Pfadintegrale, Renormierungsgruppen und vereinheitlichte Theorien

Mitschrieb zur Vorlesung:
Pfadintegrale, Renormierungsgruppen
und vereinheitlichte Theorien
Prof. Dr. Johann Kühn
Vorlesung Sommersemester 2004
Letzte Aktualisierung und Verbesserung: 12. Februar 2005
Mitschrieb der Vorlesung Pfadintegrale, Renormierungsgruppen und vereinheitlichte Theorien
von Herrn Prof. Dr. Johann Kühn im Wintersemester 2004/2005
von Marco Schreck.
Dieser Mitschrieb erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Korrektheit.
Kommentare, Fehler und Vorschläge und konstruktive Kritik bitte an [email protected].
Inhaltsverzeichnis
1 Pfadintegrale
1.1 Nichtrelativistische Quantenmechanik . . . .
1.1.1 Überlagerungsprinzip . . . . . . . . .
1.1.2 Einschub zu Gauß-Integralen . . . .
1.1.3 Anmerkung zum klassischen Grenzfall
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5
5
5
6
9
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2 Feldtheorie
11
3 Korrelationsfunktionen und zeitgeordnete Produkte von Operatoren
3.1 Fingerübungen“ zum erzeugenden Funktional bei Anwesenheit von Anharmonizität
”
3.1.1 Eindimensionale Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Graphische Darstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Feldtheorie: Funktionalableitung und erzeugendes Funktional . . . . . . . . . . . . .
3.2.1 Green-Funktion oder Korrelationsfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Exkurs: Landau-Funktionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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16
16
16
17
4 Elektromagnetisches Feld im Pfadintegralformalismus
4.1 Ausgangspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Spinor-Felder und Pfadintegrale . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Gauß-Integral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Dirac-Propagator . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Symmetrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Erhaltungssätze, Noether-Ströme . . . . . . . .
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19
19
21
22
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23
24
5 Pfadintegrale und nichtabelsche Eichtheorien
5.1 Allgemeine Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Faddeev-Popov-Lagrange-Dichte . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2.1 Behandlung des Eichfeldes in der axialen Eichung . . . . .
5.3 Geister und Unitarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 BRST-Symmetrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Klassifikation der Eigenzustände von H in drei Teilräumen
5.5 S-Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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27
27
28
29
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31
32
32
6 Renormierungsgruppe
6.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.1.1 φ4 -Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Wilson (Effektive Theorien) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
33
34
36
7 Callan-Symanzik-Gleichung
7.1 Modifizierte Renormierungsbedingungen . .
7.2 Berechnung von β und γ . . . . . . . . . . .
7.3 Lösung der Callan-Symanzik-Gleichung .
7.4 β-Funktion in den Quantenchromodynamik
39
39
41
44
46
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3
INHALTSVERZEICHNIS
8 Zusammengesetzte Operatoren
8.1 Berechnung von Zerfällen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 φ4 -Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Renormierung lokaler zusammengesetzter Operatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
49
50
50
9 Quantenchromodynamik
9.1 Bildung von Hadronen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.1 Wirkungsquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.1.2 Einschub: Callan-Lehmann-Spektraldarstellung
9.2 Wechselwirkende Felder . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2.1 Dispersionsrelation . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Lepton-Nukleon-Streuung/Tief inelastische Streuung . . .
53
53
54
55
55
57
57
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4
Kapitel 1
Pfadintegrale
1.1
Nichtrelativistische Quantenmechanik
1.1.1
Überlagerungsprinzip
1.) Doppelspalt:
Die gesamte Amplitude A ergibt sich aus A1 + A2 . Die Intensität erhält man daraus durch das Betragsquadrat |A|2 . Liegen mehrere Löcher vor, so ergibt sich A als Summe aller Ai .
2.) Zwei Blenden:
A=
X
Aij
i,j
Die Löcher in den Blenden sollen dicht liegen und die Blenden dicht hintereinander.
X
A(S 7→ O) =
A(SWeg i 7→ A)
Wege i
Der Weg wird genähert durch einen Polygon-Zug, wobei die Segment-Länge gegen null geht.
5
KAPITEL 1. PFADINTEGRALE
Was ist das Gewicht eines Weges und die Amplitude für einen bestimmten weg? Wir erinnern uns an die
Formulierung von Dirac in der Quantenmechanik:
hqF | exp(−iHT )|qI i
Im folgenden wollen wir ein eindimensionales Problem betrachten. Damit vollzieht sich der Übergang zu den
Pfadintegralen:
hqF | exp(−iHT )|qI i| = hqF | exp(−iHδt) exp(−iHδt) . . . exp(−iHδt)|qI i mit δt ≡
T
N
Z
Mit der Vollständigkeitsrelation
"N −1 Z
Y
dq |qihq| = 1 der Basis {|qi} folgt weiter:
#
dqi hqF |exp (−iHδt)| qN −1 i hqN −1 |exp (−iHδt)| qN −2 i . . . hq1 |exp (−iHδt)| qI i
i=1
Wir wollen uns nun der Auswertung eines Faktors im Impulsraum widmen. Dazu machen wir Gebrauch von:
Z
dp
|pihp = 1, hq|pi = exp(ipq)
2π
Dazu wollen wir uns zunächst mit der Betrachtung eines freien Teilchens begnügen. Dieses besitzt einen Hap̂2
milton-Operator der Form H = 2m
, wobei für den Impulsoperator p̂ das Eigenwertproblem p̂|pi = p|pi
gilt.
+∞
Z
I=
−∞
+∞
Z
=
−∞
µ
=
dp
2π
+∞
¯
¶¯ À
µ
¶
µ
Z
¯
¯
p2
p̂2
dp
¯
¯
qj+1 ¯exp −i ·
δt ¯ p hp|qj i =
exp −i ·
δt hqj+1 |pihp|qj i =
2m
2π
2m
¿
−∞
"
#
µ
¶
µ
¶1
2
p2
−i · 2πm 2
im (qj+1 − qj )
dp
=
exp −i
δt exp [ip(qj+1 − qj )] =
· exp
2π
2m
δt
2δt
−i · 2πm
δt
1.1.2
¶ 12
·
·
¸¸
m qj+1 − qj
· exp iδt ·
·
2
δt
Einschub zu Gauß-Integralen
✵ Anwendung ①:
Unter Verwendung von Polarkoordinaten lässt sich das Quadrat eines Gauß-Integrals geschickt berechnen:
Z∞
2
G =
−∞
¶ Z∞
µ
¶
µ 2¶
µ
Z∞
1 2 x2 +y2 =r2
r
1 2
dy exp − y
=
2π · dr r exp −
= 2π
dx exp − x ·
2
2
2
−∞
0
Damit erhalten wir durch Ziehen der Wurzel das Gauß-Integral:
Z∞
−∞
µ 2¶
√
x
dx exp −
= 2π
2
Wir erinnern uns:
µ 2¶ Z
µ 2¶
Z
√ 2 Z
~x
r
n
n−1
G = ( 2π) = d~x exp −
= dΩn dr r
exp −
2
2
Daraus erhält man dann das Integral über dΩn .
6
1.1. NICHTRELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
✵ Anwendung ②:
Z∞
−∞
µ
ax2
dx exp −
2
r
¶
=
2π
a
✵ Anwendung ③:
Z
³ a ´
¡
¢ ³q 2π ´
d n
dx x2n exp − x2
−2
da
a
1
1
2
q
hx2n i ≡ Z
= n (2n − 1) · (2n − 3) · . . . · 5 · 3 · 1 = n · (2n − 1)!!
³ a ´ =
a
a
2π
dx exp − x2
a
2
Dies ist gerade die Anzahl der möglichen Paare bei 2n Objekten (Zahl der Wick-Integrationen).
✵ Anwendung ④:
Z
Z
·
¸ µ ¶ 12
¸
·
1 2
1 J2
1 J2
2π
1 J2
dx exp − ax + Jx −
+
=
exp
·
2
2 a
2 a
a
2 a
·
¸ µ ¶ 12
·
¸
1 2
2π
J2
dx exp − ax + iJx =
· exp −
2
a
2a
Wir machen den Übergang a 7→ −ia, wobei −ia einen kleinen positiven Realteil ε haben soll.
µ
Z
dx exp
·
¶ µ
¶1
¸
ia 2
i
2πi 2
· exp − · J 2
· x + i · Jx =
2
a
2a
✵ Anwendung ⑤:
Im nächsten Schritt gehen wir über auf n-dimensionale Integrale.
Z
·
¸ µ
¶
·
¸
1 |
(2π)N
1 | −1
d~x exp − x Ax + Jx =
exp J A J
2
det A
2
Es gibt dazu entsprechende Fortsetzungen:
·
¸
Z
i
d~x exp x| Ax + iI | x
2
Z
hxi xj . . . xk xl i ≡
·
¸
1 |
d~x xi xj . . . xk xl exp − x Ax
2
Z
=
1
X
(A−1 )ab . . . (A−1 )yz
Permutationen
a, b...∈(i, j, ...k, l)
Kommen wir nun zu unserem Anfangsproblem zurück:


