Minkowski

Seminar Zahlentheorie
bei Herrn Prof. Dr. Wedhorn
Minkowski-Theorie
Ausarbeitung zum Seminarvortrag von
Kathrin Märkel und Judith Hausmann
WS 2007/08 - 14. Februar 2008
I
Inhaltsverzeichnis
Einleitung
1
Einbettungen
1
Diskriminante eines Ideals
2
Minkowski-Theorie
5
Literaturverzeichnis
11
II
Einleitung
Im Folgenden wird die Minkowski-Theorie dargestellt. Ein zentraler Gedanke dieser Theorie
besteht darin, dass man die Zahlen einer endlichen Körpererweiterung K|Q vom Grade n als
Punkte im n-dimensionalen R-Vektorraum betrachten kann. Bevor die Minkowski-Theorie dargestellt wird, sind zunächst einige Definitionen erforderlich. Zunächst werden Einbettungen einer endlichen Körpererweiterung K|Q in den Körper der komplexen Zahlen definiert und näher
betrachtet. Danach wird die Diskriminante eines gebrochenen Ideals a von K definiert. Auf der
Grundlage dieser Definitionen können grundlegende Sätze der Minkowski-Theorie bewiesen
werden.
Die folgende Ausarbeitung ist daher in drei Teile unterteilt:
• Einbettungen
• Diskriminante eines Ideals
• Minkowski-Theorie.
Einbettungen
Wir gehen im Folgenden stets von der Situation aus, dass K|Q eine endliche Körpererweiterung
vom Grade n ist.
OK := {a ∈ K| a ganz über Z} sei der ganze Abschluss von Z in K.
Definition 9.1 Ein Q-linearer Körperhomomorphismus τ : K → C heißt Q-Einbettung von K
nach C.
HomQ (K, C) = {τ | τ Q-Einbettung von K nach C}.
τ ∈ HomQ (K, C) heißt reell genau dann, wenn τ (K) ⊆ R. Sonst heißt τ nicht-reell oder komplex.
Bemerkung 9.2 Jeder Körperhomomorphismus τ : K → C ist automatisch Q-linear.
Satz 9.3 Es gilt: [K : Q] = | HomQ (K, C)|.
Beweis: Den Beweis dieses Satzes findet man in der Algebra (z.B. in dem Buch zur Algebra
von Siegfried Bosch im Kapitel 3.6 unter Satz 8).
√
√
/ Q.
Beispiel 9.4 Sei K := Q[ d] = {a + b · d| a, b ∈ Q}, d ∈ Z, d ∈
Gesucht sind alle Q-Einbettungen von K nach C.
1
Sei τ ∈ HomQ (K, C). Per Definition ist τ Q-linear.
Aus der Q-Linearität von τ folgt, dass τ alle Elemente aus Q festlässt.
Denn: Sei z ∈ Q beliebig. Dann gilt: τ (z) = τ (z · 1) = z · τ (1) = z · 1 = z.
√
√
√
√
Damit gilt dann insbesondere für d ∈ Q: d = τ (d) = τ ( d)2 . Daraus folgt: τ ( d) ∈ {+ d, − d}.
Es gibt also nur zwei Möglichkeiten eine Q-Einbettung von K nach C zu definieren:
√
√
√
√
Definiere τ1 , τ2 : K → C durch τ1 (a + b · d) := a + b · d und τ2 (a + b · d) := a − b · d.
Nach obigen Überlegungen gilt dann: HomQ (K, C) = {τ1 , τ2 }.
Abschließend muss man zwei Fälle unterscheiden:
√
1.Fall: d > 0. Dann ist d ∈ R, und so sind τ1 , τ2 reell.
√
2.Fall: d < 0. Dann ist d ∈ CR, und so sind τ1 , τ2 nicht-reell.
Diskriminante eines Ideals
Erinnerung 9.5 Sei a ein gebrochenes Ideal von K (d.h., a ist ein endlich erzeugter OK Untermodul von K). Dann besitzt a eine Z-Basis mit n Elementen, wobei n = [K : Q] (vgl.
Lemma (7.3) aus dem 7. Vortrag).
Definition 9.6 Sei a ein gebrochenes Ideal von K.
Sei α1 , ..., αn eine Z-Basis von a.
