Objekte . . . . . . . . . . . .
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2 Sternförmige Testelemente
2.1 Testelemente und Gitter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Schnittwahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Schnittpunkt
2.2.2 Wahrscheinlichkeiten für genau i Schnittpunkte . . .
2.2.3 Erwartungswerte und Varianzen . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.5 Wahrscheinlichkeiten für große n . . . . . . . . . . .
2.2.6 Verteilungsfunktionen und Momente . . . . . . . . .
2.3 Bedingte Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit für i Schnittpunkte . . .
2.3.2 Bedingte Erwartungswerte und Varianzen . . . . . .
2.3.3 Bedingte Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . .
2.4 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13
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20
23
31
31
32
33
35
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3 Gitterförmige Testelemente
39
3.1 Geometrische Wahrscheinlichkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.3 Verteilungsfunktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4 Gelenkige Testelemente und konvexe Hüllen
4.1 Testelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Schnittwahrscheinlichkeit p . . . . . . . . . . .
4.3 Testelemente mit zwei Teilelementen . . . . .
4.4 Testelemente mit drei Teilelementen . . . . . .
4.4.1 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Beispiel: Dreigliedrige Kette . . . . . .
i
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53
54
56
60
60
63
ii
INHALTSVERZEICHNIS
4.5 Testelemente mit mehr als drei Teilelementen . . . . . . . . . . . . . 71
4.6 Erwartungswerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
5 Gelenknadel auf Rechteckgitter
5.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Schnitt .
5.3 Schlussfolgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Erwartungswert für die Anzahl der Schnittpunkte
5.5 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 Nadelbüschel
6.1 Testelemente . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Wahrscheinlichkeiten für genau i Schnittpunkte
6.3 Erwartungswerte und Varianzen . . . . . . . . .
6.4 Spezialfälle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Verteilungsfunktionen und Momente . . . . . .
6.6 Konvexe Hüllen der Testelemente . . . . . . . .
6.7 Nadelbüschel mit unterschiedlich langen Nadeln
6.8 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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81
82
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95
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7 Dreigliedrige Kette
101
7.1 Testelemente und Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
7.2 Berechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
7.3 Simulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
A Simulationsprogramme
A.1 Nadelstern auf Parallelengitter . . . . .
A.2 Gitterelement auf Parallelengitter . . .
A.3 Gelenknadel auf Rechteckgitter . . . .
A.4 Nadelbüschel auf Parallelengitter . . .
A.5 Dreigliedrige Kette auf Parallelengitter
Literaturverzeichnis
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. 121
. 123
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127
Einleitung
Die Theorie der geometrischen Wahrscheinlichkeiten untersucht Wahrscheinlichkeiten für geometrische Objekte, die in der Ebene oder in einem geeigneten anderen euklidischen Raum zufällig positioniert werden. Ihre Ursprünge hat diese Disziplin in dem berühmten Buffonschen Nadelproblem. Dieses wurde von GeorgesLouis Leclerc, Comte de Buffon (1707-1788) formuliert und 1777 in seinem Essai
”
d’Arithmétique Morale“ gelöst [10], [15], [30]. Bei diesem Problem wird nach der
Wahrscheinlichkeit gefragt, dass eine Nadel, die auf ein ebenes Gitter paralleler Geraden fallen gelassen wird, eine dieser Geraden schneidet. Dabei wird vorausgesetzt,
dass die Länge der Nadel kleiner als der Abstand benachbarter Geraden ist. Eine
erste Erweiterung des Nadelproblems erfolgte 1812 durch Pierre Simon de Laplace,
der es für ebene Rechteckgitter betrachtete.
Geometrische Wahrscheinlichkeiten können von zwei grundlegenden Standpunkten aus betrachtet und behandelt werden: Der erste ist der integralgeometrische
Standpunkt, der auf Crofton zurückgeht und von Blaschke [7] und seinen Schülern
zu einer eigenständigen Disziplin ausgebaut wurde. Der zweite Standpunkt ist die
auf Bertrand [6] zurückgehende Anwendung von Methoden der Wahrscheinlichkeitsrechnung und -theorie zur Untersuchung von geometrischen Wahrscheinlichkeiten.
Die historische Entwicklung wird in dem schönen Übersichtsartikel [30] dargestellt.
Wichtige Werke zu Integralgeometrie und geometrischen Wahrscheinlichkeiten
sind die Monographien von Czuber [10], Kendall und Moran [22], Santaló [29], Solomon [31] und Mathai [25].
In neuerer Zeit wird das Gebiet der geometrischen Wahrscheinlichkeiten wesentlich durch die Arbeiten von Duma und Stoka bereichert (z. B. [12], [13], [14], [16],
[17], [18], [32] und [33]). Einen interessanten und prägnanten Überblick über diese
Forschungen bietet [15].
In der vorliegenden Arbeit werden geometrische Wahrscheinlichkeiten für nichtkonvexe Testelemente und ebene Parallelen- und Rechteckgitter untersucht. Auf
Grund ihrer Nichtkonvexität können alle Testelemente eine Gerade des jeweiligen
Gitters mehrfach schneiden.
Die Kapitel 2 und 3 haben stern- und gitterförmige Testelemente, die aus mehreren Nadeln bzw. Strecken bestehen, zum Gegenstand. Die Gestalt dieser Testelemente ist unveränderlich. Es werden die Wahrscheinlichkeiten und Verteilungsfunktionen für die Anzahl der Schnittpunkte zwischen Testelement und Parallelengitter
iii
iv
EINLEITUNG
berechnet und die Grenzverteilungen für Nadelanzahl → ∞ angegeben.
Die Kapitel 4 bis 7 sind Testelementen gewidmet, die aus gelenkig miteinander
verbundenen Teilelementen (Gliedern) bestehen und demzufolge veränderliche Gestalt besitzen.
In Kapitel 4 wird eine allgemeine Theorie für derartige Testelemente entwickelt
und auf zwei- und dreigliedrige Testelemente angewendet.
Geometrische Wahrscheinlichkeiten für Rechteckgitter und Testelemente, die aus
zwei gelenkig miteinander verbundenen Nadeln bestehen, werden in Kapitel 5 betrachtet.
In sechsten Kapitel stellt sich heraus, dass die dort untersuchten Nadelbüschel bei
gleichem Verhältnis von Nadellänge zu Gitterabstand die gleiche Grenzverteilung für
Nadelanzahl → ∞ wie die sternförmigen Testelemente aufweisen.
Dreigliedrige Nadelketten mit verschieden langen Nadeln fungieren im siebenten
Kapitel als Testobjekte. Hier wird aber ein völlig anderer Zugang zur Berechnung
der Schnittwahrscheinlichkeiten als im vierten Kapitel entwickelt und angewendet.
In der vorliegenden Arbeit wird weder den integralgeometrischen noch den wahrscheinlichkeitstheoretischen Methoden der Vorzug gegeben. Vielmehr finden beide
Betrachtungsweisen Anwendung, je nachdem mit welcher man schneller und durchsichtiger die gestellten Aufgaben bewältigen kann.
Sämtliche Probleme wurden mittels computergestützter Zufallsexperimente simuliert. Die Ergebnisse der Simulationen sind in den einzelnen Kapiteln zu finden, die
Quellcodes der Programme in den Anlagen. Numerische Berechnungen, wo erforderlich, wurden mittels Mathematica durchgeführt. Mathematica wurde ebenfalls für
die Erstellung der Diagramme verwendet.
Für die Anregung zur Beschäftigung mit dem interessanten und schönen Gebiet
der geometrischen Wahrscheinlichkeiten, für seine Unterstützung und die wertvollen Hinweise möchte ich mich hiermit ganz herzlich bei Herrn Prof. Dr. A. Duma
bedanken.
Herrn Prof. Dr. Marius I. Stoka gilt mein besonderer Dank für sein Interesse an
der vorliegenden Arbeit und die Übernahme des Koreferates.
Für interessante fachliche Diskussionen danke ich Herrn Dr. Roger Böttcher (Ludwigshafen) und Herrn Prof. Dr. L. Heinrich (Augsburg).
Nicht zuletzt danke ich meiner Lebenspartnerin Carina für die moralische und
(all)täglich-praktische Unterstützung.
Kapitel 1
Grundlagen
1.1
Wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlagen
Für wahrscheinlichkeitstheoretische Untersuchungen (siehe z.B. [26]) ist der Begriff
des Maßes von grundlegender Bedeutung. Für eine Grundmenge Ω und ein Mengensystem K über Ω heißt eine Abbildung µ : K → R mit R = R ∪ {+∞} ∪ {−∞}
ein Maß auf K, wenn gilt:
(i)
µ(∅) = 0,
(ii)
µ(A) ≥ 0 für alle A ∈ K,
(iii)
für jede Folge (An |n ∈ N) paarweise disjunkter Mengen aus K
P
P
P
mit ∞
n=1 An ∈ K ist µ
n∈N An =
n∈N µ(An ) (σ-Additivität).
Wenn das Mengensystem speziell eine σ-Algebra A ist, so wird das Tripel (Ω, A, µ)
ein Maßraum genannt. Ein System A von Teilmengen einer Menge Ω heißt σ-Algebra,
wenn für jede Menge A ∈ A =⇒ Ac ∈ A gilt, wobei Ac die komplementäre
Menge
S
von A ist, und für jede Folge (An |n ∈ N) von Mengen aus A auch n∈N An in A
liegt.
Für Ω := Rn und den Halbring I n der rechts halboffenen Intervalle in Rn heißt
die von I n erzeugte σ-Algebra
Bn := σ(I n ) die Borelsche σ-Algebra (über Rn ).
Qn
Der durch µ([a, b)) = i=1 (bi − ai ), a, b ∈ Rn , ai ≤ bi , definierte Inhalt kann zu
einem eindeutig bestimmten Maß auf Bn fortgesetzt werden. Dieses Maß wird als
Borel-Lebesgue-Maß λn auf Bn bezeichnet.
(Ω, A, µ) = (Rn , Bn , λn ) ist der geeignete Maßraum zur Untersuchung geometrischer Wahrscheinlichkeiten. Hierbei ist n die Anzahl der Parameter, die die Lage
des jeweiligen geometrischen Objektes beschreiben. Ω := Rn wird nachfolgend als
P arameterraum bezeichnet.
Eine Wahrscheinlichkeitsraum ist ein Maßraum, der zusätzlich die Eigenschaft
P (Ω) = 1 besitzt.
1
2
1.2
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Kinematische Dichte und kinematisches Maß
Seien x1 , x2 , . . . , xn die Parameter zur Beschreibung der Lage eines starren geometrischen Objektes (d. h. (x1 , x2 , . . . , xn ) ein Punkt des n-dimensionalen Paramterraumes). Dann ist durch
Z
Z
n
µ(A) =
f dλ =
f (x1 , x2 , . . . , xn ) dx1 ∧ dx2 ∧ · · · ∧ dxn
A
A
ein Maß für alle zur Menge A gehörenden kongruenten Lagen dieses Objektes definiert. f : Ω → R wird allgemein als λn -Dichte von µ oder Lebesgue-Dichte von µ
bezeichnet. Mittels der Stokaschen Formel
P (A) =
µ(A)
µ(M)
wird nun eine geometrische Wahrscheinlichkeit definiert. Mit M wird hierbei die
Menge aller betrachteten Lagen des geometrischen Objektes bezeichnet und mit
A ⊂ M die Menge aller Lagen, die eine bestimmte Eigenschaft E haben, P (A) ist
die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das geometrische Objekt eine zu M gehörende
Lage einnimmt, in der es die Eigenschaft E besitzt.
Nachfolgend sollen die Grundlagen für geometrische Wahrscheinlichkeiten in der
Ebene bereitgestellt werden. Die Lage einer starren und beweglichen geometrischen
Objektes in der Ebene ist vollständig bestimmt, wenn man die Lage eines fest mit
ihm verbundenen ξ, η-Koordinatensystems bezüglich eines festen x, y-Koordinatensystems kennt. Der Zusammenhang zwischen beiden Koordinatensystemen ist durch
die Gleichungen
x = ξ cos φ − η sin φ + a ,
(1.1)
y = ξ sin φ + η cos φ + b .
gegeben, wobei a, b die Koordinaten des Ursprunges des ξ, η-Systems im x, y-System
sind und φ der Winkel zwischen der x-Achse des festen Systems und der ξ-Achse
des beweglichen Systems. Die Lage des beweglichen Koordinatensystems (und damit
eines fest mit ihm verbundenen geometrischen Objektes) ist offensichtlich durch die
Angabe von a, b und φ eindeutig festgelegt.
Ebene Koordinatentransformationen und Bewegungen können zweckmäßig durch
die Verwendung komplexer Zahlen beschrieben werden. Mit ζ := ξ + iη, z := x + iy
und c := a + ib können wir die Gleichungen (1.1) zusammengefasst in der Form
z = ζ eiφ + c
schreiben.
Nachfolgend soll gezeigt werden, dass die kinematische Dichte dx ∧ dy ∧ dφ bewegungsinvariant ist. Aus der Bewegungsinvarianz der kinematischen Dichte folgt die
Bewegungsinvarianz des Maßes
Z
µ(A) =
f (x, y, φ) dx ∧ dy ∧ dφ ,
A
1.2. KINEMATISCHE DICHTE UND KINEMATISCHES MASS
3
falls f konstant ist.
Die Bewegungsinvarianz der kinematischen Dichte umfasst nach Blaschke [7, S.
21-22] die folgenden Eigenschaften:
1. Bewegungsinvarianz (im engeren Sinne): Die kinematische Dichte ändert sich
nicht, wenn man ein neues festes Koordinatensystem einführt.
2. Wahlinvarianz: Die kinematische Dichte ändert sich nicht, wenn man ein neues
bewegliches Koordinatensystem einführt.
3. Umkehrinvarianz: Die kinematische Dichte ändert sich (abgesehen vom Vorzeichen) nicht, wenn statt der Bewegung die Umkehrbewegung betrachtet wird.
zu 1. Bewegungsinvarianz: Wir führen ein neues festes x0 , y 0-Koordinatensystem
ein, dessen Ursprung bezüglich des bisherigen festen x, y-Koordinatensystems im
Punkt c0 = a0 + ib0 liegt und gegenüber dem x, y-System um dem Winkel φ0 gedreht
ist. Damit ist die Lage des x0 , y 0-Systems bezüglich des x, y-System eindeutig festgelegt. Wir betrachten nun den Ursprung des beweglichen ξ, η-Koordinatensystems.
Bezüglich des x, y-Systems liege der Ursprung im Punkt c = a + ib und bezüglich
des x0 , y 0 -Systems im Punkt c0 = a0 + ib0 . Dann gilt
c = c0 + c0 eiφ0 ,
also
c0 = (c − c0 ) e−iφ0 .
Komponentenweise erhält man
a0 = a cos φ0 + b sin φ0 − a0 cos φ0 − b0 sin φ0 ,
b0 = −a sin φ0 + b cos φ0 + a0 sin φ0 − b0 cos φ0 .
Für den Winkel φ0 zwischen x0 - und ξ-Achse gilt φ0 = φ − φ0 . Die Differentialform
da ∧ db ∧ dφ transformiert sich durch den Übergang vom x, y- zum x0 , y 0-System
gemäß
∂(a0 , b0 , φ0 )
da0 ∧ db0 ∧ dφ0 =
da ∧ db ∧ dφ ,
∂(a, b, φ)
wobei
∂(a0 ,b0 ,φ0 )
∂(a,b,φ)
die Jacobische Funktionaldeterminante ist. Es gilt
cos φ0 sin φ0 0 ∂(a , b , φ ) = − sin φ0 cos φ0 0 = 1
∂(a, b, φ)
0
0
1 0
0
0
und demzufolge da0 ∧ db0 ∧ dφ0 = da ∧ db ∧ dφ, womit die Bewegungsinvarianz (im
engeren Sinne) der kinematischen Dichte gezeigt ist.
zu 2. Wahlinvarianz: c = a + ib ist der Ursprung des alten ξ, η-Systems bezüglich
des festen Koordinatensystems. c0 = a0 +ib0 soll der Ursprung des neuen beweglichen
Koordinatensystems ξ 0 , η 0 bezüglich des alten beweglichen Koordinatensystems ξ, η
sein. Das ξ 0 , η 0-System soll gegenüber dem ξ, η-System um den Winkel φ0 gedreht
4
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
sein. Dann gilt für den Ursprung c0 = a0 + ib0 des ξ 0 , η 0 -Systems bezüglich des festen
Koordinatensystems
c0 = c + c0 eiφ .
Es folgt
a0 = a + a0 cos φ − b0 sin φ ,
b0 = b + a0 sin φ + b0 cos φ ,
φ0 = φ + φ0
und
1 0 −(a0 sin φ + b0 cos φ)
∂(a , b , φ ) a0 sin φ − b0 cos φ
= 0 1
∂(a, b, φ)
0 0
1
0
0
0
(1.2)
= 1,
(1.3)
womit die Wahlinvarianz gezeigt ist. Alternativ lässt sich die Wahlinvarianz auch
folgendermaßen zeigen. Schreibt man c0 in Polarkoordinatendarstellung c0 = l eiα ,
so erhält man
c0 = c + l eiα eiφ = c + l ei(φ+α) ,
also
a0 = a + l cos(φ + α) ,
b0 = b + l sin(φ + α) ,
φ0 = φ + φ0
und
1 0 −l sin(φ + α)
∂(a , b , φ ) l cos(φ + α)
= 0 1
∂(a, b, φ)
0 0
1
0
0
0
= 1.
Das ist der Ausdruck, den Poincaré in [27, S. 128] bei der Herleitung des bewegungsinvarianten kinematischen Maßes in der Ebene angibt.
zu 3. Umkehrinvarianz: Die Umkehrbewegung erhält man, wenn das feste und
das bewegliche Koordinatensystem ihre Rollen tauschen: Aus dem beweglichen Koordinatensystem wird das feste Bezugssystem, von dem aus die Bewegung des bisher
festen Koordinatensystems betrachtet wird. Die Bewegung des bisher festen Koordinatensystems ist die Umkehrbewegung. Aus z = ζ eiφ + c folgt ζ = (z − c) e−iφ . Es
gilt also
ξ = x cos φ + y sin φ − a cos φ − b sin φ ,
η = −x sin φ + y cos φ + a sin φ − b cos φ ,
φ0 =
−φ .
Der Koordinatenursprung des bisherigen festen Koordinatensystems transformiert
sich also entsprechend
a → −a cos φ − b sin φ =: a0 ,
b →
a sin φ − b cos φ =: b0 .
Es folgt
− cos φ − sin φ a sin φ − b cos φ
∂(a , b , φ ) = sin φ − cos φ a cos φ + b sin φ
∂(a, b, φ)
0
0
−1
0
0
0
= −1 .
1.2. KINEMATISCHE DICHTE UND KINEMATISCHES MASS
5
Die kinematische Dichte ändert sich (abgesehen vom Wechsel des Vorzeichens) also
nicht, wenn man statt der Bewegung die Umkehrbewegung betrachtet.
Die Bewegungen in der euklidischen Ebene bilden eine Gruppe M. Jede Bewegung
u0 ∈ M definiert zwei Bijektionen von M, die Linkstranslation
Lu0 : u → u0 u
und die Rechtstranslation
Ru0 : u → uu0
[29, S. 81/82].
Wir zeigen nun, dass die kinematische Dichte (und damit das kinematische Maß)
links- und rechtsinvariant sind, d. h. invariant bezüglich Links- und Rechtstranslationen.
Zunächst zur Linksinvarianz: Wir betrachten eine Linkstranslation u0 u mit den
ebenen Bewegungen u := (a, b, φ) bzw. z 0 = z eiφ + c und u0 := (a0 , b0 , φ0 ) bzw.
z 00 = z 0 eiφ0 + c0 . Es gilt
z 00 = (z eiφ + c)eiφ0 + c0 = z ei(φ+φ0 ) + c eiφ0 + c0 .
Durch Aufteilung in Real- und Imaginärteil erhält man
x00 = x cos(φ + φ0 ) − y sin(φ + φ0 ) + a cos φ0 − b sin(φ0 ) + a0 ,
y 00 = x sin(φ + φ0 ) + y cos(φ + φ0 ) + a sin φ0 + b cos(φ0 ) + b0 .
Der Ursprung des bewegten Koordinatensystems transformiert sich entsprechend
a → a cos φ0 − b sin φ0 + a0 =: a0 ,
b → a sin φ0 + b cos φ0 + b0 =: b0
und für den Gesamtdrehwinkel gilt φ0 = φ + φ0 . Somit erhält man für die Funktionaldeterminante
cos φ0 − sin φ0 0 0 0
0
∂(a , b , φ ) = sin φ0
cos φ0 0 = 1 ,
∂(a, b, φ)
0
0
1 womit die Linksinvarianz gezeigt ist.
Nun zur Rechtsinvarianz: Wir betrachten eine Rechtstranslation uu0 mit den
ebenen Bewegungen u0 = (a0 , b0 , φ0 ) bzw. z 0 = z eiφ0 + c0 und u = (a, b, φ) bzw.
z 00 = z 0 eiφ + c. Es folgt
z 00 = (z eiφ0 + c0 )eiφ + c = z ei(φ+φ0 ) + c0 eiφ + c .
Trennung in Real- und Imaginärteil liefert
x00 = x cos(φ + φ0 ) − y sin(φ + φ0 ) + a0 cos φ − b0 sin φ + a ,
y 00 = x sin(φ + φ0 ) + y cos(φ + φ0 ) + a0 sin φ + b0 cos φ + b .
6
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Für die Transformation des Koordinatenursprungs erhält man
a → a0 cos φ − b0 sin φ + a =: a0 ,
b → a0 sin φ + b0 cos φ + b =: b0 ,
für den Gesamtdrehwinkel φ0 = φ + φ0 und für die Funktionaldeterminante
1 0 −(a0 sin φ + b0 cos φ) 0 0
0
∂(a , b , φ ) a0 sin φ − b0 cos φ = 1 .
= 0 1
∂(a, b, φ)
0 0
1
Damit ist die Rechtsinvarianz gezeigt.
Wie der Vergleich mit (1.2) und (1.3) zeigt, entspricht eine Rechtstranslation
einer Neuwahl des bewegten Koordinatensystems.
1.3
Konvexe geometrische Objekte
Eine herausragende Rolle bei der Untersuchung geometrischer Wahrscheinlichkeiten
spielen konvexe Testobjekte.
Bild 1.1: Stützfunktion p = p(φ)
Eine Gerade in der Ebene ist durch ihren Abstand p = P H vom Koordinatenursprung und den Winkel φ zwischen ihrer Normale und der x-Achse festgelegt (Bild
1.1). Ihre Gleichung ist dann x cos φ + y sin φ = p. Wenn p eine Funktion von φ
ist, dann definiert diese Gleichung eine Familie von Geraden, deren Enveloppe man
unter der Voraussetzung, dass p differenzierbar ist, aus dem Gleichungssystem
x cos φ + y sin φ = p
−x sin φ + y cos φ = p0
mit p0 = dp/dφ erhält. Hieraus ergibt sich die folgende Parameterdarstellung der
Enveloppe:
x = p cos φ − p0 sin φ ,
y = p sin φ + p0 cos φ .
7
1.3. KONVEXE GEOMETRISCHE OBJEKTE
Diese Formeln liefern die x- und die y-Koordinate des Punktes P , in dem die Gerade
mit dem Paramter φ die Eneveloppe tangiert (Bild 1.1). Wenn die Enveloppe eine
geschlossene konvexe Kurve C ist und der Koordinatenursprung O innerhalb von C
liegt, wird p = p(φ) Stützfunktion von C bezüglich O genannt.
Wir nehmen zunächst an, dass p zweimal stetig differenzierbar ist. Dann gilt
dx = −(p + p00 ) sin φ dφ ,
dy = (p + p00 ) cos φ dφ .
Mit ds =
p
dx2 + dy 2 erhält man für die Länge u von C
Z
Z 2π
u = ds =
(p + p00 ) dφ .
0
Wegen der 2π-Periodizität der Stützfunktion ist
Z 2π
p00 dφ = p0 (2π) − p0 (0) = 0
0
und demzufolge
u=
Z
2π
p dφ .
(1.4)
0
Diese Formel wurde bereits von Cauchy gefunden.
Es kann gezeigt werden, dass p + p00 > 0 die notwendige und hinreichende Bedingung dafür ist, dass eine periodische Funktion p die Stützfunktion einer konvexen
Menge ist. Die hier verwendete
Voraussetzung p ∈ C 2 ist nicht erforderlich. Man
R 2π
kann zeigen, das u = 0 p dφ für jede geschlossene konvexe Kurve gilt [35, S.
165-167].
Die Berechnung des Flächeninhaltes F einer konvexen Menge, deren Rand C
stetig differenzierbar ist, unter Verwendung der Leibnizschen Sektorformel
Z
1 2π
(xy 0 − x0 y) dφ
F =
2 0
liefert
Z
1 2π 2
F =
(p − p02 ) dφ .
2 0
Wir bezeichnen den Durchmesser einer ebenen konvexen Menge in Abhängigkeit
von der Richtung φ als Projektionsfunktion pr(φ). Zwischen der Stützfunktion und
der Projektionsfunktion besteht der Zusammenhang
pr(φ) = p(φ) + p(φ + π) .
Demzufolge haben wir
Z 2π
Z
u =
p(φ) dφ =
0
=
Z
0
π
p(φ) dφ +
0
=
Z
0
π
pr(φ) dφ .
Z
π
π
p(φ) dφ +
Z
2π
p(φ) dφ
π
p(φ + π) dφ =
0
Z
0
π
[ p(φ) + p(φ + π)] dφ
8
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Als Beispiel für die Anwendung der Cauchyschen Formel (1.4) wollen wir nun die
Wahrscheinlichkeit p dafür berechnen, dass ein ebenes konvexes Objekt (nachfolgend
als Testobjekt bezeichnet), das zufällig auf die Ebene geworfen wird, ein in der Ebene
befindliches Parallelogrammgitter schneidet [2]. Ein Parallelogrammgitter kann man
sich als Vereinigung zweier Parallelengitter vorstellen. Der Abstand benachbarter
Geraden des einen Gitters sei a, der Geraden des anderen Gitters b. Der Winkel
zwischen den Geraden des einen Gitters und denen des zweiten Gitters sei α. Wir
wollen voraussetzen, das für die Projektionsfunktion des Testobjektes
max pr(φ) < min{a, b}
0≤φ<π
gilt. Wir betrachten zunächst die Wahrscheinlichkeit p0 dafür, dass das Testobjekt
das Parallelogrammgitter nicht trifft. Es gilt Stokas Formel
p0 =
µ(N )
;
µ(M)
hierbei bezeichnet M die Menge aller Testobjekte, deren Bezugspunkte innerhalb
eines Gitter-Parallelogramms Π liegen, und N die Menge aller Testobjekte, deren
Bezugspunkte innerhalb von Π liegen, die aber das Parallelogramm nicht schneiden.
Es gilt
Z
Z 2π
Z
2πab
µ(M) =
dx ∧ dy ∧ dφ =
dφ
dx dy =
.
sin α
M
0
(x, y)∈Π
Betrachtet man für festen Winkel φ alle Lagen des Testobjektes, bei denen es innerhalb von Π liegt (also das Gitter nicht schneidet), so bildet die Menge aller
Bezugspunkte ein Parallelogramm Πφ , dessen Seiten parallel zu denen von φ sind.
Die Seitenlängen von Πφ sind
b − pr(φ + α)
.
sin α
a − pr(φ) und
Wir erhalten
µ(N ) =
Z
N
dx ∧ dy ∧ dφ =
1
=
sin α
Z
Z
0
2π
Z
!
dx dy dφ
(x, y)∈Πφ
2π
0
1
=
sin α
1
=
sin α
(a − pr(φ))(b − pr(φ + α)) dφ
Z
2π
2πab − a
pr(φ + α) dφ − b
0
Z 2π
+
pr(φ) pr(φ + α) dφ
Z
2π
pr(φ) dφ
0
0
2πab − 2(a + b)u +
Z
0
2π
pr(φ) pr(φ + α) dφ ,
1.3. KONVEXE GEOMETRISCHE OBJEKTE
9
wobei u der Umfang des Testobjektes ist, und folglich
R 2π
2πab − 2(a + b)u + 0 pr(φ) pr(φ + α) dφ
µ(N )
p0 =
=
.
µ(M)
2πab
Unter Berücksichtigung von pr(φ + π) = pr(φ) folgt nunmehr
Z π
1
p = 1 − p0 =
(a + b)u −
pr(φ) pr(φ + α) dφ .
πab
0
(1.5)
Diese Formel enthält einige interessante Spezialfälle. Für b → ∞ erhält man
p=
u
.
πa
(1.6)
Das ist das bekannte Resultat von Barbier [5] für die Wahrscheinlichkeit, dass ein
konvexes Testobjekt mit max pr(φ) < a ein Gitter äquidistanter Geraden mit Abstand a schneidet. Für eine Nadel mit Länge l (und Umfang 2l) ergibt sich die
Lösung
2l
p=
πa
des Buffonschen Nadelproblems.
Für den Wurf einer Nadel auf ein Parallelogrammgitter erhält man das folgende
Ergebnis von Stoka [32, S. 55]
p=
l
[2(a + b) − (sin α + (π/2 − α) cos α)l ] .
πab
Die Wahrscheinlichkeit p für den Fall von Rechteckgittern und Ellipsen als Testobjekten wurde von Duma und Stoka [13] untersucht.
Betrachtet man konvexe Figuren mit konstanter Projektionsfunktion pr(φ) =: d,
so folgt für deren Umfang
Z π
Z π
u=
pr(φ) dφ = d
dφ = πd .
0
0
Solche Figuren werden auch als Gleichdicke bezeichnet. Ein Gleichdick ist z.B. das
Reuleauxsche Bogendreieck, das man aus einem gleichseitigen Dreieck erhält, indem
man um die Ecken Kreise mit der Länge d der Dreiecksseite als Radius zeichnet und
anschließend den mengentheoretischen Durchschnitt dieser drei Kreisscheiben bildet
(siehe z.B. [37, S. 47/48]). Setzt man d < min{a, b} voraus, so erhält man für ein
Gleichdick mit pr(φ) = d
p=
d
1
(a + b)u − πd2 = (a + b + d) .
πab
ab
Für einen Kreis wurde dieses Ergebnis in [33, S. 42] hergleitet.
10
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
1.4
Zwei konvexe Objekte
Wir betrachten nunmehr zwei konvexe geometrische Objekte C1 und C2 (Bild 1.2),
die als starr miteinander verbunden angenommen werden, und untersuchen geometrische Wahrscheinlichkeiten für den zufälligen Wurf von C1 und C2 auf ein ebenes
Gitter RD äquidistanter Parallelen. D ist der Abstand zwischen benachbarten Gittergeraden. Es soll vorausgesetzt werden, dass C1 und C2 nicht mehr als eine Gerade
von RD gleichzeitig schneiden können (also dist(P1 , P2 ) < D für alle Punkte P1 ∈ C1
und P2 ∈ C2 ) und sich C1 und C2 nicht überlappen (also C1 ∩ C2 = ∅).
konvexe Hülle von C1 und C2
Bild 1.2: Zur Berechnung von P (A1 ∩ A2 )
Zunächst soll die Wahrscheinlichkeit dafür ermittelt werden, dass C1 und C2
gleichzeitig das Parallelengitter schneiden. Legt man die gemeinsamen inneren Tangenten an C1 und C2 , so kann man zwei geschlossene Kurven Γ1 und Γ2 bilden: Γ1
besteht aus der gestrichelten Linie um C1 bis zum Schnittpunkt S der Tangenten; Γ2
aus der gestrichelten Linie um C2 bis zum Punkt S. Γ1 und Γ2 haben den Punkt S
gemeinsam. Die Menge aller Lagen von Γ1 und Γ2 (bzw. C1 und C2 ), bei denen S das
Gitter schneidet, haben das Maß Null und brauchen deswegen nicht berücksichtigt
zu werden. Nachfolgend werden die folgenden Bezeichnungen verwendet:
A1
A2
A01
B10
Ereignis,
Ereignis,
Ereignis,
Ereignis,
dass
dass
dass
dass
C1 das Gitter schneidet;
C2 das Gitter schneidet;
Γ1 das Gitter schneidet;
Γ2 das Gitter schneidet.
Wenn man von der oben erwähnten Nullmenge absieht, schneiden C1 und C2
genau dann das Gitter, wenn Γ1 und Γ2 das Gitter schneiden, also
P (A1 ∩ A2 ) = P (A01 ∩ A02 ) = P (A01 ) + P (A02 ) − P (A01 ∪ A02 ) .
Das Ereignis A01 ∪ A02 ist äquivalent zu dem Ereignis, dass die konvexe Hülle von Γ1
und Γ2 das Gitter schneidet. Die konvexe Hülle von Γ1 und Γ2 ist identisch mit der
von C1 und C2 . Wir bezeichnen den Umfang dieser konvexen Hülle mit u(C1 , C2 )
sowie mit `(Γ1 ) und `(Γ2 ) die Längen der Kurven Γ1 und Γ2 . Somit folgt nach (1.6)
P (A1 ∩ A2 ) = P (A01 ∩ A02 ) =
`(Γ1 ) `(Γ2 ) u(C1 , C2 )
+
−
.
πD
πD
πD
11
1.4. ZWEI KONVEXE OBJEKTE
Die durch Vereinigung der Kurven Γ1 und Γ2 entstehende Kurve kann als sich in S
kreuzende Seillinie“ um C1 und C2 aufgefasst werden. Ihre Länge, die mit `(C1 , C2 )
”
bezeichnet werden soll, ist gleich `(Γ1 ) + `(Γ2 ). Es folgt
P (A1 ∩ A2 ) =
`(C1 , C2 ) − u(C1 , C2 )
.
πD
(1.7)
Diese Formel wurde bereits von Bertrand [6, S. 485/486] hergeleitet.
Aus dieser Formel erhält man sofort
P (A1 ∪ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∩ A2 )
=
u(C1 ) + u(C2 ) − (`(C1 , C2 ) − u(C1 , C2 ))
πD
sowie die bedingte Wahrscheinlichkeit P (A2 | A1 ), dass C2 das Gitter schneidet, falls
C1 das Gitter schneidet,
P (A2 | A1 ) =
P (A1 ∩ A2 )
`(C1 , C2 ) − u(C1 , C2 )
=
,
P (A1 )
u(C1 )
wobei u(C1 ) und u(C2 ) die Umfänge von C1 bzw. C2 bezeichnen. Das ist die bekannte
Formel von Crofton, die die Wahrscheinlicheit dafür angibt, dass eine in der Ebene
zufällig platzierte Gerade, die ein festes konvexes Objekt C1 trifft, auch ein zweites
festes konvexes Objekt C2 mit C1 ∩ C2 = ∅ trifft (siehe z.B. [30, S. 513/514]).
Wir berechnen nun noch die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses, dass C1 und C2
auf verschiedenen Seiten einer Gittergeraden liegen. Dieses Ereignis ist äquivalent
zu dem Ereignis, dass C1 und C2 das Gitter nicht schneiden, aber die konvexe Hülle
H von C1 und C2 das Gitter schneidet. Es gilt
P (C1 ∩ RD = ∅, C2 ∩ RD = ∅, H ∩ RD 6= ∅)
=
=
=
P (H ∩ RD 6= ∅) − P (A1 ∪ A2 )
u(C1 , C2 ) u(C1) + u(C2 ) − (`(C1 , C2 ) − u(C1 , C2 ))
−
πD
πD
`(C1 , C2 ) − (u(C1 ) + u(C2))
.
πD
Falls sich C1 und C2 überlappen, gilt
P (A1 ∩ A2 ) = P (A1 ) + P (A2 ) − P (A1 ∪ A2 )
=
u(C1 ) + u(C2) − u(C1 , C2 )
.
πD
(1.8)
Setzt man in diesem Fall `(C1 , C2 ) := u(C1) + u(C2 ), so stimmt (1.8) mit der Bertrandschen Formel (1.7) überein. Die in diesem Abschnitt hergeleiteten Beziehungen
behalten auch in diesem Fall ihre Gültigkeit.
Verallgemeinerungen auf mehr als zwei starr miteinander verbundene konvexe
Objekte findet man in [34] und [3, S. 115/116].
12
KAPITEL 1. GRUNDLAGEN
Kapitel 2
Sternförmige Testelemente
2.1
Testelemente und Gitter
Unter einem sternförmigen Testelement Sn, a (siehe Bild 2.1) wird nachfolgend die
sternförmige Anordnung von n (2 ≤ n < ∞) gleich langen Strecken (Nadeln) um
einen gemeinsamen Mittelpunkt verstanden, so dass die Endpunkte der Nadeln ein
regelmäßiges n-Eck bilden. α ist der Winkel zwischen benachbarten Nadeln und a
die Länge einer Nadel.
g4, 5
s5
s4
g3, 4
g2, 3
s3
s2
a s1
sn
g1, 2
gn,1
a
Bild 2.1: Sternförmiges Testelement Sn, a
Diese Testelemente werden zufällig auf ein Buffonsches Parallelengitter RD geworfen,
wobei D der Abstand benachbarter Gittergeraden ist.
Wir setzen voraus, dass das Testelement Sn, a höchstens eine Gerade des Gitters
RD schneiden kann, was bedeutet, dass der maximale Durchmesser von Sn, a ≤ D
sein muss. Das führt auf die Bedingung
π h n i
a
2λ sin
≤ 1 mit λ := ,
n 2
D
wobei [n/2] der ganzzahlige Anteil von n/2 ist.
13
14
KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE
Für die maximale Anzahl M der Schnittpunkte zwischen Testelement und einer
Geraden des Gitters gilt
( n
,
falls n gerade ist,
2
M=
n+1
, falls n ungerade ist.
2
2.2
2.2.1
Schnittwahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Schnittpunkt
Wie berechnen zunächst die Wahrscheinlichkeit p für mindestens einen Schnittpunkt.
Ein Testelement Sn, a schneidet das Parallelengitter genau dann, wenn seine konvexe
Hülle das Gitter schneidet. Nach dem Theorem von Barbier (Formel (1.6)) gilt
p=
un
,
πD
wobei der un der Umfang der konvexen Hülle ist. Für n ≥ 2 folgt mit un = 2na sin α2
und α = 2π
n
π
2nλ
sin .
(2.1)
p = p(n, λ) =
π
n
2.2.2
Wahrscheinlichkeiten für genau i Schnittpunkte
Mit p(i, n, λ) bezeichnen wir nachfolgend die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten
von genau i Schnittpunkten zwischen Testelement Sn, a und Parallelengitter RD .
Aus Formel (2.1) erhält man sofort die Wahrscheinlichkeit p(0, n, λ) für keinen
Schnittpunkt:
2nλ
π
p(0, n, λ) = 1 − p(n, λ) = 1 −
sin .
π
n
Wir bezeichnen mit si für 1 ≤ i ≤ n die Nadeln des Testelements Sn, a und mit
gi, j die Seiten des die konvexe Hülle von Sn, a bildenden regelmäßigen n-Ecks (siehe
Bild 2.1). Die Seite gi, j verbindet die Endpunkte der benachbarten Nadeln si und
sj . Mit Si wird das Ereignis bezeichnet, dass die Nadel si das Gitter schneidet und
mit Gi, j das Ereignis, dass die Seite gi, j das Gitter schneidet. Unter I(Indexliste)
verstehen wir nachfolgend das Ereignis, dass alle Nadeln, deren Indizes in der Indexliste enthalten sind, das Gitter schneiden, alle übrigen Nadeln aber nicht. P (E, n, λ)
ist die von n und λ abhängige Wahrscheinlichkeit für das Eintreten eines Ereignisses
E. di ist der Abstand zwischen den äußeren Endpunkten zweier Nadeln, zwischen
denen sich i − 1 Nadeln befinden. Es gilt
di = 2a sin
iα
iπ
= 2a sin .
2
n
Der Einfachheit halber setzen wir für die Länge der Seilline F um gn, 1 und gi, i+1
(Bild 2.2)
`i := `(gn, 1 , gi, i+1 ) .
15
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN
und für den Umfang der konvexen Hülle C der Seiten gn, 1 und gi, i+1
ui := u(gn, 1 , gi, i+1 )
gi,i+1
gi,i+1
si+1
si+1
si
si
F
C
s1
sn
s1
gn,1
sn
gn,1
Bild 2.2: Seillinie F und konvexe Hülle C von gn, 1 und gi, i+1
Aus den folgenden Betrachtungen schließen wir das Testelement S3, a zunächst
erst einmal aus.
Wir bestimmen nun die Wahrscheinlichkeit p(1, n, λ) für genau einen Schnittpunkt zwischen Sn, a und RD . Zu diesem Zweck wird die Nadel s1 betrachtet. Diese
Nadel (und keine andere) schneidet das Gitter genau dann, wenn die Kanten gn,1
und g1,2 das Gitter schneiden. Die diesbezügliche Wahrscheinlichkeit ist
`1 − u 1
4d1 − (2d1 + d2 )
=
πD
πD
2d1 − d2
2λ
π
2π
=
=
2 sin − sin
.
πD
π
n
n
P (I(1), n, λ) = P (Gn,1 ∩ G1,2 , n, λ) =
Genau einen Schnittpunkt zwischen Sn, a und RD gibt es, wenn eines der unvereinbaren Ereignisse I(1), I(2), . . . , I(n) eintritt. Mit
P (I(1), n, λ) = P (I(2), n, λ) = . . . = P (I(n), n, λ)
erhält man
p(1, n, λ) =
n
X
i=1
2nλ
P (I(i), n, λ) = nP (I(1), n, λ) =
π
π
2π
2 sin − sin
.
n
n
Wir betrachten jetzt die beiden Fälle, dass n eine gerade bzw. ungerade Zahl ist,
gesondert.
n ist eine gerade Zahl (M = n/2): Für 2 ≤ i ≤ M − 1 betrachten wir die
Wahrscheinlichkeiten P (I(1, . . . , i), n, λ), dass alle Nadeln s1 , . . . , si (und keine anderen) das Gitter schneiden. Diese Nadeln schneiden genau dann das Gitter, wenn
16
KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE
die Seiten gn, 1 und gi, i+1 das Gitter schneiden, also
P (I(1, . . . , i), n, λ) = P (Gn, 1 ∩ Gi, i+1 , n, λ) =
`i − u i
πD
(2d1 + 2di ) − (2d1 + di+1 + di−1 )
2di − di+1 − di−1
=
πD
πD
2λ
iπ
(i + 1)π
(i − 1)π
=
2 sin
− sin
− sin
.
π
n
n
n
=
Genau i Schnittpunkte zwischen Sn, a und RD gibt es, wenn eines der n unvereinbaren Ereignisse auftritt, dass i nebeneinander angeordnete Nadeln das Gitter RD
schneiden, alle übrigen Nadeln aber nicht. Folglich ist
p(i, n, λ) = nP (I(1, . . . , i), n, λ)
iπ
(i + 1)π
(i − 1)π
2nλ
2 sin
− sin
− sin
.
=
π
n
n
n
Es soll nun die Wahrscheinlichkeit p(M, n, λ) berechnet werden. Dazu betrachten wir die Nadeln s1 und sM . Das Schneiden des Gitters durch diese beiden Nadeln
bedeutet, dass auch alle dazwischen liegenden Nadeln s2 , . . . , sM −1 das Gitter schneiden, die Nadeln sM +1 , . . . , sn aber nicht. Es gilt
4a − (2a + dM −1 )
2a − dM −1
=
πD
πD
2λ
(M − 1)π
=
1 − sin
.
π
n
P (I(1, . . . , M), n, λ) = P (S1 ∩ SM , n, λ) =
Hieraus folgt
2nλ
p(M, n, λ) = nP (I (1, . . . , M) , n, λ) =
π
n ist eine ungerade Zahl (M =
Ergebnis wie bei geradem n, also
n+1
):
2
2nλ
p(i, n, λ) = nP (I(1, . . . , i), n, λ) =
π
(M − 1)π
1 − sin
n
.
Für 1 ≤ i ≤ M − 2 erhält man das selbe
iπ
(i + 1)π
(i − 1)π
2 sin
− sin
− sin
n
n
n
.
(Der Fall i = 1 ist hierin eingeschlossen.) Für p(M, n, λ) erhält man ebenfalls das
selbe Ergebnis wie bei geradem n.
Die Berechnung von p(M − 1, n, λ) erfordert eine gesonderte Betrachtung. Das
Schneiden des Gitters durch die Seiten gn, 1 und gM −1, M (z. B. g5, 1 und g2 ,3 von S5, a
in Bild 2.3) ist äquivalent damit, dass die M − 1 Nadeln s1 , s2 , . . . , sM −1 oder die
M Nadeln sM , . . . , sn das Gitter schneiden, also die sich gegenseitig ausschließenden
Ereignisse I(1, . . . , M − 1) oder I(M, . . . , n) eintreten. Das bedeutet, dass
P (Gn, 1 ∩ GM −1, M , n, λ) = P (I(1, . . . , M − 1), n, λ) + P (I(M − 1, . . . , n), n, λ)
= P (I(1, . . . , M − 1), n, λ) + P (I(1, . . . , M), n, λ)
17
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN
g2,3
s3
s4
s2
s1
s5
g5,1
Bild 2.3: Berechung von pM −1 für ungerades n
gilt. Hieraus folgt
P (I(1, . . . , M − 1), n, λ) = P (Gn, 1 ∩ GM −1, M , n, λ) − P (I(1, . . . , M), n, λ)
[(2d1 + 2dM −1 ) − (2d1 + dM −2 + dM −1 )] − [2a − dM −1 ]
πD
2dM −1 − dM −2 − 2a
=
πD
2λ
(M − 1)π
(M − 2)π
=
2 sin
− sin
−1 .
π
n
n
=
Nunmehr folgt
p(M − 1, n, λ) = nP (I(1, . . . , M − 1), n, λ)
2nλ
(M − 1)π
(M − 2)π
=
2 sin
− sin
−1 .
π
n
n
Anfangs wurde das Testelement S3, a aus den Betrachtungen ausgeklammert. Dessen Schnittwahrscheinlichkeiten p(1, 3, λ) und p(2, 3, λ) erhält man für n = 3 und
M = 2 aus p(M, n, λ) und der zuletzt hergleiteten Formel für p(M − 1, n, λ). Der
folgende Satz fasst die bisherigen Ergebnisse dieses Abschnitts zusammen.
Satz 2.1. Ein Testelement
Sn, a mit n ≥ 2 wird zufällig auf ein Parallelengitter RD
π n
geworfen. Für 2λ sin n 2 ≤ 1 schneidet das Testelement höchstens eine Gerade
des Parallelengitters, wobei für die maximale Anzahl M der Schnittpunkte
M=
(
n
2
,
f alls n gerade ist,
n+1
2
, f alls n ungerade ist,
gilt. Dann sind die Wahrscheinlichkeiten p(i, n, λ) für genau i, 0 ≤ i ≤ M, Schnitt-
18
KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE
punkte zwischen Testelement und Gitter mit δ(i, n, λ) :=
2nλ
π
sin iπ
gegeben durch
n
p(0, n, λ) = 1 − δ(1, n, λ) ,
p(i, n, λ) = 2δ(i, n, λ) − δ(i + 1, n, λ) − δ(i − 1, n, λ) ,
wenn 1 ≤ i ≤ M − 2 ,
p(M − 1, n, λ) = 2δ(M − 1, n, λ) − δ(M − 2, n, λ) − 2nλ/π ,
p(M, n, λ) = 2nλ/π − δ(M − 1, n, λ) .
Anmerkung: Unter Verwendung von
sin
(i − 1)π
iπ
π
(i + 1)π
+ sin
= 2 sin cos
n
n
n
n
und 1 − cos
π
π
= 2 sin2
n
2n
können wir die Wahrscheinlichkeiten p(i, n, λ) für 1 ≤ i ≤ M − 2 in der Form
p(i, n, λ) =
8nλ 2 π
iπ
sin
sin
π
2n
n
darstellen.
2.2.3
Erwartungswerte und Varianzen
Mit der Zufallsvariable Zn, λ bezeichnen wir nachfolgend die Anzahl der Schnittpunkte zwischen Testelement Sn, a und Gitter RD . Für den Erwartungswert und die
Varianz von Zn, λ gilt der folgende Satz:
Satz 2.2. Für 2λ sin nπ n2 ≤ 1 sind der Erwartungswert E(Zn, λ ) und die Varianz
Var(Zn, λ ) für die Anzahl Zn, λ der Schnittpunkte zwischen Testelement Sn, a und
Gitter RD gegeben durch
2nλ
2nλ
π
2nλ
E(Zn, λ ) =
und Var(Zn, λ ) =
n − cot
−
.
π
π
2n
π
Beweis. Für beliebige reelle Zahlen βi , 0 ≤ i ≤ M, gilt
M
X
i=0
βi p(i, n, λ) = γ0 +
M −1
2nλ X
iπ 2nλ
γi sin
+
γM
π i=1
n
π
mit γ0 = β0 , γi = 2βi − βi−1 − βi+1 für 1 ≤ i ≤ M − 1 und γM = βM − βM −1 .
Mit βi = i erhält man hieraus sofort den Erwartungswert für die Anzahl der
Schnittpunkte
M
X
2nλ
E(Zn, λ ) =
i p(i, n, λ) =
.
(2.2)
π
i=1
Dieses Ergebnis ergibt sich aufgrund der Additivität des Erwartungswertes auch aus
der Schnittwahrscheinlichkeit 2λ/π für eine einzelne Nadel.
19
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN
Für die Varianz Var(Zn, λ ) gilt
2
2
Var(Zn, λ ) = E(Zn,
λ ) − (E(Zn, λ )) .
2
Zu berechnen ist also noch das Moment 2. Ordnung E(Zn,
λ) =
Für gerades n gilt
M
X
2
i=1 i
M
−1
X
iπ
2M − 1 − 2
sin
n
i=1
i=1
!
π
− cos M − 12 πn
cos 2n
2nλ
2M − 1 −
π
π
sin 2n
π
− sin nπ
cos 2n
2nλ
2M − 1 −
π
π
sin 2n
2nλ π
n − cot
.
π
2n
2
E(Zn,
λ) =
=
=
=
2nλ
i2 p(i, n, λ) =
π
PM
p(i, n, λ).
!
(2.3)
Für ungerades n erhält man dieselbe Formel. Folglich ist
2nλ
π
2nλ
2
2
n − cot
−
.
Var(Zn, λ ) = E(Zn, λ ) − (E(Zn, λ )) =
π
2n
π
Wir definieren die neue Zufallsvariable Xn, λ durch Xn, λ := Zn, λ /n. Hierfür ergeben sich der Erwartungswert
E(Xn, λ ) =
M
X
i
E(Zn, λ )
2λ
p(i, n, λ) =
=
,
n
n
π
i=1
das zweite Moment
2
E(Xn,
λ)
=
M 2
X
i
i=1
n
2
E(Zn,
2λ
λ)
p(i, n, λ) =
=
2
n
π
1
π
1 − cot
n
2n
und die Varianz
Var(Xn, λ ) =
2
E(Xn,
λ)
2λ
1
π
2λ
− (E(Xn, λ )) =
1 − cot
−
.
π
n
2n
π
2
Es folgen unmittelbar
2λ
2
lim
=
1−
n→∞
π
π
2λ
2 2λ
lim Var(Xn, λ ) =
1− −
.
n→∞
π
π
π
2λ
lim E(Xn, λ ) =
,
n→∞
π
und
2
E(Xn,
λ)