 
"
¶N
·
¸2 #
µ
N −1 Z
N
−1
Y
q
−
q
−i · 2πm 2  Y
m
j+1
j
=
·
hqF |exp (−iHT )| qI i =
·
dqj  · 
exp iδt ·
δt
2
δt
j=1
j=1


 

µ
¶N
·
¸2
N −1 Z
N
−1
X
−i · 2πm 2  Y
q
−
q
m
j+1
j

=
·
·
dqj  · exp 
iδt ·
δt
2
δt
j=1
j=1
Es liegen damit zwei Grenzübergänge vor:
7
KAPITEL 1. PFADINTEGRALE
qj+1 (t + δt) − qj (t)
7→ q̇(t) für δt 7→ 0
δt
Z
N
−1
X
2.) δt
7→ dt für δt 7→ 0
1.)
j=1
Wir definieren nun als Pfadintegral:
µ
lim
N 7→∞
−i · 2πm
δt
¶ N2
·
N
−1 Z
Y
dqj ≡ Dq(t)
j=1
Mit dieser Definition erhalten wir:

Z
hqF |exp (−iHT )| qI i =
ZT
Dq(t) exp i ·
0

m 2 
dt
· q̇ (t)
2
Übungsaufgabe:
p̂2
+ V (q̂) ergibt sich:
2m

 T
Z
Z
hm
i
hqF |exp (−iHT )| qI i = Dq(t) exp i dt
· q̇ 2 (t) − V (q) 
2
Mit dem Hamilton-Operator H =
0
Der Integrand in der Exponentialfunktion ist nichts anderes als das Wirkungsfunktional:
ZT
dt
S[q] =
0
³m
2
· q̇ 2 (t) − V (q)
´
Der Nutzen dieses Formalismus wird uns später klar werden. Bis jetzt haben wir das ganze im Ortsraum
formuliert, also mit Eigenzuständen des Ortes |qi. Für beliebige Anfangs- und Endzustände gilt:
Z
hF | exp(−iHT )|Ii =
Z
dqF
Z
dqI ψF? (qF )ψI (qI )
Dq exp(iS[q])
Die mathematisch strenge Definition der komplexen Gauß-Integrale erhalten wir, wenn wir eine WickRotation durchführen:
µ ¶2
µ ¶2
dq
dq
t 7→ −iτ : i dt 7→ dτ,
=−
dt
dτ
Analytische Fortsetzung in der t-Ebene:
8
1.1. NICHTRELATIVISTISCHE QUANTENMECHANIK
Gelegentlich interessieren wir uns für Grundzustände |0i
Z ≡ h0| exp(−iHT )|0i
und für Korrelationsfunktionen:
Z
1
h0|q(t1 )q(t2 ) . . . q(tn )|0i ≡ · Dq(t) q(t1 )q(t2 ) . . . q(tn ) exp(iS[q])
Z
1.1.3
Anmerkung zum klassischen Grenzfall
Die Wirkung ist ein Objekt, welches wir schon aus der Mechanik kennen. Das Integral
¶
µ
Z
i
S[q]
Dq(t) exp
~
enthält die Beiträge aus der Region, in der S[q] extremal wird, was durch die Bedingung δS[q]
δq = 0 gegeben ist.
Diese Forderung entspricht gerade den aus der Mechanik bekannten Euler-Lagrange-Gleichungen. Wenn
die Wirkung von O(~) ist, dann gibt es Beiträge aus der Nachbarschaft der klassischen Lösung. Für S À ~ ist
auf jeden Fall die klassische Lösung dominant, beispielsweise bei der Flugbahn eines Fußballes.
9
KAPITEL 1. PFADINTEGRALE
10
Kapitel 2
Feldtheorie
Angenommen, wir haben n kanonische Koordinaten. Wir wollen nun zur Feldtheorie übergehen durch folgende
Definition:
Z
Dq1 (t)Dq2 (t) . . . Dqi (t) . . . Dqn (t)Dφ(~x, t)
i wird beim Übergang zur Feldtheorie zu einem kontinuierlichen Index“ ~x und qi (t) zu φ(~x, t). Die Lagrange”
Funktion setzt sich bekanntlich aus der kinetischen und potentiellen Energie zusammen:
¶
Z
ZT
X µ q̇ 2
i
L(qi , t) =
+ V (qi ) 7→ d~x L(~x, t) mit S[φ] = d4 x L
2m
i
i
0
L bezeichnet man auch als Lagrange-Dichte. Die Amplitude für den Übergang von einer Konfiguration φa (~x)
zur Zeit x0 = 0 nach φb (~x) zur Zeit x0 = T ist hφb | exp(−iHT )|φa i.

 T
Z
Z
hφb | exp(−iHT )|φa i = Dφ exp i d4 x L[φ]
0
Es ist dabei über alle Feldkonfigurationen zu integrieren, die zur Zeit x0 = 0 den Wert φa (~x) und x0 = T den
Wert φb (~x) annehmen. Diskretisiert man die Raum-Zeit, so kommt man auf gewöhnliche Integrale zurück.
11
KAPITEL 2. FELDTHEORIE
12
Kapitel 3
Korrelationsfunktionen und
zeitgeordnete Produkte von
Operatoren
Das einfachste Objekt, auf das wir hinsteuern wollen, ist der Vakuum-Erwartungswert für ein zeitgeordnetes
Produkt zweier Feldoperatoren, also hΩ|T (φH (x1 )φH (x2 ))|Ωi, wobei der Index H für Heisenberg-Bild steht.
Objekte dieser Art liefern uns gerade die gewollten Streuamplituden. Wir betrachten:
 T

Z
Z
I ≡ Dφ φ(x1 )φ(x2 ) exp i
d4 x L(φ) mit Randbedingungen φ(~x, −T ) = φa (~x), φ(~x, +T ) = φb (~x) (??)
−T
Wir zerlegen nun das Integralmaß auf eine geschickte Art und Weise:
Z
Z
Z
Z
Dφ(~x) = Dφ1 (~x) Dφ2 (~x)
Dφ(~x)
φ(x01 ,~
x)=φ1 (~
x)
φ(x02 ,~
x)=φ2 (~
x)
Wir integrieren zuerst über alle Konfigurationen, für welche das Feld bei x01 den Wert φ1 (~x) und bei x02 den
Wert φ2 (~x) annimmt und dann über alle Funktionen φ1 (~x) und φ2 (~x). Im Integral I ist φ(x01 , ~x) und φ(x02 , ~x)
zunächst fest und kann vor die innere Integration gezogen werden.
 T

Z
Z
Z
Z
I = Dφ1 (~x) Dφ2 (~x) φ1 (~x)φ2 (~x)
Dφ exp i
d4 x L(φ)
φ(x01 ,~
x)=φ1
φ(x02 ,~
x)=φ2
−T
Hat man beispielsweise ein hochdimensionales Integral, so kann man Integrationen über bestimmte Variablen
außen vor lassen und erst zum Schluss durchführen. Das Integral
 T