Setze
d(α1 , ..., αn ) := det(τi (α j ))2 ,
wobei τi ∈ HomQ (K, C), i = 1, ..., n.
d(α1 , ..., αn ) heißt Diskriminante der Basis α1 , ..., αn .
Bemerkung 9.7 Die Diskriminante d(α1 , ..., αn ) hängt nicht von der Wahl der Basis α1 , ..., αn
von a ab. Wir dürfen daher d(a) := d(α1 , ..., αn ) setzen.
Für a = OK setzen wir d(OK ) := dK .
Beweis:
Seien α1 , ..., αn und α1′ , ..., αn′ zwei Z-Basen von a.
Beschreibe die αi′ als Linearkombination der α j mit Koeffizienten ai j ∈ Z:
αi′ = ∑ ai j · α j
j
2
Diese Darstellung ist möglich, da die α1′ , ..., αn′ aus a stammen und die α1 , ..., αn eine Z-Basis
von a bilden.
Bilde nun die Matrix, die aus den Koeffizienten ai j besteht: T := (ai j ).
T ist die Transformationsmatrix zum Basiswechsel von α1 , ..., αn nach α1′ , ..., αn′ .
Da die Matrixeinträge von T alle aus Z stammen, ist auch det(T ) aus Z.
Nach dem Determinantenproduktsatz gilt:
1 = det(In ) = det(T · T −1 ) = det(T ) · det(T )−1 ,
wobei In die (n × n)-Einheitsmatrix ist. Analoges gilt für die Transformationsmatrix T ′ zum
Basiswechsel von α1′ , ..., αn′ nach α1 , ..., αn .
Damit ist det(T ) invertierbar in Z und es folgt: det(T ) ∈ {+1, −1}.
Es folgt:
d(α1′ , ..., αn′ ) = det(τi (α ′j ))2 = det(τi (∑ aik · αk ))2 = det(∑ aik · τi (αk ))2
k
k
= det(T · τi (αk ))2 = det(T )2 · det(τi (αk ))2 = d(α1 , ..., αn ),
da nach obiger Rechnung det(T )2 = 1 gilt.
√
Beispiel 9.8 Sei K := Q[ d].
Nach Satz (6.15) des 6. Vortrags muss man bei der Bestimmung von OK zwei Fälle unterscheiden:
1.Fall: d = 2 oder 3 mod 4.
√
√
Dann gilt: OK = {a + b · d| a, b ∈ Z}. Damit ist 1, d eine Z-Basis von OK . Daraus folgt:
√ 2
√ √
τ1 (1) τ1 ( d)2 1
√
√d = 4d
=
dK = d(1, d) = 1 − d τ2 (1) τ2 ( d)
2.Fall: d = 1 mod 4.
Dann gilt: OK = {a + b ·
√
1+ d
2 |
a, b ∈ Z}. Dann ist
√
1+ d
1, 2
eine Z-Basis von OK . Daraus folgt:
√ ! √ 2 1+ d
τ (1) τ1 (√d)
1
dk = d 1,
= 1
=
1
τ2 (1) τ2 ( d)
2
Insbesondere gilt für K := Q[i], dass dK = −4, denn i =
3
√
√ 2
1+ d 2√ 1− d 2
=d
−1 und −1 = 3 mod 4.
Theorem 9.9 Sei a′ ein freier Z-Modul vom Rang n. Sei a ⊆ a′ ein Z-Untermodul.
(1) Es gilt: a ist frei.
(2) Ist a vom Rang n, so existiert eine Basis e1 , ..., en von a′ und r1 , ..., rn ∈ Z, ri ≥ 1, sodass
r1 e1 , ..., rn en eine Z-Basis von a ist. In diesem Fall gilt:


r
·
·
·
0
1
n


(a′ : a) = ∏ ri = det  ... . . . ...  .
i=1
0 · · · rn
Satz 9.10 Sind a ⊆ a′ zwei gebrochene Ideale von K, so ist der Index (a′ :a) endlich und es gilt:
d(a) = (a′ : a)2 · d(a′ ).
Beweis:
Als gebrochene Ideale sind a′ und a per Definition endlich erzeugte OK -Moduln. Nach Lemma
(7.3) des 7. Vortrags sind a′ und a damit freie Z-Moduln vom Rang n. Die Voraussetzungen für
das Theorem (9.9) sind also erfüllt.