(2.4)
20
2.2.4
KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE
Spezialfälle
1) Für n = 2 ist
π
4λ
4λ
sin = 1 −
,
π
2
π
4λ π 4λ
p(1, 2, λ) =
1 − cos
=
.
π
2
π
p(0, 2, λ) = 1 −
Das ist das Buffonsche Resultat, wenn man berücksichtigt, dass die Nadellänge im
vorliegenden Fall gleich 2a ist.
2) Für n = 3 ist M = 2 und es gilt
π
3λ √
6λ
sin = 1 −
3,
π
3
π
6λ √
6λ π
p(1, 3, λ) =
( 3 − 1) ,
2 sin − 1 =
π
3
π
√
6λ π 3λ
p(2, 3, λ) =
1 − sin
=
(2 − 3) .
π
3
π
p(0, 3, λ) = 1 −
3) Für n = 4 erhält man
8λ
π
4λ √
sin = 1 −
2,
π
4
π
8λ π
π 8λ √
p(1, 4, λ) =
2 sin − sin
=
( 2 − 1) ,
π
4
2
π
√
8λ π 4λ
p(2, 4, λ) =
(2 − 2) .
1 − cos
=
π
4
π
p(0, 4, λ) = 1 −
Anmerkung: Die Wahrscheinlichkeiten p(1, n, λ) und p(2, n, λ) für n = 3 und n = 4
erhält man auch als Lösung des linearen Gleichungssystems
)
p(1, n, λ) + p(2, n, λ) = p(n, λ)
p(1, n, λ) + 2p(2, n, λ) = E(Zn, λ )
mit p(n, λ) =
2.2.5
2nλ
π
sin πn entsprechend Formel (2.1) und E(Zn, λ ) = n 2λ
.
π
Wahrscheinlichkeiten für große n
Nachfolgend sollen Näherungsausdrücke für die Wahrscheinlichkeiten p(i, n, λ), 0 ≤
i ≤ M, für n → ∞ hergeleitet werden. Wir werden dabei die Landausche Notation
benutzen: Mit O(f (n)) wird eine Funktion bezeichnet, die nach Division durch f (n)
für n → ∞ beschränkt bleibt.
Weiterhin werden wir den
benutzen, dass der Fehler bei Abbruch
P Sachverhalt
k
einer alternierenden Reihe
(−1) ak , bei der die positiven ak monoton zu Null
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN
21
abnehmen, dasselbe Vorzeichen hat wie das erste vernachlässigte Glied, absolut genommen aber kleiner als dieses ist [23, S. 259].
Für i = 0 gilt
π
2nλ
sin
π
n
2nλ 1 π
1 π 3 1 π 5
= 1−
−
+
−+...
π
1! n 3! n
5! n
1 π 4
1 π 2
= 1 − 2λ + λ
− λ
+ −...
3
n
60
n
p(0, n, λ) = 1 −
= 1 − 2λ + O(n−2 )
und für 1 ≤ i ≤ M − 2
p(i, n, λ) =
=
=
=
=
2nλ
iπ
(i + 1)π
(i − 1)π
2 sin
− sin
− sin
π
n
n
n
4nλ π
iπ
1 − cos
sin
π
n
n
4nλ
1 π 2 1 π 4
iπ
1− 1−
+
−+...
sin
π
2! n
4! n
n
4nλ 1 π 2
1 π 4
iπ
−
+ − . . . sin
π 2 n
24 n
n
iπ
2πλ
sin
− O(n−3 ) .
n
n
Für gerades n und M = n/2 ist
2nλ
(M − 1)π
(M − 2)π
p(M − 1, n, λ) =
− sin
−1
2 sin
π
n
n
2nλ
π
2π
=
2 cos − cos
−1
π
n
n
2nλ
1 π 2 1 π 4
=
2 1−
+
−+...
π
2! n
4! n
!
#
2
4
1 2π
1 2π
− 1−
+
− +... −1
2! n
4! n
∞
X
(−1)k+1 22k−1 − 1 π 2k−1
= 4λ
(2k)!
n
k=1
= 2λ
π 7λ π 3
2πλ
−
+ −... =
− O(n−3)
n
6 n
n
22
KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE
und
(M − 1)π
1 − sin
n
π
π
λ π 3
2nλ =
1 − cos
= λ −
+ −...
π
n
n 12 n
2nλ
p(M, n, λ) =
π
πλ
− O(n−3 ) .
n
Für ungerades n erhält man mit M = (n + 1)/2
(M − 1)π
(M − 2)π
2nλ
p(M − 1, n, λ) =
2 sin
− sin
−1
π
n
n
π
3π
2nλ
=
2 cos
− cos
−1
π
2n
2n
2nλ
1 π 2 1 π 4
=
2 1−
+
− +...
π
2! 2n
4! 2n
!
#
2
4
1 3π
1 3π
− 1−
+
−+... − 1
2! 2n
4! 2n
∞
X
(−1)k+1 32k − 2 π 2k−1
= 2λ
(2k)! 22k
n
k=1
=
=
und
7λ π 79λ π 3
7πλ
−
− O(n−3 )
+ −... =
4 n 192 n
4n
(M − 1)π
1 − sin
n
2nλ π
λπ
λ π 3
1 − cos
=
−
=
+ −...
π
2n
4 n 192 n
2nλ
p(M, n, λ) =
π
πλ
− O(n−3 ) .
4n
Der folgende Satz fasst die Ergebnisse dieses Abschnitts zusammen:
=
Satz 2.3. Für gerades n und n → ∞ gilt
p(0, n, λ) = 1 − 2λ + O(n−2) ,
2πλ
iπ
sin
− O(n−3) , falls 1 ≤ i ≤ M − 2 ,
n
n
2πλ
p(M − 1, n, λ) =
− O(n−3) ,
n
πλ
p(M, n, λ) =
− O(n−3) .
n
p(i, n, λ) =
23
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN
Für ungerades n und n → ∞ gilt
p(0, n, λ) = 1 − 2λ + O(n−2 ) ,
iπ
2πλ
sin
− O(n−3 ) , falls 1 ≤ i ≤ M − 2 ,
n
n
7πλ
p(M − 1, n, λ) =
− O(n−3 ) ,
4n
πλ
p(M, n, λ) =
− O(n−3 ) .
4n
p(i, n, λ) =
2.2.6
Verteilungsfunktionen und Momente
Für die Verteilungsfunktionen FZn, λ der Zufallsvariablen Zn, λ ,
FZn, λ (x) = P (Zn, λ ≤ x)


0
für − ∞ < x < 0 ,

 P
i
=
j=0 p(i, n, λ) für i ≤ x < i + 1 , 0 ≤ i ≤ M − 1 ,


 1
für M ≤ x < ∞ ,
erhalten wir mit δ(i, n, λ) = 2nλ
sin iπ
die folgenden einfachen Ausdrücke:
π
n

0
für − ∞ < x < 0 ,




 1 + δ(i, n, λ) − δ(i + 1, n, λ) für i ≤ x < i + 1 , 0 ≤ i ≤ M − 2 ,
FZn, λ (x) =

1 + δ(M − 1, n, λ) − 2nλ/π für M − 1 ≤ x < M,




1
für M ≤ x < ∞.
Die Verteilungsfunktionen FXn, λ der Zufallsvariablen Xn, λ = Zn, λ /n sind durch
FXn, λ (x) = P (Xn, λ ≤ x) ,
also

0




 1 + δ(i, n, λ) − δ(i + 1, n, λ)
FXn, λ (x) =

1 + δ(M − 1, n, λ) − 2nλ/π




1
für − ∞ < x < 0 ,
für
für
für
i
≤ x < i+1
,
n
n
M −1
≤x< M
n
n
M
≤x<∞
n
0 ≤ i ≤ M −2,
,
gegeben. Nachfolgend soll das Konvergenzverhalten dieser Verteilungsfunktionen für
n → ∞ untersucht werden.
Zu diesem Zweck betrachten wir zunächst das folgende Zufallsexperiment: Ein
Kreis mit dem Radius a wird zufällig auf ein Parallelengitter RD geworfen, wobei
2a ≤ D vorausgesetzt werden soll. Wenn der Kreis eine Gerade von RD trifft,
schneidet er aus dieser Gerade eine Strecke, die eine Sehne des Kreises bildet. Der
24
KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE
zu dieser Sehne gehörende Zentriwinkel ≤ π werde mit φ bezeichnet. Wenn der Kreis
das Gitter RD nicht trifft, setzen wir φ = 0. Wir interpretieren φ als Zufallsvariable
und definieren die Zufallsvariable Xλ mittels Xλ := φ/(2π). Wegen 0 ≤ φ ≤ π ist
0 ≤ Xλ ≤ 1/2. Die Verteilungsfunktion FXλ von Xλ ist durch

für − ∞ < x < 0 ,

 0
1 − 2λ cos πx für 0 ≤ x < 21 ,
FXλ (x) :=


1
für 21 ≤ x < ∞
gegeben. Es gilt der folgende Satz:
Satz 2.4. Die Verteilungsfunktionen FXn, λ konvergieren für n → ∞ gleichmäßig
gegen die Verteilungsfunktion FXλ . Dabei ist
kFXn, λ (x) − FXλ (x)kx∈R <
πλ
,
n
n ≥ 2.
Beweis. Wir betrachten die vertikalen Abstände
∆n, λ (x) := FXn, λ (x) − FXλ (x)
zwischen der jeweiligen Verteilungsfunktion FXn, λ und der Verteilungsfunktion FXλ
(Bild 2.4).
Bild 2.4: Vertikale Abstände zwischen FXn, λ und FXλ
Für −∞ < x < 0 und M/n < x < ∞ gilt offensichtlich ∆n, λ (x) = 0. Nun
zum Intervall 0 ≤ x ≤ M/n: Auf Grund der Monotonie von FXλ können Extrema von ∆n, λ (x) nur an den Sprungstellen x = i/n, 0 ≤ i ≤ M, von FXn, λ (x)
auftreten (siehe Bild 2.4). Deswegen sind insbesondere die vertikalen Abstände der
Punkte (i/n, FXn, λ (i/n)), 0 ≤ i ≤ M − 1, und (i/n, FXn, λ ((i − 1)/n))), 1 ≤ i ≤ M,
von FXλ (x) zu untersuchen. Die Punkte (i/n, FXn, λ ((i − 1)/n))) gehören nicht zu
25
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN
FXn, λ (x), können aber als stetige Fortsetzung von FXn, λ (x), x < i/n, für x → i/n
aufgefasst werden, so dass
lim
∆
F
n, λ (x) = lim
Xn, λ (x) − FXλ (x) = FXn, λ ((i − 1)/n) − FXλ (i/n)
i
i
x→ n −0
x→ n −0
gilt. Zur Abkürzung setzen wir
∆∗n, λ (i/n) := − lim ∆n, λ (x) = FXλ (i/n) − FXn, λ ((i − 1)/n) .
x→ ni −0
Für i = 0 erhält man
∆n, λ (0) = FXn, λ (0) − FXλ (0) = 1 −
2nλ
π
sin − (1 − 2λ)
π
n
π
2nλ
sin .
π
n
π
Taylorentwicklung von sin n mit Restglied nach Lagrange liefert
π
π 1 π 2
π
sin = −
sin ξ mit 0 < ξ < ,
n
n 2 n
n
so dass
πλ
πλ
∆n, λ (0) =
sin ξ <
.
n
n
Wir untersuchen nun die Abstände ∆n, λ (i/n) und beginnen mit 1 ≤ i ≤ M − 2.
Es gilt
= 2λ −
∆n, λ (i/n) = FXn, λ (i/n) − FXλ (i/n)
2nλ
(i + 1)π
iπ
iπ
= 1−
sin
− sin
− 1 − 2λ cos
π
n
n
n
iπ 2nλ
(i + 1)π
iπ
−
sin
− sin
.
= 2λ cos
n
π
n
n
Unter Verwendung der Taylorschen Reihenentwicklung mit Lagrangeschem Restglied
(i + 1)π
iπ
π
iπ 1 π 2
(i + 1)π
iπ
sin
− sin
=
cos
−
sin ξi ,
< ξi <
,
n
n
n
n
2 n
n
n
folgt
iπ
iπ πλ
πλ
πλ
− 2λ cos
+
sin ξi =
sin ξi <
.
∆n, λ (i/n) = 2λ cos
n
n
n
n
n
Für i = M − 1 gilt
∆n, λ ((M − 1)/n) = FXn, λ ((M − 1)/n) − FXλ ((M − 1)/n)
2nλ
(M − 1)π
(M − 1)π
= 1−
1 − sin
− 1 − 2λ cos
π
n
n
(M − 1)π 2nλ
(M − 1)π
= 2λ cos
−
1 − sin
.
n
π
n
26
KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE
Für gerades n = 2M ist
Mπ
(M − 1)π
(M − 1)π 2nλ
∆n, λ ((M − 1)/n) = 2λ cos
−
sin
− sin
n
π
n
n
und (analog zur obigen Vorgehensweise)
(M − 1)π
π
(M − 1)π 1 π 2
Mπ
sin
− sin
=
cos
−
sin ξM −1 ,
n
n
n
n
2 n
(M − 1)π
Mπ
< ξM −1 <
,
n
n
also
∆n, λ ((M − 1)/n) =
πλ
πλ
sin ξM −1 <
.
n
n
Für ungerades n ist M = (n + 1)/2 und
n+1
−
1
( n − 1 )π
(M − 1)π
π
π
= 2
= 2 2 = −
.
n
n
n
2 2n
Es folgt
π
π
π 2nλ π −
−
1 − sin
−
∆n, λ ((M − 1)/n) = 2λ cos
2 2n
π
2 2n
π
2nλ
π
= 2λ sin
−
1 − cos
2n
π
2n
π
2nλ
π
+
cos
− cos 0
= 2λ sin
2n
π
2n
Mit
π
π
π
1 π 2
π
cos
− cos 0 = − sin
+
,
cos ξ , 0 < ξ <
2n
2n
2n 2 2n
2n
folgt
∆n, λ ((M − 1)/n) = 2λ sin
= λ sin
π
π
πλ
− λ sin
+
cos ξ
2n
2n 4n
π
πλ
πλ πλ
πλ
+
cos ξ <
+
<
.
2n 4n
2n 4n
n
Für i = M ist
∆n, λ (M/n) = FXn, λ (M/n) − FXλ (M/n) = 1 − 1 = 0 .
Wir betrachten nun die Punkte (i/n, FXn, λ ((i − 1)/n)). Für 1 ≤ i ≤ M − 1 gilt
∆∗n, λ (i/M) = FXλ (i/n) − FXn, λ ((i − 1)/n)
iπ
2nλ
iπ
(i − 1)π
= 1 − 2λ cos
− 1−
sin
− sin
n
π
n
n
2nλ
iπ
(i − 1)π
iπ
=
sin
− sin
− 2λ cos .
π
n
n
n
27
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN
Unter Verwendung von
iπ
(i − 1)π
π
iπ 1 π 2
sin
− sin
= cos
+
sin ξi
n
n
n
n
2 n
mit
(i − 1)π
iπ
< ξi <
n
n
folgt
∆∗n, λ (i/n)
iπ
πλ
πλ
iπ 1 π
= 2λ cos
+
sin ξi − 2λ cos
=
sin ξi <
.
n
2n
n
n
n
Für i = M ist
∆∗n, λ (M/n) = FXλ (M/n) − FXn, λ ((M − 1)/n)
(M − 1)π
2nλ
= 1− 1−
1 − sin
π
n
2nλ
(M − 1)π
=
1 − sin
.
π
n
Für gerades n = 2M folgt
∆∗n, λ (M/n)
(M − 1)π
2nλ π 1 − sin
=
1 − cos
2M
π
2M
2nλ π
=
1 − cos
.
π
n
2nλ
=
π
Taylorentwicklung mit Restglied nach Lagrange liefert
π
π
1 π 2
1 π 2
cos
= cos 0 − sin 0 −
cos ξ = 1 −
cos ξ
n
n
2 n
2 n
mit 0 < ξ <
Hiermit erhalten wir
∆∗n, λ (M/n) =
πλ
πλ
cos ξ <
.
n
n
Für ungerades n erhält man unter Berücksichtigung von
(M − 1)π
π
π
= −
n
2 2n
∆∗n, λ (M/n)
Mit
cos
π
2nλ π 2nλ π
=
1 − sin
−
=
1 − cos
.
π
2 2n
π
2n
π
1 π 2
= 1−
cos ξ ,
2n
2 2n
0<ξ<
π
,
2n
π
.
n
28
KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE
folgt
∆∗n, λ (M/n)
2nλ 1 π 2
πλ
πλ
πλ
=
cos ξ =
cos ξ <
<
.
π 2 2n
4n
4n
n
Insgsamt können wir feststellen, dass
0 ≤ ∆n, λ (i/n) <
πλ
,
n
0≤i≤M,
0 < ∆∗n, λ (i/n) <
πλ
,
n
1≤i≤M,
und
gelten, also
kFXn, λ (x) − FXλ (x)kx∈R <
πλ
.
n
Damit ist der Satz bewiesen.
FXλ ist für λ = 1/2 eine auf R stetige Funktion; für λ < 1/2 ist sie im Punkt
x = 0 unstetig.
Nach einem Satz von Lebesgue kann jede Verteilungsfunktion F eindeutig in der
Form
F = α1 F1 + α2 F2 + α3 F3
mit 0 ≤ αi ≤ 1, α1 +α2 +α3 = 1 dargestellt werden, wobei F1 diskret, F2 absolutstetig
und F3 singulär ist [9, S. 35]. Im vorliegenden Fall besitzt die Grenzverteilung FXλ
eine diskrete und eine absolutstetige Komponente, aber keine singuläre. Es gilt also
FXλ = α1 F1 + α2 F2 , 0 ≤ αi ≤ 1 , α1 + α2 = 1 .
Die diskrete Verteilungsfunktion F1 ist durch
(
0 für −∞ < x < 0 ,
F1 (x) =
1 für 0 ≤ x < ∞
gegeben und die absolutstetige Verteilungsfunktion F2 durch