Z
Z
Dφ exp i
d4 x L(φ)
φ(x01 ,~
x)=φ1
φ(x02 ,~
x)=φ2
−T
entspricht dabei drei Integralen, falls x01 < x2 für die Intervalle h−T, x01 i, hx01 , x02 i und hx02 , T i oder – falls
x02 < x01 – hat man die Intervalle h−T, x02 i, hx02 , x01 i und hx01 , T i. Betrachten wir nun den ersten Fall, also
x01 < x02 :
Z
Z
Dφ1 (~x) Dφ2 (~x) φ1 (~x)φ2 (~x)·hφ0 | exp(−iH(T −x02 ))|φ2 ihφ2 | exp(−iH(x02 −x01 ))|φ1 ihφ1 | exp(−iH(x01 +T ))|φa i
13
KAPITEL 3. KORRELATIONSFUNKTIONEN UND ZEITGEORDNETE PRODUKTE VON
OPERATOREN
Wir wollen nun die Faktoren φ1 (~x) und φ2 (~x) als Schrödinger-Operatoren in die Matrixelemente transportieren. Es gilt φ1 (~x)|φ1 i = φS (~x)|φ1 i.
Z
Z
Dφ1 (~x) Dφ2 (~x) hφ0 | exp(−iH(T −x02 ))φS (~x)|φ2 ihφ2 | exp(−iH(x02 −x01 ))φS (~x)|φ1 ihφ1 | exp(−iH(x01 +T ))|φa i
Wir machen außerdem von der Vollständigkeit
Z
Z
Dφ1 (~x) |φ1 ihφ2 | = 1, Dφ2 (~x) |φ2 ihφ2 | = 1
Gebrauch und gehen außerdem ins Heisenberg-Bild:
I = hφb | exp(−iH(T − x2 ))φS (~x2 ) exp(−iH(x02 − x01 ))φS (~x1 ) exp(−iH(x01 + T ))|φa i =
= hφb | exp(−iHT )φH (x2 )φH (x1 ) exp(−iHT )|φa i
Falls x01 > x02 , erhält man einen analogen Ausdruck:
I = hφb | exp(−iHT )φH (x1 )φH (x2 ) exp(−iHT )|φa i
Allgemein können wir das Produkt als zeitgeordnetes Produkt T (φ(x1 )φ(x2 )) schreiben.
I = hφb | exp(−iHT )T {φH (x2 )φH (x1 )} exp(−iHT )|φa i
Nun sind wir am Verhalten für große Zeiten, also für T 7→ ∞ interessiert. Dazu wenden wir exp(−iHT ) auf
den Anfangszustand |φa i an und erhalten, wobei En die Eigenenergien des Systems seien:
X
exp(−iHT )|φa i =
exp(−iEn T )|nihn|φa i
n
Wir setzen geschickt T 7→ ∞1 − iε) und erhalten:
exp(−iHT )|φa i −−−−−−−−→ exp(−iE0 · ∞(1 − iε))|ΩihΩ|φa i
T 7→∞ (1−iε)
Es gewinnt also der energetisch niedrigste Zustand. Ebenso projiziert hφb | exp(−iHT ) auf exp(−iE0 · ∞(1 −
iε))hφb |ΩihΩ|. Damit ergibt sich:


Z
ZT
Dφ φ(x1 )φ(x2 ) exp i ·
d4 x L
hΩ|T {φH (x1 )φH (x2 )}|Ωi =
lim
T 7→∞(1−iε)
Z
−T

ZT
Dφ exp i ·

d4 x L
−T
Wir erinnern uns an eine ähnliche Formel, nämlich die Gellmann-Low-Formel im Wechselwirkungsbild:

¯ +
* ¯¯
¯
ZT
¯
¯
¯


0 ¯T {φI (x1 )φI (x2 )} exp −i
dt HI (t) ¯¯ 0
¯
¯
−T
¯
¯
hΩ|T {φ(x1 )φ(x2 )}|Ωi =
lim


* ¯
¯ +
ZT
T 7→∞(1−iε)
¯
¯
0 ¯¯exp −i
dt HI (t)¯¯ 0
¯
¯
−T
14
3.1.
3.1
FINGERÜBUNGEN“ ZUM ERZEUGENDEN FUNKTIONAL BEI ANWESENHEIT
”
VON ANHARMONIZITÄT
Fingerübungen“ zum erzeugenden Funktional bei Anwesen”
heit von Anharmonizität
3.1.1
Eindimensionale Integrale
Wir definieren eine Größe Z(J):
+∞
µ
¶
Z
m2 2 λ 4
Z(J) ≡
dq exp −
·q − ·q +J ·q
2
4!
−∞
Für λ = 0 liegt ein Gauß-Integral vor, das wir schon behandelt haben. Für λ 6= 0 machen wir eine Störungsreihe in λ:
!
+∞
¶ Ã
·
¸2
µ
Z
λ 4 1
λ 4
m2 2
+ ...
Z(J) =
dq exp −
·q +J ·q · 1− ·q + ·
·q
2
4!
2 4!
−∞
✵ 1.Term:
µ
Z
(1)
(J) =
2π
m2
¶ 12
µ
· exp
J2
2m2
¶
✵ Höhere Terme (q 4 -Term):
Man leitet viermal nach J ab:


" µ ¶ #2
µ ¶4
µ
¶
Z
4
λ
d
1
λ
d
m2 2
Z(J) = dq 1 − ·
+ ·
+ . . . exp −
·q +J ·q =
4!
dJ
2
4! dJ
2