Sei e1 , ..., en eine Z-Basis von a′ , wobei n :=rk(a′ ).
Nach dem Theorem existieren dann r1 , ..., rn ∈ Z, ri ≥ 1, sodass r1 e1 , ..., rn en eine Z-Basis von
a ist und es gilt:


r1 · · · 0
n


(a′ : a) = ∏ ri = det  ... . . . ...  .
i=1
0 · · · rn
K ist ein Q-Vektorraum der Dimension
n. Sowohl
e1 , ..., en als auch r1 e1 , ..., rn en bilden eine Q

r1 · · · 0
 .. . .
.
Basis von K. Die Matrix T :=  .
. ..  ist die Transformationsmatrix zum Basiswechsel
0 · · · rn
von e1 , ..., en nach r1 e1 , ..., rn en . Dann gilt wie im Beweis zu Bemerkung (9.7):
d(a) = d(r1 e1 , ..., rn en ) = det(T )2 · d(e1 , ..., en ) = (a′ : a)2 · d(a′ ).
4
Minkowski-Theorie
Zunächst sei daran erinnert, dass K|Q eine endliche Körpererweiterung vom Grade n ist.
Definition 9.11 Nach Satz (9.3) beträgt die Anzahl der Q-Einbettungen τi : K → C (i=1,...,n)
genau n. Davon sind manche reell und manche komplex. Seien
ρ1 , ..., ρr : K → R
die reellen. Definiere ER := {ρ1 , ..., ρr }.
Die komplexen gruppieren sich zu Paaren
σ1 , σ 1 , ..., σs , σ s : K → C
komplex konjugierter Einbettungen. Definiere EC := {σ1 , ..., σs }.
Damit liegt in EC von jedem Paar konjugiert komplexer Einbettungen nur ein Element, d.h.
|EC | = s.
Es gilt: n = r + 2 · s.
Im Folgenden werden die obigen Abbildungen nur noch nummeriert, wenn es der Übersichtlichkeit dient.
Definition 9.12 KC := {(xτ )τ ∈E | xτ ∈ C}, wobei E := HomQ (K, C).
KR := {(xτ ) ∈ KC | xρi ∈ R, xσ j = xσ j } = {(xρ1 , ..., xρr , xσ1 , xσ1 , ..., xσs , xσs )| xρi ∈ R, xσ j ∈ C}.
KR heißt Minkowski-Raum.
Bemerkung 9.13 KC ist ein C-Vektorraum der Dimension n.
KR ist ein R-Vektorraum der Dimension n = r + 2s.
Beweis:
Die Addition und Multiplikation auf KC geschehen komponentenweise. Alle Komponenten eines n-Tupels aus KC stammen aus C. Da C ein C-Vektorraum ist, sind die Vektorraum-Axiome
also erfüllt und die Dimension von KC über C ist n.
Die Addition und Multiplikation auf KR sind ebenfalls komponentenweise definiert. Da alle
Komponenten eines n-Tupels aus KR aus C stammen und C ein R-Vektorraum ist, ist also auch
KR ein R-Vektorraum. Die ersten r Komponenten eines n-Tupels aus KR stammen aus R. So
besteht eine R-Basis für ein solches r-Tupel aus r Elementen. Betrachtet man dann die noch
fehlenden 2s Komponenten (xσ1 , xσ1 , ..., xσs , xσs ) des n-Tupels, so stellt man zunächst fest, dass
von den Paaren xσ j , xσ j jeweils ein Element durch das andere schon festgelegt ist. Es müssen
5
also nur s der 2s Komponenten bestimmt werden. Da die xσ j aus C stammen, besteht eine RBasis für jedes der xσ j aus zwei Elementen. Eine R-Basis für das 2s-Tupel (xσ1 , xσ1 , ..., xσs , xσs )
enthält also 2s Elemente. Eine R-Basis für das n-Tupel aus KR besteht demnach insgesamt aus
r + 2s Elementen. Damit ist die Dimension von KR als R-Vektorraum n = r + 2s.