0
für − ∞ < x < 0 ,



1 − cos πx für 0 ≤ x < 21 ,
F2 (x) =



1
für 21 ≤ x < ∞ .
Weiterhin ist α1 = 1 − 2λ und α2 = 2λ. Für λ = 1/2 ist FXλ rein (absolut) stetig.
Für λ = 0 ist FXλ rein diskret; in diesem Fall ist das Testelement auf einen Punkt
zusammengeschrumpft (a = 0), die Wahrscheinlichkeit für keinen Schnittpunkt ist
dann gleich Eins.
29
2.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEITEN
Satz 2.5. g : R → R sei eine stetige und beschränkte Funktion. Dann konvergieren
die Erwartungswerte
M
X
E(g(Xn, λ )) =
g( ni ) p(i, n, λ)
i=0
für n → ∞ gegen
E(g(Xλ )) =
Z
∞
−∞
g(x) dFXλ (x) = (1 − 2λ) g(0) + 2πλ
Z
1/2
g(x) sin πx dx .
0
Beweis. Wir führen den Beweis unter Verwendung des Stieltjesschen Integrales. Es
gilt
E(g(Xn, λ )) =
M
X
g( ni ) p(i, n, λ)
i=0
= g(0) p(0, n, λ) +
M
X
i=1
= g(0) p(0, n, λ) +
Z
)
g( ni ) FXn, λ ( ni ) − FXn, λ ( i−1
n
M/n
g(x) dFXn, λ (x) .
0
Hieraus folgt
lim E(g(Xn, λ )) =
n→∞
lim [ g(0) p(0, n, λ)] + lim
n→∞
n→∞
= (1 − 2λ) g(0) + lim
n→∞
Z
Z
M/n
g(x) dFXn, λ (x)
0
M/n
g(x) dFXn, λ (x)
0
Nach Satz 2.4 konvergiert die Folge der Verteilungsfunktionen FXn, λ für n → ∞
gleichmäßig (und demzufolge auch schwach) gegen die Grenzverteilung FXλ . Nach
einem Resultat, das man z.B. in [9, S. 101/102] findet, ist die schwache
Konvergenz
R∞
der Folge FXn, λ gegen FXλ äquivalent zur Konvergenz der Folge −∞ g(x) dFXn, λ (x)
R∞
gegen −∞ g(x) dFXλ (x) für jede stetige und beschränkte Funktion g.
Unter Berücksichtigung von limn→∞ M
= 12 erhält man
n
Z ∞
Z M/n
Z 1/2
lim
g(x) dFXn, λ (x) = lim
g(x) dFXn, λ (x) =
g(x) dFXλ (x)
n→∞
n→∞
−∞
=
Z
0
0
0
1/2
g(x) d(1 − 2λ cos πx) = 2πλ
Z
1/2
g(x) sin πx dx
0
und folglich
lim E(g(Xn, λ )) = (1 − 2λ) g(0) + 2πλ
n→∞
womit der Satz bewiesen ist.
Z
0
1/2
g(x) sin πx dx = E(g(Xλ )) ,
30
KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE
k
Korollar 2.6. Die Momente E(Xn,
λ ), k = 1, 2, . . . , konvergieren für n → ∞ gegen
E(Xλk )
:= 2πλ
Z
1/2
xk sin πx dx .
0
Beweis. Für 2 ≤ n < ∞ gilt M/n ≤ 2/3. Die Einschränkung xk |[0, 2/3] kann leicht zu
einer stetigen und beschränkten Funktion auf R fortgesetzt werden. Unter Benutzung
von Satz 2.5 folgt das Ergebnis.
Speziell ist
1/2
E(Xλ ) = 2πλ
Z
1/2
E(Xλ2 )
Z
x sin πx dx =
0
= 2πλ
2λ
,
π
2
2λ
1−
x sin πx dx =
π
π
2
0
und
Var(Xλ ) =
E(Xλ2 )
2λ
2 2λ
− (E(Xλ )) =
1− −
π
π
π
2
in Übereinstimmung mit den Formeln (2.4).
Aus Satz 2.5 erhält man, wenn man g(x) = 1 für x ∈ R setzt:
Z ∞
Z 1/2
dFXλ (x) = 1 − 2λ + 2πλ
sin πx dx = 1 − 2λ + 2λ = 1 .
−∞
0
Beispiele. In den Bildern 2.5 und 2.6 sind die Verteilungsfunktionen FX20; 0,4 und
FX19; 0,4 im Vergleich zur Grenzverteilungsfunktion FX0,4 dargestellt. Die maximale
Anzahl M der Schnittpunkte ist für S20, a und S19, a jeweils gleich Zehn.
F
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x
Bild 2.5: Verteilungsfunktionen FX20; 0,4 und FX0,4
31
2.3. BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN
F
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
x
Bild 2.6: Verteilungsfunktionen FX19; 0,4 und FX0,4
2.3
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
2.3.1
Bedingte Wahrscheinlichkeit für i Schnittpunkte
Wir berechnen nun noch den bedingten Erwartungswert für die Anzahl der Schnittpunkte unter der Voraussetzung, dass das Testelement das Gitter schneidet (Ereignis I). Das Ereignis des Auftretens von genau i (i = 1, 2, . . . , M) Schnittpunkten
wird mit Yi bezeichnet. P (Yi | I) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Auftreten von genau i Schnittpunkten, wenn das Gitter geschnitten wird. Zunächst gilt
P (Yi | I) =
P (Yi ∩ I)
, i = 1, 2, . . . , M .
P (I)
(2.5)
Wegen Yi ⊂ I ist P (Yi ∩ I) = P (Yi). Wir setzen p(i, n, λ) für P (Yi) ein und p(n, λ)
(siehe Gleichung (2.1)) für P (I). Außerdem setzen wir q(i, n) als Wert von P (Yi | I)
für das Testelement Sn, a . Aus (2.5) folgt damit
q(i, n) =
p(i, n, λ)
für i = 1, 2, . . . , M .
p(n, λ)
Damit erhalten wir die konkreten bedingten Wahrscheinlichkeiten q(i, n) für genau
i Schnittpunkte:
2 sin iπ
− sin (i+1)π
− sin (i−1)π
n
n
n
q(i, n) =
, wenn 1 ≤ i ≤ M − 2,
sin πn
q(M − 1, n) =
− sin (M −2)π
−1
2 sin (M −1)π
n
n
,
π
sin n
1 − sin (M −1)π
n
q(M, n) =
.
sin πn
32
KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE
2.3.2
Bedingte Erwartungswerte und Varianzen
Für die bedingten Erwartungswerte E(Zn, λ | I) für die Anzahl der Schnittpunkte
unter der Voraussetzung, dass das Testelement Sn, a das Gitter schneidet, gilt
E(Zn, λ | I) =
M
X
i=1
M
M
X
1 X
E(Zn, λ )
p(i, n, λ)
i q(i, n) =
i
=
i p(i, n, λ) =
.
p(n, λ)
p(n, λ) i=1
p(n, λ)
i=1
Mit (2.1) und (2.2) folgt
E(Zn, λ | I) =
2nλ
π
2nλ
sin nπ
π
1
.
sin πn
=
Unter Beachtung von Formel (2.3) erhalten wir für das bedingte Moment zweiter
Ordnung
2
E(Zn,
λ
| I) =
M
X
i=1
M
π
n − cot 2n
1 X 2
.
i q(i, n) =
i p(i, n, λ) =
p(n, λ) i=1
sin πn
2
Somit ergibt sich für die bedingte Varianz
Var(Zn, λ | I) =
2
E(Zn,
λ
π
n − cot 2n
− csc πn
| I) − (E(Zn, λ | I)) =
.
sin πn
2
Xn, λ bezeichnet wiederum die Zufallsvariable Xn, λ = Zn, λ /n. Für den bedingten
Erwartungswert und das bedingte Moment zweiter Ordnung von Xn, λ erhält man
M
M
X
i
1X
E(Zn, λ | I)
1
E(Xn, λ | I) =
q(i, n) =
i q(i, n) =
=
n
n i=1
n
n sin πn
i=1
und
2
E(Xn,
λ | I)
=
M 2
X
i
i=1
=
n
M
2
E(Zn,
1 X 2
λ |I)(n)
q(i, n) = 2
i q(i, n) =
n i=1
n2
π
n − cot 2n
.
n2 sin πn
Das liefert die bedingte Varianz von Xn, λ :
Var(Xn, λ | I) =
2
E(Xn,
λ
π
n − cot 2n
− csc πn
| I) − (E(Xn, λ | I)) =
.
n2 sin πn
2
2
Wir untersuchen die Grenzwerte von E(Xn, λ | I), E(Xn,
λ | I) und Var(Xn, λ | I) für
n → ∞. Es gilt
1
1
lim E(Xn, λ | I) = lim
= ,
(2.6)
π
n→∞
n→∞ n sin
π
n
33
2.3. BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN
2
lim E(Xn,
λ | I) =
n→∞
lim
n→∞
π
n − cot 2n
π−2
n − 2n/π
=
=
π
2
n sin n
nπ
π2
(2.7)
und
lim Var(Xn, λ | I) =
n→∞
=
lim
n→∞
π
n − cot 2n
− csc πn
1
π−2
=
− 2
π
2
2
n sin n
π
π
π−3
.
π2
(2.8)
Spezialfälle:
1) Für n = 3 ist
E(Z3, λ | I) =
1
1
2
π = 1√ = √
sin 3
3
3
2
und E(X3, λ | I) =
1
2
π = √ .
3 sin 3
3 3
2) Für n = 4 erhält man
√
√
1
1
2
1
.
E(Z4, λ | I) =
2 und E(X4, λ | I) =
π = 1√ =
π =
sin 4
4 sin 4
4
2
2
2.3.3
Bedingte Verteilungsfunktionen
Für die bedingten Verteilungsfunktionen FZn, λ ( | I) für die Anzahl der Schnittpunkte zwischen Testelement und Gitter unter der Bedingung I, dass das jeweilige
Testelement das Gitter schneidet, erhält man mit
FZn, λ (x | I) = P (Zn, λ ≤ x | I)


0
für − ∞ < x < 1 ,

 P
i
=
j=1 q(i, n) für i ≤ x < i + 1 , 1 ≤ i ≤ M − 1 ,


 1
für M ≤ x < ∞
unter Verwendung der bedingten Wahrscheinlichkeiten p(i, n) aus Abschnitt 2.3.1
die folgenden Formeln

0
für −∞ < x < 1 ,






− sin iπ
sin (i+1)π

n
n


für i ≤ x < i + 1, 1 ≤ i ≤ M − 2 ,
1
−

sin nπ
FZn, λ (x | I) =

1 − sin (M −1)π

n


1
−
für M − 1 ≤ x < M ,

π

sin

n



1
für M ≤ x < ∞ .
34
KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE
Wir betrachten nun die bedingten Verteilungsfunktionen
FXn, λ (x | I) = P (Xn, λ ≤ x | I)
für die Zufallsvariablen Xn, λ = Zn, λ /n. Es gilt
FXn, λ (x | I) =

0






sin (i+1)π
− sin iπ

n
n


1
−

π
sin
für −∞ < x <
für
i
n
für
M −1
n
für
M
n
n

1 − sin (M −1)π


n

1
−

π

sin n




1
≤x<
1
n
i+1
,
n
≤x<
,
1 ≤ i ≤ M −2,
M
n
,
≤ x < ∞.
Satz 2.7. Für n → ∞ konvergieren die bedingten Verteilungsfunktionen FXn, λ ( | I)
gegen die bedingte Verteilungsfunktion FXλ ( | I) mit

0
für −∞ < x < 0 ,



1 − cos πx für 0 ≤ x < 21 ,
FXλ (x | I) =



1
für 21 ≤ x < ∞ .
Beweis. Für 1/n ≤ x < M/n gilt
FXn, λ (x | I) =
i
X
q(i, n) =
j=1
i
X
p(i, n, λ)
j=1
p(i, n)
"
#
i
X
1
p(i, n, λ) .
=
−p(0, n, λ) +
p(i, n)
j=0
Unter Verwendung des Ergebnisses von Satz 2.4 folgt
1
[−(1 − 2λ) + 1 − 2λ cos πx] = 1 − cos πx .
2λ
lim FXn, λ (x | I) =
n→∞
Wie man erkennt, ist die bedingte Verteilungsfunktion FXλ ( | I) gleich der (absolut)
stetigen Komponente F2 der Verteilungsfunktion FXλ .
Satz 2.8. Es sei g eine in [0, 1] stetige Funktion. Dann konvergieren die bedingten
Erwartungswerte
M
X
E(g(Xn, λ ) | I) =
g( ni ) q(i, n)
i=1
für n → ∞ gegen
E(g(Xλ ) | I) =
Z
∞
−∞
g(x) dFXλ (x | I) = π
Z
1/2
g(x) sin πx dx .
x=0
35
2.4. SIMULATION
Beweis. Die Beweis dieses Satzes verläuft unter Verwendung des Ergebnisses von
Satz 2.7 analog zum Beweis von Satz 2.5.
Aus diesem Satz folgt unmittelbar:
k
Korollar 2.9. Die Momente E(Xn,
λ | I), k = 1, 2, . . . , konvergieren für n → ∞
gegen
Z ∞
Z 1/2
k
k
E(Xλ | I) =
x dFXλ (x | I) = π
xk sin πx dx .
−∞
0
Wir berechnen den Erwartungswert und das Moment zweiter Ordnung von Xλ
bezüglich I:
E(Xλ | I) =
Z
E(Xλ2
Z
| I) =
∞
−∞
∞
−∞
x dFXλ (x | I) = π
2
Z
x dFXλ (x | I) = π
1/2
x sin πx dx =
0
Z
1
,
π
1/2
π−2
.
π2
x2 sin πx dx =
0
Damit erhalten wir für die Varianz von Xλ bezüglich I
Var(Xλ | I) = E(Xλ2 | I) − (E(Xλ | I))2 =
π−3
.
π2
Diese Ergebnisse stimmen - wie es sein muss - mit den Ergebnissen
limn→∞ E(Xn, λ | I) =
1
π
limn→∞ Var(Xn, λ | I) =
,
2
limn→∞ E(Xn,
λ | I) =
π−2
π2
,
π−3
π2
überein, die wir auf anderem Wege in (2.6), (2.7) und (2.8) erhielten.
2.4
Simulation
Für die Simulation der Zufallsexperimente mit den Testelementen Sn, a wurde das
Programm nstern01.pas, das im Anhang A.1 zu finden ist, entwickelt. Es gliedert
sich im Wesentlichen in die Teile:
a) Eingabe der erforderlichen Werte: n Anzahl der Strecken (Nadeln) pro Testelement, a Länge der Strecken, D Abstand benachbarter Gittergeraden, imax Anzahl
der Würfe des Testelements;
b) Berechnung der maximalen Anzahl nmax der Schnittpunkte zwischen Testelement Sn, a und Gitter RD mittels nmax=(m div 2)+(m mod 2) (m div 2 liefert den
ganzzahligen Anteil der Division von m durch 2 und m mod 2 den ganzzahligen Rest
dieser Division, also 0, wenn m geradzahlig ist, sonst 1.);
c) Überprüfung, ob das Testelement bei einem Wurf nicht mehr als eine Gerade des
Gitters schneiden kann (Wenn das nicht der Fall ist, wird das Programm mit der
36
KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE
Fehlermeldung ’Testelement zu gross!’ abgebrochen.);
d) Simulation: Bestimmung der Realisierungen der Zufallsvariablen phi0 (Winkel
von Sn, a bezüglich RD ) und ym (Lage des Mittelpunktes von Sn, a bezüglich einer Gittergeraden) und Ermittlung der relativen Häufigkeiten für die Anzahlen der
Schnittpunkte zwischen Testelement und Gitter sowie der diesbezüglichen Mittelwerte;
e) Berechnung der Wahrscheinlichkeiten und Erwartungswerte entsprechend den in
den Abschnitten 2.2 und 2.3 hergeleiteten Ergebnissen;
f) Ausgabe der Ergebnisse in Dateiform (Diese Art der Ausgabe gestattet die rationelle Abspeicherung der Ergebnisse für verschiedene Kombinationen der Eingabewerte.).
Nachfolgend nun einige Beispiele für Ausgabedateien, die mittels dieses Programms
erzeugt wurden. Die erste Zeile jeder Datei enthält die Eingabegrößen. Anschließend
sind die berechneten Wahrscheinlichkeiten und die durch Simulation ermittelten relativen Häufigkeiten aufgelistet. p[i] ist die Wahrscheinlichkeit p(i, n, λ) für das
Auftreten von genau i Schnittpunkten zwischen Testelement Sn a und Gitter RD
und h[i] die experimentell ermittelte relative Häufigkeit des Auftretens von genau
i Schnittpunkten. ps und hs sind die zur Plausibilitätskontrolle ermittelten Summen der Wahrscheinlichkeiten bzw. relativen Häufigkeiten. Anschließend sind der
Erwartungswert E(Zn, λ ) und der mittels der relativen Häufigkeiten ermittelte Mittelwert M(Z) für die Anzahl Z der Schnittpunkte angegeben. Der nächste Block in
den Ausgabedateien enthält die bedingten Wahrscheinlichkeiten q(i, n) (bezeichnet
mit pb[i]) für das Auftreten von genau i Schnittpunkten unter der Voraussetzung, dass das Testelement das Gitter schneidet (Ereignis I), und die diesbezüglichen experimentell ermittelten relativen Häufigkeiten hb[i]. pbs und hbs sind die
zur Plausibilitätskontrolle ermittelten Summen der bedingten Wahrscheinlichkeiten
bzw. relativen Häufigkeiten. Abschließend sind jeweils noch der berechnete bedingte Erwartungswert Eb(Z) = E(Zn, λ | I) und der mittels der relativen Häufigkeiten
ermittelte Mittelwert Mb(Z) gegenübergestellt.
Simulationsergebnisse für Testelement S7, a mit a = 1 auf Gitter RD mit
D = 2, 106 Versuche:
n = 7 , a = 1.000000 , D = 2.000000 , imax = 1000000
Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten:
p[0]
p[1]
p[2]
p[3]
p[4]
ps =
= 0.033234, h[0] = 0.033205
= 0.191480, h[1] = 0.191666
= 0.345035, h[2] = 0.345738
= 0.374387, h[3] = 0.373551
= 0.055865, h[4] = 0.055840
1.000000, hs = 1.000000
Erwartungswert und Mittelwert:
E(Z) = 2.228169, M(Z) = 2.227155
2.4. SIMULATION
37
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten:
pb[1]
pb[2]
pb[3]
pb[4]
pbs =
= 0.198062, hb[1] = 0.198249
= 0.356896, hb[2] = 0.357613
= 0.387257, hb[3] = 0.386381
= 0.057785, hb[4] = 0.057758
1.000000, hbs = 1.000000
Bedingter Erwartungswert und zugehöriger Mittelwert:
Eb(Z) = 2.304765, Mb(Z) = 2.303648
Simulationsergebnisse für Testelement S8, a mit a = 1 auf Gitter RD mit
D = 2, 106 Versuche:
n = 8 , a = 1.000000 , D = 2.000000 , imax = 1000000
Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten:
p[0]
p[1]
p[2]
p[3]
p[4]
ps =
= 0.025505, h[0] = 0.025537
= 0.148358, h[1] = 0.148437
= 0.274130, h[2] = 0.274040
= 0.358168, h[3] = 0.358452
= 0.193839, h[4] = 0.193534
1.000000, hs = 1.000000
Erwartungswert und Mittelwert:
E(Z) = 2.546479, M(Z) = 2.546009
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten:
pb[1]
pb[2]
pb[3]
pb[4]
pbs =
= 0.152241, hb[1] = 0.152327
= 0.281305, hb[2] = 0.281222
= 0.367542, hb[3] = 0.367846
= 0.198912, hb[4] = 0.198606
1.000000, hbs = 1.000000
Bedingter Erwartungswert und zugehöriger Mittelwert:
Eb(Z) = 2.613126, Mb(Z) = 2.612730
Simulationsergebnisse für Testelement S9, a mit a = 1 auf Gitter RD mit
D = 5, 106 Versuche:
n = 9 , a = 1.000000 , d = 5.000000 , imax = 1000000
Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten:
p[0]
p[1]
p[2]
p[3]
p[4]
p[5]
ps =
= 0.608074, h[0] = 0.608140
= 0.047272, h[1] = 0.047460
= 0.088842, h[2] = 0.088915
= 0.119697, h[3] = 0.120107
= 0.118706, h[4] = 0.117942
= 0.017409, h[5] = 0.017436
1.000000, hs = 1.000000
38
KAPITEL 2. STERNFÖRMIGE TESTELEMENTE
Erwartungswert und Mittelwert:
E(Z) = 1.145916, M(Z) = 1.144559
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten:
pb[1]
pb[2]
pb[3]
pb[4]
pb[5]
pbs =
= 0.120615, hb[1] = 0.121115
= 0.226682, hb[2] = 0.226905
= 0.305407, hb[3] = 0.306505
= 0.302877, hb[4] = 0.300980
= 0.044419, hb[5] = 0.044495
1.000000, hbs = 1.000000
Bedingter Erwartungswert und zugehöriger Mittelwert:
Eb(Z) = 2.923804, Mb(Z) = 2.920837
Kapitel 3
Gitterförmige Testelemente
3.1
Geometrische Wahrscheinlichkeiten
Ein gitterförmiges Testelement Gm+1, a, d (siehe Bild 3.1) besteht aus endlich vielen
parallelen Strecken s1 , s2 , . . . , sm+1 mit jeweils gleicher Länge a. Der Abstand benachbarter Strecken sei d. Die konvexe Hülle von Gm+1, a, d ist ein Rechteck mit den
Seitenlängen a und md.
Das Testelement Gm+1, a, d wird zufällig auf ein Parallelengitter RD geworfen. Es
wird vorausgesetzt, dass das Testelement so bemessen
p ist, dass es nicht zwei Geraden
2
2
des Gitters RD gleichzeitig schneiden
p kann, also a + (md) < D. Zur Abkürzung
setzen wir nachfolgend stets ai = a2 + (id)2 . Si bezeichnet das Ereignis, dass die
Strecke si das Gitter RD schneidet.
Bild 3.1: Gitterförmiges Testelement Gm+1, a, d
Wir berechnen die Wahrscheinlichkeiten für keinen und mindestens einen Schnittpunkt zwischen Testelement Gm+1, a, d und Parallelengitter RD . Dazu werden folgen39
40
KAPITEL 3. GITTERFÖRMIGE TESTELEMENTE
de Ereignisse betrachtet:
O Es gibt keinen Schnittpunkt.
K Die konvexe Hülle des Testelements schneidet das Gitter.
Für das Nichtschneiden des Gitters gibt es die folgenden beiden Möglichkeiten:
a) Die konvexe Hülle des Testelements schneidet das Gitter nicht.
b) Die konvexe Hülle des Testelements schneidet das Gitter, das Testelement
liegt aber so, dass die Gerade des festen Gitters zwischen zwei benachbarten
Strecken des Testelements liegt.
Folglich gilt
P (O) = P (O | K)P (K) + P (O | K )P ( K ) .
Weiterhin gilt mit (1.6):
P (K) =
2(a + md)
,
πD
und
P (O | K) =
P(K ) = 1 −
P (O ∩ K)
,
P (K)
2(a + md)
,
πD
P (O | K) = 1 .
Die Wahrscheinlichkeit P (O | K), dass die konvexe Hülle des Testelements das Gitter
schneidet, das Testelement selbst aber nicht, ist gleich der m-fachen Wahrscheinlichkeit dafür, dass nur ein Zwischenraum zwischen zwei Strecken des Testelements das
Gitter schneidet, d.h. P (O ∩ K) = mP (G1 ∩ H1 ). Mit (1.7) folgt
P (O | K) =
mP (G1 ∩ H1 )
(2d + 2a1 ) − (2d + 2a)
a1 − a
=m
=m
,
P (K)
2a + 2md
a + md
also
P (O) = P (O | K)P (K) + P (O | K )P ( K )
2(a + md)
a1 − a 2(a + md)
= m
+ 1−
a + md
πD
πD
= m
2(a1 − a)
2(a + md)
+1−
πD
πD
= 1−2
md + (m + 1)a − ma1
.
πD
Wir schreiben zur Abkürzung p0 = P (O). Aus p0 erhält man sofort die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Schnittpunkt
md + (m + 1)a − ma1
md + (m + 1)a − ma1
p = 1 − p0 = 1 − 1 − 2
=2
.
πD
πD
3.1. GEOMETRISCHE WAHRSCHEINLICHKEITEN
41
Wir berechnen nun die Wahrscheinlichkeit pm+1 dafür, dass jede der m + 1
Strecken des Testelements das Gitter schneidet. Das ist offensichtlich genau dann
der Fall, wenn die erste und (m+ 1)-te Strecke das Gitter schneiden. Mit (1.7) erhält
man
pm+1 =
`(s1 , sm+1 ) − u(s1 , sm+1 )
P (S1 ∩ Sm+1 )
=
πD
πD
=
2(am − md)
(2a + 2am ) − (2a + 2md)
=
.
πD
πD
Wir berechnen nun für 1 ≤ i ≤ m die Wahrscheinlichkeiten pi für genau i Schnittpunkte. Mit I(Indexliste) wird wieder das Ereignis bezeichnet, dass alle Strecken,
deren Index in der Indexliste enthalten ist, das Gitter schneiden, alle anderen aber
nicht. Es gilt
p1 = P (I(1)) + P (I(2)) + · · · + P (I(m + 1))
= 2P (I(1)) + (m − 1)P (I(2)) ,
p2 = P (I(1, 2)) + P (I(2, 3)) + · · · + P (I(m, m + 1))
= 2P (I(1, 2)) + (m − 2)P (I(2, 3)) ,
p3 = P (I(1, 2, 3)) + P (I(2, 3, 4)) + · · · + P (I(m − 1, m, m + 1))
= 2P (I(1, 2, 3)) + (m − 3)P (I(2, 3, 4))
usw., allgemein also
pi = 2P (I(1, . . . , i)) + (m − i)P (I(2, . . . , i + 1)) .
Bild 3.2: Zur Berechnung von P (S1 ∩ Hi ) am Beispiel von P (S1 ∩ H3 )
Wir berechnen P (I(1, . . . , i)) und P (I(2, . . . , i + 1)) für i ∈ {1, 2, . . . , m} : Die i
Strecken s1 , . . . , si schneiden genau dann das Gitter, wenn s1 und hi oder s1 und gi
42
KAPITEL 3. GITTERFÖRMIGE TESTELEMENTE
das Gitter schneiden. (In Bild 3.2 schneiden die Strecken s1 , s2 und s3 genau dann
das Gitter, wenn s1 und h3 oder s1 und g3 das Gitter schneiden. K ist die konvexe
Hülle von s1 und h3 und F der gekreuzte Faden um s1 und h3 .) Gi bezeichnet
nachfolgend das Ereignis, dass die Strecke gi das Gitter RD schneidet, und Hi das
Ereignis, dass die Strecke hi das Gitter RD schneidet. Die Ereignisse S1 ∩ Hi und
S1 ∩ Gi sind unvereinbar, außerdem gilt P (S1 ∩ Hi ) = P (S1 ∩ Gi ). Also
P (I(1, . . . , i)) = P (S1 ∩ Hi ) + P (S1 ∩ Gi ) = 2P (S1 ∩ Hi )
`(s1 , hi ) − u(s1 , hi )
πD
(a + id + d + ai−1 ) − (a + id + ai )
= 2
πD
d + ai−1 − ai
= 2
.
πD
= 2
Die i Strecken s2 , . . . , si+1 schneiden genau dann das Gitter, wenn g1 und hi+1 oder
h1 und gi+1 das Gitter schneiden. Die Ereignisse G1 ∩ Hi+1 und H1 ∩ Gi+1 sind
unvereinbar, außerdem gilt P (G1 ∩ Hi+1 ) = P (H1 ∩ Gi+1 ), also
P (I(2, . . . , i + 1)) = P (G1 ∩ Hi+1 ) + P (Gi+1 ∩ H1 ) = 2P (G1 ∩ Hi+1 )
`(g1 , hi+1 ) − u(g1, hi+1 )
πD
(2d + ai+1 + ai−1 ) − (2d + 2ai )
= 2
πD
ai+1 + ai−1 − 2ai
.
= 2
πD
= 2
Es folgt
pi = 2P (I(1, . . . , i)) + (m − i)P (I(2, . . . , i + 1))
2(d + ai−1 − ai ) + (m − i)[ai+1 + ai−1 − 2ai ]
πD
2d + (m − (i − 2))ai−1 − 2(m − (i − 1))ai + (m − i)ai+1
= 2
.
πD
= 2
Die bisherigen Ergebnisse dieses Abschnitts werden in folgendem Satz zusammengefasst.
Satz 3.1. Für
p
a2 + (md)2 < D sind die Wahrscheinlichkeiten pi für genau i
3.1. GEOMETRISCHE WAHRSCHEINLICHKEITEN
43
Schnittpunkte zwischen Testelement Gm+1, a, d und Gitter RD gegeben durch
p0 = 1 − 2
pi = 2
md + (m + 1)a − ma1
f ür i = 0 ,
πD
2d + (m − (i − 2))ai−1 − 2(m − (i − 1))ai + (m − i)ai+1
,
πD
wenn gleichzeitig 1 ≤ i und i ≤ m erfüllt sind,
pm+1 =
wobei ai =
2(am − md)
f ür i = m + 1 ,
πD
p
a2 + (id)2 gilt.
Wir berechnen den Erwartungswert E(Z) für die Anzahl Z der Schnittpunkte
zwischen Testelement Gm+1, a, d und Gitter RD . Zi , i ∈ {1, . . . , m + 1}, sei die Anzahl
der Schnittpunkte zwischen Strecke si und RD und E(Zi ) der zugehörige Erwartungswert. Es gilt Zi = 1, wenn die Strecke si das Gitter RD schneidet, andernfalls
ist Zi = 0. Wegen a < D ist die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Schnittpunkt zwischen der Strecke si und dem Gitter RD gleich der Wahrscheinlichkeit für
genau einen Schnittpunkt zwischen si und RD . Hieraus folgt E(Zi ) = 2a/(πD) und
aufgrund der Additivität des Erwartungswertes
! m+1
m+1
X
X
2a
.
E(Z) = E
Zi =
E(Zi ) = (m + 1) E(Zi ) = (m + 1)
πD
i=1
i=1
Wir berechnen nun noch den bedingten Erwartungswert für die Anzahl der Schnittpunkte unter der Voraussetzung, dass die konvexe Hülle des Testelements Gm+1, a, d
das Gitter RD schneidet (Ereignis K). Xi bezeichnet das Ereignis des Auftretens
von genau i Schnittpunkten. P (Xi | K) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für das
Auftreten von genau i Schnittpunkten, wenn die konvexe Hülle von Gm+1, a, d das
Gitter RD schneidet. Zunächst gilt
P (Xi | K) =
P (Xi ∩ K)
.
P (K)
Wegen Xi ⊂ K ist P (Xi ∩ K) = P (Xi). Es gilt P (Xi ) = pi . Für den bedingten
Erwartungswert E(Z | K) erhält man somit
E(Z | K) =
m+1
X
i=1
i P (Xi | K) =
Hieraus folgt mit P (K) =
m+1
X
i=1
m+1
pi
1 X
E(Z)
i
=
i pi =
.
P (K)
P (K) i=1
P (K)
2(a+md)
πD
E(Z | K) =
2a(m+1)
πD
2(a+md)
πD
=
a(1 + m)
.
a + md
(3.1)
44
KAPITEL 3. GITTERFÖRMIGE TESTELEMENTE
Die bedingten Wahrscheinlichkeiten für die Anzahlen der Schnittpunkte, unter der
Voraussetzung, dass die konvexe Hülle des Testelements Gm+1, a, d das Gitter RD
schneidet, sind durch die folgenden Ausdrücke gegeben:
P (X0 | K) = P (O | K) = m
a1 − a
,
a + md
2d + (m − (i − 2))ai−1 − 2(m − (i − 1))ai + (m − i)ai+1
a + md
P (Xi | K) =
f ür 1 ≤ i ≤ m ,
am − md
.
a + md
p
Mit wi = ai /a = 1 + (id/a)2 kann man diese bedingten Wahrscheinlichkeiten
auch folgendermaßen schreiben:
P (Xm+1 | K) =
P (X0 | K) = m
P (Xi | K) =
=
aw1 − a
w1 − 1
= 1
,
a + md
+ ad
m
(3.2)
2d + a[(m − (i − 2))wi−1 − 2(m − (i − 1))wi + (m − i)wi+1 ]
a + md
d
2 ma
+ (1 −
i−2
)wi−1
m
− 2(1 −
1
+ ad
m
i−1
)wi
m
+ (1 −
i
)wi+1
m
f ür 1 ≤ i ≤ m ,
P (Xm+1 | K) =
(3.3)
wm − m ad
awm − md
=
=
a + md
1 + m ad
1
w − ad
m m
1
+ ad
m
.
(3.4)
Die Formeln (3.1), . . . , (3.4) werden auf anderem Wege auch in [8, S. 95, 96] hergeleitet. Das hier verwendete Testelement Gm+1, a, d fungiert dort im Croftonschen
Sinne als festes (endliches) Gitter, auf dem eine Gerade zufällig positioniert wird.
Spezialfälle:
1) Für eine Strecke (m = 0) erhält man
p0 = 1 −
2a
2a
, p1 =
,
πD
πD
also das Buffonsche Resultat.
2) Für zwei parallele Strecken (m = 1) gilt mit a1 =
p0 = 1 − 2
d + 2a − a1
,
πD
p1 = 4
√
a2 + d2 :
d + a − a1
,
πD
p2 = 2
a1 − d
.
πD
3.2. SIMULATION
3.2
45
Simulation
Für die Simulation der Zufallsexperimente mit den Testelementen Gm+1, a, d wurde
das Programm gitter01.pas (siehe Anhang A.2) entwickelt. Es ist ähnlich wie
das im letzten Kapitel beschriebene Programm aufgebaut. Aufgrund der anders
gearteten Testelemente ist hier das Schneiden des Gitters RD durch mindestens eine
Strecke des Testelements Gm+1, a, d nicht gleichbedeutend damit, dass die konvexe
Hülle des Testelements das Gitter schneidet. Es wird deswegen gesondert überprüft,
ob die konvexe Hülle des Testelements das Gitter RD schneidet.
Folgende Parameter sind einzugeben:
anz Anzahl der Strecken (Nadeln) des Testelements Gm+1, a, d ,
wobei anz = m + 1;
d1
Abstand benachbarter Strecken des Testelements (d1 = d);
a
Länge der Strecken des Testelements;
D
Abstand benachbarter Geraden des Gitters RD ;
imax Anzahl der Würfe des Testelements.
Es folgen nun exemplarisch zwei Ausgabedateien, die mittels dieses Programms
erzeugt wurden. In der ersten Zeile jeder Ausgabedatei sind die Eingabewerte aufgelistet. Es folgen die berechneten Wahrscheinlichkeiten p[i] für das Auftreten von
genau i Schnittpunkten und die durch Simulation ermittelten relativen Häufigkeiten h[i]. ps und hs sind die zur Plausibilitätskontrolle ermittelten Summen der
Wahrscheinlichkeiten bzw. relativen Häufigkeiten. Es folgen der berechnete Erwartungswert E(Z) und der aus den relativen Häufigkeiten berechnete Mittelwert M(Z)
für die Anzahl Z der Schnittpunkte pro Versuch. Der nächste Block in den Ausgabedateien enthält die bedingten Wahrscheinlichkeiten pb[i] = P (Xi | K) für das
Auftreten von genau i Schnittpunkten unter der Voraussetzung, dass die konvexe Hülle des Testelements das Gitter schneidet (Ereignis K), und die diesbezüglichen experimentell ermittelten relativen Häufigkeiten hb[i]. pbs und hbs sind die
zur Plausibilitätskontrolle ermittelten Summen der bedingten Wahrscheinlichkeiten
bzw. relativen Häufigkeiten. Abschließend sind jeweils noch der berechnete bedingte
Erwartungswert Eb(Z) = E(Z | K) und der mittels der relativen Häufigkeiten ermittelte Mittelwert Mb(Z) gegenübergestellt.
Simulationsergebnisse für Testelement G5, a, d mit a = 2 und d = d1 = 1 auf
Gitter RD mit D = 5, 106 Versuche:
anz = 5 , a = 2.000000 , d1 = 1.000000 , D = 5.000000 , imax = 1000000
Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten:
p[0]
p[1]
p[2]
p[3]
p[4]
p[5]
ps =
= 0.356285, h[0] = 0.356323
= 0.330627, h[1] = 0.330991
= 0.150855, h[2] = 0.150962
= 0.068145, h[3] = 0.068110
= 0.033974, h[4] = 0.033646
= 0.060114, h[5] = 0.059968
1.000000, hs = 1.000000
46
KAPITEL 3. GITTERFÖRMIGE TESTELEMENTE
Erwartungswert und Mittelwert:
E(Z) = 1.273240, M(Z) = 1.271669
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten:
pb[0]
pb[1]
pb[2]
pb[3]
pb[4]
pb[5]
pbs =
= 0.157379, hb[0] = 0.157250
= 0.432790, hb[1] = 0.433358
= 0.197469, hb[2] = 0.197651
= 0.089202, hb[3] = 0.089175
= 0.044472, hb[4] = 0.044052
= 0.078689, hb[5] = 0.078515
1.000000, hbs = 1.000000
Bedingter Erwartungswert und zugehöriger Mittelwert:
Eb(Z) = 1.666667, Mb(Z) = 1.664963
Simulationsergebnisse für Testelement G10, a, d mit a = 2 und d = d1 = 0, 5
auf Gitter RD mit D = 5, 106 Versuche:
anz = 10 , a = 2.000000 , d1 = 0.500000 , D = 5.000000 , imax = 1000000
Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten:
p[ 0] = 0.242929,
p[ 1] = 0.226712,
p[ 2] = 0.162578,
p[ 3] = 0.109385,
p[ 4] = 0.072153,
p[ 5] = 0.048020,
p[ 6] = 0.032695,
p[ 7] = 0.022881,
p[ 8] = 0.016459,
p[ 9] = 0.012149,
p[10] = 0.054040,
ps = 1.000000, hs
h[ 0] = 0.243035
h[ 1] = 0.226748
h[ 2] = 0.162189
h[ 3] = 0.109332
h[ 4] = 0.071721
h[ 5] = 0.048080
h[ 6] = 0.032629
h[ 7] = 0.022987
h[ 8] = 0.016480
h[ 9] = 0.012472
h[10] = 0.054327
= 1.000000
Erwartungswert und Mittelwert:
E(Z) = 2.546479, M(Z) = 2.550447
Bedingte Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten:
pb[
pb[
pb[
pb[
pb[
pb[
pb[
pb[
pb[
pb[
0]
1]
2]
3]
4]
5]
6]
7]
8]
9]
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0.085227,
0.273937,
0.196444,
0.132170,
0.087182,
0.058023,
0.039506,
0.027647,
0.019888,
0.014679,
hb[
hb[
hb[
hb[
hb[
hb[
hb[
hb[
hb[
hb[
0]
1]
2]
3]
4]
5]
6]
7]
8]
9]
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
0.085341
0.273985
0.195977
0.132108
0.086662
0.058096
0.039426
0.027776
0.019913
0.015070
3.3. VERTEILUNGSFUNKTIONEN
47
pb[10] = 0.065297, hb[10] = 0.065645
pbs = 1.000000, hbs = 1.000000
Bedingter Erwartungswert und zugehöriger Mittelwert:
Eb(Z) = 3.076923, Mb(Z) = 3.081765
3.3
Verteilungsfunktionen
Die Wahrscheinlichkeiten pi für Gm+1, a, d und RD werden in diesem Abschnitt mit
p(i, n, α, β) bezeichnet, wobei n := m + 1, α := a/D und β := md/D. Zn, α, β ist die
Zufallsvariable Anzahl der Schnittpunkte zwischen Gm+1, a, d und RD“ und FZn, α, β
”
die zugehörige Verteilungsfunktion
FZn, α, β (x) = P (Zn, α, β ≤ x)

