Analysis I für Studierende der Ingenieurwissenschaften

Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg
Prof. Dr. H. J. Oberle
Dr. H. P. Kiani
WiSe 2011/12
Analysis I
für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Blatt 3
Aufgabe 1: (5+5)
a) Zeigen Sie, dass die Folge an :=
4n+2 + 3n−1
, n ∈ N gegen a = 16 konvergiert.
4n + 5
b) Tina hat ihrem kleinen Bruder beim Schaukeln Anschwung gegeben. Die Schaukel
(genauer die Enden der Ketten an denen die Sitzfläche hängt) hat im Ruhezustand
eine Höhe von 0.5 Metern über dem Boden. Nach dem Anschwingen hat die Schaukel
die schwindelerregende Höhe von zwei Metern über dem Boden erreicht. Bei jedem
Hin- und Herschwingen reduziert sich, die über dem Ruhezustand gewonnene maximale
Höhe der Schaukel um 5% . Geben Sie eine Folge an, deren n -tes Glied die maximale
Höhe beim n− ten mal Hin- und Herschwingen angibt. Wie oft schwingt die Schaukel
hin und her bevor sie zum ersten Mal unterhalb einer Höhe von einem Meter über dem
Boden bleibt?
Lösungshinweise zu Aufgabe 1:
a)
n+2
4
+ 3n−1
=
|an − 16| = −
16
4n + 5
n−1
n−1 3
−
80
≤ 3 = n
4n 4 +5 n+2
4
+ 3n−1 − 16 · 4n − 80 4n + 5
∀n : 3n−1 − 80 > 0 .
=⇒ lim |an − 16| = 0.
n→∞
b)
h0 :=0.5 + 1.5, hn = 0.5 + 1.5 · 0.95n
∀n ∈ N
1
hn <1 ⇐⇒ 1.5 · 0.95n < 0.5 ⇐⇒ n · ln (0.95) < ln( )
3
⇐⇒ n >
ln( 31 )
= 21, 4 · · ·
ln(0.95)
Die Schaukel bleibt beim 22. Schwingen unterhalb von einem Meter.
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2
Zu den Aufgaben 2 und 3a: Bitte lösen Sie die angegebenen Aufgaben, kreuzen Sie bei
mehreren Auswahlmöglichkeiten die richtige(n) Zeile(n) an, und tragen Sie gegebenenfalls
in den angekreuzten Zeilen Ihre Antworten in die dafür vorgegebenen Kästchen ein. Der
Lösungsweg wird nicht bewertet.
Aufgabe 2:(3+2+3+2 Punkte)
a) (Klausur 09/10) Geegeben ist die Folge an =
√
√
n2 + 4n + 1 − n2 + n − 2, n ∈ N .
Die Folge an , n ∈ N divergiert ohne erkennbare Häufungspunkte.
Die Folge an , n ∈ N konvergiert uneigentlich gegen ∞ .
x
Die Folge an , n ∈ N konvergiert und es gilt lim an
n→∞
b) Gegeben ist die Folge bn :=
x
=
1
n+2
3
2
3
3n3 + 4n − 1
− 3n
, n ∈ N . Dann ist
2n2
die Folge bn , n ∈ N konvergent und es gilt lim bn
n→∞
=
−27
8
die Folge bn , n ∈ N divergent.
4(n−2)
1
c) Gegeben ist die Folge cn = 1 −
,
3n
x
n∈N.
Die Folge cn , n ∈ N konvergiert und es gilt lim cn
n→∞
Die Folge cn , n ∈ N ist divergent.
d) Die komplexwertige Folge zn =
x
4 + 3i
10
konvergiert gegen lim zn
n→∞
ist divergent.
n
, n ∈ N,
= 0.
4
= e− 3
i2 = −1
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3
Rechnungen zur Aufgabe 2: (3+2+3+2 Punkte)
a) Unter Anwendung der 3. binomischen Formel erhält man
an = (
√
= √
Also gilt :
n2 + 4n + 1 −
√
(n2 + 4n + 1) − (n2 + n − 2)
√
n2 + n − 2 ) = √
n2 + 4n + 1 + n2 + n − 2
3n + 3
√
= q
n2 + 4n + 1 + n2 + n − 2
1+
lim an =
n→∞
4
n
(3 + n3 )
q
1
+ n2 + 1 +
.