Definition 9.14 Durch die Abbildung
h , i : KR × KR → R, hx, yi = ∑ xτ yτ
τ
wird ein Skalarprodukt auf KR definiert. Dieses Skalarprodukt wird auch kanonische Metrik von
KR genannt. KR wird somit zu einem euklidischen Vektorraum.
Beweis:
Zeige zunächst hx, yi ∈ R für alle x, y ∈ KR : Seien x := (xτ ), y := (yτ ) ∈ KR .
Dann gilt (unter Beachtung der Eigenschaften von KR ):
hx, yi = ∑ xτ yτ =
τ
∑
ρ ∈ER
xρ yρ +
∑
σ ∈EC
(xσ yσ + xσ yσ ) = ∑ xρ yρ + ∑(xσ yσ + xσ yσ )
ρ
σ
= ∑ xρ yρ + ∑(xσ yσ + xσ yσ ) = ∑ xρ yρ + ∑ 2 · Re(xσ yσ ) ∈ R.
ρ
σ
ρ
σ
Die Abbildung ist folglich wohldefiniert.
Zeige nun, dass h , i ein Skalarprodukt auf KR ist.
Die R-Bilinearität und die Symmetrie sind leicht einsichtig.
Zeige die Positiv-Definitheit:
Sei x ∈ KR , x 6= 0. Dann existiert τ ∗ ∈ HomQ (K, C) : xτ ∗ 6= 0.
hx, xi = ∑τ xτ xτ = ∑τ (Re(xτ )2 + Im(xτ )2 ) ≥ Re(xτ ∗ )2 + Im(xτ ∗ )2 > 0.
Satz 9.15 Die Abbildung
f : KR → Rr+2s , (zτ ) 7→ (xτ )
mit
xρ = zρ , xσ = Re(zσ ), xσ = Im(zσ )
ist ein Isomorphismus. Dieser überführt die kanonische Metrik h , i von KR in das Skalarprodukt
(x, x′ ) = ∑ ατ xτ xτ′
τ
mit ατ = 1 bzw. ατ = 2, je nachdem ob τ reell oder komplex ist.
6
Beweis:
1. Zeige die Isomorphie:
Seien z = (zτ ), z′ = (z′τ ) ∈ KR , r ∈ R.
Dann gilt: f (z + z′ ) = f (z) + f (z′ ), sowie f (r · z) = r · f (z). Dies folgt direkt aus der Definition
von f . Damit folgt die R-Linearität von f .
Gelte f ((zτ )) = (xτ ) = (0), wobei mit (0) das Nullelement in KR bezeichnet wird. Dann folgt
zρ = xρ = 0 für alle ρ ∈ ER und Re(zσ ) = Re(zσ ) = xσ = 0, Im(zσ ) = − Im(zσ ) = xσ = 0 für
alle σ ∈ EC . Folglich ist (zτ ) = (0) und somit ist f injektiv.
Sei (xτ ) ∈ Rr+2s . Dann gilt für (zτ ) ∈ KR mit zρ = xρ für alle ρ ∈ ER und
z σ = x σ + i · xσ , z σ = x σ − i · xσ
für alle σ ∈ EC , dass f ((zτ )) = (xτ ) ist. Somit ist f surjektiv.
Insgesamt folgt nun, dass f ein Isomorphismus ist.
2. Zeige die Behauptung über das Skalarprodukt:
Seien z = (zτ ), z′ = (z′τ ) ∈ KR und seien x = (xτ ) = f (z), x′ = (xτ′ ) = f (z′ ).
Dann folgt nach der Definition von f : zρ z′ρ = xρ x′ρ = xρ xρ′ für alle ρ ∈ ER .
Wegen zσ = Re(zσ ) + i · Im(zσ ) = xσ + i · xσ , zσ′ = Re(z′σ ) + i · Im(z′σ ) = xσ′ + i · xσ′ für alle
σ ∈ EC gilt:
zσ zσ′ + zσ zσ′ = zσ zσ′ + zσ z′σ = zσ zσ′ + zσ z′σ = 2 · Re(zσ z′σ ) = 2(xσ xσ′ + xσ xσ′ ).