0
für − ∞ < x < 0 ,


 P
i
=
j=0 p(i, n, α, β) für i ≤ x < i + 1, 0 ≤ i ≤ n − 1 ,



1
für n ≤ x < ∞ .
Für FZn, α, β erhalten wir

0 für − ∞ < x < 0 ,






q


2

2i
2
 1−
1
−
β
+
(m
+
1
−
i)
α2 + mi β 2
π
m
FZn, α, β (x) =
q

2

i+1

− (m − i) α2 + m β 2 für i ≤ x < i + 1, 0 ≤ i ≤ n − 1 ,







1 für n ≤ x < ∞ .
Wir definieren die neuen Zufallsvariablen Xn, α, β durch Xn, α, β := Zn, α, β /n. Für
die Verteilungsfunktionen FXn, α, β der Zufallsvariablen Xn, α, β ,
FXn, α, β (x) = P (Xn, α, β ≤ x) ,
erhalten wir

0 für − ∞ < x < 0 ,






q


2

2
2i
 1−
1
−
β
+
(m
+
1
−
i)
α2 + mi β 2
π
m
FXn, α, β (x) =
q

2

i+1
2
2

für ni ≤ x < i+1
, 0 ≤ i ≤ n −1,

n
 − (m − i) α + m β





1 für 1 ≤ x < ∞ .
Nun soll das Konvergenzverhalten der Verteilungsfunktionen FXn, α, β für n → ∞
untersucht werden. Es gilt der folgende Satz:
48
KAPITEL 3. GITTERFÖRMIGE TESTELEMENTE
Satz 3.2. Die Verteilungsfunktionen FXn, α, β konvergieren für n → ∞ gleichmäßig
gegen die Verteilungsfunktion FXα, β mit

0 für − ∞ < x < 0 ,



"
#


2
p
2
β
x(1
−
x)
FXα, β (x) =
1−
(1 − 2x)β + α2 + β 2 x2 − p
für 0 ≤ x < 1 ,
2 + β 2 x2

π
α




1 für 1 ≤ x < ∞ .
,0≤i≤
Beweis. Wir schreiben die Verteilungsfunktionen FXn, α, β für ni ≤ x < i+1
n
n − 1 in der Form

s
2
2
2i
i
FXn, α, β (x) = 1 −
1−
β + α2 +
β2
π
m
m
s

s
2
2
i+1
i
− (m − i)  α2 +
β 2 − α2 +
β 2  .
m
m
Außerdem definieren wir die stetigen Funktionen Gn, α, β durch
p
2h
Gn, α, β (x) = 1 −
(1 − 2x)β + α2 + x2 β 2
π
p
i
p
2
2
2
2
2
2
− m(1 − x)
α + (x + 1/m) β − α + x β
.
Für festes x erhält man durch Taylorentwicklung mit Restglied nach Lagrange
2
2
p
p
1
1
xβ
1
α2 β 2
2
2
2
2
2
2
p
α + (x + 1/m) β − α + x β =
+
,
m α2 + x2 β 2 2 m
(α2 + ξ 2 β 2 )3/2
x < ξ < x + 1/m ,
und folglich
Gn, α, β (x) = 1 −
Offensichtlich gilt
p
2h
(1 − 2x)β + α2 + x2 β 2
π
#
x(1 − x)β 2
1−x
α2 β 2
−p
−
.
2m (α2 + ξ 2 β 2 )3/2
α2 + x2 β 2
1−x
α2 β 2
1
α2 β 2
β2
max
=
≤
.
x∈[0, 1) 2m (α2 + ξ 2 β 2 )3/2
2m (α2 + ξ 2 β 2 )3/2
2mα
Es folgt
"
#
2
p
2
x(1
−
x)β
lim Gn, α, β (x) = 1 −
(1 − 2x)β + α2 + x2 β 2 − p
.
n→∞
π
α2 + x2 β 2
(3.5)
49
3.3. VERTEILUNGSFUNKTIONEN
Wir definieren die Funktion Gα, β durch

0 für − ∞ < x < 0 ,


limn→∞ Gn, α, β (x) für 0 ≤ x < 1 ,
Gα, β (x) =


1 für 1 ≤ x < ∞ .
Gα, β hat alle Eigenschaften einer Verteilungsfunktion, weshalb sie als Verteilungsfunktion FXα, β := Gα, β einer Zufallsvariablen Xα, β betrachtet werden soll.
Der Graph von Gn, α, β schneidet den Graphen von FXn, α, β in den Punkten
x = 0,
1 2
m−1
, , ... ,
.
m m
m
Außerdem gilt limx→1 FXn, α, β (x) = Gn, α, β (1). Aus
0<
1
2
2
m−1
m−1
m
m
1
<
< <
< ... <
<
<
<
=1
n
m
n
m
n
m
n
m
folgt, dass im Intervall [0, 1) zwischen jeweils zwei Schnittpunkten der Graphen
von FXn, α, β und Gn, α, β jeweils eine Sprungstelle von FXn, α, β liegt. (Der Punkt
x = m/m = 1 wird hierbei wegen limx→1 FXn, α, β (x) = Gn, α, β (1) ebenfalls als
Schnittpunkt gerechnet.) Folglich ist
max |FXn, α, β (x) − Gn, α, β (x)| ≤
x ∈ [0,1)
max
i∈{1, ... , n−1}
p(i, n, α, β) .
Es lässt sich zeigen, dass die Ungleichung
2β
max p(i, n, α, β) ≤
i∈{1, ... , n−1}
mπ
β
β
2+ +
α mα
gilt, die insbesondere für m > α/β gute Abschätzungen liefert. Außerdem gilt wegen
(3.5):
β2
max [Gn, α, β (x) − FXα, β (x)] ≤
.
x ∈ [0,1)
mπα
Somit ist
β
max |FXn, α, β (x) − FXα, β (x)| ≤
x ∈ [0,1)
mπ
3β
2β
4+
+
.
α
mα
Folglich konvergiert FXn, α, β im Intervall [0, 1) (und damit auf ganz R) gleichmäßig
gegen FXα, β .
Die Grenzverteilung FXα, β weist an den Stellen x = 0 und x = 1 Sprünge auf und
ist ansonsten stetig. Die Sprünge resultieren daraus, dass die Wahrscheinlichkeiten
p(0, n, α, β) und p(n, n, α, β) mit zunehmendem n nicht gegen Null konvergieren.
50
KAPITEL 3. GITTERFÖRMIGE TESTELEMENTE
Die Wahrscheinlichkeit p(0, n, α, β) konvergiert für n → ∞ gegen die Wahrscheinlichkeit, dass ein Rechteck mit Seitenlängen a und b das Gitter RD nicht schneidet.
Diese ist gleich
1−
2(α + β)
2a + 2b
= 1−
.
πD
π
Das folgt daraus, dass es mit zunehmendem n immer unwahrscheinlicher wird, dass
die konvexe Hülle des Testelements das Gitter schneidet, aber kein Schnittpunkt
auftritt. Offensichtlich ist
FXα, β (0) = 1 −
2(α + β)
.
π
p(n, n, α, β) ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle Strecken des Testelements das
Gitter schneiden. Diese ist für gegebene α und β von der Anzahl n der Strecken gänzlich unabhängig, da alle Strecken des Testelements genau dann das Gitter schneiden,
wenn die erste (s1 ) und die letzte Strecke (sn = sm+1 ) das Gitter schneiden. Es gilt
`(s1 , sm+1 ) − u(s1 , sm+1 )
P (S1 ∩ Sm+1 )
=
πD
πD
√
√
2a + 2 a2 + b2 − 2a − 2b
2( a2 + b2 − b)
=
=
πD
πD
p
2
=
α2 + β 2 − β .
π
p(n, n, α, β) =
Das selbe Ergebnis erhält man auch folgendermaßen:
i
p
2h
p(n, n, α, β) = FXα, β (1) − lim FXα, β (1 − ε) = 1 − 1 −
−β + α2 + β 2
ε→0
π
2 p 2
2
=
α +β −β .
π
Anmerkung: Die Zufallsvariable Xα, β ist durch ihre Verteilungsfunktion FXα, β
nicht eindeutig festgelegt (siehe [20, S. 114]).
Beispiele. Diagramm 3.3 zeigt die Verteilungsfunktion FX5, 2/5, 4/5 für das Testelement G5, 2, 1 und das Gitter R5 . (Die diesbezüglichen Einzelwahrscheinlichkeiten und
Simulationsergebnisse sind im vorhergehenden Abschnitt zu finden.) Im vorliegenden Fall ist n = 5, α = a/D = 2/5 und β = b/D = md/4 = 4 · 1/5 = 4/5. Zum
Vergleich ist in Diagramm 3.3 die Grenzverteilung FX2/5, 4/5 mit dargestellt.
Diagramm 3.4 zeigt die Verteilungsfunktion FX40, 2/5, 4/5 und die Grenzverteilung
FX2/5, 4/5 .
51
3.3. VERTEILUNGSFUNKTIONEN
F
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Bild 3.3: Verteilungsfunktionen FX5, 2/5, 4/5 und FX2/5, 4/5
F
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Bild 3.4: Verteilungsfunktionen FX40, 2/5, 4/5 und FX2/5, 4/5
52
KAPITEL 3. GITTERFÖRMIGE TESTELEMENTE
Kapitel 4
Gelenkige Testelemente und ihre
konvexen Hüllen
4.1
Testelemente
Nachfolgend werden geometrische Wahrscheinlichkeiten für gelenkige Testelemente
und Buffonsche Parallelengitter RD berechnet. Ein Testelement im Sinn der nachfolgenden Untersuchungen ist die Verbindung von n (n ≥ 2) geometrischen Figuren (Teilelementen) A01 , A02 , . . . , A0n mittels n − 1 Drehgelenken G1 , G2 , . . . , Gn−1 .
G0 6= G1 sei ein fester Punkt des Teilelements A01 und Gn 6= Gn−1 ein fester Punkt
des Teilelements A0n . Wir setzen voraus, dass das gesamte Testelement wegzusammenhängend ist. Demzufolge schneidet das Testelement das Parallelengitter RD genau dann, wenn seine konvexe Hülle das Parallelengitter RD schneidet. Die größte
Gesamtlänge des Testelements im gestreckten Zustand sei ≤ D, so dass das Testelement nicht mehr als eine Gerade von RD gleichzeitig schneiden kann.
Bild 4.1: Testelement mit drei Teilelementen
Bild 4.1 a zeigt exemplarisch ein Testelement, das aus drei Teilelemtenten A01 , A02
und A03 besteht. A01 und A02 sind im Punkt G1 gelenkig miteinander verbunden, A02
und A03 im Punkt G2 .
53
54
KAPITEL 4. GELENKIGE TESTELEMENTE UND KONVEXE HÜLLEN
Nach dem Wurf des Testelements auf das Gitter RD seien φi , i ∈ {1, . . . , n}, die
Winkel zwischen den Gittergeraden und den Strecken Gi−1 Gi und y0 der Abstand
eines beliebigen Punktes des Testelements (z.B. des Punktes G0 ) von der nächstgelegenen unteren Geraden von RD . φi , i ∈ {1, . . . , n}, seien gleichverteilte Zufallsvariablen im Intervall [0, 2π] und y0 eine gleichverteilte Zufallsvariable im Intervall
[0, D]. Alle Zufallsvariablen seien voneinander stochastisch unabhängig.
4.2
Schnittwahrscheinlichkeit p
Nachfolgend soll die Wahrscheinlichkeit p dafür bestimmt werden, dass das gelenkige
Testelement nach dem Wurf das Gitter RD schneidet.
Es ist naheliegend, p unter Benutzung der Projektionsfunktion pr (siehe Bild
4.1 a zu berechnen. Die Berechnung geometrischer Wahrscheinlichkeiten für gelenkige Testelemente mittels der Projektionsfunktion führt bereits in einfachen Fällen
zu einer großen Anzahl von Fallunterscheidungen und ist deswegen nicht praktikabel.
Deshalb wollen wollen wir hier einen anderen Weg beschreiten.
Durch die Angabe von y0 und φ1 , . . . , φn ist die Lage des Testelements bezüglich
RD eindeutig bestimmt (abgesehen von nicht relevanten Translationen parallel zu
den Gittergeraden und ebenfalls nicht relevanten Translationen um ganzzahlige Vielfache von D senkrecht zu den Gittergeraden). Die Lage des Testelements ist aber
auch eindeutig durch die Koordinate y0 und die Winkel φ1 , ψ1 , . . . , ψn−1 bestimmt,
wobei jeder Winkel ψi die Lage zweier Teilelemente relativ zueinander beschreibt,
weshalb die Winkel ψ1 , . . . , ψn−1 nachfolgend als Relativwinkel bezeichnet werden
sollen. Als Beispiel hierfür zeigt Bild 4.1 b die Relativwinkel ψ1 und ψ2 . Durch
ψ1 = ]( G1 G0 , G1 G2 ) ist die Lage der Teilelemente A01 und A02 relativ zueinander
festgelegt und durch ψ2 = ]( G2 G1 , G2 G3 ) die Lage der Teilelemente A02 und A03
relativ zueinander. Statt der Zufallsvariablen φ2 , . . . , φn können wir, ohne dass das
einen Einfluss auf den Wert von p hat, offenbar auch die Winkel ψ1 , . . . , ψn−1 als
in [0, 2π] gleichmäßig verteilte Zufallsvariablen einführen und y0 , φ1 , ψ1 , . . . , ψn−1 als
voneinander stochastisch unabhängig voraussetzen.
Wir bezeichnen mit S das Ereignis, dass die konvexe Hülle des Testelements (Bild
4.2) und damit das Testelement selber das Gitter RD schneiden, mit P (S) = p die
diesbezügliche Wahrscheinlichkeit und mit P (S | ψ1 , . . . , ψn−1 ) die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von S unter der Voraussetzung, dass die Relativwinkel die festen Werte ψ1 , . . . , ψn−1 annehmen. Es gilt
p = P (S) =
Z2π
ψn−1 =0
...
Z2π
P (S | ψ1 , . . . , ψn−1 ) f (ψ1 , . . . , ψn−1 ) dψ1 . . . dψn−1 ,
ψ1 =0
wobei f (ψ1 , . . . , ψn−1 ) die Dichtefunktion der Zufallsgrößen ψ1 , . . . , ψn−1 ist.
Wir bezeichnen mit u(ψ1 , . . . , ψn−1 ) den Umfang der konvexen Hülle des Testelements für feste Relativwinkel ψ1 , . . . , ψn−1 . Anwendung des Theorems von Barbier
4.2. SCHNITTWAHRSCHEINLICHKEIT P
55
Bild 4.2: Konvexe Hülle des Testelements
(Formel 1.6) liefert
P (S | ψ1 , . . . , ψn−1 ) =
u(ψ1 , . . . , ψn−1 )
.
πD
Es folgt
1
P (S) =
πD
Z2π
ψn−1 =0
...
Z2π
u(ψ1 , . . . , ψn−1 ) f (ψ1 , . . . , ψn−1 ) dψ1 . . . dψn−1 =
E(u)
,
πD
ψ1 =0
wobei E(u) der Erwartungswert für den Umfang der konvexen Hülle ist. Da die
Zufallsgrößen ψ1 , . . . , ψn−1 voneinander unabhängig sind, ist die Dichtefunktion f
als Produkt
f (ψ1 , . . . , ψn−1 ) = f1 (ψ1 ) · · · fn−1 (ψn−1 )
darstellbar, wobei fi die Randdichtefunktion von ψi ist. Aufgrund der Gleichverteilung von ψi im Intervall [0, 2π] erhält man
also