1
n
−
2
n2
3
.
2
b)
3
3
1
3n + 4n − 1
bn =
− 3n
n+2
2n2
3
1
−3n3 + 4n − 1
1
=
=
2
n+2
2n
1+
Damit erhalten wir
lim bn =
n→∞
−3
2
3
=
2
n
−3 + 4 n12 −
2
1
n3
3
.
−27
.
8
c)
cn =
1
1−
3n
n 4 −8
(− 31 )
(− 31 )
.
=
1+
· 1+
n
n
1 4
4
lim cn = e− 3
= e− 3 .
4(n−2)
n→∞
n
4 + 3i
d) Für die komplexe Folge zn =
,
i2 = −1 muss man Real– und Ima10
ginärteil getrennt betrachten, oder zu Polarkoordinaten übergehen, und Betrag bzw.
Argument getrennt betrachten.
n
q
n
4 + 3i
4 2
3 2
n
Für zn =
gilt |zn | = |z1 | =
+ 10
10
10
und damit lim |zn | = 0 .
n→∞
Aufgabe 3: (3+7 Punkte)
a) Es sei r ∈ R gegeben. Die Folge bn := cos (nπ)
konvergiert für alle r ∈ R+ .
r−1
5
n
−1 , n∈N
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4
konvergiert genau dann, wenn |r| < 1 gilt.
x
divergiert für alle r ∈ R+ mit r > 6 .
x
konvergiert genau dann, wenn r = 6 gilt.
x
hat für r ∈ (−4, 4) die Häufungspunkte h1 = −1
h2 = 1
b) *
Bernoulli-Prozesse sind Ihnen vermutlich aus der Schule bekannt. Es handelt sich um
Versuche mit zwei möglichen Ergebnissen. Hat das gewünschte Ergebnis die Wahrscheinlichkeit p , so beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das gewünschte Ergebnis bei
n Versuchen genau k mal eintritt
n
pk,n =
pk (1 − p)n−k .
(1)
k
Sei nun λ eine feste reelle Zahl und p = nλ . Welchen Ausdruck erhalten Sie dann für
pk,n nach der Formel (1)? Berechnen Sie den Grenzwert limn→∞ pk,n . Dieser Grenzwert
wird unter geeigneten Voraussetzungen als gute Näherung für die Wahrscheinlichkeit
angesehen, dass ein sehr seltenes Ereignis bei einer sehr großen Zahl von Versuchen
genau k-mal eintritt (Stichwort Poissonverteilung).
*) Die mit einem Stern versehenen Aufgaben sind keine Standardaufgaben. Zur Lösung dieser
Aufgaben muss eventuell etwas länger nachgedacht werden.
Lösungshinweise zu Aufgabe 3:
r−1
a) Die geometrische Folge b̃n :=
5
– divergiert für r ≤ −4 oder r > 6 .
n
– ist konstant gleich 1 für r = 6 , damit ist dann bn = 0, ∀n ∈ N
– konvergiert gegen Null für r ∈ (−4, 6) , damit erhält man für bn die Häufungspunkte
±1 .
b)
pk,n
k
λ
λ
n
=
(1 − )n−k
k
n
n
k
n!
λ
λ
λ
=
·
(1 − )n (1 − )−k
(n − k)!k!
n
n
n
=
(n − k + 1) · · · (n − 1) · n 1
λ
λ
· · λk (1 − )n (1 − )−k
n···n · n
k!
n
n
→
λk −λ
e
k!
(n → ∞)
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5
Aufgabe 4: (1+4+5 Punkte)
Untersuchen Sie die nachstehenden Folgen auf Konvergenz in R und bestimmen Sie gegebenenfalls die Grenzwerte.
a2n + 10
,
6
3 + 5bn
b) b0 = 1 ,
bn+1 :=
, (Klausur SoSe 2010) ,
20
c)(Klausur SoSe 2004) Gegeben sei die Funktion f : R → R
a) a1 = 0,
an+1 =
f (t) = t2 + t − 6.
i) Zeigen Sie, dass das Newton Verfahren zur Bestimmung einer Nullstelle der Funktion
f mit dem Startwert t0 = 3 die Folge
t0 = 3,
tn+1 =
t2n + 6
;
2tn + 1
n ∈ N0
erzeugt.
ii) Zeigen Sie, dass für alle n ∈ N0 , tn ≥ 2 gilt.
iii) Zeigen Sie, dass die Folge (tn )n∈N0 monoton fallend ist.
iv) Beweisen Sie die Konvergenz der Folge (tn )n∈N0 und bestimmen Sie den Grenzwert.