Folglich gilt:
hz, z′ i = ∑ zτ z′τ =
τ
∑
ρ ∈ER
xρ xρ′ +
∑
σ ∈EC
(zσ z′σ + zσ zσ′ ) = ∑ xρ xρ′ + ∑ 2(xσ xσ′ + xσ xσ′ ) = ∑ ατ xτ xτ′
ρ
σ
τ
mit ατ wie gefordert.
Bemerkung 9.16 Sei X ⊆ KR messbar (das ist z.B. dann der Fall, wenn X zentralsymmetrisch
und konvex ist oder wenn X ein vollständiges Gitter in KR ist). Dann gilt:
volkanonisch (X) = 2s · volLebesgue ( f (X)).
Für Gitter gilt diese Behauptung nach den Ergebnissen des 8.Vortrags.
Häufig ist es leichter mit dem Lebesgue’schen Volumen auf dem Rn zu arbeiten, als mit dem
kanonischen Volumen bezüglich der kanonischen Metrik auf KR . Diese Formel ermöglicht die
Berechnung des kanonischen Volumens mit Hilfe des Lebesgue’schen Volumens, dies wird im
Beweis des Theorems (9.21) ausgenutzt.
7
Definition 9.17 Definiere
j : K → KR , a 7−→ j(a) = (τ (a))τ ∈HomQ (K,C) .
Da τ (a) = τ (a) für alle τ ∈ HomQ (K, C) und für alle a ∈ K gilt, ist die Abbildung wohldefiniert.
Satz 9.18 Ist a 6= 0 ein Ideal von OK , so ist Γ = j(a) ein vollständiges Gitter in KR mit dem
Grundmaschenvolumen
p
p
volkanonisch (Γ) = |dK |(OK : a) = |d(a)|.
Beweis:
Nach einem Ergebnis des 7. Vortrags gilt, dass a ein gebrochenes Ideal von K ist und dass a
eine Z-Basis von n = [K : Q] Elementen besitzt.
Sei α1 , . . . , αn eine Z-Basis von a. Dann ist
Γ := j(a) = j(Zα1 + . . . + Zαn ) = Z j(α1 ) + . . . + Z j(αn )
mit j(αi ) ∈ KR für alle i = 1, . . . , n. Denn j ist Q-linear, da alle τ ∈ HomQ (K, C) Q-linear sind.
Man kann zeigen, dass die Diskriminante von a von Null verschieden ist. (Man betrachte dazu die Diskriminante einer Basis der separablen Körpererweiterung K|Q und folgere mit Hilfe
der Determinante der Vandermond’schen Matrix, dass die Diskriminante einer Basis der Körpererweiterung K|Q von Null verschieden ist. Vgl. dazu Neukirch, Jürgen: Algebraische Zahlentheorie. Berlin: Springer 2007. S.11f. Da eine Z-Basis von a eine Q-Basis von K ist, ist die
Diskriminante von a ebenfalls von Null verschieden.) Es gilt 0 6= d(a) = det(M)2 , wobei die
Matrix M die j(α1 ), . . . , j(αn ) nach Definition als Spaltenvektoren hat. Da diese Determinante
ebenfalls von Null verschieden ist, sind die Vektoren j(α1 ), . . . , j(αn ) linear unabhängig über
R im Vektorraum KR . Folglich ist j(a) ein vollständiges Gitter in KR .
Für die n nummerierten Q-Einbettungen τ1 , . . . , τn : K → C, bilde die n × n Matrix A :=
(τl (αi ))l,i=1,...,n mit Koeffizienten aus den komplexen Zahlen.
Dann gilt nach (9.10) d(a) = (det(A))2 = (OK : a)2 · d(OK ).
T
Es gilt für die Matrix (h j(αi ), j(αk )i)i,k=1,...,n = (∑nl=1 τl (αi ) · τ l (αk ))i,k=1,...,n = A · A .
Nach den Ergebnissen des 8. Vortrags gilt nun:
1
T
1
1
volkanonisch (Γ) = | det(h j(αi ), j(αk )i)ik )| 2 = | det(AA )| 2 = (| det(A)| · | det(A)|) 2
p
1
1
= (| det(A)| · |det(A)|) 2 = (| det(A)| · | det(A)|) 2 = | det(A)| = (OK : a) · |dK |.
