b mengen

2.
Funktionen einer reellen Veränderlichen
2.1. Abbildungen und Funktionen
A, B . . . Mengen
f
. . . eine Vorschrift, die jedem x ∈ A genau ein y ∈ B
zuordnet
Dann heißen
f . . . Abbildung von A nach B
A . . . Definitionsbereich von f , auch D(f )
B . . . Wertebereich von f
Bezeichnung:
f: A → B
x 7→ f (x)
Unterscheide zwischen der Abbildung f und f (x), dem Wert der
Abbildung f an der Stelle x.
Die Menge
f (A) = {y ∈ B| Es gibt ein x ∈ A mit y = f (x)} = R(f )
heißt Bild oder Bildbereich von f ,
die Menge
graph (f ) = {(x, f (x)) | x ∈ D(f )}
heißt Graph von f
( graph (f ) ⊂ A × B ) .
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Eine Abbildung f mit A ⊂ R und B ⊂ R heißt (reelle) Funktion;
graph (f ) kann dann in einem Koordinatensystem dargestellt werden
(graphische Darstellung von f ).
Zur Angabe einer Abbildung / Funktion gehören Zuordnungsvorschrift
und Definitionsbereich. Letzterer wird häufig weggelassen. Gemeint
ist dann die Menge, für die die Zuordnungsvorschrift (sinnvoll)
definiert ist (ggf. weiter eingeschränkt durch die beschriebene
Anwendung, z.B. x Preis, dann x > 0).
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Eine Abbildung
a : N0 → R
( oder N → R)
n 7→ a(n)
heißt Zahlenfolge, kurz Folge.
Schreibweisen:
a(n) = an, (a0, a1, a2, . . .) = (an)n∈N0
bzw. (an)n∈N,
kurz: (an).
Beispiele:
1) Kapital K0, jährlicher Zinssatz i und Zinseszinsen,
Kn . . . Kontostand nach n Jahren
K0, K1 = K0 + i · K0 = K0(1 + i)
K2 =
Kn =
2) an = n1 , n ∈ N,
(an) = (1, 12 , 31 , 14 , . . .)
3) an = 3n + 1, n ∈ N0,
(an) = (1, 4, 7, 10, 13, . . .)
4) Rekursion: an+1 = an + 3, a0 = 1 (an) = (1, 4, 7, 10, . . .)
5) an+1 = 21 an, a1 = 1
(an) = (1, 12 , 41 , 18 , . . .)
an = ( 12 )n−1, n ∈ N
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Eine Zahl g ∈ R heißt Grenzwert der Folge (an)n∈N,
wenn für jedes ε > 0 ein n0 ∈ N existiert,
so dass |an − g| < ε für alle n > n0.
Interpretation:
Für jedes noch so kleine ε > 0 gibt es ein n0, von dem an alle an von
g einen Abstand kleiner ε haben.
Bezeichnungen:
lim an = g,
n→∞
an → g (n → ∞)
(an)n∈N heißt dann konvergent.
Hat (an)n∈N keinen Grenzwert, so heißt die Folge divergent.
Jede Zahlenfolge hat höchstens einen Grenzwert!
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