Lösungshinweise zu Aufgabe 4:
a) Falls die Folge a1 = 0,
a=
an+1 =
a2n + 10
in R konvergiert, dann gegen ein a ∈ R mit
6
a2 + 10
⇐⇒ a2 − 6a + 10 = (a − 3)2 + 1 = 0.
6
Widerspruch! Die Folge konvergiert nicht gegen einen reellen Grenzwert.
[1 Punkt]
b) Gibt es ein Grenzwert b der Folge (bn )n∈N0 , so muss dieser die folgende Gleichung
erfüllen:
3 + 5b
1
b =
⇐⇒ 20b = 3 + 5b ⇐⇒ b = .
[1 Punkt]
20
5
Behauptung : für alle k ∈ N0 gilt bk > 15 .
Beweis mittels vollständiger Induktion:
Induktionsanfang: Für k = 0 gilt b0 = 1 >
1
5
.
Induktionsannahme: Für ein beliebiges, festes n ∈ N0 gelte bn > 51 .
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6
Induktionsschritt: Dann gilt die Behauptung auch für bn+1 . Beweis:
bn >
1
⇐⇒ 5bn > 1 ⇐⇒ 3 + 5bn > 4
5
⇐⇒
4
1
3 + 5bn
= bn+1 >
= .
20
20
5
[1 Punkte]
Behauptung : für alle k ∈ N0 gilt bk > bk+1 .
Beweis mittels vollständiger Induktion:
3+5
.
20
Induktionsannahme: Für ein beliebiges, festes n ∈ N gelte bn−1 > bn .
Induktionsanfang: Für k = 0 gilt b0 = 1 > b1 =
Induktionsschritt: Dann gilt auch bn > bn+1 . Beweis:
bn−1 > bn ⇐⇒ 5bn−1 > 5bn ⇐⇒ 3 + 5bn−1 > 3 + 5bn
3 + 5bn−1
3 + 5bn
>
= bn+1 .
20
20
Die Folge ist monoton fallend und nach unten beschränkt. Sie konvergiert gegen den
einzig möglichen Grenzwert 1/5.
[2 Punkte]
⇐⇒ bn =
c) (Klausur SoSe 2004)
(i) Das Newton Verfahren erzeugt die Folge
t2 + tn − 6
2t2 + tn − t2n − tn + 6
t2 + 6
f (tn )
= tn − n
= n
= n
. [1
tn+1 = tn − 0
f (tn )
2tn + 1
2tn + 1
2tn + 1
Punkt]
(ii) Behauptung: Für alle n ∈ N0 : tn ≥ 2 .
Beweis: Es ist t0 = 3 > 2 . Es sei tn ≥ 2 für ein festes, beliebiges n ∈ N0 . Dann
gilt
tn+1 ≥ 2 ⇐⇒ t2n + 6 ≥ 4tn + 2 ⇐⇒ t2n − 4tn + 4 ≥ 0 ⇐⇒ (tn − 2)2 ≥ 0 .
Die letzte Ungleichung ist aber für alle reellen Zahlen tn erfüllt. [1 Punkt]
(iii) Behauptung: Die Folge (tn )n∈N0 ist monoton fallend.
t2 + 6
tn+1 = n
≤ tn ⇐⇒ t2n + 6 ≤ 2t2n + tn ⇐⇒ 6 ≤ t2n + tn .
2tn + 1
Die letzte Ungleichung ist für alle tn ≥ 2 erfüllt. Also fällt die Folge monoton.
[1 Punkt]
(iv) Konvergenz der Folge (tn )n∈N0 und Grenzwert:
Da die Folge monoton fallend und nach unten beschränkt ist, ist sie auch konvergent. [1 Punkt] Für den Grenzwert muss gelten:
t2 + 6
⇐⇒ 2t2 + t = t2 + 6 ⇐⇒ t2 + t − 6 = (t − 2)(t + 3) = 0
2t + 1
Wegen tn ≥ 2 kommt nur der Grenzwert t = 2 in Frage. [1 Punkt]
t=