" µ ¶ #2
+∞
µ
µ ¶4
¶
Z
4
m2 2
λ
d
1
d
λ
+ . . . ·
dq exp −
= 1 − ·
+ ·
·q +J ·q =
4!
dJ
2
4! dJ
2
−∞
Ã
= exp −
µ
hq n i =
λ
·
4!
µ
d
dJ
¶4 ! µ
2π
m2
µ
¶ 21
· exp
J2
2m2
¶
¯
¶n
¯
d
Z(J)¯¯
dJ
J=0
Z(J)|J=0
Beispiel:
Die Terme O(λ) und O(J 4 ) erfordern den J 8 -Term J 8 -Term in exp
³
¡ d ¢4
¡ d ¢4 ´
λ
λ
− 4!
aus der Entwicklung von exp − 4!
an:
dJ
dJ
−
λ 1
· ·
4! 4!
µ
1
2m2
³
J2
2m2
´
, also
1
4!
³
J2
2m2
´4
. Wir wenden nun
¶4 µ ¶4
8!
J4
d
·
·
J 8 = −λ ·
3
dJ
(4!) (2m2 )4
Den Term O(λ2 ) und O(J 6 ) folgt aus:
"
µ ¶4 #2 µ 2 ¶7
λ
d
J
1
1
−
=
2
4! dJ
7! 2m2
15
KAPITEL 3. KORRELATIONSFUNKTIONEN UND ZEITGEORDNETE PRODUKTE VON
OPERATOREN
3.1.2
Graphische Darstellung
1.) Externe Beine ∼ Potenz in J
2.) Vertizes ∼ Potenz in λ
Es existieren jeweils vier Linien:
3.2
¡
¢4
1
2m2
Feldtheorie: Funktionalableitung und erzeugendes Funktional
Wir definieren
δ
δ
J(y) = δ (4) (x − y) und
δJ(x)
δJ(x)
Z
d4 y J(y)φ(y) = φ(x)
aufgrund der folgenden Analogie:
d
d X
Jk φk = φj
Jj = δij und
dJi
dJj
k
Wir können somit auch eine Kettenregel definieren wie folgt:
· Z
¸
· Z
¸
δ
exp i d4 y J(y)φ(y) = iφ(x) · exp i d4 y J(y)φ(y)
δJ(x)
Ableitungen von J im Funktional werden durch partielle Integration umgeformt, wie beispielsweise:
Z
δ
d4 y (∂µ J(y)) V µ (y) = −∂µ V µ (x)
δJ(x)
Dazu definieren wir nun das erzeugende Funktional:
Z
Z[J] ≡
µ Z
¶
4
Dφ exp i d x [L + J(x)φ(x)]
Wir haben also ein physikalisches System mit einer äußeren Quelle. Dieser Zugang wurde übrigens von Schwinger propagiert.
3.2.1
Green-Funktion oder Korrelationsfunktion
h0|T {φ(x1 )φ(x2 )}|0i =
¯
µ
¶µ
¶
¯
δ
δ
1
· −i
−i
Z[J]¯¯
mit Z0 = Z[J = 0]
Z0
δJ(x1 )
δJ(x2 )
J=0
Analoges gilt für h0|T (φφφφ)|0i. Z[J] kann für ein freies Feld berechnet werden und damit auch Ausdrücke
nach Entwicklung in λ. In der freien Theorie taucht auf:
·
¸ Z
·
¸
Z
Z
¢
¢
1 ¡ µ
1 ¡ 2
4
4
2 2
4
2
d x [L0 + Jφ] = d x
· ∂ φ∂µ φ − m φ + Jφ = d x
φ −∂ − m + iε φ + Jφ
2
2
16
3.2. FELDTHEORIE: FUNKTIONALABLEITUNG UND ERZEUGENDES FUNKTIONAL
Wir machen folgende Substitution:
Z
φ0 (x) ≡ φ(x) − i d4 y DF (x − y)J(y)
DF entspricht dem Inversen zu ∂ 2 + m2 − iε, in dem Sinne, dass (∂ 2 + m2 − iε)DF (x − y) = −iδ (4) (x − y). Dies
ist die Definition der Green-Funktion DF des Feynman-Propagators.
·
¸
Z
Z
Z
¢
1
1 0¡ 2
φ −∂ − m2 + iε φ0 −
d4 x d4 y J(x) (−iDF (x − y)J(y))
d4 x [L0 + Jφ] = d4 x
2
2
Dies kann als Übung zu Hause nachgerechnet werden! Im Funktional-Integral entspricht die Substitution einer
Verschiebung um eine Konstante:
·
· Z
¸
·
¸
¸
Z
Z
Z
1
i
Z[J]
0
4
0
4
4
Z[J] = Dφ exp i d L0 (φ ) ·exp − · d x d y J(x) · [−iDF (x − y)J(y)] und
= exp −
dx dyJDF
2
Z0
2
Dies gilt für das freie Feld.
3.2.2
Exkurs: Landau-Funktionale

