ergebnisse technische mechanik iii-iv - mv.uni

E RGEBNISSE
T ECHNISCHE M ECHANIK III-IV
Lehrstuhl für Technische Mechanik, TU Kaiserslautern
SS 2015, 03.08.2015
1. Aufgabe:
(TMIII)
A
k
ϕ0
2l
y
M
ϕ
B
x
l
m
Gegeben ist das dargestellte System mit einer federnd (Drehfedersteifigkeit k) drehbar gelagerten,
abgewinkelten Stange (Gesamtmasse M) und einer Punktmasse (Masse m). Die Massenbelegung der
glatten, schlanken Stange sei homogen. Aus der dargestellten Lage (Drehfeder ist entspannt) wird
die Stange um den Winkel ϕ0 ausgelenkt und losgelassen. Danach stößt sie im Punkt B inelastisch
(Stoßzahl e) gegen die ruhende Punktmasse.
Ermitteln Sie unter Verwendung des eingezeichneten Koordinatensystems:
a) die Gesamtmasse M in Abhängigkeit von m, so dass ΘA = ml2 gilt,
b) die Winkelgeschwindigkeit ω1 der Stange unmittelbar vor dem Stoß,
c) die Winkelgeschwindigkeit ω̄1 der Stange unmittelbar nach dem Stoß,
d) die Geschwindigkeit v̄2x der Punktmasse unmittelbar nach dem Stoß sowie
e) die Stoßkraft F̂ im Punkt B.
Gegeben: m, l, ΘA = ml2 , ϕ0 , k, e
a)
7
ΘA = Ml2
3
3
M= m
7
b)
ϕ0
ω1 =
l
r
k
m
c)
1 ϕ0
ω̄1 =
5 l
r
k
(1 − 4e)
m
r
k
(1 + e)
m
d)
v̄2x
2
= ϕ0
5
e)
2 √
F̂ = ϕ0 km (1 + e)
5
2. Aufgabe:
(TMIII)
r
R
ϕ
g
ΘS
m2
y2
m3
y3
l
α
masselos
m1
F
x1
Das abgebildete System besteht aus drei Klötzen (Massen m1 , m2 und m3 ) und einer Stufenwalze (Radien r und R, zentrales Massenträgheitsmoment ΘS ). Die Klötze 1 und 2 gleiten in glatten
Schiebehülsen und sind wie skizziert durch einen masselosen Stab der Länge l gelenkig miteinander
verbunden. Ein Seil verbindet Klotz 2 über eine Umlenkrolle (Masse vernachlässigbar) reibungsfrei
mit der Stufenwalze. An Klotz 1 greift wie dargestellt eine Kraft F an. Die Seile sind undehnbar,
masselos und stets gespannt.
Hinweis für b) und c):
Es ist zweckmäßig, die Koordinaten x1 und y2 der Klötze 1 und 2 in Abhängigkeit des Winkels α zu
beschreiben.
a) Fertigen Sie Freikörperbilder der drei Klötze und der Walze an.
b) Stellen Sie alle Gleichungen auf, die nötig sind, um die Beschleunigungen ẍ1 , ÿ2 , ÿ3 der Klötze
und die Winkelbeschleunigung ϕ̈ der Walze in Abhängigkeit der gegebenen Größen zu berechnen.
Hinweis:
Es genügt, die Gleichungen aufzustellen. Das entstehende Gleichungssystem soll nicht nach
den Unbekannten aufgelöst werden!
c) Die Kraft F wird (in Abhängigkeit von α) nun so aufgebracht, dass für Klotz 1 folgendes gilt:
ẍ1 = 0 und ẋ1 = v0 = const. Ermitteln Sie den Zusammenhang α̈(α).
Gegeben: m1 , m2 , m3 , ΘS , r, R, l, g
in a) und b): F
in c): v0
Aufgabe-a):
S2
S2
N2
α
S
m2 g
(a)
S1
(b)
m1 g
S
α
S1
F
N1
(c)
(d)
m3 g
Aufgabe-b):
m2 ẍ2 = 0 = −N2 + Scosα
(1)
m2 ÿ2 = S2 − Ssinα − m2 g
(2)
Θs ϕ̈ = RS2 − rS1
(3)
m1 ẍ1 = −Scosα + F
(4)
m1 ÿ1 = 0 = N1 + Ssinα − m1 g
(5)
m3 ÿ3 = S1 − m3 g
(6)
ÿ3 = r ϕ̈,
(7)
ÿ2 = −Rϕ̈
ẍ1 = −lcosαα̇2 − lsinαα̈
(8)
ÿ2 = −lsinαα̇2 + lcosαα̈
(9)
und
Aufgabe-c):
α̈ = −
cosα v02
sin3 α l2
(10)
3. Aufgabe:
(TMIII)
r
D
r
A
1
B
C
y
z
2
x
Das skizzierte System besteht aus den Walzen 1 und 2, welche an ihren Naben A und C durch den
Rahmen ABC verbunden sind. Die Walzen rollen ohne zu gleiten in einer halbkreisförmigen Rinne.
Der Stab BD ist im Punkt B gelenkig mit dem Rahmen ABC verbunden. In D gleitet das Stabende in
einer Schiebehülse.
Hinweis: Längenangaben sind dem Raster in der Skizze zu entnehmen
a) Zeichnen Sie die Richtungen der Geschwindigkeitsvektoren in den Punkten A, B, C sowie die
Momentanpole der Walzen 1 und 2, des Rahmens ABC sowie der Stange BD in die Skizze auf
dem Aufgabenblatt. Die Richtung der Geschwindigkeit in D ist durch die Skizze vorgegeben.
b) Ermitteln Sie das Verhältnis der Winkelgeschwindigkeiten zwischen ωC (Walze 2) und ωABC
sowie zwischen ωABC und ωBD . Achten Sie auf Vorzeichen!
c) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor in B in Abhängigkeit von r und v0 für den Fall
~vD = [0, −v0 , 0]T .
d) Ermitteln Sie den Beschleunigungsvektor im Punkt B sowie die Winkelbeschleunigung ω̇BD
der Stange BD für ωABC = ω0 = const. in Abhängigkeit von r und ω0 .
Gegeben: r,
in c): v0 ,
in d): ωABC = ω0 = const.
r
ΠBD
D
r
Π1
A
1
ΠABC
B
2
C
y
Π2
z
x
b)
3
ωC = − ωABC
2
(11)
ωABC = 2ωBD
(12)
4 
v
3 0
~vB = −2v