8
Beispiel 9.19 Sei K := Q[i]. Dann ist OK = Z[i] (nach den Ergebnissen des 6. Vortrags). Wähle
a := OK = Z[i]. Dann ist
p
√
volkanonisch ( j(a)) = |dK |(OK : OK ) = 4 = 2
nach (9.18).
Eigentlich würde man vermuten, dass das hier zu berechnende Grundmaschenvolumen
1 = |1| · |i|
ist. Um an dieser Stelle das Grundmaschenvolumen
zu berechnen, betrachtet
man j(Z[i]) als
√
1
i
Gitter in KR . Da die Vektoren j(1) = 1 , j(i) = −i ∈ KR die Länge 2 haben, erhält man
√ √
2 = 2 · 2 als Grundmaschenvolumen. Dieses Ergebnis veranschaulicht auch die Formel in
(9.16).
Erinnerung (Minkowskischer Gitterpunktsatz) 9.20 Sei Γ ein vollständiges Gitter im euklidischen Vektorraum V der Dimension n und X ⊆ V zentralsymmetrisch und konvex. Ist dann
vol(X) > 2n · vol(Γ),
so enthält X mindestens einen von Null verschiedenen Gitterpunkt γ ∈ Γ. (Dieser Satz wurde im
8. Vortrag bewiesen.)
Theorem 9.21 Sei a 6= 0 ein Ideal von OK und seien cτ > 0 (τ ∈ HomQ (K, C)) reelle Zahlen
mit cτ = cτ und
∏ cτ > A · (OK : a),
τ
p
wobei A := ( π2 )s · |d(OK )|.
Dann gibt es ein α ∈ a, α 6= 0 mit |τ (α )| < cτ für alle τ ∈ HomQ (K, C).
Beweis:
Ziel ist es, den Minkowskischen Gitterpunktsatz anzuwenden. Dazu sollen zunächst die Voraussetzungen geschaffen werden.
Die Menge X := {(zτ ) ∈ KR | |zτ | < cτ } ist zentralsymmetrisch und konvex:
Sei (zτ ) ∈ X, dann gilt |zτ | = | − zτ | < cτ für alle τ ∈ HomQ (K, C). Daher ist −(zτ ) ∈ X und
somit ist X zentralsymmetrisch.
Seien (zτ ), (zτ′ ) ∈ X. Dann gilt: |zτ | < cτ , |z′τ | < cτ für alle τ ∈ HomQ (K, C).
Seien α , β ≥ 0 mit α + β = 1. Daher gilt nach der Dreiecksungleichung
|α zτ + β z′τ | ≤ α |zτ | + β |zτ′ | < (α + β ) · cτ
für alle τ ∈ HomQ (K, C). Daher ist α · (zτ ) + β · (zτ′ ) ∈ X und somit ist X konvex.
9
Das Volumen volkanonisch (X) ergibt sich über den aus (9.15) bekannten Isomorphismus
f : KR → Rr+2s , (zτ ) 7→ (xτ ),
mit
xρ = zρ , xσ = Re(zσ ), xσ = Im(zσ )
als das 2s -fache des Lebesgue-Inhalts des Bildes
f (X) = {(xτ ) ∈ Rn | |xρ | < cρ , xσ 2 + xσ 2 < cσ 2 }.
Nach (9.16) gilt:
volkanonisch (X) = 2s · volLebesgue ( f (X)) = 2s
∏ (2cρ ) ∏ (π cσ 2) = 2r+sπ s · ∏ cτ .
ρ ∈ER
σ ∈EC
τ
Nun folgt mit (9.18)
p
2 p
volkanonisch (X) > 2r+s π s · ( )s |dK |(OK : a) = 2n |dK |(OK : a) = 2n volkanonisch (Γ)
π
mit Γ = j(a). (Γ ist nach (9.18) ein vollständiges Gitter.)
Mit dem Minkowskischen Gitterpunktsatz folgt, dass X einen Gitterpunkt γ ∈ Γ = j(a) mit
γ 6= 0 besitzt. Daher existiert ein α ∈ a mit γ = j(α ). Da γ 6= 0 gilt auch α 6= 0.
Da γ ∈ X folgt: |τ (α )| < cτ für alle τ ∈ HomQ (K, C).
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Literaturverzeichnis
Neukirch, Jürgen: Algebraische Zahlentheorie. Berlin: Springer 2007.
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