 1 für 0 ≤ ψi ≤ 2π ,
2π
fi (ψi ) =

0 sonst ,
f (ψ1 , . . . , ψn−1 ) = f1 (ψ1 ) · · · fn−1 (ψn−1 ) =
1
.
(2π)n−1
Folglich ist
1
E(u) =
(2π)n−1
Z2π
ψn−1 =0
...
Z2π
u(ψ1 , . . . , ψn−1 ) dψ1 . . . dψn−1 .
ψ1 =0
Wir fassen die bisherigen Erkenntnisse in dem folgenden Satz zusammen:
56
KAPITEL 4. GELENKIGE TESTELEMENTE UND KONVEXE HÜLLEN
Satz 4.1. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein aus n Teilelementen bestehendes Testelement das Parallelengitter schneidet, ist gegeben durch
p = P (S) =
mit
1
E(u) =
(2π)n−1
Z2π
ψn−1 =0
...
Z2π
E(u)
πD
u(ψ1 , . . . , ψn−1 ) dψ1 . . . dψn−1 .
ψ1 =0
wobei u der von ψ1 , . . . , ψn−1 abhängige Umfang der konvexen Hülle des Testelements
ist.
Die eben entwickelte Methode soll nun auf einige Beispiele angewendet werden.
Der Einfachheit halber setzen wir nachfolgend stets u := E(u).
4.3
Testelemente mit zwei Teilelementen
Wir betrachten nun allgemeine Testelemente, die aus zwei Teilelementen bestehen,
die mittels eines Gelenkes miteinander verbunden sind. Die Teilelemente werden
mit A0 und B 0 bezeichnet und mit A bzw. B die Ereignisse, dass das jeweilige
Teilelement das Parallelengitter RD schneidet. uA0 und uB0 sind die Umfänge der
konvexen Hüllen von A0 bzw. B 0 . uA0B0 (ψ) ist der von ψ abhängige Umfang der
konvexen Hülle des gesamten Testelements.
Korollar 4.2. Wenn die maximale Gesamtlänge des aus A0 und B 0 bestehenden
Testelements ≤ D ist, dann sind die Wahrscheinlichkeiten p0 , p1 , p2 , dass das Gitter
von keinem, einem oder beiden Teilelementen des zufällig platzierten Testelements
geschnitten wird, gegeben durch
p0 = 1 −
u A0 B 0
,
πD
p1 =
2 uA0 B0 − uA0 − uB0
,
πD
mit
u A0 B 0
1
=
2π
Z2π
p2 =
uA0 + uB0 − uA0 B0
πD
uA0 B0 (ψ) dψ .
0
Beweis. Es gilt
p0 = P ( A ∪ B ) = 1 − P (A ∪ B) ,
p2 = P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) ,
p1 = 1 − (p0 + p2 ) = 2 P (A ∪ B) − P (A) − P (B) .
Nach dem Theorem von Barbier (Formel (1.6)) ist P (A) = uA0 /(πD), P (B) =
uB0 /(πD) und nach Satz 4.1 P (A ∪ B) = uA0 B0 /(πD). Einsetzen dieser Ausdrücke
liefert das Ergebnis.
57
4.3. TESTELEMENTE MIT ZWEI TEILELEMENTEN
Bild 4.3: Zweigliedriges Testelement
Als konkretes Beispiel soll das Testelement entsprechend Bild 4.3 betrachtet werden, das aus zwei gelenkig miteinander verbundenen Strecken A0 und B 0 mit den
Längen a bzw. b besteht, wobei a + b ≤ D. Es gilt uA0 = 2a, uB0 = 2b und
u A0 B 0
1
=
2π
Z2π
(a + b + c(ψ)) dψ = a + b + c
0
mit
c(ψ) =
p
a2 + b2 − 2ab cos ψ
Z2π
c(ψ) dψ .
0
Unter Beachtung von cos ψ =
1
c =
2π
1
und c =
2π
2 cos2 ψ2
− 1 wird nun das Integral für c umgeformt:
Z2π p
a2 + b2 − 2ab cos ψ dψ =
0
Z2π q
1
=
(a + b)2 − 4ab cos2
2π
ψ
2
1
2π
Z2π q
0
a+b
dψ =
2π
0
a2 + b2 − 2ab(2 cos2
Z2π s
1−
ψ
2
4ab
cos2
(a + b)2
− 1) dψ
ψ
2
dψ .
0
√
4ab
Zur Abkürzung wird µ2 = (a+b)
ab ≤ a+b
zwischen
2 gesetzt. Aus der Ungleichung
2
4ab
2
dem geometrischen und dem arithmetischen Mittelwert folgt µ = (a+b)2 ≤ 1, also
0 ≤ µ ≤ 1, wobei µ = 1 nur für a = b ist. Die Substitution χ = ψ2 in
a+b
c=
2π
Z2π q
1−
µ2 cos2 ψ2
dψ
a+b
liefert c =
π
0
Zπ p
1 − µ2 cos2 χ dχ .
0
Weiterhin erhält man
2(a + b)
c=
π
Zπ/2p
Zπ/2q
2(a
+
b)
1 − µ2 cos2 χ dχ =
1 − µ2 sin2 χ dχ .
π
0
0
Es gilt also
c=
2(a + b)E(µ)
,
π
58
KAPITEL 4. GELENKIGE TESTELEMENTE UND KONVEXE HÜLLEN
wobei E(µ) = E(µ, π2 ) das vollständige elliptische Integral zweiter Gattung bezeichnet.
Einsetzen des Ausdruckes für c in
p0 = 1 −
u A0 B 0
a+b+c
=1−
,
πD
πD
p1 =
2(a + b + c) − 2a − 2b
2c
2 uA0 B0 − uA0 − uB0
=
=
,
πD
πD
πD
p2 =
uA0 + uB0 − uA0 B0
2a + 2b − (a + b + c)
a+b−c
=
=
πD
πD
πD
liefert den folgenden Satz:
Satz 4.3. Die Schnittwahrscheinlichkeiten für das Testelement nach Bild 4.3 sind
für a + b ≤ D durch
p0 = 1 −
(a + b)(π + 2 E(µ))
,
π2D
p1 =
4(a + b) E(µ)
π2D
und
p2 =
(a + b)(π − 2 E(µ))
π2D
gegeben, wobei E(µ) = E(µ, π2 ) das vollständige elliptische Integral zweiter Gattung
ist.
Das Diagramm in Bild 4.4 zeigt die Wahrscheinlichkeit p1 in Abhängigkeit von
den Parametern x := b/a und y := (a+ b)/D. Für x = 0, also b = 0, ist der für festes
D lineare Zusammenhang p1 = 2y/π = 2a/(πD) zu erkennen, d.h. das Resultat des
klassischen Buffonschen Problems. Das Diagramm in Bild 4.5 zeigt die Wahrscheinlichkeit p2 .
2c
, p1 = πD
und p2 = a+b−c
gelten für zwei
Anmerkung: Die Formeln p0 = 1 − a+b+c
πD
πD
Strecken, die im Gelenkpunkt starr miteinander verbunden sind, bei denen also der
Abstand c konstant ist [29, S. 77/78], [25, S. 16/17].
Die Wahrscheinlichkeit PA , dass nur die Strecke A0 das Gitter schneidet, ist
gegeben durch
PA = P (A ∪ B) − p(B) =
a+b+c
2b
a−b+c
(a − b)π + 2(a + b) E(µ)
−
=
=
.
πD
πD
πD
π2D
Analog erhält man die Wahrscheinlichkeit PB , dass nur die Strecke B 0 das Gitter
schneidet:
(b − a)π + 2(a + b) E(µ)
PB =
.
π2D
Wir berechnen nun die bedingten Wahrscheinlichkeiten P (B | A), dass B 0 das
Gitter schneidet, wenn A0 das Gitter schneidet, und P ( B | A ), dass B 0 das Gitter
schneidet, wenn A0 das Gitter nicht schneidet. Dabei bezeichnet A das zu A komplementäre Ereignis, dass A0 das Parallelengitter nicht schneidet. Mit Formel (1.6)
59
4.3. TESTELEMENTE MIT ZWEI TEILELEMENTEN
1
x
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.6
1
0.4
0.8
0.6
0.2
0.4
0.2
y
Bild 4.4: p1 in Abhängigkeit von x =
x
p
0
0
b
a
und y =
a+b
D
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.1
1
0.8
p
0.6
0.4
y
0.2
Bild 4.5: p2 in Abhängigkeit von x =
0
0
b
a
und y =
a+b
D
und Satz 4.1 erhält man
P (B | A) =
P (B | A ) =
P (A ∩ B)
P (A) + P (B) − P (A ∪ B)
u A0 + u B 0 − u A0 B 0
=
=
,
P (A)
P (A)
u A0
P ( A ∩ B)
P (A ∪ B) − P (A)
u A0 B 0 − u A0
=
=
.
1 − P (A)
πD − uA0
P A
P (B | A) ist (erwartungsgemäß) unabhängig vom Abstand D zwischen benachbarten
Gittergeraden.
Speziell erhält man für das Testelement entsprechend Bild 4.3
P (B |A ) =
2a + 2b − (a + b + c)
a+b−c
(a + b)(π − 2 E(µ))
=
=
,
2a
2a
2πa
P (B | A ) =
(a + b + c) − 2a
b−a+c
(b − a)π + 2(a + b) E(µ)
=
=
.
πD − 2a
πD − 2a
π(πD − 2a)
60
KAPITEL 4. GELENKIGE TESTELEMENTE UND KONVEXE HÜLLEN
Wir betrachten nun noch den Spezialfall, dass beide Strecken des Testelements
in Bild 4.3 p
gleich lang sind (a = b). In diesem Fall gilt µ = 1 und man erhält
R π/2
R π/2
1 − sin2 χ dχ = 0 cos χ dχ = 1, also
E(1) = 0
p0 = 1 −
2a(π + 2)
,
π2D
p1 =
8a
,
π2D
p2 =
2a(π − 2)
π2D
und
2
P (B | A) = P (A | B) = 1 − ,
π
4 Da
P (B | A ) = P (A | B ) =
.
π(π − 2 Da )
Die Wahrscheinlichkeiten p1 und p2 für a = b sind in den Diagrammen 4.4 und 4.5
für x = 1 in Abhängigkeit vom Parameter y zu erkennen.
Für 0 6= a ≤ D und b = 0 erhält man E(0) = π2 und folglich p1 =
die Wahrscheinlichkeiten des klassischen Buffonschen Problems.
4.4
4.4.1
2a
,
πD
p2 = 0, also
Testelemente mit drei Teilelementen
Theorie
Wir betrachten nun ein kettenförmiges Testelement, das aus drei Teilelementen
A0 = A01 , B 0 = A02 und C 0 = A03 besteht, die mittels zweier Gelenke G1 und G2 miteinander verbunden sind (siehe Bilder 4.1 und 4.2). Wir setzen voraus, dass alle drei
Teilelemente konvex sind. Wenn das nicht der Fall ist, ersetzen wir die betreffenden
Teilelemente durch ihre konvexen Hüllen. Mit A, B und C werden die Ereignisse
bezeichnet, dass das jeweilige Teilelement das Gitter schneidet. Die größte Länge
des Testelementes soll wiederum ≤ D sein. Mit uA0 , uB0 , uC 0 , uA0 B0 , uA0 C 0 , uB0 C 0 und
uA0B0 C 0 werden nachfolgend die konvexen Hüllen der in den Indizes angegebenen
Teilelemente bezeichnet. Die Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Schnittpunkt
erhält man mittels
u A0 B 0 C 0
P (A ∪ B ∪ C) =
πD
mit uA0 B0 C 0
1
= 2
4π
Z2π Z2π
uA0 B0 C 0 (ψ1 , ψ2 ) dψ1 dψ2 .
ψ2 =0 ψ1 =0
(4.1)
Weiterhin gilt
uA0 B0
P (A ∪ B) =
πD
mit uA0 B0
1
=
2π
Z2π
uA0 B0 (ψ1 ) dψ1
(4.2)
Z2π
uB0 C 0 (ψ2 ) dψ2 .
(4.3)
ψ1 =0
und
uB 0 C 0
P (B ∪ C) =
πD
mit uB0 C 0
1
=
2π
ψ2 =0
4.4. TESTELEMENTE MIT DREI TEILELEMENTEN
61
Bild 4.6: Zur Definition von `AC (ψ1 , ψ2 )
Die Berechnung von P (A ∪ C) erfordert eine gesonderte Betrachtung, da A0 und
C nicht unmittelbar durch ein Gelenk miteinander verbunden sind. Hier sind die
beiden Fälle zu unterscheiden, dass sich A0 und C 0 überlappen (A0 ∩ C 0 6= ∅) bzw.
nicht überlappen (A0 ∩ C 0 = ∅). Für feste Winkel ψ1 , ψ2 und A0 ∩ C 0 = ∅ ist die
Wahrscheinlichkeit, dass A0 und C 0 gleichzeitig das Gitter schneiden, nach Bertrand
(Formel (1.7)) gegeben durch
0
`A0 C 0 (ψ1 , ψ2 ) − uA0 C 0 (ψ1 , ψ2 )
,
πD
wobei `A0 C 0 (ψ1 , ψ2 ) die Länge des gekreuzten Fadens“ F um A0 und C 0 bezeichnet
”
(Bild 4.6). Für feste Winkel ψ1 , ψ2 und A0 ∩ C 0 6= ∅ gilt nach Formel (1.8)
uA0 + uC 0 − uA0C 0 (ψ1 , ψ2 )
.
πD
Wir setzen `A0 C 0 (ψ1 , ψ2 ) := uA0 +uC 0 , wenn A0 ∩C 0 6= ∅, so dass die Wahrscheinlichkeit
in diesem Fall auch gleich (`A0 C 0 (ψ1 , ψ2 ) − uA0 C 0 (ψ1 , ψ2 ))/(πD) ist. Auf Grund der
Gleichverteilung von ψ1 und ψ2 in [0, 2π] können wir den Mittelwert δ A0 C 0 := `A0 C 0 −
uA0 C 0 von `A0 C 0 (ψ1 , ψ2 ) − uA0 C 0 (ψ1 , ψ2 ) mit
δ A0 C 0 = `A0 C 0 − uA0 C 0
1
= 2
4π
Z2π Z2π
(`A0 C 0 (ψ1 , ψ2 ) − uA0 C 0 (ψ1 , ψ2 )) dψ1 dψ2 (4.4)
ψ2 =0 ψ1 =0
berechnen und erhalten
P (A ∩ C) =
δ A0 C 0
πD
sowie
u A0 + u C 0 − δ A0 C 0
.
(4.5)
πD
Wir bezeichnen mit pi die Wahrscheinlichkeit, dass genau i Teilelemente das Gitter
schneiden und erhalten:
u A0 B 0 C 0
p0 = 1 − P (A ∪ B ∪ C) = 1 −
,
(4.6)
πD
P (A ∪ C) = P (A) + P (C) − P (A ∩ C) =
62
KAPITEL 4. GELENKIGE TESTELEMENTE UND KONVEXE HÜLLEN
Zur Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten p1 , p2 und p3 verwenden wir das Prinzip
von Inklusion und Exklusion [38]:
n
X
X
i+ν ν
pi =
(−1)
P (Aj1 ∩ . . . ∩ Ajν ) .
i 1≤j < ... <j ≤n
ν=i
1
ν
Für A1 = A, A2 = B und A3 = C erhält man daraus
p1 = P (A) + P (B) + P (C) − 2 [P (A ∩ B) + P (A ∩ C) + P (B ∩ C)]
+ 3 P (A ∩ B ∩ C) ,
p2 = P (A ∩ B) + P (A ∩ C) + P (B ∩ C) − 3 P (A ∩ B ∩ C) ,
p3 = P (A ∩ B ∩ C) .
Wir wollen nun p1 , p2 und p3 in Abhängigkeit von den bereits ermittelten Wahrscheinlichkeiten P (A ∪ B), P (A ∪ C), P (B ∪ C) und P (A ∪ B ∪ C) darstellen. Dazu
verwenden wir die bekannte Formel von Sylvester:
!
n
n
X
[
X
P (Aj1 ∩ . . . ∩ Ajν ) .
P
Aν
=
(−1)ν+1
ν=1
ν=1
1≤j1 < ... <jν ≤n
Im vorliegenden Fall gilt:
P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) ,
P (A ∪ C) = P (A) + P (C) − P (A ∩ C) ,
P (B ∪ C) = P (B) + P (C) − P (B ∩ C) ,
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C)
+ P (A ∩ B ∩ C) .
Hieraus folgt
P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B) ,
P (A ∩ C) = P (A) + P (C) − P (A ∪ C) ,
P (B ∩ C) = P (B) + P (C) − P (B ∪ C)
und
P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − [P (A) + P (B) − P (A ∪ B)]
− [P (A) + P (C) − P (A ∪ C)] − [P (B) + P (C) − P (B ∪ C)]
+ P (A ∩ B ∩ C)
= −P (A) − P (B) − P (C) + P (A ∪ B) + P (A ∪ C) + P (B ∪ C)
+ P (A ∩ B ∩ C) ,
4.4. TESTELEMENTE MIT DREI TEILELEMENTEN
63
also
P (A ∩ B ∩ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∪ B) − P (A ∪ C) − P (B ∪ C)
+ P (A ∪ B ∪ C) .
Einsetzen von P (A ∩ B), P (A ∩ C), P (B ∩ C) und P (A ∩ B ∩ C) in die Formeln für
p1 , p2 und p3 liefert
p1 = 3 P (A ∪ B ∪ C) − P (A ∪ B) − P (A ∪ C) − P (B ∪ C)
p2 = −P (A) − P (B) − P (C) + 2 P (A ∪ B) + 2 P (A ∪ C) + 2 P (B ∪ C)
− 3 P (A ∪ B ∪ C)
p3 = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∪ B) − P (A ∪ C) − P (B ∪ C)
+ P (A ∪ B ∪ C) .
Mit den Formeln (1.6), (4.1), (4.2), (4.3) und (4.5) folgt
p1 =
3 uA0 B0 C 0 − uA0 B0 + δ A0 C 0 − uB0 C 0 − uA0 − uC 0
,
πD
(4.7)
p2 =
−3 uA0 B0 C 0 + 2(uA0 B0 − δ A0 C 0 + uB0 C 0 ) + uA0 − uB0 + uC 0
,
πD
(4.8)
p3 =
uA0 B0 C 0 − uA0 B0 + δ A0 C 0 − uB0 C 0 + uB0
.
πD
(4.9)
Wir fassen die Ergebnisse dieses Abschnitts in folgendem Satz zusammen.
Satz 4.4. Wenn die maximale Gesamtlänge eines aus drei Teilelementen A0 , B 0 und
C 0 bestehenden, kettenförmigen Testelements ≤ D ist, dann sind die Wahrscheinlichkeiten p0 , p1 , p2 , p3 , dass das Gitter von keinem, einem, zwei oder drei Teilelementen des zufällig platzierten Testelelementents geschnitten wird, gegeben durch
(4.6), (4.7), (4.8) und (4.9) mit uA0 B0 C 0 , uA0 B0 , uB0 C 0 , δ A0 C 0 = uA0 C 0 −`A0 C 0 nach (4.1),
(4.2), (4.3) und (4.4). Die für die Berechnung von `A0 C 0 benötigte Größe `A0 C 0 (ψ1 , ψ2 )
ist die Länge des gekreuzten Fadens“ F um A0 und C 0 entsprechend Bild 4.6,
”
falls sich die konvexen Hüllen von A0 und C 0 nicht überlappen, bzw. `A0 C 0 (ψ1 , ψ2 ) =
uA0 + uC 0 , falls sie sich überlappen.
4.4.2
Beispiel: Dreigliedrige Kette
Wir betrachten als Beispiel für ein dreigliedriges Testelement eine Kette, die aus drei
gelenkig miteinander verbundenen Nadeln (Strecken) gleicher Länge a besteht (Bild
4.7), wobei 3a ≤ D vorausgesetzt werden soll. Nachfolgend werden die Abkürzungen
b = 2a sin φ2 , c = 2a sin ψ2 , d = 2a cos ψ2
p
e = a (1 + cos ψ − cos φ)2 + (sin ψ − sin φ)2
64
KAPITEL 4. GELENKIGE TESTELEMENTE UND KONVEXE HÜLLEN
Bild 4.7: Fallunterscheidungen für 0 ≤ φ <
π
3
verwendet.
Entsprechend Bild 4.7 ergeben sich für den Umfang u der konvexen Hülle der
Kette und den Winkel ψ für 0 ≤ φ < π3 die folgenden Beziehungen:
a) 0 ≤ ψ < 2φ
φ+π
2
c) 2φ ≤ ψ <
e) φ+π
≤ψ<π
2
g) π ≤ ψ <
i)
φ+3π
2
b) ψ = 2φ ,
⇒ u = 2a + b − d ,
h) ψ =
φ+3π
2
b) ψ =
φ+π
2
⇒ u = 2a + d ,
⇒ u = a+ b + d+ e,
φ+3π
2
d) ψ = φ+π
,
2
f) ψ = π ,
,
≤ ψ < 2π ⇒ u = a − d + e .
Nach Bild 4.8 erhält man für
a) 0 ≤ ψ <
φ+π
2
⇒ u = 3a + e ,
φ+π
2
c)
≤ ψ < 2φ
e) 2φ ≤ ψ < π
π
3
≤φ<
π
2
:
⇒ u = 3a + e ,
⇒ u = 2a + b ,
⇒ u = a+ b + d+ e,
g) π ≤ ψ < φ+3π
⇒ u = 2a + b − d ,
2
φ+3π
i)
≤ ψ < 2π ⇒ u = a − d + e .
2
,
d) ψ = 2φ ,
f) ψ = π ,
h) ψ =
φ+3π
2
,
65
4.4. TESTELEMENTE MIT DREI TEILELEMENTEN
Bild 4.8: Fallunterscheidungen für
π
3
≤φ<
π
2
Bild 4.9: Fallunterscheidungen für
π
2
≤φ<π
66
KAPITEL 4. GELENKIGE TESTELEMENTE UND KONVEXE HÜLLEN
Nach Bild 4.9 erhält man für
a) 0 ≤ ψ <
φ+π
2
φ+π
2
π
2
≤ φ < π:
⇒ u = 3a + e ,
b) ψ =
c)
≤ψ<π
⇒ u = 2a + b ,
e) π ≤ ψ < 2φ
⇒ u = a+ b + e,
⇒ u = 2a + b − d ,
g) 2φ ≤ ψ < φ+3π
2
i)
φ+3π
2
φ+π
2
,
d) ψ = π ,
f) ψ = 2φ ,
h) ψ = φ+3π
,
2
≤ ψ < 2π ⇒ u = a − d + e .
Bild 4.10: Integrationsbereiche
Zusammengefasst ergibt sich für den Umfang u der konvexen Hülle des Testelements
(siehe Bild 4.10):

3a + e ,
falls 0 ≤ φ < π3 , 0 ≤ ψ < 2φ ,
(Fall 1.1)




π+φ
π

3a + e ,
falls 3 ≤ φ < π , 0 ≤ ψ < 2 ,
(Fall 1.2)





2a + d ,
falls 0 ≤ φ < π3 , 2φ ≤ ψ < π+φ
, (Fall 2)


2


π+φ
π

a + b + d + e , falls 0 ≤ φ < 3 , 2 ≤ ψ < π ,
(Fall 3.1)




π
π

(Fall 3.2)

 a + b + d + e , falls 3 ≤ φ < 2 , 2φ ≤ ψ < π ,
u(φ, ψ) =






















2a + b − d ,
2a + b − d ,
a −d + e,
2a + b ,
2a + b ,
a + b+ e,
falls 0 ≤ φ < π2 , π ≤ ψ < 3π+φ
, (Fall 4.1)
2
3π+φ
π
falls 2 ≤ φ < π , 2φ ≤ ψ < 2 , (Fall 4.2)
falls 0 ≤ φ < π ,
falls
falls
falls
π
3
π
2
π
2
π
2
3π+φ
≤ ψ < 2π ,
2
π+φ
≤ ψ < 2φ ,
2
π+φ
≤ ψ < π,
2
≤φ< ,
≤ φ < π,
≤ φ < π , π ≤ ψ < 2φ .
(Fall 5)
(Fall 6.1)
(Fall 6.2)
(Fall 7)
Bei der Berechnung von u genügt es aus Symmetriegründen (siehe Bild 4.10), nur
67
4.4. TESTELEMENTE MIT DREI TEILELEMENTEN
die Werte von φ im Intervall [0, π) zu berücksichtigen. Folglich gilt
I1.1 + I1.2 + I2 + I3.1 + I3.2 + I4.1 + I4.2 + I5 + I6.1 + I6.2 + I7
2π 2
u=
mit
I1.1 =
I2 =
φ=0
ψ=0
(3a + e) dψ dφ ,
R π/3 R (π+φ)/2
φ=0
I3.2 =
I4.2 =
I6.1 =
I7 =
R π/3 R 2φ
ψ=2φ
R π/2
φ=π/3
Rπ
φ=π/2
R π/2
φ=π/3
Rπ
φ=π/2
I1.2 =
(2a + d) dψ dφ ,
Rπ
Rπ
φ=π/3
I3.1 =
R (π+φ)/2
ψ=0
R π/3 R π
φ=0
ψ=(π+φ)/2
(a + b + d + e) dψ dφ , I4.1 =
ψ=2φ
R (3π+φ)/2
ψ=2φ
(2a + b − d) dψ dφ , I5 =
R 2φ
(2a + b) dψ dφ ,
ψ=(π+φ)/2
R 2φ
ψ=π
(3a + e) dψ dφ ,
I6.2 =
(a + b + e) dψ dφ .
(a + b + d + e) dψ dφ ,
R π/2 R (3π+φ)/2
φ=0
Rπ
φ=0
Rπ
ψ=π
R 2π
(2a + b − d) dψ dφ ,
ψ=(3π+φ)/2
φ=π/2
Rπ
(a − d + e) dψ dφ ,
ψ=(π+φ)/2
(2a + b) dψ dφ ,
Nicht alle der hier angegebenen Integrale sind elementar integrierbar. Die numerische
Berechnung von u mittels des Programms Mathematica liefert:
u ≈ 4, 32297a .
Als Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Schnittpunkt ergibt sich somit
p=
u
a
≈ 1, 37604 .
πD
D
Nun sollen die Wahrscheinlichkeiten für genau i Schnittpunkte, 0 ≤ i ≤ 3, berechnet werden. Nachfolgend wird die eine der beiden äußeren Nadeln mit A0 , die
mittlere Nadel mit B 0 und die zweite äußere Nadel mit C 0 bezeichnet. Wir bestimmen zunächst die Wahrscheinlichkeit dafür, dass alle drei Nadeln gleichzeitig das
Gitter schneiden:
P (A ∩ B ∩ C) = P (A ∪ B ∪ C) − P (A) − P (B) − P (C)
+ P (A ∩ B) + P (A ∩ C) + P (B ∩ C) .
P (A ∪ B ∪ C) ist die bereits ermittelte Wahrscheinlichkeit p für mindestens einen
Schnittpunkt zwischen Testelement und Gitter. Weiterhin sind bereits bekannt
P (A) = P (B) = P (C) =
und
P (A ∩ B) = P (B ∩ C) =
2(π − 2)a
.
π2D
Für P (A ∩ C) gilt nach Satz 4.4
P (A ∩ C) =
2a
πD
`−u
,
πD
68
KAPITEL 4. GELENKIGE TESTELEMENTE UND KONVEXE HÜLLEN
wobei ` die über alle Werte von φ und ψ gemittelte Länge des gekreuzten Fadens“
”
um A0 und C 0 ist. Folglich ist
P (A ∩ B ∩ C) =
=
2a
2(π − 2)a ` − u
u
−3
+2
+
πD
πD
π2D
πD
π` − 2πa − 8a
.
π2D
Weiterhin erhält man die Wahrscheinlichkeit p1 für genau einen Schnittpunkt
p1 = P (A) + P (B) + P (C) − 2P (A ∩ B) − 2P (A ∩ C) − 2P (B ∩ C)
+ 3P (A ∩ B ∩ C)
= 3P (A) − 4P (A ∩ B) − 2P (A ∩ C) + 3P (A ∩ B ∩ C)
= 3
2a
2(π − 2)a
π` − 2πa − 8a
`−u
+4
−
2
+
3
πD
π2D
πD
π2D
2πu + π` − 8(π + 1)a
π2D
=
und die Wahrscheinlichkeit p2 für genau zwei Schnittpunkte
p2 = P (A ∩ B) + P (A ∩ C) + P (B ∩ C) − 3P (A ∩ B ∩ C)
= 2P (A ∩ B) + P (A ∩ C) − 3P (A ∩ B ∩ C)
= 2
=
2(π − 2)a ` − u
π` − 2πa − 8a
+
−
3
π2D
πD
π2D
−πu − 2π` + 2(5π + 8)a
.
π2D
Außerdem erhält man die Wahrscheinlichkeit PB , dass nur die mittlere Nadel B 0 das
Gitter schneidet, aus
PB = P (B ∩ A ∪ C ) = P (B ∪ (A ∪ C)) − P (A ∪ C)
= P (A ∪ B ∪ C) − P (A ∪ C)
= P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C)
+ P (A ∩ B ∩ C) − [P (A) + P (C) − P (A ∩ C)]
= P (B) − P (A ∩ B) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
=
2(π − 2)a π` − 2πa − 8a
2a
` − 4a
−2
+
=
2
2
πD
π D
π D
πD
und die Wahrscheinlichkeit Pa , dass nur eine der beiden außeren Nadeln A0 und C 0 ,
4.4. TESTELEMENTE MIT DREI TEILELEMENTEN
69
aber nicht die mittlere Nadel B 0 das Gitter schneidet, aus
Pa = P (A ∩ B ∩ C ) + P ( A ∩ B ∩ C) = P (A ∩ ( B ∪ C )) + P (( A ∪ B ) ∩ C)
= P (A ∪ (B ∪ C)) − P (B ∪ C) + P ((A ∪ B) ∪ C) − P (A ∪ B)
= 2P (A ∪ B ∪ C) − P (A ∪ B) − P (B ∪ C)
= 2[P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)]
−[P (A) + P (B) − P (A ∩ B)] − [P (B) + P (C) − P (B ∩ C)]
= P (A) + P (C) − P (A ∩ B) − P (B ∩ C) − 2P (A ∩ C) + 2P (A ∩ B ∩ C)
2(π − 2)a
π` − 2πa − 8a
2a
`−u
−2
−2
+2
2
πD
π D
πD
π2D
2πu − 4πa − 8a
=
.
π2D
= 2
Wir kommen nun zur Berechnung von `.
Bild 4.11: Zur Berechnung von `(φ, ψ)
Bei der Berechnung der Länge ` des gekreuzten Fadens“ sind folgende Fallun”
70
KAPITEL 4. GELENKIGE TESTELEMENTE UND KONVEXE HÜLLEN
terscheidungen erforderlich (siehe Bild 4.11):

1) 2a + b + d , falls 0 ≤ φ < π3 ,





2a + b + d , falls π3 ≤ φ < π ,





2) 3a + b + e , falls 0 ≤ φ < π3 ,




 3) 4a ,

falls 0 ≤ φ < π3 ,




4a ,
falls π3 ≤ φ < π2 ,


4) 3a + e ,
falls 0 ≤ φ < π2 ,
`(φ, ψ) =



3a + e ,
falls π2 ≤ φ < π ,





5) 4a + b ,
falls 0 ≤ φ < π ,





6) 3a + d + e , falls π3 ≤ φ < π2 ,





3a + d + e , falls π2 ≤ φ < π ,



 7) 4a − d ,
falls π2 ≤ φ < π ,
0 ≤ ψ < 2φ ,
(Fall 1.1)
0 ≤ ψ < π+φ
,
2
2φ ≤ ψ < π+φ
2
π+φ
≤
ψ
<
π
,
2
,
2φ ≤ ψ < π ,
(Fall 1.2)
(Fall 2)
(Fall 3.1)
(Fall 3.2)
π ≤ ψ < 3π+φ
, (Fall 4.1)
2
3π+φ
2φ ≤ ψ < 2 , (Fall 4.2)
3π+φ
≤ ψ < 2π ,
2
π+φ
≤ ψ < 2φ ,
2
π+φ
≤ ψ < π,
2
π ≤ ψ < 2φ .
(Fall 5)
(Fall 6.1)
(Fall 6.2)
(Fall 7)
Bei der Berechnung von ` genügt es aus Symmetriegründen wiederum, nur die Werte
von φ im Intervall [0, π) zu berücksichtigen. Es gilt
`=
J1.1 + J1.2 + J2 + J3.1 + J3.2 + J4.1 + J4.2 + J5 + J6.1 + J6.2 + J7
2π 2
mit den Integralen
R π/3 R 2φ
J1.1 = φ=0 ψ=0 (2a + b + d) dψ dφ ,
J2 =
R π/3 R (π+φ)/2
J3.2 =
J4.2 =
J6.1 =
J6.2 =
φ=0
ψ=2φ
R π/2
φ=π/3
Rπ
φ=π/2
R π/2
φ=π/3
Rπ
φ=π/2
(3a + b + e) dψ dφ ,
Rπ
ψ=2φ
4a dψ dφ ,
R (3π+φ)/2
ψ=2φ
J4.1 =
ψ=(π+φ)/2
ψ=(π+φ)/2
Rπ
R (π+φ)/2
φ=π/3
J3.1 =
ψ=0
φ=0
ψ=(π+φ)/2
R π/2 R (3π+φ)/2
φ=0
ψ=π
(3a + d + e) dψ dφ ,
(3a + d + e) dψ dφ ,
J7 =
Rπ
φ=0
4a dψ dφ ,
(3a + e) dψ dφ ,
R 2π
J5 =
(2a + b + d) dψ dφ ,
R π/3 R π
Rπ
(3a + e) dψ dφ ,
R 2φ
Rπ
J1.2 =
ψ=(3π+φ)/2
φ=π/2
R 2φ
(4a + b) dψ dφ ,
ψ=π
(4a − d) dψ dφ .
Nicht alle der hier angegebenen Integrale sind elementar integrierbar. Die numerische
Berechnung von ` mittels des Programms Mathematica ergibt
` ≈ 4, 79811a ,
demzufolge
P (A ∩ B ∩ C) =
π` − 2πa − 8a
a
≈ 0, 0800951 .
2
π D
D
und weiterhin
P (A ∩ C) =
`−u
a
≈ 0, 15124
πD
D
4.5. TESTELEMENTE MIT MEHR ALS DREI TEILELEMENTEN
71
sowie
p1 =
a
2πu + π` − 8(π + 1)a
≈
0,
922324
,
π2D
D
p2 =
−πu − 2π` + 2(5π + 8)a
a
≈ 0, 373625 ,
2
π D
D
p3 = P (A ∩ B ∩ C) =
π` − 2πa − 8a
a
≈ 0, 0800951 .
2
π D
D
Geometrische Wahrscheinlichkeiten für dreigliedrige Ketten aus ungleich langen
Nadeln werden in Kapitel 7 untersucht.
4.5
Testelemente mit mehr als drei Teilelementen
Eine induktive Erweiterung der Untersuchungen auf Testelemente mit mehr als drei
Teilelementen im Sinne der Untersuchung von J. J. Sylvester [34] ist möglich. Auf
auf Grund der zunehmenden Komplexität der Probleme soll an dieser Stelle darauf
verzichtet werden.
4.6
Erwartungswerte
Wir berechnen nun den Erwartungswert E(Z) für die Anzahl Z der das Parallelengitter RD schneidenden Teilelemente ohne die bisherige Einschränkung, dass die
größte Gesamtlänge des Testelements ≤ D ist. Der größte Durchmesser eines einzelnen Teilelements wird wiederum ≤ D vorausgesetzt. Mit n wird die Anzahl der
Teilelemente des Testelements bezeichnet, mit Zi die Anzahl der Schnitte zwischen
dem Teilelement A0i und dem Gitter, mit Ai das Ereignis, dass A0i das Gitter schnei0
det, und mit uA0i der Umfang der konvexen Hülle von A0i . Es gilt
PnZi = 1, wenn Ai
das Gitter schneidet; wenn nicht, dann Zi = 0. Folglich ist Z = i=1 Zi und
!
n
n
n
n
X
X
X
1 X
uA0i .
E(Z) = E
Zi =
E(Zi ) =
P (Ai ) =
πD
i=1
i=1
i=1
i=1
Besteht das Testelement aus n StreckenPund bezeichnet
Pn li die Länge der i-ten
n
Strecke sowie L die Summe aller li , so gilt i=1 uA0i = 2 i=1 li = 2L, also E(Z) =
2L
.
πD
Beispiel: Für das in Bild 4.3 dargestellte Testelement ist E(Z) = 1 · p1 + 2 · p2 =
2c
2L
+ 2 a+b−c
= 2 a+b
= πD
.
πD
πD
πD
72
KAPITEL 4. GELENKIGE TESTELEMENTE UND KONVEXE HÜLLEN
Kapitel 5
Gelenknadel auf Rechteckgitter
5.1
Einleitung
Die erste bekannte Betrachtung geometrischer Wahrscheinlichkeiten für ebene Rechteckgitter erfolgte durch Laplace, der die Wahrscheinlichkeit dafür berechnete, dass
das Gitter von einer zufällig fallengelassenen Nadel getroffen wird (siehe [15, S. 6]).
Das Testelement T der nachfolgenden Untersuchung besteht aus zwei gleich langen Strecken (Schenkeln), die an jeweils einem ihrer Endpunkte mittels eines Gelenks
miteinander verbunden sind (Bild 5.1). Wir bezeichnen das Rechteckgitter mit R.
R ist die Vereinigung der vertikalen und horizontalen Parallengitter Ra und Rb . Die
Fundamentalzelle von R ist ein Rechteck mit den Seitenlängen a und b. Die Länge
jeder der beiden Nadeln sei gleich `, wobei wir 2` ≤ min{a, b} voraussetzen wollen.
Die Koordinaten x und y eines beliebigen aber festen Punktes des Testelements
(z.B. des Gelenkpunktes) nach dem Wurf seien in den Intervallen [0, a] bzw. [0, b]
gleichmäßig verteilte Zufallsvariablen. Die Winkel φ1 und φ2 , die die Schenkel nach
dem Wurf bezüglich des Gitters einnehmen, seien im Intervall [0, 2π] gleichmäßig
verteilte Zufallsvariablen. Alle vier Zufallsvariablen x, y, φ1 und φ2 seien voneinander stochastisch unabhängig.
Bild 5.1: Fundamentalzelle und Testelement
73
74
5.2
KAPITEL 5. GELENKNADEL AUF RECHTECKGITTER
Wahrscheinlichkeit für mindestens einen Schnitt
Das Ziel dieses Abschnitts ist die Berechnung der Wahrscheinlichkeit für mindestens
einen Schnitt zwischen dem Testelement T und dem Gitter R = Ra ∪ Rb . S bezeichnet das Ereignis, dass das Testelement das Gitter R schneidet, und P (S) die
diesbezügliche Wahrscheinlichkeit.
Satz 5.1. Für 2` ≤ min{a, b} ist die Wahrscheinlichkeit P (S) für mindestens einen
Schnittpunkt zwischen Testelement T und Gitter R durch
P (S) =
` [4(a + b)(π + 2) − (5π + 4)`]
.
2π 2 ab
gegeben.
Beweis. Auch der Relativwinkel ψ zwischen den beiden Schenkeln (siehe Bild 5.1)
kann als im Intervall [0, 2π] gleichmäßig verteilte und von den Zufallsvariablen x,
y und φ1 unabhängige Zufallsvariable vorausgesetzt werden. Wenn wir den Winkel
ψ statt des Winkels φ2 als Zufallsvariable verwenden, hat das keinen Einfluss auf
den Wert der Wahrscheinlichkeit P (S). Der Einfachheit werden wird nachfolgend
stets φ := φ2 setzen. Wir betrachten zunächst das Testelement mit konstantem
Relativwinkel ψ und bezeichnen es mit Tψ . Das Testelement Tψ schneidet das Gitter
R genau dann, wenn seine konvexe Hülle das Gitter schneidet.
Die Wahrscheinlichkeit p, dass eine konvexe Figur das Gitter R schneidet, ist nach
Formel (1.5) durch