0



M=


 ±
für T > TC
·
¸ 12
b
· (TC − T )
2c
für H = 0
für T < TC
Die lokale Beschreibung ist möglich durch
Z
M = d3 x S(~x)
mit dem Ansatz:
·
¸
Z
1 ~ 2
G[S] = d3 x
(∇S) + b · (T − TC ) · S 2 + C · S 4 − H · S mit H = H(~x)
2
Wir suchen das Minimum des Funktionals der freien Energie über die Funktionalableitung:
0=
δG[S]
~ 2 S + 2b · (T − TC ) · S + 4C · S 3 − H
= −∇
δS
Für T ≈ TC ist S klein und damit lässt sich der S 3 -Term vernachlässigen. Eventuell kann man Störungstheorie
durchführen.
³
´
~ 2 + 2b · (T − TC ) S(~x) = H(~x)
−∇
Man fragt sich beispielsweise, wie sich ein Magnetfeld H(~x) auf die Spins an einer Stelle auswirkt. Die Lösung
dieser partiellen Differentialgleichung erfolgt über die Green-Funktion D(~x):
³
´
~ 2 + 2b · (T − TC ) D(~x) = H0 · δ(~x)
−∇
17
KAPITEL 3. KORRELATIONSFUNKTIONEN UND ZEITGEORDNETE PRODUKTE VON
OPERATOREN
Die Green-Funktion lautet dann:
Z
D(~x) = H0 ·
µ
¶
d~k
1
H0 1
r
−1
~k · ~x) ·
·
exp(i
=
·
·
exp
−
mit ξ = [2b · (T − TC )] 2
3
2
(2π)
k + 2b · (T − TC )
4π r
ξ
ξ bezeichnet man als Korrelationslänge. Für T ≈ TC hat man immer größere Bereiche, in denen die Spins
ausgerichtet sind. ξ divergiert für T 7→ TC . Einerseits beschreibt D(~x) die Spin-Dichte bei Anwesenheit von
H = H0 δ(~x), andererseits ist D proportional zur Korrelationsfunktion hS(~x)S(0)i und beschreibt damit die
1
Korrelation zwischen der Spin-Dichte an zwei Punkten. Das Verhalten ξ ∼ (T − TC )− 2 hängt nicht ab vom
Material, sondern nur von der Annahme über Taylor-Entwicklung. Berücksichtigt man außerdem Quantenkorrekturen, so erhält man:
µ ¶
1
r
hS(x)S(0)i = A · 1+η · f
r
ξ
f ist für viele Systeme gleich; man sagt, dass diese Systeme in der gleichen Unitaritätsklasse“ liegen. Es gilt
”
dann M ∝ (T − TC )β , wobei β der kritische Exponent darstellt, der im allgemeinen 6= 12 ist.
18
Kapitel 4
Elektromagnetisches Feld im
Pfadintegralformalismus
(Kanonischer Formalismus: Gupta-Bleuler, aber nichtabelsche Theorie?)
4.1
Ausgangspunkt
Wir beginnen
mit der Wirkung S als Funktional des Vektorpotentials und betrachten wieder das FunktionalZ
integral
DA exp (iS[A]) (?). S[A] ist die Wirkung des freien Feldes:
·
¸ Z
µ
¶
1
1
dx − Fµν F µν = dx −
· (∂µ Aν − ∂ν Aµ ) · (∂ µ Aν − ∂ ν Aµ ) =
4
4
Z
Z
¡
¢
¡
¢
1
1
eµ (k) · −k 2 g µν + k µ k ν A
eν (−k)
= · dx Aµ (x) · ∂ 2 g µν − ∂ µ ∂ ν Aν (x) = · dk A
2
2
Z
S[A] =
Man muss über alle Feldkonfigurationen A integrieren:
Z
Z
Z
Z
Z
DA = DA0 DA1 DA2 DA3
eµ ∼ kµ Λ(k). Dann ist das
Die Wirkung S[A] ist gleich null für eine ganze Klasse von Funktionen, nämlich A
Gauß-Integral divergent. Die Gleichung
¡ 2
¢ ν%
e = iδµ %
−k gµν + kµ kν D
hat keine Lösung. Das Problem ist, dass wir über Konfigurationen vom Typ Aµ (x) = ∂µ Λ(x), die eichäquivalent
zu Aµ (x) = 0 sind, integrieren. An dieser Stelle kommen wir zum Faddeev-Popov-Trick. Betrachten wir
allgemein eine Funktion G(A), für welche wir zur Eichfixierung fordern, dass G[A] = 0 ist. Beispielsweise
entspricht G[A] = ∂µ Aµ = 0 der Lorentz-Eichung. Wenn wir δ(G[A]) im Funktional-Integral einschieben, so
integrieren wir nicht mehr über eichinvariante Konfigurationen. Wir verwenden:
Z
1=
¡
¢
DΛ(x) δ G(AΛ ) · det
µ
δG(AΛ )
δΛ
¶
mit AΛ = Aµ + ∂µ Λ
Dies stellt gewissermaßen eine Verallgemeinerung dar von:
à n Z
!
¶
µ
Y
∂gi
(n)
~
1=
dli · δ (~g (l)) · det
∂lj
i=1
19
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHES FELD IM PFADINTEGRALFORMALISMUS
~g und ~l sind hierbei n-dimensionale Vektoren.
µ
¶
∂G(AΛ )
Λ
µ Λ
µ
2
= det(∂ 2 )
G(A ) = ∂ Aµ = ∂ Aµ + ∂ A; det
δΛ
