Probetest 1 November 2010 Skriptum bis einschließlich Seite

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Probetest 1 November 2010
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Aufgabe
1. Welche der folgenden Aussagen sind korrekt.
(a) (A ⇒ B) ⇒ C ist logisch
(b) Die Negation von
gleichwertig zu A ⇒ (B ⇒ C).
(∀x)(6 ∃y)(A(x) ⇒ B(y)) lautet
(∃x)(∃y)(A(x) ⇒ B(y)).
(c) (Korrigiert am 14.11. ca 19 h) Es(d) Es gilt für Mengen A, B stets
gilt für Mengen A, B, C stets
A ∩ (B ∪ A) = B.
(A \ B) ∩ C = (A \ C) ∩ (B \ C).
(e) Die Menge aller Teilmengen einer
Menge ist eine Menge.
Lösung: a) N. Ist w(A) = F und w(C) = F , so ist der Wahrheitswert links
F und rechts W.
b) J. Klarheit entsteht durch die “normierte” Schreibweise des zu negierenden Ausdrucks (∀x)(¬((∃y)(A(x) ⇒ B(y)))).
c) N. Wählen A = C = {1} und B := ∅. Dann ist (A \ B) ∩ C = {1} und
die rechte Seite ist (A \ C) ∩ (B \ C) = ∅ ∩ (∅ \ {1} = ∅, ein Widerspruch.
d) N. Sei A = ∅ und B := {1}, so ist die linke Seite leer und rechts kommt
B 6= ∅ heraus.
e) J. Eines der ZF-Axiome.
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2. Welche der nachstehenden Aussagen treffen zu?
(a) Die Relation auf IN gegeben
(b) Auf der Menge der
durch mRn genau dann, falls mn
Zufahrtsstraßen von X nach Y
gerade ist, ist transitiv.
soll ARB gelten, falls A
mindestens 2 Kilometer länger
als B ist. Die Relation ist
antisymmetrisch.
(c) Eine antisymmetrische Relation (d) Auf IN × IN ist durch
kann niemals symmetrisch sein.
(a, b)R(c, d) genau dann wenn
ad = bc eine Äquivalenzrelation
gegeben.
(e) Es seien f : X → Y und
g : Y → Z Funktionen. Ist g
surjektiv, so auch g ◦ f .
Lösung: a) N. Es ist 1R2 und 2R1, jedoch nicht 1R1.
b) J. Zu prüfen ist, ob ARB und BRA stets A = B nach sich zieht. Offenbar
können aber ARB und BRA nicht gleichzeitig gelten.
c) N. Sie kann beides zugleich sein. So etwa kann auf A = {1} durch
2
R := {(1, 1)} eine sowohl symmetrische, als auch antisymmetrische Relation
angegeben werden.
(Anmerkung: Dies entspricht der Definition von Brüchen. Es ist ab = dc ⇔
ad = bc. Noch “mittelschulmäßiger”: a : b = c : d ⇔ ad = bc (“Produkt der
Außenglieder ist gleich Produkt der Innenglieder der beiden Proportionen”.
d) J. Reflexivität: (a, b)R(a, b) weil ab = ba; Symmetrie: (a, b)R(c, d) ⇔
ad = bc ⇔ cb = da ⇔ (c, d)R(a, b); Transitivität: ((a, b)R(c, d) ∧ (c, d)R(e, f )) ⇒
((ad = bc) ∧ (cf = de)) ⇒ (adf = bcf ) ∧ (cf = de) ⇒ (adf = bde) ⇒ (af =
be) ⇒ (a, b)R(e, f ).
e) N. Es sei X := {1}, Y := {1, 2} und Z := Y , sowie g die identische
Funktion. Nun sei f (1) := 1. Danach ist g ◦ f (X) = {1}, also g ◦ f nicht
surjektiv.
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3. Welche der nachfolgenden Aussagen treffen zu?
(b) Die Anzahl der Möglichkeiten,
(a) Man berechnet die Anzahl, 3
daß in einer 5-stelligen Folge aus
weisse Kugeln mit 4 Farben zu
0 und 1 2 Stellen falsch sind läßt
markieren nach der Formel C34w .
sich mit der Formel C52
berechnen.