Zπ
1 
π
p=
(a + b)u − pr(φ) pr φ +
dφ
πab
2
0
gegeben, wobei u der Umfang der Figur ist, pr(φ) ihre von der Richtung φ abhängige
Projektionsfunktion und
max pr(φ) ≤ min{a, b}
0≤φ<π
vorausgesetzt wird.
Folglich ist die bedingte Wahrscheinlichkeit P (S | ψ), dass die konvexe Hülle von
T = Tψ (und damit T selber) bei festem Winkel ψ das Gitter R schneidet, durch


Zπ
1 
π
P (S | ψ) =
(a + b)u(ψ) − pr(φ, ψ) pr φ + , ψ dφ
πab
2
0
gegeben; hierbei sind u(ψ) der Umfang der konvexen Hülle von Tψ und pr(φ, ψ)
die von der Richtung φ abhängige Projektionsfunktion von Tψ . Die (totale) Wahrscheinlichkeit, dass das Testelement T das Gitter R schneidet, erhält man dann
aus
Z2π
P (S) = P (S | ψ) f (ψ) dψ ,
0
75
5.2. WAHRSCHEINLICHKEIT FÜR MINDESTENS EINEN SCHNITT
wobei f (ψ) die Dichtefunktion der Zufallsvariable ψ ist. Da ψ gleichmäßig im Inter1
, also
vall [0, 2π] verteilt ist, gilt f (ψ) = 2π
1
P (S) =
2π
Z2π
P (S | ψ) dψ .
0
Da das Testelement T2π−ψ das Spiegelbild des Testelements Tψ ist,R ist es ausreichend,
π
P (S | ψ) im Intervall [0, π] zu betrachten. Folglich ist P (S) = π1 0 P (S | ψ) dψ und
demzufolge


Zπ
Zπ Zπ
π
1
P (S) = 2 (a + b) u(ψ) dψ −
pr(φ, ψ) pr φ + , ψ dφ dψ  . (5.1)
π ab
2
0
ψ=0 φ=0
Rπ
RπRπ
Mit den Abkürzungen u = π1 0 u(ψ) dψ und I = 0 0 pr(φ, ψ) pr(φ + π2 , ψ) dφ dψ
schreiben wir (5.1) in der Form
P (S) =
π(a + b)u − I
.
π 2 ab
(5.2)
Für u erhält man
1
u=
π
Zπ
2`
u(ψ) dψ =
π
0
Zπ ψ
2`(π + 2)
1 + sin
dψ =
.
2
π
(5.3)
0
Berücksichtigt man, dass bei der Berechnung von I aus Symmetriegründen φ statt
im Intervall [0, π] nur im Intervall [0, π2 ] betrachtet werden muss, so erhält man
R π R π/2
I = 2 ψ=0 φ=0 pr(φ, ψ) pr(φ + π2 , ψ) dφ dψ. Entsprechend Bild 5.2 sind vier Fälle
zu unterscheiden, wobei die Abkürzungen Lv = pr(φ, ψ) und Lh = pr φ + π2 , ψ
verwendet werden.
Fall 1: 0 ≤ φ < π2 , 0 ≤ ψ <
π
2
−φ
pr(φ, ψ) = Lv = ` sin(φ + ψ) ,
Fall 2: 0 ≤ φ < π2 ,
π
2
π pr φ + , ψ = Lh = ` cos φ ;
2
− φ ≤ ψ < π − 2φ
π pr(φ, ψ) = Lv = ` sin(φ + ψ) , pr φ + , ψ = Lh = ` cos φ − ` cos(φ + ψ) ;
2
Fall 3: 0 ≤ φ < π2 , π − 2φ ≤ ψ < π − φ
π pr(φ, ψ) = Lv = ` sin φ , pr φ + , ψ = Lh = ` cos φ − ` cos(φ + ψ) ;
2
Fall 4: 0 ≤ φ < π2 , π − φ ≤ ψ < π
pr(φ, ψ) = Lv = ` sin φ−` sin(φ+ψ) ,
π pr φ + , ψ = Lh = ` cos φ−` cos(φ+ψ) .
2
76
KAPITEL 5. GELENKNADEL AUF RECHTECKGITTER
Bild 5.2: Fallunterscheidungen
Entsprechend diesen Fällen stellen wir I in der Form I = 2 (I1 + I2 + I3 + I4 ) dar,
wobei das Integral Ii zum Fall i, (i = 1, . . . , 4), gehört. Die Berechnung mittels
Mathematica liefert:
I1 =
Z
π
2
I2 =
Z
π
2
I3 =
Z
π
2
I4 =
Z
π
2
φ=0
φ=0
φ=0
φ=0
Z
π
−φ
2
Z
π−2φ
Z
π−φ
ψ=0
π π`2
pr(φ, ψ)pr φ + , ψ dψ dφ =
,
2
4
3π`2
π ,
pr(φ, ψ)pr φ + , ψ dψ dφ =
2
8
ψ= π2 −φ
3π`2
π pr(φ, ψ)pr φ + , ψ dψ dφ =
,
2
8
ψ=π−2φ
Z π
π π 2
pr(φ, ψ)pr φ + , ψ dψ dφ = 1 +
` .
2
4
ψ=π−φ
Es folgt
I = 2(I1 + I2 + I3 + I4 ) =
(5π + 4)`2
.
2
(5.4)
Durch Einsetzen von (5.3) und (5.4) in (5.2) erhält man schließlich
P (S) =
womit Satz 5.1 bewiesen ist.
` [4(a + b)(π + 2) − (5π + 4)`]
,
2π 2 ab
(5.5)
77
5.3. SCHLUSSFOLGERUNGEN
5.3
Schlussfolgerungen
Wir verwenden nachfolgend die Bezeichnungen:
A Ereignis, dass das Gitter Ra geschnitten wird,
B Ereignis, dass das Gitter Rb geschnitten wird,
X Ereignis, dass der eine Schenkel das Gitter R schneidet,
Y Ereignis, dass der andere Schenkel das Gitter R schneidet.
Wir berechnen nun die Wahrscheinlichkeit, dass beide Schenkel des Testelements
das Gitter R schneiden. Es gilt P (X ∪ Y ) = P (S). Nach Laplace (siehe [15, S. 8])
ist die Wahrscheinlicheit, dass ein Schenkel das Gitter schneidet, gleich
P (X) = P (Y ) =
2`(a + b) − `2
.
πab
Hieraus folgt
P (X ∩ Y ) = P (X) + P (Y ) − P (X ∪ Y )
2`(a + b) − `2 ` [4(a + b)(π + 2) − (5π + 4)`]
−
πab
2π 2 ab
` [4(π − 2)(a + b) + (π + 4)`]
=
.
2π 2 ab
= 2
Als nächstes berechnen wir die Wahrscheinlichkeit P (A ∩ B), dass die Parallelengitter Ra und Rb gleichzeitig geschnitten werden. Offensichtlich ist P (A∪B) = P (S).
Für b → ∞ bzw. a → ∞ erhält man aus (5.5)
P (A) =
2`(π + 2)
π2a
bzw. P (B) =
2`(π + 2)
.
π2b
Es folgt
P (A ∩ B) = P (A) + P (B) − P (A ∪ B)
2`(π + 2) 2`(π + 2) ` [4(a + b)(π + 2) − (5π + 4)`]
+
−
π2a
π2b
2π 2 ab
(5π + 4)`2
=
.
2π 2 ab
=
5.4
Erwartungswert für die Anzahl der Schnittpunkte
Abschließend soll noch der Erwartungswert E(Z) für die Anzahl Z der Schnittpunkte zwischen T und R berechnet werden. (Offensichtlich kann es 0, 1, 2, 3 oder 4
78
KAPITEL 5. GELENKNADEL AUF RECHTECKGITTER
Schnittpunkte geben.) Bezeichnet man mit Z1 (Z1 = 0, 1, 2) die Anzahl der Schnittpunkte zwischen einem der beiden Schenkel und R, so gilt nach [29, S. 135]
E(Z1 ) =
2(a + b)`
,
πab
wie man auch leicht nachrechnet. Aufgrund der Linearität des Erwartungswertes gilt
E(Z) = E(2Z1 ) = 2 E(Z1 ), also
E(Z) =
5.5
4(a + b)`
.
πab
Simulation
Für die Simulation der Zufallsexperimente mit der Gelenknadel auf dem Rechteckgitter wurde das Programm rechteck.pas entwickelt, das im Anhang A.3 zu finden
ist. Mittels dieses Programms werden sowohl die Zufallsexperimente simuliert und
die relativen Häufigkeiten bestimmt als auch die Wahrscheinlichkeiten berechnet,
so dass diese Werte unmittelbar verglichen werden können. Nachfolgend sind einige
Ergebnisse dieses Programms für verschiedene Parameterkombinationen angegeben:
1. Parameterkombination
Eingabewerte:
Abmessungen des Gitters: a = 4, 000000, b = 2, 000000
Länge einer Nadel (eines Schenkels): ` = 1, 000000
Anzahl der Versuche: 1000000
Ausgabewerte:
Mindestens ein Schnittpunkt zwischen Testelement und Gitter R:
Wahrscheinlichkeit: P (S) = 0, 656626
Relative Häufigkeit: 0,656926
Beide Schenkel schneiden das Gitter R:
Wahrscheinlichkeit: P (X ∩ Y ) = 0, 218726
Relative Häufigkeit: 0,218926
Testelement schneidet Gitter Ra und Rb gleichzeitig:
Wahrscheinlichkeit: P (A ∩ B) = 0, 124802
Relative Häufigkeit: 0,125040
2. Parameterkombination
Eingabewerte:
Abmessungen des Gitters: a = 2, 000000, b = 4, 000000
Länge einer Nadel (eines Schenkels): ` = 1, 000000
Anzahl der Versuche: 1000000
5.5. SIMULATION
Ausgabewerte:
Mindestens ein Schnittpunkt zwischen Testelement und Gitter R:
Wahrscheinlichkeit: P (S) = 0, 656626
Relative Häufigkeit: 0,656516
Beide Schenkel schneiden das Gitter R:
Wahrscheinlichkeit: P (X ∩ Y ) = 0, 218726
Relative Häufigkeit: 0,219145
Testelement schneidet Gitter Ra und Rb gleichzeitig:
Wahrscheinlichkeit: P (A ∩ B) = 0, 124802
Relative Häufigkeit: 0,124619
3. Parameterkombination
Eingabewerte:
Abmessungen des Gitters: a = 2, 000000, b = 4, 000000
Länge einer Nadel (eines Schenkels): ` = 0, 500000
Anzahl der Versuche: 1000000
Ausgabewerte:
Mindestens ein Schnittpunkt zwischen Testelement und Gitter R:
Wahrscheinlichkeit: P (S) = 0, 359514
Relative Häufigkeit: 0,359508
Beide Schenkel schneiden das Gitter R:
Wahrscheinlichkeit: P (X ∩ Y ) = 0, 098057
Relative Häufigkeit: 0,098239
Testelement schneidet Gitter Ra und Rb gleichzeitig:
Wahrscheinlichkeit: P (A ∩ B) = 0, 031201
Relative Häufigkeit: 0,031209
4. Parameterkombination
Eingabewerte:
Abmessungen des Gitters: a = 2, 000000, b = 2, 000000
Länge einer Nadel (eines Schenkels): ` = 1, 000000
Anzahl der Versuche: 1000000
Ausgabewerte:
Mindestens ein Schnittpunkt zwischen Testelement und Gitter R:
Wahrscheinlichkeit: P (S) = 0, 792300
Relative Häufigkeit: 0,792662
Beide Schenkel schneiden das Gitter R:
Wahrscheinlichkeit: P (X ∩ Y ) = 0, 321784
Relative Häufigkeit: 0,322045
79
80
KAPITEL 5. GELENKNADEL AUF RECHTECKGITTER
Testelement schneidet Gitter Ra und Rb gleichzeitig:
Wahrscheinlichkeit: P (A ∩ B) = 0, 249604
Relative Häufigkeit: 0,249598
5. Parameterkombination
Eingabewerte:
Abmessungen des Gitters: a = 2, 000000, b = 100, 000000
Länge einer Nadel (eines Schenkels): ` = 1, 000000
Anzahl der Versuche: 1000000
Ausgabewerte:
Mindestens ein Schnittpunkt zwischen Testelement und Gitter R:
Wahrscheinlichkeit: P (S) = 0, 526379
Relative Häufigkeit: 0,526301
Beide Schenkel schneiden das Gitter R:
Wahrscheinlichkeit: P (X ∩ Y ) = 0, 119790
Relative Häufigkeit: 0,119897
Testelement schneidet Gitter Ra und Rb gleichzeitig:
Wahrscheinlichkeit: P (A ∩ B) = 0, 004992
Relative Häufigkeit: 0,004892
6. Parameterkombination
Eingabewerte:
Abmessungen des Gitters: a = 2, 000000, b = 1000, 000000
Länge einer Nadel (eines Schenkels): ` = 1, 000000
Anzahl der Versuche: 1000000
Ausgabewerte:
Mindestens ein Schnittpunkt zwischen Testelement und Gitter R:
Wahrscheinlichkeit: P (S) = 0, 521495
Relative Häufigkeit: 0,521307
Beide Schenkel schneiden das Gitter R:
Wahrscheinlichkeit: P (X ∩ Y ) = 0, 116080
Relative Häufigkeit: 0,116223
Testelement schneidet Ra und Rb gleichzeitig:
Wahrscheinlichkeit: P (A ∩ B) = 0, 000499
Relative Häufigkeit: 0,000493
Kapitel 6
Nadelbüschel
6.1
Testelemente
Das Parallelengitter RD (Bild 6.1), auf das das jeweilige Testelement geworfen wird,
wird von den Geraden y = mD, m = 0, ±1, ±2, . . . gebildet. Ein Testelement Zn, a
besteht aus n (1 ≤ n < ∞) gleich langen Nadeln, die an jeweils einem ihrer Enden
in einem gemeinsamen Gelenkpunkt so angeordnet sind, dass die Winkel, die die
einzelnen Nadeln nach dem Wurf bezüglich des Parallelengitters aufweisen, voneinander unabhängige Zufallsvariablen sind.
Bild 6.1: Testelement Z7, a auf Parallelengitter RD
Es gelte 2a < D, was bedeutet, dass ein Testelement Zn, a nicht zwei Geraden von
RD gleichzeitig schneiden kann. Es ist ausreichend, zwei benachbarte Gittergeraden von RD als Fundamentalzelle zu betrachten. Unter einem zufälligen Wurf wird
Folgendes verstanden: Der Abstand y, den der Gelenkpunkt des Testelements nach
dem Wurf bezüglich einer bestimmten Geraden der Fundamentalzelle hat, ist eine im
Intervall [0, D] gleichmäßig verteilte Zufallsvariable. Weiterhin sind die Winkel, die
die einzelnen Nadeln des Testelements nach dem Wurf bezüglich der Gittergeraden
aufweisen, gleichmäßig in [0, 2π] verteilte Zufallsvariablen. Es wird vorausgesetzt,
dass alle Zufallsvariablen voneinander unabhängig sind.
Zur Abkürzung wird (wie bei den sternförmigen Testelementen) λ := a/D gesetzt.
81
82
KAPITEL 6. NADELBÜSCHEL
Ein Testelement Zn, a kann 0 ≤ i ≤ n Schnittpunkte mit einer Geraden des
Gitters RD haben kann. Wir berechnen zuerst die Wahrscheinlichkeiten p(i, n, λ)
für das Auftreten von genau i Schnittpunkten zwischen Zn, a und RD .
6.2
Wahrscheinlichkeiten für genau i Schnittpunkte
Aus Symmetriegründen ist es ausreichend, Lagen von Zn, a zu betrachten, bei denen
die y-Koordinate des Gelenkpunktes von Zn, a im Intervall [0, D/2] liegt. Weiterhin kann der Fall, dass die y-Koordinate des Gelenkpunktes gleich Null ist (und
demzufolge alle Nadeln unabhängig von ihren Winkellage das Gitter schneiden),
vernachlässigt werden, da dieses Ereignis die Wahrscheinlichkeit Null besitzt. Wir
setzten zunächst voraus, dass die y-Koordinate des Mittelpunktes von Zn, a fest ist.
Dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine bestimmte Nadel das Gitter schneidet,
gleich β/(2π) mit β = β(y) = 2 arccos(y/a) für 0 < y < a und gleich Null für
a ≤ y ≤ D/2 (siehe Bild 6.1). Die Wahrscheinlichkeit, dass i (0 ≤ i ≤ n) bestimmte
Nadeln das Gitter schneiden und die restlichen n − i Nadeln nicht, ist für 0 < y < a
durch
i n−i i n−i
β
2π − β
β
β
1−
=
2π
2π
2π
2π
gegeben. i verschiedene Nadeln können aus den n Nadeln von Zn, a in ni verschiedenen Kombinationen ausgewählt werden. Für gegebene y-Koordinate des Gelenkpunktes mit 0 < y < a ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für genau i Schnittpunkte
bei festem y also
i n−i
n
β
β
q(i, n, a | y) =
1−
.
i
2π
2π
Das sind die Wahrscheinlichkeiten einer Binomialverteilung. Weiterhin gilt für a ≤
y ≤ D/2
(
1 für i = 0 ,
q(i, n, a | y) =
0 für 1 ≤ i ≤ n .
Die absolute Wahrscheinlichkeit p(i, n, λ), dass genau i Nadeln das Gitter schneiden,
ist somit
Z D
Z D/2
p(i, n, λ) =
q(i, n, a | y) f (y) dy = 2
q(i, n, a | y) f (y) dy ,
y=0
y=0
wobei f (y) die Dichtefunktion von y ist. Da y gleichverteilt im Intervall [0, D] ist,
gilt

 1 für 0 ≤ y ≤ D ,
D
f (y) =

0 sonst .
6.2. WAHRSCHEINLICHKEITEN FÜR GENAU I SCHNITTPUNKTE
83
Es folgt
2
p(i, n, λ) =
D
Z
2
=
D
Z
D/2
y=0
q(i, n, a | y) dy
a
2
q(i, n, a | y) dy +
D
y=0
Für 1 ≤ i ≤ n erhält man
2
p(i, n, λ) =
D
Z
Z
D/2
y=a
q(i, n, a | y) dy .
i n−i
n
β
β
1−
dy
i
2π
2π
y=0
a
(6.1)
und für i = 0
2
p(0, n, λ) =
D
=
2
D
=
2
D
0 n−0
Z
n
β
β
2 D/2
1−
dy +
1 dy
2π
2π
D y=a
y=0 0
n
Z a Z
β
2 D/2
1−
dy +
dy
2π
D y=a
y=0
n
Z a β
2a
.
1−
dy + 1 −
2π
D
y=0
Z
a
(6.2)
Aus (6.1) erhält man mit y = a cos(β/2) und λ = a/D
Z a i n−i
2 n
β
β
p(i, n, λ) =
1−
dy
D i
2π
2π
y=0
Z π i n−i
n
β
β
β
= λ
1−
sin dβ
i
2π
2π
2
β=0
und weiter mit der Substitution z = β/2
Z π/2 n
z i
z n−i
p(i, n, λ) = 2λ
1−
sin z dz
i
π
π
z=0
Z π/2
2λ n
=
z i (π − z)n−i sin z dz
πn i
z=0
Z π/2 X
n−i
2λ n
i
ν n−i
z
(−1)
π n−i−ν z ν sin z dz
=
πn i
ν
z=0
ν=0
Z π/2 X
n−i
n
ν n−i
= 2λ
(−1)
π −(ν+i) z ν+i sin z dz
i
ν
z=0 ν=0
X
Z π/2
n−i
n
ν n−i
−(ν+i)
= 2λ
(−1)
π
z ν+i sin z dz .
i ν=0
ν
z=0
(6.3)
84
KAPITEL 6. NADELBÜSCHEL
Analog zur Vorgehensweise bei der Berechnung von p(i, n, λ) in der Form (6.3) folgt
aus (6.2)
Z π/2
n
X
ν n
−ν
p(0, n, λ) = 1 − 2λ + 2λ
(−1)
π
z ν sin z dz
ν
z=0
ν=0
= 1 − 2λ
n
X
ν−1
(−1)
ν=1
Z
n −ν π/2 ν
π
z sin z dz .
ν
z=0
(6.4)
Für die vollständige Berechnung der Wahrscheinlichkeiten nach den Formeln (6.3)
R π/2
und (6.4) ist die Berechnung des Integrals Im := z=0 z m sin z dz für m = 0, 1, . . . ,
n erforderlich. Diese Aufgabe wird mit dem folgenden Lemma gelöst.
Lemma 6.1. Für k = 0, 1, 2, 3, . . . gilt
Z π/2
k
X
2k
k+1
I2k :=
x sin x dx = (−1)
(2k)! +
(−1)k+i
0
I2k+1 :=
i=1
Z
π/2
x2k+1 sin x dx =
0
k
X
(−1)k+i
i=0
(2k)! π 2i−1
,
(2i − 1)! 2
(2k + 1)! π 2i
.
(2i)!
2
Beweis. Mittels partieller Integration erhält man
Z
k
k
X
X
(2k)!
2k
k+i+1 (2k)! 2i
x sin x dx = cos x
(−1)
x + sin x
(−1)k+i
x2i−1
(2i)!
(2i
−
1)!
i=0
i=1
sowie
Z
x2k+1 sin x dx = cos x
k
X
i=0
(−1)k+i+1
(2k + 1)! 2i+1
x
(2i + 1)!
k
X
(2k + 1)! 2i
+ sin x
(−1)k+i
x
(2i)!
i=0
und somit nach Einsetzen der Integrationsgrenzen die Aussage des Lemmas.
Der folgende Satz fasst die Ergebnisse dieses Abschnitts zusammen:
Satz 6.2. Für 2a ≤ D sind die Wahrscheinlichkeiten p(i, n, λ) für genau i Schnittpunkte zwischen Testelement Zn, a und Gitter RD gegeben durch
n
X
ν−1 n
p(0, n, λ) = 1 − 2λ
(−1)
π −ν Iν ,
ν
ν=1
X
n−i
n
ν n−i
p(i, n, λ) = 2λ
(−1)
π −(ν+i) Iν+i für 1 ≤ i ≤ n − 1 ,
i ν=0
ν
p(n, n, λ) = 2λ π −n In ,
wobei die Zahlen I2k und I2k+1 nach Lemma 6.1 bestimmt werden.
85
6.3. ERWARTUNGSWERTE UND VARIANZEN
Die Wahrscheinlichkeit p(n, λ) für mindestens einen Schnittpunkt ist
p(n, λ) = 1 − p(0, n, λ) = 2λ
6.3
n
X
ν−1
(−1)
ν=1
n −ν
π Iν .
ν
(6.5)
Erwartungswerte und Varianzen
Satz 6.3. Für 2a ≤ D sind der Erwartungswert E(Zn, λ ) und die Varianz Var(Zn, λ )
für die Anzahl Zn, λ der Schnittpunkte zwischen Testelement Zn, a und Gitter RD
gegeben durch
2nλ
E(Zn, λ ) =
π
2nλ
und Var(Zn, λ ) =
π
2(n − 1) 2nλ
n−
−
.
π
π
Beweis. Der Erwartungswert ist für eine einzelne Nadel gleich der Schnittwahrscheinlichkeit, also 2λ/π. Aufgrund der Additivität des Erwartungswertes ergibt
sich E(Zn, λ ) = 2nλ/π für das gesamte Testelement Zn, a .
Für die Varianz Var(Zn, λ ) gilt
2
2
Var(Zn, λ ) = E(Zn,
λ ) − (E(Zn, λ )) .
Zu berechnen ist also noch
2
E(Zn,
λ)
=
n
X
i2 p(i, n, λ) .
i=1
Wir verwenden die p(i, n, λ) in der Form
Z a
2 n
p(i, n, λ) =
xi (1 − x)n−i dy ,
D i
y=0
mit x := β/(2π). Hiermit erhält man
2
E(Zn,
λ)
Z a
n
2 X 2 n
=
i
xi (1 − x)n−i dy
D i=1
i
y=0
2
=
D
n
X
2 n
i
xi (1 − x)n−i dy .
i
y=0 i=1
Z
a
Es gilt
n
X
2 n
i
xi (1 − x)n−i = n(n − 1)x2 + nx .
i
i=1
86
KAPITEL 6. NADELBÜSCHEL
Somit folgt
2
E(Zn,
λ)
2
=
D
Z
a
n(n − 1)x2 + nx dy
y=0
Z
2n a
x dy +
x dy
D y=0
y=0
Z
Z
2nλ π/2
2n(n − 1)λ π/2 2
=
z sin z dz +
z sin z dz
π2
π z=0
z=0
2n(n − 1)λ
2nλ
2nλ
2(n − 1)
=
(π − 2) +
=
n−
,
π2
π
π
π
2n(n − 1)
=
D
also
Var(Zn, λ ) =
2
E(Zn,
λ)
Z
a
2
2nλ
2(n − 1) 2nλ
− (E(Zn, λ )) =
n−
−
.
π
π
π
2
Anmerkung: Aufgrund der Additivität des Erwartungswertes ist es für die Gültigkeit der Formel für E(Zn, λ ) ausreichend, a ≤ D vorauszusetzen.
Wir definieren die neue Zufallsvariable Xn, λ (wie bei den sternförmigen Testelementen) durch Xn, λ := Zn, λ /n. Hierfür ergeben sich der Erwartungswert
E(Xn, λ ) =
n
X
i
E(Zn, λ )
2λ
p(i, n, λ) =
=
,
n
n
π
i=1
das zweite Moment
2
E(Xn,
λ)
=
n 2
X
i
i=1
n
2
E(Zn,
2λ
λ)
=
p(i, n, λ) =
2
n
π
2
2
1− +
π πn
und die Varianz
Var(Xn, λ ) =
2
E(Xn,
λ)
2λ
− (E(Xn, λ )) =
π
2
2
2
2λ
1− +
−
.
π πn
π
Es folgen unmittelbar
2λ
2
lim
=
1−
n→∞
π
π
2λ
2 2λ
lim Var(Xn, λ ) =
1− −
.
n→∞
π
π
π
2λ
lim E(Xn, λ ) =
,
n→∞
π
und
2
E(Xn,
λ)
also dieselben Grenzwerte wie bei den sternförmigen Testelementen (Formeln (2.4)).
87
6.4. SPEZIALFÄLLE
6.4
Spezialfälle
1) Für n = 1 ist
p(0, 1, λ) = 1 −
2λ
,
π
p(1, λ) = p(1, 1, λ) =
2λ
.
π
Das sind die Wahrscheinlichkeiten des klassischen Buffonschen Nadelproblems. Für
die Varianz gilt
2λ
2λ
1−
.
Var(Z1, λ ) =
π
π
2) Für n = 2 erhält man
2(π + 2)λ
8λ
, p(1, 2, λ) = 2 ,
2
π
π
4λ
4 4λ
Var(Z2, λ ) =
2− −
.
π
π
π
p(0, 2, λ) = 1 −
p(2, 2, λ) =
2(π − 2)λ
,
π2
Nachfolgend werden noch einige weitere Beispiele für verschiedene Nadelanzahlen
aufgeführt, wobei auf die Angabe der leicht zu berechnenden Varianzen verzichtet
werden soll:
3) n = 3
3(π 2 + 8π − 8)λ
p(0, 3, λ) = 1 −
,
2π 3
p(2, 3, λ) =
3(π 2 − 8π + 24)λ
,
2π 3
3(π 2 − 16π + 24)λ
p(1, 3, λ) = −
,
2π 3
p(3, 3, λ) =
3(π 2 − 8)λ
;
2π 3
4) n = 6
p(0, 6, λ) = 1 −
3(π 5 + 160π 4 − 80π 3 − 1920π 2 + 1920π + 3840)λ
,
8π 6
p(1, 6, λ) = −
3(π 5 − 80π 4 + 1920π 2 − 1920π − 5760)λ
,
2π 6
p(2, 6, λ) = −
15(π 5 + 32π 4 + 48π 3 − 2304π 2 + 1920π + 11520)λ
,
8π 6
p(3, 6, λ) = −
2880(π 2 − 10)λ
,
π6
p(4, 6, λ) =
15(π 5 + 48π 3 + 384π 2 + 1920π − 11520)λ
,
8π 6
p(5, 6, λ) =
3(π 5 − 1920π + 5760)λ
,
2π 6
p(6, 6, λ) =
3(π 5 − 80π 3 + 1920π − 3840)λ
;
8π 6
88
KAPITEL 6. NADELBÜSCHEL
5) n = 9
p(0, 9, λ) = 1 −
9(π 8 +2048π 7 −224π 6 −86016π 5 +26880π 4 +1720320π 3 −1290240π 2 −10321920π+10321920)λ
128π 9
p(1, 9, λ) = −
9(7π 8 −4096π 7 −672π 6 +344064π 5 −26880π 4 −10321920π 3 +6451200π 2 +8257360π−92897280)λ
p(3, 9, λ) = −
63(π 8 +64π 6 +12288π 5 +3840π 4 −1228800π 3 +20643840π−30965760)λ
128π 9
p(2, 9, λ) = − 9(5π
8 +512π 7 −129024π 5 −26880π 4 +6451200π 3 −2580480π 2 −72253440π−92897280)λ
32π 9
32π 9
p(4, 9, λ) = − 63(π
,
8 +96π 6 −6144π 5 +11520π 4 +1843200π 3 +1290240π 2 −51609600π+92897280)λ
64π 9
p(5, 9, λ) =
63(π 8 +96π 6 +11520π 4 +737280π 3 +1290240π 2 −41287680π+92897280)λ
p(6, 9, λ) =
63(π 8 +64π 6 +3840π 4 −61440π 3 +10321920π−30965760)λ
32π 9
p(7, 9, λ) =
45(π 8 −5376π 4 −516096π 2 −4128768π+18579456)λ
32π 9
p(8, 9, λ) =
63(π 8 −96π 6 −3840π 4 +921600π 2 +1474560π−13271040)λ
p(9, 9, λ) =
9(π 8 −224π 6 +26880π 4 −1290240π 2 +10321920)λ
128π 9
64π 9
,
,
,
,
,
128π 9
,
.
Diese Wahrscheinlichkeiten sind in Bild 6.2 grafisch dargestellt.
Bild 6.3 zeigt die Wahrscheinlichkeiten p(i, 15, 1/2), 0 ≤ i ≤ 15, für das Testelement Z15, a auf dem Gitter R2a . Für das selbe Testelement, diesmal aber auf dem
Gitter R2,2a erhält man die in Bild 6.4 gezeigten Wahrscheinlichkeiten.
Die Wahrscheinlichkeit p(n, 1/2) für mindestens einen Schnittpunkt zwischen Zn, a
und R2a in Abhängigkeit von der Nadelanzahl n ist in Bild 6.5 dargestellt. Der rechte
äußere Balken zeigt die Wahrscheinlichkeit limn→∞ p(n, 1/2) = 1.
p
0.2
0.15
0.1
0.05
0
1
2
3
4
5
6
7
Bild 6.2: p(i, 9, 1/2), 0 ≤ i ≤ 9
8
9
i
,
,
89
6.4. SPEZIALFÄLLE
p
0.14
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10 11 12 13 14 15
i
Bild 6.3: p(i, 15, 1/2), 0 ≤ i ≤ 15
p
0.12
0.1
0.08
0.06
0.04
0.02
0
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10 11 12 13 14 15
i
1
Bild 6.4: p(i, 15, 2,2
), 0 ≤ i ≤ 15
p
1
0.8
0.6
0.4
0.2
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
n
Bild 6.5: Wahrscheinlichkeiten p(n, 1/2), 1 ≤ n ≤ 15 und n = ∞
90
6.5
KAPITEL 6. NADELBÜSCHEL
Verteilungsfunktionen und Momente
Nachfolgend soll das Konvergenzverhalten der Verteilungsfunktionen FXn, λ ,
FXn, λ (x) = P (Xn, λ ≤ x) =
i:
X
i
n
p(i, n, λ) ,
≤x
für n → ∞ untersucht werden. Für diese gilt

0 für − ∞ < x < 0 ,



!