Die Determinante ist damit unabhängig von Λ und A. Dann handelt es sich dabei nur um einen Normierungsfaktor, den wir vor das Integral ziehen können.
µ
¶ Z
Z
Z
δG(AΛ )
DA exp (iS[A]) = det
· DΛ DA exp (iS[A]) · δ(G(AΛ ))
δΛ
Wir machen eine Variablen-Transformation des inneren Integrals, also A 7→ AΛ , DA = DΛ . Die Wirkung
ändert sich dabei nicht, weil sie ja eichinvariant ist: S[A] = S[AΛ ]. Jetzt hängt der innerste Integrand nur ab
von AΛ ; damit wollen wir AΛ wieder in A umbenennen. Lange Rede, kurzer Sinn; die Λ-Abhängigkeit fällt
heraus:
¶ Z
µ
Z
Z
δG(AΛ )
· DΛ DA exp (iS[A]) · δ(G(A))
DA exp(iS[A]) = det
δΛ
Die innerste Integration geht nur über eichinäquivalente Feldkonfigurationen. Im nächsten Schritt wählen wir
G(Λ) = ∂ µ Aµ (x) − ω(x), als Verallgemeinerung für die Lorentz-Bedingung mit ω(x) = 0.
Z
Z
Z
DA exp (iS[A]) = det(∂ 2 ) · DΛ DA exp(iS[A]) · δ(∂A − ω)
¶
µ Z
ω2
,
Dies gilt für alle ω(x), also auch für Linearkombination mit verschiedenen ω. Wähle als Gewicht exp −i dx
2ξ
wobei ξ konstant sein soll und integriere über alle ω:
· Z
¸
Z
Z
Z
ω2
I = N (ξ) · Dω exp −i dx
det(∂ 2 ) DΛ DA exp(iS[A]) · δ(∂ µ Aµ − ω) =
2ξ
· µ
¶¸
Z
Z
Z
(∂A)2
= N (ξ) · det(∂ 2 ) · DΛ DA exp i S[A] − dx
2ξ
Korrelationsfunktionen sind nun gegeben durch:
Z
DA O(A) · exp (iS[A])
hΩ|T O(A)|Ωi = Z
DA 1 · exp (iS[A])
O sei eichinvariant, womit sich weiter ergibt:
· Z
µ
¶¸
Z
(∂A)2
DA O(A) · exp i · dx L −
2ξ
· Z
µ
¶¸
Z
(∂A)2
DA 1 · exp i · dx L −
2ξ
Den freien Propagator erhält man aus (nachrechnen!):
µ
¶
¶
µ
¶
µ
kµ kν
1
−i
ν%
ν%
e ν% (k) = iδ % ⇒ D
e
kµ kν D
·
g
−
(1
−
ξ)
·
−k 2 gµν + 1 −
=
µ
F
F
ξ
k 2 + iε
k2
✵ ξ = 0: Landau-Eichung
✵ ξ = 1: Feynman-Eichung
Bei Eichtransformationen lassen sich transversale Zustände nicht wegtransformieren. Man kann zwar longitudinale Photonen erzeugen; diese koppeln jedoch nicht an die Wechselwirkung.
20
4.2. SPINOR-FELDER UND PFADINTEGRALE
4.2
Spinor-Felder und Pfadintegrale
Wir führen als Ansatz klassische Felder antivertauschende Zahlen bzw. Funktionen des Ortes ein. Wir lassen
uns hier ad hoc vom kanonischen Formalismus inspirieren. Insbesondere kommen wir nun zu den GrassmannZahlen θ und η, die folgende Eigenschaften besitzen:
1.) θ · η + η · θ = 0, insbesondere θ2 = 0
2.) (θη) vertauscht mit anderen Grassmann-Zahlen: (θη)ξ = ±ξ(θη)
?
3.) Durch Addition zweier Grassmann-Zahlen und Multiplikation einer Grassmann-Zahl mit einer komplexen Zahl erhält man wieder eine Grassmann-Zahl.
+∞
Z
4.) Integrale in Analogie zu
f (x) dx mit x als Grassmann-Variable
−∞
Welche Funktionen sind überhaupt relevant? Dazu wird f (θ) entwickelt und liefert offensichtlich nur zwei
Terme. Es gilt nämlich f (θ) = A + B · θ, da alle höheren Ordnungen bezüglich θ aufgrund der Eigenschaft
θ2 = 0 verschwinden.
Z
Z
a.)
f (θ) dθ = (A + B · θ) dθ ist linear in A und B.
+∞
+∞
Z
Z
b.)
f (x) dx =
f (x + a) für beliebige a
−∞
Z
−∞
Z
f (θ) dθ =
Z
(A + B · θ) dθ
=
θ=θ+η
Z
dθ [(A + B · η) + B · θ] ⇒
dθ (A + B · η) = 0
Die Forderung ist, dass ein Integral unabhängig von θ verschwinden muss:
Z
Z
dθ 1 = 0,
dθ θ = gewöhnliche Zahl ≡ 1
Ferner gilt:
µZ
¶ µZ
¶
Z
Z
dθ dη ηθ =
dθ
dθ = 1
5.) Komplexe Grassmann-Zahlen: (θη)? = η ? θ?
Wir definieren die unabhängigen Variablen θ und θ?
θ=
θ −θ
θ1 + θ2 ?
√ , θ = 1√ 2
2
2
und weiter:
Z
Z
dθ? dθ θθ? = 1
6.) Gauß-Integral:
Z
Z
Z
dθ? dθ exp (−θ? bθ) = dθ? dθ (1 − θ? bθ) = dθ? dθ (1 + θθ? b) = b
21
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHES FELD IM PFADINTEGRALFORMALISMUS
7.) Mehrdimensionale Integrale:
Wir betrachten das Verhalten von
n
Y
θi0 =
i=1
¢
1 i1 i2 ...in ¡ 0
ε
θi1 · θi02 · . . . · θi0n
n!
unter unitären Transformationen θi0 = Uij θj .
n
Y