(c) Die Anzahl der Möglichkeiten der(d) Die Anzahl aller 4-stelligen
Zahlen, die mit ungeraden Ziffern
Würfe mit 4 ununterscheidbaren
gebildet werden können, wird
Würfeln wird mit der Formel
mittels der Formel V54w
C46w berechnet.
berechnet.
(n+k−1)!
kw
(e) Es ist Cn = k!(n−1)! .
Lösung: a) N. Jedes solche Einfärben kann wie folgt beschrieben werden.
Ich nummeriere die Plätze, wo ich die gefärbten Kugeln hinlege, mit 1 bis 3.
Danach die Farben von 1 bis 4. Nun entspricht jeder Färbung eine schwach
monotone Funktion von {1, 2, 3} nach {1, 2, 3, 4}, weil ich zuerst die Kugel
mit der “kleinsten” Farbe auf den 1.ten
Platz lege, usw. Somit ist k = 3
und n = 4 und man benützt C43w = 63 = 20.
b) J. Man hat die 5-stellige Menge {1, 2, 3, 4, 5} der Positionen, wo ein
“Digit” steht. Aus diesen werden 2 ausgewählt, also eine 2-elementige Teilmenge. Somit ist C52 die korrekte Formel und der Wert ist 10.
c) N. Wiederum werden Plätze 1 bis 4 markiert. Danach ordnet man das
Wurfergebnis so an, daß auf Platz 1 der Würfel mit niedrigster Augenzahl liegt, usw. Somit ist jeder Wurf eine schwach monotone Funktion von
{1, 2, 3, 4} nach {1, 2, 3, 4, 5,6} und somit ist k = 4 und n = 6. Deshalb ist
die Formel gleich C64w = 94 = 126 (Korrigiert am 4.11. ca 23h).
d) J. Jede solche Zahl entspricht einer Funktion f von I := {1, 2, 3, 4} (die
Stellen) nach A := {1, 3, 5, 7, 9}. Somit ist f ∈ AI und deshalb gibt es
|A||I| = 54 = 625 solcher Möglichkeiten.
e) J.
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3
Kombinationen von n Elementen zur Klasse k mit Wiederholung
Hier gehe ich auf die Beweisidee für die Formel n+k−1
anhand von n = 5 und
k
k = 3 ein.
Zunächst ist jede Kombination von 3 Elementen eine monotone Funktion
von {1, 2, 3} nach {1, 2, 3, 4, 5}. Zum Beispiel kann die Wahl 1 2 2 durch den
Graphen der nachstehenden monotonen Funktion gedeutet werden.
n
5·
◦
◦
◦
4·
◦
◦
◦
3·
◦
◦
◦
2·
◦
•
•
1·
•
◦
◦
1
2
3
k
Dieser Graph kann zu einem Pfad mit schwarzen und weißen Punkten im angegebenen Rechteck (punktiert gezeichnet) von (1, 1) nach (3, 5) ergänzt werden, wobei
nur “Schritte um jeweils eine Einheit nach rechts oder oben” zulässig ist. Somit
geht jeder solche Weg durch 7=5+3-1 Punkte des Gitters:
•
1
◦
2
•
3
•
4
◦
5
◦
6
◦
7
Gibt man umgekehrt eine solche “Perlenschnur” mit 3 schwarzen und 4 weissen
Punkten vor, so kann dem in eindeutiger Weise der Graph einer monotonen
Funktion von {1, 2, 3} nach {1, 2, 3, 4, 5} zugewiesen werden – legen Sie die Enden der Perlenschnur an die linke untere bzw. rechte obere Ecke. Danach wird
schnell klar, wie man die Kette legen muß, damit der Graph einer monotonen Funktion entsteht und jede schwarze Perle über genau einer der Zahlen in
{1, 2, 3} zu liegen kommt.
Dementsprechend ist jede Kombination der 5 Elemente zur Klasse 3 mit
Wiederholung durch die Auswahl der 3 schwarzen Positionen aus den 7 Möglichkeiten
bestimmt.
Auf diese Art kommt man dazu, daß man aus n +
k − 1 Objekten eine
k-elementige Auswahl trifft – das ist die Formel n+k−1
.
k