0
0
(13)


3rω02
~aB = 2rω02
0
(14)
c)
d)
ω̇BD =
9 2
ω
16 0
(15)
4. Aufgabe:
(TMIV)
m2
g
ϕ
l
c1
c2
glatt
m1
x
y
Im skizzierten System ist die Masse m1 über eine Feder der Steifigkeit c1 mit der Wand verbunden und
gleitet reibungsfrei auf einer Unterlage. Mit der Masse m1 ist über eine Drehfeder der Steifigkeit c2
ein masseloser Hebel der Länge l verbunden, an dessen Ende die Punktmasse m2 befestigt ist.
Hinweis: Die statische Ruhelage ist durch x = 0 und ϕ = 0 (beide Federn entspannt) gekennzeichnet.
Ermitteln Sie
a) die potentielle und die kinetische Energie des Systems,
b) die Bewegungsgleichungen mithilfe der LAGRANGE-Gleichungen 2. Art für kleine Auslenkungen um die statische Ruhelage (|ϕ| ≪ 1, |ϕ̇| ≪ 1),
c) die charakteristische Gleichung zur Berechnung der Eigenfrequenzen.
Gegeben: c1 , c2 > m2 gl, m1 , m2 , l, g
a)
1
1
Ep = c1 x2 + c2 ϕ2 + m2 gl cos(ϕ)
2
2
(16)
1
1
1
Ek = m1 ẋ2 + m2 (ẋ + ϕ̇l cos(ϕ))2 + m2 ϕ̇2 l2 sin2 (ϕ)
2
2
2
(17)
b)


m1 + m2
m2 l
m2 l
m2 l
2


ẍ
ϕ̈


+
c1
0
0
c2 − m2 gl


x
ϕ


=
0
0


(18)
c)
ω 4m1 m2 l2 − ω 2 c1 m2 l2 + (m1 + m2 ) (c2 − m2 gl) + c1 (c2 − m2 gl) = 0
(19)
5. Aufgabe:
(TMIV)
a
a
c2
d
m
s
ϕ
A
a
u
c1
masselose
Rolle
u0
v0
x
L
Unter dem skizzierten Einradprüfstand bewegt sich mit der Geschwindigkeit v0 ein Profil mit sinusförmigen Bodenwellen (Amplitude u0, Wellenlänge L). Der Einfluss der Erdbeschleunigung soll
für die Beschreibung der Bewegung vernachlässigt werden.
Berechnen Sie
s (Gesamtmasse m)
a) das Massenträgheitsmoment der dünnwandigen homogenen Schwinge bezüglich des Lagers A,
b) die Erregerfrequenz Ω bei Verwendung des Ansatzes u = u0 cos (Ωt),
c) die Schwingungsdifferentialgleichung für kleine Winkel (|ϕ| ≪ 1).
d) Wie muss der Dämpfungsparameter d gewählt werden, damit bei einer Anregung mit der Eigenfrequenz (Ω = ω) die Vergrößerungsfunktion V den Wert 1 annimmt?
Gegeben: u0 , L, a, m, v0 , c1 , c2 ,
in a-c): d
a)
7
θS = ma2
3
(20)
b)
Ω=
2πv0
L
(21)
ϕ̈ +
3 c2 + 4c1
6c1 u0
3d
ϕ̇ +
ϕ=
cos(Ωt)
7m
7 m
7ma
(22)
d=
r
(23)
c)
d)
7
m (c2 + 4c1 )
3
6. Aufgabe:
(TMIV)
l
x
z, w
Eine Saite der Länge l wird wie skizziert gelagert. Das rechte Ende ist an der Wand befestigt und das
linke Ende ist in z-Richtung beweglich. Die Saite ist so vorgespannt, dass sich die Wellenausbreitungsgeschwindigkeit c ergibt. Zum Zeitpunkt t = 0 befindet sich die Saite in der skizzierten
Lage
πx vorgegeben.
(w0 (x) ≡ 0). Die Anfangsgeschwindigkeit in z-Richtung sei mit v0 (x) = V cos
2l
a) Die Bewegungsgleichung der Saite lautet ẅ = c2 w ′′ .
ωx ωx Verwenden Sie den Lösungsansatz w(x, t) = W (x)T (t) mit W (x) = A cos
+B sin
c
c
und T (t) = C sin (ωt).
Passen Sie W (x) an die Randbedingungen an und berechnen Sie so die Eigenfrequenzen ωk
und die Eigenformen Wk (x) des Systems.
b) Ermitteln Sie die Lösung w(x, t) der Bewegungsgleichung für die gegebenen Anfangsbedingungen.
Gegeben: c, l, V , v0 (x) = V cos
πx 2l
Aufgabenteil a)
Eigenfrequenzen
ωk =
(2k − 1) c
π
2
l
Eigenformen
Wk (x) = Ak cos(
(2k − 1) π
x)
2
l
Aufgabenteil b)
w(x, t) =
2V l
π
cπ
cos( x) sin( t)
cπ
2l
2l