θi0 =
i=1
n
Y

1 i1 i2 ...in
1
ε
Ui1 j1 Ui2 j2 . . . Uin jn · θj1 θj2 . . . θjn = εi1 i2 ...in Ui1 j1 Ui2 j2 . . . Uin jn εj1 j2 ...jn 
θj  =
n!
n!
j=1
= (det U )
n
Y
θi
i=1
Das Produkt der Ausgangsvariablen kann man als Produkt der Endvariablen mit dem Vorfaktor einer
Determinante schreiben. Als Übung kann man dies für n = 2 nachrechnen.
" n µZ
¶#
Y
dθi? dθi
f (θi? θi )
i=1
Wir brauchen genau je einen Faktor θi? θi für jedes i. Eine unitäre Transformation θ 7→ U θ und θ? = U ? θ?
liefert im Integranden einen Faktor det(U ) · det(U ? ) = 1.
4.2.1
"
n Z
Y
Gauß-Integral
#
dθi?
dθi exp (−θi? Bij θj )
i=1
der Exponentialfunktion U U −1 = 1 ein, womit sich mit

0 ... 0
b2 . . . 0 

−1
0
..  , Uji θi = θj
..
. .
0
0 0
0 bn
#
#Ã
" n Z
à n
! " n Z
!
n
Y
X
Y
X
0?
0
? 0
0?
0
?
dθ i dθi exp −
θi θi bi =
dθ i dθi
1−
(θi θi bi ) + . . . =
Wir schieben in