Z 1/2 [nx]

X
n i
FXn, λ (x) =
1 − 2λ + 2πλ
u (1 − u)n−i sin πu du für 0 ≤ x < 1 ,

i

0

i=0


1 für 1 ≤ x < ∞ .
konvergieren für n → ∞ gleichmäßig
Satz 6.4. Die Verteilungsfunktionen FXn, λ
gegen die Verteilungsfunktion

0


1 − 2λ cos πx
FXλ (x) =


1
für
für
für
− ∞ < x < 0,
0 ≤ x < 12 ,
1
2
(6.6)
≤ x < ∞.
Zum Beweis dieses Satzes verwenden wir den folgenden Satz von Pólya, der hier
ohne Beweis zitiert werden soll:
Satz 6.5. Die Verteilungsfunktion F sei stetig. Die Momente von F
Z ∞
xm dF (x) = tm
(m = 0, 1, 2, 3, . . . )
−∞
sollen der Bedingung genügen, dass
√
t2m
m
2m
lim sup
m→∞
endlich ist. Genügt dann die Folge der Verteilungsfunktionen
F1 , F2 , F3 , . . . , Fn , . . .
für alle n ∈ N den unendlich vielen Grenzbedingungen
Z ∞
xµ dFn (x) = tµ
(µ = 0, 1, 2, 3, . . . ),
−∞
so ist
lim Fn (x) = F (x)
n→∞
gleichmäßig in jedem Intervall.
91
6.5. VERTEILUNGSFUNKTIONEN UND MOMENTE
Beweis. Siehe [28, S. 178-181].
Wir kommen nun zum Beweis von Satz 6.4:
Beweis. Wir stellen die Verteilungsfunktionen FXn, λ (x) in der Form
FXn, λ (x) = (1 − 2λ)F ∗ (x) + 2λFXn, 1/2 (x)
dar mit
F ∗ (x) =
(
0 für −∞ < x < 0 ,
1 für 0 ≤ x < ∞
und

0 für − ∞ < x < 0 ,



!

Z 1/2  X
[nx]
n
FXn, 1/2 (x) =
ui (1 − u)n−i sin πu du
für 0 ≤ x < 1 ,
 π
i

0

i=0


1 für 1 ≤ x < ∞ .
FXn, λ konvergiert offensichtlich gleichmäßig gegen eine Grenzverteilung FXλ , falls
FXn, 1/2 gleichmäßig gegen eine Grenzverteilung FX1/2 konvergiert. Es ist also zu zeigen, dass die Folge der Verteilungsfunktionen FXn, 1/2 gleichmäßig gegen eine Grenzverteilung FX1/2 konvergiert.
Zu diesem Zweck betrachten wir die Momente bezüglich der Verteilungsfunktionen FXn, 1/2
k
E(Xn,
1/2 )
=
Z
∞
−∞
=
xk dFXn, 1/2 (x)
n k
X
i
n
i=1
=
n k
X
i
n
i=0
= π
p(i, n, 1/2)
n k Z
X
i
n
i=0
= π
[FXn, 1/2 (i/n)) − FXn, 1/2 ((i − 1)/n)]
Z
0
1/2
n
i
0
1/2
xi (1 − x)n−i sin πx dx
n k X
i
n i
sin πx
x (1 − x)n−i dx ,
n
i
|i=0
{z
}
k
E(Xn, 1/2 | y)
k = 1, 2, 3, . . . .
92
KAPITEL 6. NADELBÜSCHEL
k
Hierbei sind E(Xn,
1/2 | y) die bedingten Momente für festes y. Diese bedingten Momente sind die Bernsteinschen Polynome Bn (g) n-ter Ordnung für die Funktionen
g(x) := xk , k = 1, 2, 3, . . . . Die Bernsteinschen Polynome
n
X
i
n i
Bn (g)(x) =
g
x (1 − x)n−i
n
i
i=0
haben die Eigenschaft, dass für jede im Intervall [0, 1] stetige Funktion g die Gleichung
lim Bn (g)(x) = g(x)
n→∞
gilt, wobei die Konvergenz im Intervall [0, 1] gleichmäßig erfolgt [24, S. 106]. Somit
ist
k
k
lim E(Xn,
k = 1, 2, 3, . . . .
1/2 | y) = x ,
n→∞
Da der Integrand mit zunehmendem n gleichmäßig gegen xk sin πx konvergiert,
dürfen Grenzwertbildung und Integral vertauscht werden, also
lim
n→∞
k
E(Xn,
1/2 )
= π lim
n→∞
= π
Z
Z
= π
0
k
E(Xn,
1/2 | y) sin πx dx
1/2
k
lim E(Xn,
1/2 | y) sin πx dx
n→∞
0
Z
1/2
1/2
xk sin πx dx ,
k = 1, 2, 3, . . . .
0
Das bedeutet, dass die Momente gegen die selben Werte wie die Momente der
sternförmigen Testelemente für λ = 1/2 und n → ∞ konvergieren. Die Grenzverteilung für die sternförmigen Testelemente ist nach Satz 2.4 gegeben. Wir bezeichnen
diese Grenzverteilung jetzt mit Fλ . Für λ = 1/2 ist

für − ∞ < x < 0 ,

 0
1 − cos πx für 0 ≤ x < 12 ,
F1/2 (x) =

 1
für 21 ≤ x < ∞ .
stetig. Damit erhalten wir
tk :=
Z
∞
k
x dF1/2 (x) = π
−∞
Wegen
t2k = π
Z
0
ist
1/2
Z
1/2
xk sin πx dx .
0
2k
1
x sin πx dx ≤
2
2k
√
t2k
1
≤
.
k
2k
2k
93
6.5. VERTEILUNGSFUNKTIONEN UND MOMENTE
Somit konvergiert die Folge der Verteilungsfunktionen FXn, 1/2 nach Satz 6.5 gleichmäßig
gegen F1/2 . Hieraus folgt unmittelbar
lim FXn, λ (x) = (1 − 2λ) lim F ∗ (x) + 2λ lim FXn, 1/2 (x)
n→∞
n→∞
n→∞
∗
= (1 − 2λ)F (0) + 2λF1/2 (x)

(1 − 2λ) · 0 + 2λ · 0 = 0
für − ∞ < x < 0 ,


1 − 2λ + 2λ(1 − cos πx) = 1 − 2λ cos πx für 0 ≤ x < 21 ,
=


1 − 2λ + 2λ = 1
für 12 ≤ x < ∞ ,
wobei die FXn, λ auf R gleichmäßig gegen die Grenzverteilung FXλ = Fλ konvergieren,
womit der Satz bewiesen ist.
Beispiele. In den Bildern 6.6, 6.7 und 6.8 sind die Verteilungsfunktionen FX3, 1/2 ,
FX11, 1/2 und FX100, 1/2 im Vergleich zur Grenzverteilung FX1/2 dargestellt. Es ist zu
erkennen, dass die (gleichmäßige) Konvergenz gegen die Grenzverteilung FX1/2 sehr
langsam erfolgt, insbesondere wesentlich langsamer als die Konvergenz der Verteilungsfunktionen der sternförmigen Testelemente, für die ja
kFXn, λ (x) − FXλ (x)kx∈R <
πλ
,
n
n ≥ 2,
gilt.
F
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Bild 6.6: Verteilungsfunktionen FX3, 1/2 und FX1/2
94
KAPITEL 6. NADELBÜSCHEL
F
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Bild 6.7: Verteilungsfunktionen FX11, 1/2 und FX1/2
F
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x
Bild 6.8: Verteilungsfunktionen FX100, 1/2 und FX1/2
6.6
Konvexe Hüllen der Testelemente
Bei jedem Wurf eines Testelements Zn, a hat dessen konvexe Hülle einen bestimmten
Umfang u. Zwischen der Wahrscheinlichkeit p für mindestens einen Schnittpunkt
und dem Erwartungswert E(u) besteht nach Satz 4.1 der Zusammenhang
p=
E(u)
.
πD
Das bedeutet, dass sich der Erwartungswert E(u) einfach aus
E(u) = p πD
berechnen lässt. E(u) kann auch in folgendem Sinne als Mittelwert u für den Umfang
der konvexen Hülle von Zn, a aufgefasst werden: Lässt man eine Nadel fest und lässt
6.7. NADELBÜSCHEL MIT UNTERSCHIEDLICH LANGEN NADELN
95
die verbleibenden n−1 Nadeln sämtliche möglichen Relativwinkel jeweils im Intervall
[0, 2π] bezüglich der festen Nadel einnehmen, so gilt
1
E(u) = u =
(2π)n−1
Z2π
Z2π
...
ψn−1 =0
un (ψ1 , . . . , ψn−1 ) dψ1 . . . dψn−1 ;
ψ1 =0
dabei wird für 1 ≤ i ≤ n − 1 mit ψi der Relativwinkel zwischen der Nadel i + 1
und der als fest angenommenen Nadel 1 bezeichnet und mit u = u(ψ1 , . . . , ψn−1 )
der von den Relativwinkeln abhängige Umfang der konvexen Hülle von Zn, a . Mit
der bekannten Wahrscheinlichkeit p(n, λ) für mindestens einen Schnittpunkt (siehe
Formel (6.5)) können wir das folgende Korollar formulieren:
Korollar 6.6. Es gilt
E(u) = 2πa
n
X
i−1
(−1)
i=1
n −i
π Ii
i
mit den Ii entsprechend Lemma 6.1.
Spezialfälle. Für n = 1 ergibt sich u = E(u) = 2a. Für n = 2 erhält man
u = E(u) =
2(π + 2)
a ≈ 3, 27324 a
π
und für n = 3
3(π 2 + 8π − 8)
a ≈ 4, 10386 a .
2π 2
Schreibt man p(n, a/D) in der Form
Z
2a 2a π/2 z n
p(n, a/D) =
−
1−
sin z dz ,
D
D z=0
π
u = E(u) =
so ist
E(u) = 2πa 1 −
Z
π/2
z=0
z n
1−
sin z dz
π
!
.
Da das Integral für n → ∞ gegen Null konvergiert, gilt
lim E(u) = 2πa .
n→∞
Das entspricht dem Umfang eines Kreises mit dem Radius a.
6.7
Nadelbüschel mit unterschiedlich langen Nadeln
Nachfolgend soll die Theorie des Nadelbüschels mit n im allgemeinen unterschiedlich
langen Nadeln hergeleitet werden. Wir bezeichnen mit a1 , a2 , . . . , an die Längen der
96
KAPITEL 6. NADELBÜSCHEL
Nadeln und mit Za1 , ... , an das aus diesen Nadeln bestehende Testelement. Es soll
max((aj + ak ) ≤ D; j, k ∈ {1, 2, . . . , n}) vorausgesetzt werden, so dass nicht zwei
Geraden des Gitters gleichzeitig geschnitten werden können.
Für festes y (vergleiche Bild 6.1) ist die bedingte Wahrscheinlichkeit, dass i Nadeln
j1 , j2 , . . . ji , 1 ≤ i ≤ n, mit
min(ajρ , ρ ∈ {1, 2, . . . , i}) ≥ y
gleichzeitig das Gitter schneiden, als Produkt unabhängiger Wahrscheinlichkeiten
durch
i
βji
1 Y
y
βj1 βj2
···
=
βji mit βji = 2 arccos
i
2π 2π
2π
(2π) ρ=1
aji
gegeben. Wir bezeichnen mit Aj das Ereignis, dass die Nadel j das Gitter schneidet.
Damit erhält man die absolute Wahrscheinlichkeit P (Aj1 ∩ . . . ∩ Aji ) dafür, dass
alle diese Nadeln gleichzeitig das Gitter schneiden:
2
P (Aj1 ∩ . . . ∩ Aji ) = i
πD
Z
min(aj1, ... , aji )
y=0
i
Y
arccos
ρ=1
y
dy .
ajρ
Mittels des Prinzips von Inklusion und Exklusion [38] lassen sich damit die Wahrscheinlichkeiten p(i, a, D), a = (a1 , . . . , an ), für genau i, 1 ≤ i ≤ n, Schnittpunkte
zwischen Testelement und Gitter berechnen. Es gilt
p(i, a, D) =
n
X
ν=i
i+ν
(−1)
X
ν
i 1≤j < ... <j
1
ν ≤n
P (Aj1 ∩ . . . ∩ Ajν ) .
Wir setzen zur Abkürzung Za = Za1 , ... , an und fassen die eben erhaltenen Ergebnisse im folgenden Satz zusammen.
Satz 6.7. Die Wahrscheinlichkeiten p(i, a, D) für genau i, 1 ≤ i ≤ n, Schnittpunkte
zwischen dem Testelement Za und dem Parallelengitter RD sind für
max((aj + ak ) ≤ D; j, k ∈ {1, 2, . . . , n})
durch
n
X
2 X (−1)i+ν ν
p(i, a, D) =
D ν=i
πν
i 1≤j < ... <j
1
ν ≤n
Z
ν
min(aj1, ... , ajν ) Y
y=0
ρ=1
arccos
y
dy .
ajρ
gegeben.
Wir betrachten als Beispiel das Testelement mit zwei unterschiedlich langen Nadeln entsprechend Bild 4.3.
97
6.7. NADELBÜSCHEL MIT UNTERSCHIEDLICH LANGEN NADELN
Beispiel. Wir bezeichnen jetzt die Längen der beiden Nadeln statt a und b mit a1
und a2 und setzen a = (a1 , a2 ). Es soll o. B. d. A. a1 > a2 vorausgesetzt werden. Es
gilt
Z min(aj , ... , ajν ) Y
2
ν
X
1
y
2 X (−1)1+ν ν
p(1, a, D) =
arccos
dy
ν
D ν=1
π
1 1≤j < ... <j ≤n y=0
ajρ
ρ=1
ν
1
Z a1
Z a2
2 1
y
y
=
arccos
dy +
arccos
dy
D π
a1
a2
y=0
y=0
Z a2
2
y
y
− 2
arccos arccos
dy
π y=0
a1
a2
Z a2
2
y
y
2 a1 + a2
− 2
arccos arccos
dy ,
=
D
π
π y=0
a1
a2
2
X
2 X (−1)2+ν ν
p(2, a, D) =
D ν=2
πν
2 1≤j < ... <j
1
2
=
2
π D
Z
a2
arccos
y=0
ν ≤n
Z
ν
min(aj1, ... , ajν ) Y
y=0
arccos
ρ=1
y
dy
ajρ
y
y
arccos
dy .
a1
a2
Wir berechnen zunächst p(2, a, D). Mittels partieller Integration erhält man


