Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Höhere Mathematik I

Prof. C. Hesse
Dr. B. Götz
Dr. A. Meister
Universität Stuttgart
Fachbereich Mathematik
Blatt 6
Höhere Mathematik I
27.11.06
el, geod, kyb, phys
Aufgabe 30.
An einer 120 cm langen Wäscheleine hängen in
gleichen Abständen von je 20 cm (bezogen auf
die Seillänge) fünf Kleidungsstücke mit einem Gewicht von jeweils 10 N . Dabei entsteht an der
tiefsten Stelle des Seils ein Winkel α von 5o zwischen der Leine und der Horizontalen. Welchen
Abstand haben die beiden gleich hohen Befestigungspunkte?
20
20
20
20
20
20
α
G
Hinweis: Beginnen Sie im tiefsten Punkt des Seils und bestimmen Sie graphisch und rechnerisch
die dort wirkenden Kräfte. Mit dieser Information kann man die benachbarten Knoten weiterbearbeiten.
Aufgabe 31.∗
Vom Mittelpunkt eines gleichseitigen Sechsecks aus wirken nach den Ecken hin Kräfte vom Betrag
1 N, 3N, 5 N, 7 N, 9 N und 11 N, wobei die Ecken entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen werden.
Welchen Betrag und welche Richtung besitzt die Resultierende dieser Kräfte?
Tipp: Die Aufgabe lässt sich (fast) ohne Rechnung lösen.
Aufgabe 32.
a) Gegeben sind die Vektoren ~a = (−4, 4, 6) und ~b = (2, −1, 1). Stellen Sie den Vektor ~a als
Summe zweier Vektoren dar, wobei der erste Vektor parallel zu ~b (~a~b , d.h. Projektion von ~a
auf ~b) und der zweite Vektor senkrecht zu ~b ist. Wie lautet die allgemeine Formel?
b) Bestimmen Sie die senkrechte Projektion eines Punktes P = (x, y, z) auf die Ebene E :
2x − y + z = 0.
−→
Hinweis: Projizieren Sie zunächst den Vektor ~x = OP auf einen Normalenvektor ~n von E.
Was gilt dann für ~x − ~x~n ?
Aufgabe 33. Gegeben sind die Vektoren ~a und ~b mit | ~a | = | ~b | = 1 und ∠(~a, ~b) = 60o .
a) Welchen Winkel schließen die Vektoren ~a + ~b und 2~b − ~a ein?
b) Für welche Werte von λ ∈ R stehen ~a + ~b und 2~b + λ~a senkrecht aufeinander?
1
Aufgabe 34.
a) Zeigen Sie: Die Vektoren eines Orthogonalsystems aus nicht verschwindenden Vektoren im
Rn (0 < n ≤ 3) sind linear unabhängig.
b) Sei {~v1 , ~v2 , ~v3 } eine Orthogonalbasis des R3 .
Stellen Sie einen beliebigen Vektor ~v ∈ R3 mit Hilfe des Skalarproduktes als Linearkombination der (nicht notwendig normierten) Basisvektoren dar.
c) Gegeben seien die Vektoren ~v1 = (1, 1, 0)T , ~v2 = (1, −1, −1)T , ~v3 = (1, −1, 2)T .
Zeigen Sie, dass ~v1 , ~v2 , ~v3 eine Orthogonalbasis bilden und stellen Sie den Vektor (1, 2, −1)T
mit Hilfe von b) in dieser Basis dar.
Aufgabe 35. (schriftlich) Beweisen Sie folgende Sätze der Elementargeometrie mit Hilfe der
Vektorrechnung:
a) (Höhensatz) Das Quadrat über der Höhe in einem rechtwinkligen Dreieck ist flächeninhaltsgleich mit dem Rechteck aus den Hypothenusenabschnitten.
Tipp: Legen Sie den Koordinatenursprung in den Höhenfußpunkt.
b) (Kathetensatz) Das Quadrat über einer Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck ist flächengleich dem Rechteck aus Hypothenuse und dem anliegenden Hypothenusenabschnitt.
c) Zeigen Sie: Die Höhenlinien eines Dreiecks ABC schneiden sich in einem Punkt H (Höhenschnittpunkt).
Hinweise:
1. Die Höhenlinien zu zwei Seiten ~a und ~b schneiden sich in H. Es genügt zu zeigen, dass
die Verbindungslinie der dritten Ecke mit H senkrecht auf ~c = ~a − ~b steht.
2.1 Arbeiten Sie mit den zu ~a bzw. ~b senkrechten Vektoren ~a⊥ und ~b⊥ , um die Höhenlinien
ohne aufwändige Rechnung darzustellen.
2.2 (schneller, aber mit einem kleinen Trick) Legen Sie den Koordinatenursprung in H und
−→
−−→
−→
verwenden Sie ~u = HA, ~v = HB, w
~ = HC.
Aufgabe 36.
Drei Stangen sind in den Punkten A, B bzw. C am
Boden verankert und ihre anderen Enden sind im Punkt
D fest verbunden. Im Punkt D hängt ein Gewicht von
100 N . Welche Kräfte werden von den einzelnen Stangen
aufgenommen?
Ermitteln Sie das Ergebnis durch Multiplikation der
~ mit den
Zerlegungsgleichung für die Gewichtskraft G
Kreuzprodukten von jeweils zwei geeigneten Vektoren.
2
D(4, 7, 8)
´
´ ¤@
´
¤ @
s
´
¤
@
~
G
@
A(−1, 5, 0) ¤ ?
¤
@
¤
@
¤
@s
C(5, 13, 0)
¤sB(7, 9, 0)