Kombinationen von n Elementen zur Klasse k mit Wiederholung
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Kombinationen von n Elementen zur Klasse k mit
Wiederholung
Hier gehe ich auf die Beweisidee für die Formel n+k−1
anhand von n = 5 und
k
k = 3 ein.
Zunächst ist jede Kombination von 3 Elementen eine monotone Funktion
von {1, 2, 3} nach {1, 2, 3, 4, 5}. Zum Beispiel kann die Wahl 1 2 2 durch den
Graphen der nachstehenden monotonen Funktion gedeutet werden.
n
5·
◦
◦
◦
4·
◦
◦
◦
3·
◦
◦
◦
2·
◦
•
•
1·
•
◦
◦
1
2
3
k
Dieser Graph kann zu einem Pfad mit schwarzen und weißen Punkten im angegebenen Rechteck (punktiert gezeichnet) von (1, 1) nach (3, 5) ergänzt werden, wobei
nur “Schritte um jeweils eine Einheit nach rechts oder oben” zulässig ist. Somit
geht jeder solche Weg durch 7=5+3-1 Punkte des Gitters:
•
1
◦
2
•
3
•
4
◦
5
◦
6
◦
7
Gibt man umgekehrt eine solche “Perlenschnur” mit 3 schwarzen und 4 weissen
Punkten vor, so ergibt sich in eindeutiger Weise der Graph einer monotonen
Funktion von {1, 2, 3} nach {1, 2, 3, 4, 5} – legen Sie die Enden der Perlenschnur
an die linke untere bzw. rechte obere Ecke. Danach wird schnell klar, daß der
Graph einer monotonen Funktion entsteht wenn jede schwarze Perle über genau
einer der Zahlen 1, 2, 3 zu liegen kommt.
Dementsprechend ist jede Kombination der 5 Elemente zur Klasse 3 mit
Wiederholung durch die Auswahl der 3 schwarzen Positionen aus den 7 Möglichkeiten
bestimmt, somit als Ergebnis 5+3−1
= 35.
3