s
2 a2
2
y 
y 
y
p(2, a, D) =
arccos
y
arccos
−
a
1
−
2
π2D
a1
a2
a2
y=0
p
Z a2
y arccos(y/a2 ) − a2 1 − (y/a2)2
2
p
+ 2
dy
π D y=0
a1 1 − (y/a1 )2
Z a2
Z a2 s 2
a2
2
y arccos(y/a2)
2
a2 − y 2
p
=
+ 2
dy .
dy − 2
πD
π D y=0 a1 1 − (y/a1 )2
π D y=0 a21 − y 2
Die Substitution y = a2 x liefert
Z a2 s 2
2 Z 1
a2
2 a2
x arccos x
2
a2 − y 2
p
p(2, a, D) =
+ 2
dx − 2
dy .
πD
π D a1 x=0 1 − (a2 /a1 )2 x2
π D y=0 a21 − y 2
Nach [21, Band 1, S. 654, Formel 4.522.5] ist
Z 1
x arccos x
a21 π
a2
p
dx = 2
−E
,
a2 2
a1
1 − (a2 /a1 )2 x2
x=0
wobei
E(k) = E(k,
π
)
2
=
Z
π/2
x=0
p
1 − k 2 sin2 x dx
98
KAPITEL 6. NADELBÜSCHEL
das vollständige elliptische Integral zweiter Gattung ist, und nach [21, Band 1, S.
330, Formel 3.169.9]
Z a2 s 2
a2 − y 2
a2
a21 − a22
a2
dy
=
a
E
−
K
1
a21 − y 2
a1
a1
a1
y=0
wobei K(k) das vollständige elliptische Integral erster Gattung
Z π/2
dx
π
p
K(k) = F (k, 2 ) =
x=0
1 − k 2 sin2 x
bezeichnet. Es folgt
2a1 π
a2
a2
p(2, a, D) =
+ 2
−E
πD π D 2
a1
2
a2
a21 − a − 22
a2
− 2
a1 E
−
K
π D
a1
a1
a1
a1 + a2
2
a2
a21 − a22
a2
− 2
2a1 E
−
K
.
=
πD
π D
a1
a1
a1
Unter Beachtung von
√ !
2
k
[21, Band 2, S. 298, Formel 8.126.4] ,
2 E(k) − (1 − k 2 ) K(k) = (1 + k) E
1+k
also
a2
2a1 E
a1
√
2 a1 a2
a21 − a22
a2
−
K
= (a1 + a2 ) E
a1
a1
a1 + a2
ergibt sich schließlich
p(2, a, D) =
√
2 a1 a2
(a1 + a2 ) π − 2 E a1 +a2
π2D
.
Hieraus erhält man leicht die Wahrscheinlichkeiten
p(1, a, D) =
2(a1 + a2 )
− 2 p(2, a, D) =
πD
4(a1 + a2 ) E
π2D
√
2 a1 a2
a1 +a2
und
p(0, a, D) = 1 − p(1, a, D) − p(2, a, D) = 1 −
√
2 a a
(a1 + a2 ) π + 2 E a1 +a1 22
π2D
Diese Ergebnisse stimmen mit denen des Abschnitts 4.3 überein.
.
6.8. SIMULATION
6.8
99
Simulation
Für die Simulation der Zufallsexperimente mit Nadelbüscheln auf Parallelengittern
wurde das Programm zstern02.pas in Anhang A.4 entwickelt. Als Beispiel sind
nachfolgend für die Parameterkombination
D = 2, a = (a1 , a2 , a3 , a4 , a5 ) = (1, 4/5, 3/5, 2/5, 1/5)
die berechneten und simulierten Werte gegenübergestellt. Die Wahrscheinlichkeiten
wurden numerisch mit Mathematica berechnet. Bei der Simulation zur Bestimmung
der relativen Häufigkeiten mittels zstern02.pas wurden 1000000 Versuche durchgeführt.
i Wahrscheinlichkeit p(i, a, D) relative Häufigkeit h(i, a, D)
0
0,432058
0,432700
1
0,304952
0,304847
2
0,165924
0,165907
3
0,073026
0,072748
4
0,021152
0,020921
5
0,002889
0,002877
100
KAPITEL 6. NADELBÜSCHEL
Kapitel 7
Dreigliedrige Kette
7.1
Testelemente und Theorie
Wir betrachten eine dreigliedrige Kette (Bild 7.1), die aus drei im allgemeinen verschieden langen Nadeln (Strecken) A0 , B 0 und C 0 besteht, wobei B 0 die mittlere
Nadel ist. Die Nadeln sind mittels zweier Gelenke A0 B 0 und B 0 C 0 miteinander verbunden. Die Längen der Nadeln A0 , B 0 und C 0 werden mit a, b und c bezeichnet.
Die Kette wird zufällig auf ein Parallelengitter RD geworfen. Für die Gesamtlänge
L = a + b + c der Kette soll L ≤ D gelten, d.h., die Kette kann nicht mehr als eine
Gerade des Parallelengitters RD gleichzeitig schneiden.
Bild 7.1: Kette auf Parallelengitter RD
Unter einem zufälligen Wurf wird verstanden, dass die Lage eines beliebigen Punktes der Kette (z.B. des Gelenkpunktes A0 B 0 ) nach dem Wurf eine im Intervall [0, D]
gleichmäßig verteilte Zufallsvariable ist. Weiterhin sind die Winkel, die die Nadeln
A0 , B 0 und C 0 nach dem Wurf bezüglich der Gittergeraden aufweisen, gleichmäßig im
Intervall [0, 2π] verteilte Zufallsvariablen. Es wird vorausgesetzt, dass alle Zufallsvariablen voneinander stochastisch unabhängig sind. Die Ereignisse, dass die Nadeln
A0 , B 0 bzw. C 0 das Gitter RD schneiden, werden mit A, B bzw. C bezeichnet.
Wir können o.B.d.A. a ≤ c voraussetzen. (Falls das nicht der Fall ist, vertauscht
man einfach die Bezeichnungen A0 und C 0 miteinander.) Ziel ist die Berechnung der
Wahrscheinlichkeiten pi , i = 0, 1, 2, 3 für genau i Schnittpunkte. Nach elementaren
101
102
KAPITEL 7. DREIGLIEDRIGE KETTE
Regeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung gilt
p1 = P (A) + P (B) + P (C) − 2[P (A ∩ B) + P (A ∩ C) + P (B ∩ C)]
+ 3P (A ∩ B ∩ C) ,
p2 = P (A ∩ B) + P (A ∩ C) + P (B ∩ C) − 3P (A ∩ B ∩ C) ,
p3 = P (A ∩ B ∩ C) ,
p0 = 1 − (p1 + p2 + p3 ) .
Die Formeln zur Berechnung der Wahrscheinlichkeiten P (A), P (B), P (C) sowie
P (A ∩ B) und P (B ∩ C) sind bereits bekannt (siehe Formel (1.6) und p2 in Satz
4.3). Zu bestimmen sind also noch P (A ∩ C) und P (A ∩ B ∩ C). Bei der Berechnung
von P (A ∩ C) machen wir uns nachfolgend die Beziehung
P (A ∩ C) = P (A ∩ B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C)
zunutze. Über die Wahrscheinlichkeiten P (A ∩ B ∩ C) und P (A ∩ B ∩ C) gibt der
folgende Satz Auskunft:
Satz 7.1. Unter Beachtung der jeweils angegebenen Ungleichungen gilt für a+b+c =
L ≤ D:
a ≥ b ≥ c:
2
P (A ∩ B ∩ C) =
3
π D
Z
b−c
y=0
Z
arcsin((y+c)/b)
+
φ=arcsin(y/b)
Z
y=b−c
arccos
2
P (A ∩ B ∩ C) =
3
π D
Z
b
y=0
Z
b
arcsin(y/b)
+
φ=arcsin((y−c)/b)
π/2
φ=arcsin(y/b)
!
y
b sin φ − y
arccos
dφ dy ,
a
c
Z
min(a, b+c)
y=b
arccos
Z
Z
π/2
φ=arcsin((y−c)/b)
!
y
y − b sin φ
arccos
dφ dy ;
a
c
a ≥ c ≥ b:
2
P (A ∩ B ∩ C) =
3
π D
Z
b
y=0
Z
π/2
φ=arcsin(y/b)
arccos
y
b sin φ − y
arccos
dφ dy ;
a
c
103
7.1. TESTELEMENTE UND THEORIE
a ≥ c ≥ 2b:
Z
2
P (A ∩ B ∩ C) =
π3D
b
y=0
+
Z
arcsin(y/b)
Z
min(a, b+c)
+
φ=−π/2
y=c−b
Z
c−b Z π/2
y=b
Z
φ=−π/2
π/2
φ=− arcsin((c−y)/b)
!
y
y − b sin φ
arccos
dφ dy .
a
c
arccos
a ≥ c ≥ b ≥ c/2:
Z
2
P (A ∩ B ∩ C) =
3
π D
c−b Z arcsin(y/b)
y=0
+
+
φ=−π/2
Z
min(a, b+c)
y=b
Z
b
y=c−b
Z
Z
arcsin(y/b)
φ=− arcsin((c−y)/b)
π/2
φ=− arcsin((c−y)/b)
!
arccos
y
y − b sin φ
arccos
dφ dy .
a
c
arccos
y
b sin φ − y
arccos
dφ dy ;
a
c
b ≥ a + c ≥ a ≥ c:
Z
2
P (A ∩ B ∩ C) =
π3D
a
y=0
Z
arcsin((y+c)/b)
φ=arcsin(y/b)
a + c ≥ b ≥ a ≥ c:
Z
2
P (A ∩ B ∩ C) =
π3D
b−c
y=0
Z
arcsin((y+c)/b)
+
φ=arcsin(y/b)
Z
a
y=b−c
arccos
Z
π/2
φ=arcsin(y/b)
!
y
b sin φ − y
arccos
dφ dy ;
a
c
b ≥ a ≥ c:
2
P (A ∩ B ∩ C) =
3
π D
Z
a
y=0
Z
arcsin(y/b)
φ=arcsin((y−c)/b)
arccos
y
y − b sin φ
arccos
dφ dy .
a
c
Beweis. (siehe Bild 7.2) Die Lage der mittleren Nadel B 0 bezüglich des Gitters RD
wird durch die beiden Paramter y und φ festgelegt: φ ist der Winkel zwischen den
Gittergeraden und B 0 und y der Abstand des Gelenkpunktes A0 B 0 von einer Geraden von RD . y soll dabei o.B.d.A. so definiert sein, dass A0 B 0 immer unterhalb der
104
KAPITEL 7. DREIGLIEDRIGE KETTE
Gittergeraden liegt. Für feste Lagen (y, φ) der mittleren Nadel B 0 berechnen wir
zunächst die bedingten Wahrscheinlichkeiten, dass die beiden anderen Nadeln A0
und C 0 gleichzeitig das Gitter schneiden. Falls B 0 das Gitter schneidet, erhält man
die bedingte Wahrscheinlichkeit P (A∩B ∩C | y, φ), wenn B 0 das Gitter nicht schneidet, die bedingte Wahrscheinlichkeit P (A∩B ∩C | y, φ). Für feste Lage der mittleren
Nadel B 0 sind A und C unabhängige Ereignisse. Somit ist die Wahrscheinlichkeit,
dass A und C gleichzeitig eintreten, gleich dem Produkt der Einzelwahrscheinlichkeiten. Wenn B 0 eine Gerade des Gitters schneidet und so liegt, dass auch die beiden
anderen Nadeln diese Gerade schneiden können, gilt
P (A ∩ B ∩ C | y, φ) =
α β
2π 2π
mit
α = α(y) = 2 arccos(y/a) und β = β(y, φ) = 2 arccos
b sin φ − y
,
c
also
P (A ∩ B ∩ C | y, φ) =
1
y
b sin φ − y
arccos arccos
,
2
π
a
c
Ansonsten ist
P (A ∩ B ∩ C | y, φ) = 0 .
Bild 7.2: Zur Berechnung von P (A ∩ B ∩ C | y, φ) und P (A ∩ B ∩ C | y, φ)
Wenn B 0 keine Gerade des Gitters schneidet, aber so liegt, dass die beiden anderen
Nadeln diese Gerade schneiden können, gilt
P (A ∩ B ∩ C | y, φ) =
α γ
2π 2π
mit
α = α(y) = 2 arccos(y/a) und γ = γ(y, φ) = 2 arccos
y − b sin φ
,
c
also
P (A ∩ B ∩ C | y, φ) =
1
y
y − b sin φ
arccos arccos
.
2
π
a
c
Sonst ist
P (A ∩ B ∩ C | y, φ) = 0 .
7.1. TESTELEMENTE UND THEORIE
105
Die absoluten Wahrscheinlichkeiten P (A ∩ B ∩ C) und P (A ∩ B ∩ C) erhält man
durch Integration über y und φ. Aus Symmetriegründen ist es ausreichend, y im
Intervall [0, D/2] und φ im Intervall [−π/2, π/2] zu betrachten. Es gilt
Z D/2 Z π/2
2
P (A ∩ B ∩ C) =
P (A ∩ B ∩ C | y, φ) dφ dy ,
πD y=0 φ=−π/2
Z D/2 Z π/2
2
P (A ∩ B ∩ C) =
P (A ∩ B ∩ C | y, φ) dφ dy .
πD y=0 φ=−π/2
Wir bestimmen wir nun die Teilmengen von [0, D2 ] × [− π2 , π2 ], auf denen
P (A ∩ B ∩ C | y, φ) =
1
y
y − b sin φ
arccos
arccos
π2
a
c
ist. (Außerhalb dieser Teilmengen ist P (A ∩ B ∩ C | y, φ) gleich Null.) Wir beginnen
mit a ≥ b ≥ c.
• a ≥ b ≥ c (Bild 7.3)
Hier sind die folgenden beiden Fälle zu unterscheiden:
1) 0 ≤ y ≤ b − c, arcsin(y/b) ≤ φ ≤ arcsin((y + c)/b);
2) b − c ≤ y ≤ b, arcsin(y/b) ≤ φ ≤ π/2.
• a ≥ c ≥ b (Bild 7.4)
Hier gilt:
0 ≤ y ≤ b, arcsin(y/b) ≤ φ ≤ π/2.
• b ≥ a + c ≥ a ≥ c (Bild 7.5)
0 ≤ y ≤ a, arcsin(y/b) ≤ φ ≤ arcsin((y + c)/b).
• a + c ≥ b ≥ a ≥ c (Bild 7.6)
1) 0 ≤ y ≤ b − c, arcsin(y/b) ≤ φ ≤ arcsin((y + c)/b),
2) b − c ≤ y ≤ a, arcsin(y/b) ≤ φ ≤ π/2.
Wir bestimmen wir nun die Teilmengen von [0, D2 ] × [− π2 , π2 ], auf denen
P (A ∩ B ∩ C | y, φ) =
1
y
b sin φ − y
arccos arccos
2
π
a
c
ist. (Außerhalb dieser Teilmengen ist P (A ∩ B ∩ C | y, φ) gleich Null.) Wir beginnen
wiederum mit a ≥ b ≥ c.
• a ≥ b ≥ c (Bild 7.7)
Hier sind die folgenden beiden Fälle zu unterscheiden:
1) 0 ≤ y ≤ b, arcsin((y − c)/b) ≤ φ ≤ arcsin(y/b);
2) b ≤ y ≤ min(a, b + c), arcsin((y − c)/b) ≤ φ ≤ π/2.
106
KAPITEL 7. DREIGLIEDRIGE KETTE
Bild 7.3: Zur Berechnung von P (A ∩ B ∩ C) für a ≥ b ≥ c
Bild 7.4: Zur Berechnung von P (A ∩ B ∩ C) für a ≥ c ≥ b
Bild 7.5: Zur Berechnung von P (A ∩ B ∩ C) für b ≥ a + c ≥ a ≥ c
Bild 7.6: Zur Berechnung von P (A ∩ B ∩ C) für a + c ≥ b ≥ a ≥ c
• a ≥ c ≥ 2b (Bild 7.8)
Es sind die folgenden drei Fälle zu unterscheiden:
1) 0 ≤ y ≤ b, −π/2 ≤ φ ≤ arcsin(y/b),
2) b ≤ y ≤ c − b, −π/2 ≤ φ ≤ π/2,
3) c − b ≤ y ≤ min(a, b + c), − arcsin((c − y)/b) ≤ φ ≤ π/2.
• a ≥ c ≥ b ≥ c/2 (Bild 7.9)
Hier gilt:
1) 0 ≤ y ≤ c − b, −π/2 ≤ φ ≤ arcsin(y/b),
2) c − b ≤ y ≤ b, − arcsin((c − y)/b) ≤ φ ≤ arcsin(y/b),
3) b ≤ y ≤ min(a, b + c), − arcsin((c − y)/b) ≤ φ ≤ π/2.
7.1. TESTELEMENTE UND THEORIE
107
• b ≥ a ≥ c (Bild 7.10)
0 ≤ y ≤ a, arcsin((y − c)/b) ≤ φ ≤ arcsin(y/b).
Bild 7.7: Zur Berechnung von P (A ∩ B ∩ C) für a ≥ b ≥ c
Bild 7.8: Zur Berechnung von P (A ∩ B ∩ C) für a ≥ c ≥ 2b
Bild 7.9: Zur Berechnung von P (A ∩ B ∩ C) für a ≥ c ≥ b ≥ c/2
Bild 7.10: Zur Berechnung von P (A ∩ B ∩ C) für b ≥ a ≥ c
Damit haben wir in allen möglichen Fällen die Teilmengen von [0, D2 ] × [− π2 , π2 ]
bestimmt, auf denen P (A ∩ B ∩ C | y, φ) bzw. P (A ∩ B ∩ C | y, φ) ungleich Null sind.
108
KAPITEL 7. DREIGLIEDRIGE KETTE
Die Aussage des Satzes folgt unmittelbar.
Wir behandeln jetzt noch explizit den in Satz 7.1 enthaltenen Spezialfall a = b =
c, der bereits mit anderen Mitteln in Abschnitt 4.4.2 diskutiert wurde. Es gilt
y
y
1
arccos
arccos
−
sin
φ
,
π2
a
a
1
y
y
P (A ∩ B ∩ C | y, φ) =
arccos
arccos
sin
φ
−
.
π2
a
a
P (A ∩ B ∩ C | y, φ) =
Für 0 ≤ y ≤ a und − arcsin(1 − y/a) ≤ φ ≤ arcsin(y/a) schneidet B 0 die
Gittergerade nicht, während A0 und C 0 sie schneiden können (Bild 7.11). Für 0 ≤
y ≤ a und arcsin(y/a) ≤ φ ≤ π/2 schneidet B 0 die Gittergerade und sowohl A0 als
auch C 0 können sie schneiden (Bild 7.12).
Bild 7.11: P (A ∩ B ∩ C)
Bild 7.12: P (A ∩ B ∩ C)
Es folgt
2
P (A ∩ B ∩ C) =
3
π D
Z
a
2
P (A ∩ B ∩ C) =
3
π D
Z
a
y=0
y=0
Z
Z
arcsin(y/a)
y
y
arccos arccos
− sin φ dφ dy ,
a
a
φ=− arcsin(1−y/a)
π/2
arccos
φ=arcsin(y/a)
y
y
arccos sin φ −
dφ dy .
a
a
Mit der Substitution x = y/a erhält man schließlich
Korollar 7.2. Für eine Kette mit a = b = c und 3a ≤ D gilt
2a
P (A ∩ B ∩ C) =
π3D
Z
1
2a
P (A ∩ B ∩ C) =
π3D
Z
1
x=0
x=0
Z
arcsin x
Z
π/2
φ=− arcsin(1−x)
φ=arcsin x
arccos x arccos(x − sin φ) dφ dx ,
arccos x arccos(sin φ − x) dφ dx .
Damit kann man P (A ∩ C) = P (A ∩ B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) berechnen, wofür in
Abschnitt 4.4.2 ein wesentlich höherer Aufwand erforderlich war.
109
7.2. BERECHNUNGEN
7.2
Berechnungen
Die Schnittwahrscheinlichkeiten wurden unter Verwendung der im letzten Abschnitt
hergeleiteten Integrale für P (A ∩ B ∩ C) und P (A ∩ B ∩ C) mittels Mathematica
numerisch berechnet.
Wir verwenden nachfolgend normierte Nadellängen α = a/L, β = b/L und γ =
c/L. (Die normierte Gesamtlänge des Testelements ist damit gleich Eins.)
Die Ergebnisse der Berechnungen mit Mathematica sind in den Bildern 7.13,
7.15 und 7.17 als Höhenliniendiagramme dargestellt. Die in diesen Diagrammen
dargestellten Wahrscheinlichkeiten p∗i (α, γ), i = 1, 2, 3, beziehen sich auf Ketten,
für deren Gesamtlänge L = D gilt. Damit sind die p∗i (α, γ) in Abhängigkeit von den
beiden Parametern α und γ darstellbar. (Die Länge β erhält man aus β = 1−α−γ.)
Auf der waagerechten Achse ist der Parameter α aufgetragen und auf der senkrechten
Achse der Parameter γ. Eine Höhenlinie besteht aus allen (α, γ) mit p∗i (α, γ) = const.
1
0.8
0.6
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0
0
0.2
0.4
0.6
Bild 7.13: p∗1 (α, γ)
0.8
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Bild 7.14: f1 (α) := p∗1 (α, α)
Der Definitionsbereich der p∗i (α, γ) ist ein Dreieck, das durch die Geraden α = 0,
γ = 0 und α + γ = 1 begrenzt wird. (Für alle α, γ mit α + γ = 1 ist β = 0.) In den
Eckpunkten des Dreiecks hat jeweils eine Nadel maximale Länge Eins, während die
beiden anderen Länge Null haben: Im Punkt (α, γ) = (0, 0) ist β = 1.
Die Wahrscheinlichkeiten pi (α, γ), i = 1, 2, 3 für 0 < L < D ergeben sich aus
pi (α, γ) = (L/D) p∗i (α, γ).
Betrachten wir zunächst das Diagramm für p∗1 (α, γ) (Bild 7.13). Die Maxima von
∗
p1 (α, γ) treten in den Eckpunkten des Definitionsbereiches auf, also in (α, γ) =
(0, 0), (α, γ) = (1, 0), (α, γ) = (0, 1). Das Minimum von p∗1 (α, γ) liegt auf der
Geraden α = γ.
Nun zum Höhenliniendiagramm von p∗2 (α, γ) (Bild 7.15). Die Minima von p∗2 (α, γ)
(jeweils mit Wert Null) liegen in den Punkten (α, γ) = (0, 0), (α, γ) = (1, 0) und
(α, γ) = (0, 1). Das ist unmittelbar anschaulich, da in diesen Punkten keine zwei
Schnittpunkte zwischen Kette und Gitter auftreten können, weil zwei Nadeln Länge
110
KAPITEL 7. DREIGLIEDRIGE KETTE
1
0.8
0.14
0.6
0.12
0.1
0.4
0.08
0.06
0.2
0.04
0.02
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Bild 7.15: p∗2 (α, γ)
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Bild 7.16: f2 (α) := p∗2 (α, α)
1
0.8
0.6
0.025
0.02
0.4
0.015
0.01
0.2
0.005
0
0
0.2
0.4
0.6
Bild 7.17: p∗3 (α, γ)
0.8
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Bild 7.18: f3 (α) := p∗3 (α, α)
Null haben. Das Maximum von p∗2 (α, γ) liegt auf der Geraden α = γ.
Im Höhenliniendiagramm für p∗3 (α, γ) (Bild 7.17) ist erkennbar, dass die Minima
von p∗3 (α, γ) (jeweils mit Wert Null) auf den Geraden α = 0, γ = 0 und α + γ =
1 auftreten. Das ist auch unmittelbar klar, da keine drei Schnittpunkte auftreten
können, wenn eine Nadel der Kette die Länge Null hat. Das Maximum von p∗3 (α, γ)
liegt auf der Geraden α = γ.
Bild 7.19 zeigt den Höhenlinienplot der Wahrscheinlichkeit p∗ (α, γ) für mindestens einen Schnittpunkt: Die Maxima von p∗ (α, γ) treten auf in den Punkten
(α, γ) = (0, 0), (α, γ) = (1, 0) und (α, γ) = (0, 1). Das Minimum von p∗ (α, γ)
liegt auf der Geraden α = γ.
Die eben bei der Diskussion der Diagramme getroffenen Aussagen bezüglich der
Wahrscheinlichkeiten p∗i (α, γ) gelten natürlich gleichermaßen für die pi (α, γ), falls
111
7.2. BERECHNUNGEN
1
0.8
0.6
0.65
0.6
0.4
0.55
0.5
0.2
0.45
0
0
0.2
0.4
0.6
Bild 7.19: p∗ (α, γ)
0.8
1
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
Bild 7.20: f (α) := p∗ (α, α)
L ≤ D, da sich die pi (α, γ) und p∗i (α, γ) nur um einen konstanten Faktor unterscheiden.
Nun zur Bestimmung der Lage der Extrema der pi (α, γ), die auf der Geraden
α = γ liegen. Wir betrachten dazu die Schnitt durch die Flächen p∗i (α, γ) entlang
der Geraden α = γ und definieren die einparametrigen Schnittfunktionen fi (α) :=
p∗i (α, α), i = 1, 2, 3, und f (α) := p∗ (α, α) (Bilder 7.14, 7.16, 7.18 und 7.20). Die
Ableitungen wurden numerisch berechnet mittels der Formel
fi0 (α) =
dfi (α)
fi (α + h) − fi (α − h) 1 2 000
=
− h fi (ξ) ,
dα
2h
6
ξ ∈ [α − h, α + h] .
Als Schrittweite wurde h = 10−6 gewählt und der Fehlerterm − 16 h2 fi000 (ξ) vernachlässigt. Da sich die Nullstellen der fi0 (α) nicht explizit berechnet lassen, wurde
eine programmierte Nullstellensuche erstellt. Damit erhält man die folgenden Extrema von p∗i (α, γ) und p∗ (α, γ):
Minimum von p∗1 : p∗1 (0, 342422;
Maximum von p∗2 : p∗2 (0, 276228;
Maximum von p∗3 : p∗3 (0, 353656;
Minimum von p∗ : p∗ (0, 345693;
0, 342422)
0, 276228)
0, 353655)
0, 345693)
=
=
=
=
0, 306891 ,
0, 131474 ,
0, 0278099 ,
0, 457955 ,
Es folgt
Minimum von p1 : p1 (0, 342422; 0, 342422) = 0, 306891 L/D ,
Maximum von p2 : p2 (0, 276228; 0, 276228) = 0, 131474 L/D ,
Maximum von p3 : p3 (0, 353656; 0, 353655) = 0, 0278099 L/D ,
Minimum von p:
p (0, 345693; 0, 345693) = 0, 457955 L/D .
Die numerische Berechnung mittels Mathematica ergibt für den Spezialfall a =
b = c die folgenden Ergebnisse:
112
KAPITEL 7. DREIGLIEDRIGE KETTE
P (A ∩ B) = 0, 231335 a/D = P (B ∩ C);
P (A ∩ B ∩ C) = 0, 0711448 a/D; P (A ∩ B ∩ C) = 0, 0800951 a/D;
P (A ∩ C) = P (A ∩ B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) = 0, 15124 a/D;
p1 = 0, 922325 a/D; p2 = 0, 373625 a/D; p3 = 0, 0800951 a/D;
p = 1, 37604 a/D; p0 = 1 − 1, 37604 a/D.
Diese Ergebnisse stimmen mit denen in Abschnitt 4.4.2 überein, die dort auf anderem
Wege erzielt werden. (Nur in der sechsten Nachkommastelle gibt es bei p1 eine
geringfügige Differenz.)
7.3
Simulation
Simulation (jeweils 1000000 Würfe) mittels des Programms kette04.pas (siehe Anhang A.5) ergibt die in den Bildern 7.21, . . . ,7.24 dargestellten Höhenlinienplots. Die
von kette04.pas als Dateien abgespeicherten Ergebnisse wurden dabei zur Visualisierung in Mathematica eingelesen.
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Bild 7.21: Simulation für p∗1
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Bild 7.22: Simulation für p∗2
1
113
7.3. SIMULATION
1
1
0.8
0.8
0.6
0.6
0.4
0.4
0.2
0.2
0
0
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Bild 7.23: Simulation für p∗3
1
0
0.2
0.4
0.6
0.8
Bild 7.24: Simulation für p∗
1
114
KAPITEL 7. DREIGLIEDRIGE KETTE
Anhang A
Simulationsprogramme
A.1
Nadelstern auf Parallelengitter
program nstern01; {Nadelstern auf Parallelengitter}
uses WinCrt;
var imax,i,z,sb : LONGINT;
m,nmax,j,k : INTEGER;
a,D,dphi,phi0,phi,ym,y,hs,ps,hbs,pbs,MZ,MbZ,SZ,EZ,EbZ,q,prmax : REAL;
s,h,p,hb,pb : array[0..20] of REAL;
datei : text;
begin
m:=13; a:=1; D:=2; imax:=1000000;
nmax:=(m div 2)+(m mod 2);
dphi:=2*pi/m;
if ((m mod 2)=0)
then prmax:=2*a
else prmax:=2*a*sin((m div 2)*dphi/2);
if (prmax<=D) then
begin
{****************************************************}
{******************** SIMULATION ********************}
{****************************************************}
z:=0; hs:=0; ps:=0; sb:=0;
{randomize;}
for j:=1 to nmax do
begin
s[j]:=0; h[j]:=0;
end;
for i:=1 to imax do
115
116
ANHANG A. SIMULATIONSPROGRAMME
begin
phi0:=2*pi*random;
ym:=D*random;
z:=0;
for k:=0 to m-1 do
begin
phi:=phi0+k*dphi;
y:=ym+a*sin(phi);
{Nadel schneidet Gitter:}
if ((y<0) or (y>D)) then z:=z+1;
end;
for j:=0 to nmax do
begin
if (z=j) then s[j]:=s[j]+1;
end;
if z>0 then sb:=sb+1;
end;
SZ:=0;
for j:=1 to nmax do SZ:=SZ+j*s[j];
MZ:=SZ/imax; {Mittelwert}
MbZ:=SZ/sb; {Bedingter Mittelwert}
{*****************************************************}
{******** BERECHNUNG DER WAHRSCHEINLICHKEITEN ********}
{*****************************************************}
q:=2*a*m/(pi*D)*sin(pi/m); {Wahrscheinlichkeit f. mind. einen Schnittpunkt}
p[0]:=1-2*a*m/(pi*D)*sin(pi/m);
if ((m mod 2)=0) then
begin
for j:=1 to nmax-1 do
begin
p[j]:=2*a*m/(pi*D)*(2*sin(j*pi/m)-sin((j+1)*pi/m)-sin((j-1)*pi/m));
end;
p[nmax]:=2*a*m/(pi*D)*(1-cos(pi/m));
end
else
begin
for j:=1 to nmax-2 do
begin
p[j]:=2*a*m/(pi*D)*(2*sin(j*pi/m)-sin((j+1)*pi/m)-sin((j-1)*pi/m));
end;
p[nmax-1]:=2*a*m/(pi*D)*(2*sin((nmax-1)*pi/m)-sin((nmax-2)*pi/m)-1);
p[nmax]:=2*a*m/(pi*D)*(1-sin((nmax-1)*pi/m));
end;
A.1. NADELSTERN AUF PARALLELENGITTER
117
for j:=1 to nmax do pb[j]:=p[j]/q; {Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
EZ:=m*2*a/(pi*D); {Erwartungswert}
EbZ:=1/sin(pi/m); {Bedingter Erwartungswert}
{****************************************************}
{************** AUSGABE DER ERGEBNISSE **************}
{****************************************************}
ASSIGN(datei,’c:\nstern13.txt’);
REWRITE(datei);
writeln(datei,’Nadelstern auf Parallelengitter’);
writeln(datei);
writeln(datei,’m = ’, m, ’ , a = ’ ,a:8:6 , ’ , D = ’, D:8:6,
’ , imax = ’, imax);
writeln(datei); writeln(datei);
writeln(datei,’Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten:’);
writeln(datei);
for j:=0 to nmax do
begin
h[j]:=s[j]/imax; hs:=hs+h[j]; ps:=ps+p[j];
writeln(datei,’p[’,j:2,’] = ’,p[j]:8:6,’ h[’,j:2,’] = ’,h[j]:8:6);
end;
writeln(datei,’ps = ’,ps:8:6,’ hs = ’,hs:8:6);
writeln(datei);
writeln(datei,’Erwartungswert und Mittelwert:’); writeln(datei);
writeln(datei,’E(Z) = ’,EZ:8:6,’ M(Z) = ’,MZ:8:6);
writeln(datei); writeln(datei);
writeln(datei,’Bedingte Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten:’);
writeln(datei);
for j:=1 to nmax do
begin
hb[j]:=s[j]/sb; hbs:=hbs+hb[j]; pbs:=pbs+pb[j];
writeln(datei,’pb[’,j:2,’] = ’,pb[j]:8:6,’ hb[’,j:2,’] = ’,hb[j]:8:6);
end;
writeln(datei,’pbs = ’,pbs:8:6,’ hbs = ’,hs:8:6);
writeln(datei);
writeln(datei,’Bedingter Erwartungswert und zugehöriger Mittelwert:’);
writeln(datei);
writeln(datei,’Eb(Z) = ’,EbZ:8:6,’ Mb(Z) = ’,MbZ:8:6);
writeln(datei); writeln(datei);
CLOSE(datei);
end
else
writeln(’Testelement zu groß!’);
end.
118
A.2
ANHANG A. SIMULATIONSPROGRAMME
Gitterelement auf Parallelengitter
program gitter01; {Gitterelement auf Parallelengitter}
uses WinCrt;
var imax,ib,i : LONGINT;
anz,m,j,z,zb : INTEGER;
a,D,d1,phi,hs,hbs,ps,pbs,p1 {mind. 1 Schnitt},
MZ,MbZ,EZ,EbZ,ye1,ye2,ye3,ye4 : REAL;
y1,y2,s,sb,h,hb,p,pb,w : array[0..100] of REAL;
datei : text;
begin
anz:=10; d1:=0.5; D:=5; a:=2; imax:=1000000;
ps:=0; hs:=0; ib:=0; MZ:=0; MbZ:=0;
randomize;
m:=anz-1;
if (sqrt(a*a+(m*d1)*(m*d1))<=D) then
begin
for j:=0 to m+1 do
begin
s[j]:=0; h[j]:=0; p[j]:=0;
end;
{****************************************************}
{******************** SIMULATION ********************}
{****************************************************}
for i:=1 to imax do
begin
phi:=2*pi*random;
y1[1]:=D*random;
z:=0; zb:=0;
for j:=1 to anz do
begin
y1[j]:=y1[1]+(j-1)*d1*sin(phi+pi/2);
y2[j]:=y1[j]+a*sin(phi);
{Prüfen, ob die Strecke das Gitter schneidet:}
if ((y1[j]<0) and (y2[j]>0)) then z:=z+1;
if ((y1[j]<D) and (y2[j]>D)) then z:=z+1;
if ((y2[j]<0) and (y1[j]>0)) then z:=z+1;
if ((y2[j]<D) and (y1[j]>D)) then z:=z+1;
end;
{Prüfen, ob die konvexe Hülle des Testelements das Gitter schneidet:}
ye1:=y1[1]; ye2:=y2[1];
ye3:=ye1+m*d1*sin(phi+pi/2); ye4:=ye2+m*d1*sin(phi+pi/2);
A.2. GITTERELEMENT AUF PARALLELENGITTER
119
if ((ye1<0) or (ye1>D)) then zb:=zb+1;
if ((ye2<0) or (ye2>D)) then zb:=zb+1;
if ((ye3<0) or (ye3>D)) then zb:=zb+1;
if ((ye4<0) or (ye4>D)) then zb:=zb+1;
if (zb>0) then ib:=ib+1;
for j:=0 to m+1 do
begin
if (z=j) then s[j]:=s[j]+1;
if ((z=j) and (zb>0)) then sb[j]:=sb[j]+1;
end;
end;
for j:=1 to m+1 do MZ:=MZ+j*s[j];
MZ:=MZ/imax; {Mittelwert}
for j:=1 to m+1 do MbZ:=MbZ+j*sb[j];
MbZ:=MbZ/ib; {Bedingter Mittelwert}
{*****************************************************}
{******** BERECHNUNG DER WAHRSCHEINLICHKEITEN ********}
{*****************************************************}
p[0]:=1-2*(m*d1+(m+1)*a-m*sqrt(a*a+d1*d1))/(pi*D);
for j:=1 to m do
begin
w[j-1]:=sqrt(a*a+((j-1)*d1)*((j-1)*d1));
w[j]:=sqrt(a*a+(j*d1)*(j*d1));
w[j+1]:=sqrt(a*a+((j+1)*d1)*((j+1)*d1));
p[j]:=2*(2*d1+(m-(j-2))*w[j-1]-2*(m-(j-1))*w[j]+(m-j)*w[j+1])/(pi*D);
end;
w[m]:=sqrt(a*a+(m*d1)*(m*d1));
p[m+1]:=2*(w[m]-m*d1)/(pi*D);
p1:=2*(a+m*d1)/(pi*D);
pb[0]:=m*(sqrt(a*a+d1*d1)-a)/(a+m*d1); {Bedingte Wahrscheinlichkeit}
for j:=1 to m+1 do pb[j]:=p[j]/p1; {Bedingte Wahrscheinlichkeiten}
EZ:=(m+1)*2*a/(pi*D); {Erwartungswert}
EbZ:=a*(1+m)/(a+m*d1); {Bedingter Erwartungswert}
for j:=0 to m+1 do
begin
h[j]:=s[j]/imax; hs:=hs+h[j]; ps:=ps+p[j];
end;
{****************************************************}
{************** AUSGABE DER ERGEBNISSE **************}
{****************************************************}
ASSIGN(datei,’c:\gitter10.txt’);
REWRITE(datei);
120
ANHANG A. SIMULATIONSPROGRAMME
writeln(datei,’Gitterelement auf Parallelengitter’);
writeln(datei);
writeln(datei,’anz = ’, anz, ’ , a = ’ ,a:8:6, ’ ,’);
writeln(datei,’d1 = ’, d1:8:6, ’ , D = ’, D:8:6, ’ , imax = ’, imax);
writeln(datei);
writeln(datei,’Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten:’);
writeln(datei);
for j:=0 to m+1 do
begin
writeln(datei,’p[’,j:2,’] = ’,p[j]:8:6,’ h[’,j:2,’] = ’,h[j]:8:6);
end;
writeln(datei,’ps = ’,ps:8:6,’ hs = ’,hs:8:6);
writeln(datei); writeln(datei);
writeln(datei,’Erwartungswert und Mittelwert:’); writeln(datei);
writeln(datei,’E(Z) = ’,EZ:8:6,’ M(Z) = ’,MZ:8:6);
writeln(datei); writeln(datei);
writeln(datei,’Bedingte Wahrscheinlichkeiten und relative Häufigkeiten:’);
writeln(datei);
for j:=0 to m+1 do
begin
hb[j]:=sb[j]/ib; hbs:=hbs+hb[j]; pbs:=pbs+pb[j];
writeln(datei,’pb[’,j:2,’] = ’,pb[j]:8:6,’ hb[’,j:2,’] = ’,hb[j]:8:6);
end;
writeln(datei,’pbs = ’,pbs:8:6,’ hbs = ’,hs:8:6);
writeln(datei);
writeln(datei,’Bedingter Erwartungswert und zugehöriger Mittelwert:’);
writeln(datei);
writeln(datei,’Eb(Z) = ’,EbZ:8:6,’ Mb(Z) = ’,MbZ:8:6);
CLOSE(datei);
end
else
writeln(’Element zu groß!’);
end.
A.3. GELENKNADEL AUF RECHTECKGITTER
A.3
Gelenknadel auf Rechteckgitter
program rechteck; {Gelenknadel auf Rechteckgitter}
uses WinCrt;
var imax,i,za,zb,z,sza,szb,zg1,zg2,szg,z2 : LONGINT;
l,a,b,xg,yg,phi1,phi2,xa,ya,xb,yb,h,ha,hb,hg,h2,p,p2s,p2g : REAL;
datei : text;
begin
l:=1; a:=2; b:=1000; imax:=1000000; z:=0; sza:=0; szb:=0; szg:=0; z2:=0;
{randomize;}
for i:=1 to imax do
begin
za:=0; zb:=0; zg1:=0; zg2:=0;
phi1:=2*pi*random;
phi2:=2*pi*random;
xg:=a*random;
yg:=b*random;
xa:=xg+l*cos(phi1);
ya:=yg+l*sin(phi1);
xb:=xg+l*cos(phi2);
yb:=yg+l*sin(phi2);
{Nadel 1 schneidet Gitter:}
if ((xa<0) or (xa>a) or (ya<0) or (ya>b)) then za:=1;
{Nadel 2 schneidet Gitter:}
if ((xb<0) or (xb>a) or (yb<0) or (yb>b)) then zb:=1;
{Gitter 1 geschnitten:}
if ((xa<0) or (xb<0) or (xa>a) or (xb>a)) then zg1:=1;
{Gitter 2 geschnitten:}
if ((ya<0) or (yb<0) or (ya>b) or (yb>b)) then zg2:=1;
{Beide Gitter geschnitten:}
if ((zg1=1) and (zg2=1)) then szg:=szg+1;
{Gitter wird geschnitten:}
if ((za=1) or (zb=1)) then z:=z+1;
{Beide Nadeln schneiden Gitter:}
if ((za=1) and (zb=1)) then z2:=z2+1;
sza:=sza+za;
szb:=szb+zb;
end;
h:=z/imax; ha:=sza/imax; hb:=szb/imax; hg:=szg/imax; h2:=z2/imax;
{Wahrscheinlichkeit für mind. einen Schnittpunkt:}
p:=l*(4*(a+b)*(pi+2)-(5*pi+4)*l)/(2*pi*pi*a*b);
121
122
ANHANG A. SIMULATIONSPROGRAMME
{Wahrscheinlichkeit, dass beide Schenkel das Gitter schneiden:}
p2s:=l*(4*(pi-2)*(a+b)+(pi+4)*l)/(2*pi*pi*a*b);
{Wahrscheinlichkeit, dass das Testelement beide Gitter schneidet:}
p2g:=(5*pi+4)*l*l/(2*pi*pi*a*b);
ASSIGN(datei,’c:\R eck 06.txt’);
REWRITE(datei);
writeln(datei, ’Eingabewerte:’);
writeln(datei, ’
Abmessungen des Gitters:’);
writeln(datei, ’
a = ’, a:8:6);
writeln(datei, ’
b = ’, b:8:6);
writeln(datei, ’
Länge einer Nadel (eines Schenkels):’);
writeln(datei, ’
l = ’, l:8:6);
writeln(datei, ’
Anzahl der Versuche: ’, imax);
writeln(datei);
writeln(datei, ’Ausgabewerte:’);
writeln(datei, ’ Mind. ein Schnittpunkt zwischen Testelement und Gitter R:’);
writeln(datei, ’
Wahrscheinlichkeit: P(S) = ’, p:8:6);
writeln(datei, ’
Relative Häufigkeit: ’, h:8:6);
writeln(datei);
writeln(datei, ’ Beide Schenkel schneiden das Gitter R:’);
writeln(datei, ’
Wahrscheinlichkeit: P(X und Y) = ’, p2s:8:6);
writeln(datei, ’
Relative Häufigkeit: ’, h2:8:6);
writeln(datei);
writeln(datei, ’ Testelement schneidet Gitter Ra und Rb gleichzeitig:’);
writeln(datei, ’
Wahrscheinlichkeit: P(A und B) = ’, p2g:8:6);
writeln(datei, ’
Relative Häufigkeit: ’, hg:8:6);
CLOSE(datei);
end.
A.4. NADELBÜSCHEL AUF PARALLELENGITTER
A.4
Nadelbüschel auf Parallelengitter
program zstern02;
{Nadelbüschel mit Nadeln unterschiedlicher Läenge auf Parallelengitter}
uses WinCrt;
var imax,s1,i,z : LONGINT;
n,j : INTEGER;
d,phi,ym,y,h1,hs,MZ,V : REAL;
a : array[1..4] of REAL;
s,h : array[0..50] of REAL;
datei : text;
begin
n:=4; d:=2; imax:=1000000; MZ:=0; V:=0; {’’Varianz’’}
a[1]:=1; a[2]:=3/4; a[3]:=1/2; a[4]:=1/4;
{****************************************************}
{******************** SIMULATION ********************}
{****************************************************}
s1:=0; h1:=0;
for j:=0 to n do
begin
s[j]:=0; h[j]:=0;
end;
{randomize;}
for i:=1 to imax do
begin
ym:=d*random;
z:=0;
for j:=1 to n do
begin
phi:=2*pi*random;
y:=ym+a[j]*sin(phi);
{Nadel schneidet Gitter:}
if ((y<0) or (y>d)) then z:=z+1;
end;
if (z>0) then s1:=s1+1;
for j:=0 to n do
begin
if (z=j) then s[j]:=s[j]+1;
end;
end;
{Relative Häufigkeit von mindestens einem Schnittpunkt:}
h1:=s1/imax;
123
124
ANHANG A. SIMULATIONSPROGRAMME
{Relative Häufigkeit von j Schnittpunkten:}
for j:=0 to n do h[j]:=s[j]/imax;
{Mittelwert:}
for j:=0 to n do MZ:=MZ+j*h[j];
{’’Varianz’’:}
for j:=0 to n do V:=V+(j-MZ)*(j-MZ)*h[j];
hs:=0;
for j:=0 to n do hs:=hs+h[j];
{****************************************************}
{************** AUSGABE DER ERGEBNISSE **************}
{****************************************************}
ASSIGN(datei,’c:\stern01.txt’);
REWRITE(datei);
writeln(datei,’ h = ’,h1:8:6);
for j:=0 to n do
begin
writeln(datei,’ h[’,j:2,’] = ’,h[j]:8:6);
end;
writeln(datei);
writeln(datei,’ hs = ’,hs:8:6);
writeln(datei);
writeln(datei,’ Var = ’,V:8:6);
CLOSE(datei);
end.
A.5. DREIGLIEDRIGE KETTE AUF PARALLELENGITTER
A.5
Dreigliedrige Kette auf Parallelengitter
program kette04; {Simulation der dreigliedrigen Kette}
uses WinCrt;
var j,k,m,n,s1,s2,s3,s12,s13,s23,s123 : INTEGER;
imax,i,z,z0,z1,z2,z3,z12,z13,z23,z123,zs1,zs2 : LONGINT;
D,amax,cmax,a,b,c,phi1,phi2,phi3,ya,yb,yc,yd,h,h0,h1,h2,h3,h12,h13,h23,
h123,hs1,hs2,hs3 : REAL;
datei0,datei1,datei2,datei3,dateis : text;
begin
D:=1;
amax:=1; m:=40;
cmax:=1; n:=40;
imax:=1000000;
{randomize;}
ASSIGN(datei0,’c:\kette0.dat’);
ASSIGN(datei1,’c:\kette1.dat’);
ASSIGN(datei2,’c:\kette2.dat’);
ASSIGN(datei3,’c:\kette3.dat’);
ASSIGN(dateis,’c:\kettes.dat’);
REWRITE(datei0);
REWRITE(datei1);
REWRITE(datei2);
REWRITE(datei3);
REWRITE(dateis);
for j:=0 to m do
begin
a:=amax*j/m;
for k:=0 to n do
begin
c:=cmax*k/n;
if a+c>1 then
begin
h0:=0; hs1:=0; hs2:=0; hs3:=0; h:=0; h123:=0;
end
else
begin
b:=1-(a+c);
z:=0; z0:=0; z1:=0; z2:=0; z3:=0; z12:=0; z13:=0; z23:=0; z123:=0;
zs1:=0; zs2:=0;
for i:=1 to imax do
begin
s1:=0; s2:=0; s3:=0; s12:=0; s13:=0; s23:=0; s123:=0;
phi1:=2*pi*random;
phi2:=2*pi*random;
phi3:=2*pi*random;
ya:=D*random;
yb:=ya+a*sin(phi1);
125
126
ANHANG A. SIMULATIONSPROGRAMME
yc:=ya+a*sin(phi1)+b*sin(phi2);
yd:=ya+a*sin(phi1)+b*sin(phi2)+c*sin(phi3);
if
if
or
if
or
(yb<0) or (yb>D) then s1:=1;
((yb<0) and (yc>0)) or ((yb>0) and (yc<0)) or((yb<D) and (yc>D))
((yb>D) and (yc<D)) then s2:=1;
((yc<0) and (yd>0)) or ((yc>0) and (yd<0)) or((yc<D) and (yd>D))
((yc>D) and (yd<D)) then s3:=1;
if
if
if
if
(s1=1)
(s1=1)
(s2=1)
(s1=1)
and
and
and
and
(s2=1)
(s3=1)
(s3=1)
(s2=1)
then s12:=1;
then s13:=1;
then s23:=1;
and (s3=1) then s123:=1;
z1:=z1+s1;
z2:=z2+s2;
z3:=z3+s3;
z12:=z12+s12;
z13:=z13+s13;
z23:=z23+s23;
z123:=z123+s123;
if (s1=1) or (s2=1) or (s3=1) then z:=z+1;
if (s1=0) and (s2=0) and (s3=0) then z0:=z0+1;
if ((s1=1) or (s2=1) or (s3=1)) and ((s12=0) and (s13=0) and (s23=0))
then zs1:=zs1+1;
if ((s12=1) or (s13=1) or (s23=1)) and (s123=0) then zs2:=zs2+1;
end;
h:=z/imax; h0:=z0/imax; h1:=z1/imax; h2:=z2/imax; h3:=z3/imax;
h12:=z12/imax; h13:=z13/imax; h23:=z23/imax; h123:=z123/imax;
hs1:=zs1/imax; hs2:=zs2/imax; hs3:=h123;
end;
write(datei0,’ ’,h0:8:6); write(datei1,’ ’,hs1:8:6);
write(datei2,’ ’,hs2:8:6); write(datei3,’ ’,hs3:8:6);
write(dateis,’ ’,h:8:6);
end;
writeln(datei0); writeln(datei1);
writeln(datei2); writeln(datei3);
writeln(dateis);
end;
CLOSE(datei0); CLOSE(datei1); CLOSE(datei2); CLOSE(datei3); CLOSE(dateis);
end.
Literaturverzeichnis
[1] Ackermann, W.-G.: Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. S. Hirzel
Verlag, Leipzig, 1955.
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Purdue
University,
Lebenslauf
Name: Uwe Bäsel
Geburtsdatum und -ort: 15.08.1961, Leipzig
Kinder:
Klaus Bäsel
Karen-Melanie Bäsel
geb. am 09.05.1985 in Leipzig
geb. am 30.10.1990 in Leipzig
Ausbildung und berufliche Tätigkeiten:
1968 - 1978
Zehnklassige Polytechnische Oberschule in Leipzig
1978 - 1981
Berufsausbildung zum Werkzeugmacher bei Brehmer
Buchbindereimaschinenwerk in Leipzig
1981 - 1984
Wehrdienst
1984 - 1985
Erwerb der Hochschulreife an der Ingenieurhochschule
Zwickau
1985 - 1989
Studium an der Technischen Hochschule Leipzig in der
Fachrichtung Technologie der Polygrafie“, Abschluss als
”
Diplom-Ingenieur
1989 - 1992
Forschungsstudium am Lehrstuhl Polygrafischer Maschinenbau der Technischen Hochschule Leipzig
26.04.1993
Promotion zum Doktor-Ingenieur
Sept. 1992 - Dez. 1996
Entwicklungsingenieur und Konstrukteur bei der Mabeg
Maschinenbau GmbH & Co. KG in Offenbach am Main
Jan. 1997 - Aug. 2005
Entwicklungsingenieur und Konstrukteur bei der MAN
Roland Druckmaschinen AG in Offenbach am Main
Okt. 1995 - März 1997 Gasthörer im Studiengang Mathematik an der FernUniversität in Hagen
Apr. 1997 - Aug. 2002
Studium der Mathematik an der FernUniversität in Hagen, Diplomarbeit über komplexe algebraische Kurven,
Abschluss als Diplom-Mathematiker
seit Sept. 2005
Professor für Maschinenelemente am Fachbereich
Maschinen- und Energietechnik der Hochschule für
Technik, Wirtschaft und Kultur in Leipzig