b1
0

U −1 BU =  .
 ..
i=1
"
=
n Z
Y
#
i=1
i=1
i=1
?
dθ0 i dθi0 [·b1 θ1? θb2 θ2? θ2 . . . bn θn? θn ] = (−1)n · (b1 · b2 · . . . · bn ) = (−1)n · det(B)
i=1
Zur Erinnerung: Für gewöhnliche Zahlen gilt
"
n Z
Y
(2π)n
. Ferner ist:
det(A)
#
dθi?
dθi θk θl exp (−θi? Bij θj ) = (det B)(B −1 )kl
i=1
Für Erwartungswerte erhalten wir also
Z
. . . θk θl . . .
= (B −1 )kl
...1...
wie für gewöhnliche Zahlen.
22
4.2. SPINOR-FELDER UND PFADINTEGRALE
4.2.2
Dirac-Propagator
Wir machen den Ansatz ψ(x) =
X
ψi φi (x), wobei ψi Grassmann-Zahlen und φi (x) Basisfunktionen seien.
i
Dann ist der Propagator für ein freies Feld gegeben durch:
µ Z
¶
Z
DψDψ ψα (x1 )ψ β (x2 ) exp i dx ψ(i∂¢ − m)ψ
µ Z
¶
Z
h0|T ψα (x1 )ψ β (x2 )|0i =
¡
¢
DψDψ 1 · exp i dx ψ(i∂¢ − m)ψ
Im Nenner haben wir den Ausdruck det(i∂¢ − m) und im Zähler det(i∂¢ − m) · Inverses[−i(i∂¢ − m)]. Damit folgt
für den Propagator:
¶
µZ
d4 k i · exp [−ik(x1 − x2 )]
h0|T ψα (x1 )ψ β (x2 )|0i = Inverses[−i(i∂¢ − m)] =
(2π)4
k¢ − m + iε
αβ
Kommen wir zum erzeugenden Funktional für das Dirac-Feld. Die Frage, die wir uns nun stellen müssen, ist
über die Beschaffenheit der externen Quelle. Der Quelle-Term in der äußeren Wirkung soll ein Skalar sein. Für
ein freies Feld gilt:
· Z
¸
Z
¡
¢
Z[η, η] = DψDψ i dx ψ(x)(i∂¢ − m)ψ(x) − η(x)ψ(x) + ψ(x)η(x)
η und η seien Grassmann-Felder. Nach Integration erhalten wir:
µ ·Z
¸¶
Z[η, η]
= exp −
dx dy η(x)SF (x − η)η(y)
Z[η, η]|η=η = 0
Korrelationsfunktionen erhält man aus der Funktionalableitung bezüglich η und η. In der Quantenelektrodynamik ersetzt man die gewöhnliche Ableitung durch die kovariante Ableitung D = ∂ + ieA:
1 2
D − m)ψ − Fµν
L = ψ(i½
= L0 − eψγµ Aµ ψ
4
Die Feynman-Regeln sind offensichtlich. Achtung: Die Grassmann-Variablen liefern ein anderes Vorzeichen.
4.2.3
Symmetrien
An dieser Stelle wollen wir mittels des Formalismus Symmetrien diskutieren. Betrachten wir zunächst die
Bewegungsgleichungen und Dreipunktfunktionen für eines freies Feld:
µ Z
¶
Z
1
1
−1
hΩ|T (φ(x1 )φ(x2 )φ(x3 ))|Ωi = ZJ=0
Dφ exp i dx L[φ] φ(x1 )φ(x2 )φ(x3 ) mit L = (∂µ φ)2 − m2 φ2
(?)
2
2
In der klassischen Theorie liefert die Variation der Wirkung die Bewegungsgleichungen:
¡R
¢
δ dxn L[φ]
δS
=
⇒ (∂ 2 + m2 )φ = 0
0=
δφ
δφ
Aus Gleichung (?) ergibt sich unter der Transformation φ 7→ φ0 = φ + ε:
µ Z
¶
Z
Dφ exp i dx L[φ] φ0 (x1 )φ0 (x2 )φ0 (x3 )
Wir entwickeln nach ε:
Z
Z
Z
0
dx L[φ ] = dx L[φ] + dx ε(x)(−∂ 2 − m2 )φ(x)
23
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHES FELD IM PFADINTEGRALFORMALISMUS
Unter Entwicklung der Exponentialfunktion folgt:
µ Z
¶
µ Z
¶
µ Z
¶ Z
0
exp i dx L[φ ] = exp i dx L[φ] + exp i dx L[φ] · dx ε(−∂ 2 − m2 )φ
Z
0=
µ Z
¶
· µZ
¶
2
2
Dφ exp i dx L[φ] · i · i ·
dx ε(x)(−∂ − m )φ(x) · φ(x1 )φ(x2 )φ(x3 )+
+ε(x1 )φ(x2 )φ(x3 ) + φ(x1 )ε(x2 )φ(x3 ) + φ(x1 )φ(x2 )ε(x3 )]
Wir führen die Funktionalableitung nach ε durch, betrachten also
µ Z
¶
Z
£
0 = Dφ exp i dx L[φ] · (∂ 2 + m2 )φ(x)φ(x1 )φ(x2 )φ(x3 )+
δ
δε(x) :
+iδ(x − x1 )φ(x2 )φ(x3 ) + iδ(x − x2 )φ(x1 )φ(x3 ) + iδ(x − x3 )φ(x1 )φ(x2 )]
Wir bringen das Pfadintegral auf die linke Seite und erhalten:
(∂ 2 + m2 )hΩ|T (φ(x)φ(x1 )φ(x2 )φ(x3 ))|Ωi = −iδ(x − x1 )hT (φ(x2 )φ(x3 ))|Ωi−
+ iδ(x − x2 )hΩ|T (φ(x1 )φ(x3 ))|Ωi − iδ(x − x3 )hΩ|T (φ(x1 )φ(x3 ))|Ωi
Das allgemeine Resultat ist folgendes:
¯ À
¿ ¯
Z
n
X
¯ δ
¯
¯
Ω¯
dy L[φ]ϕ(x1 ) . . . ϕ(xn )¯¯ Ω =
hΩ|ϕ(x1 ) . . . iδ(x − x1 ) . . . ϕ(xn )|Ωi
δϕ(x)
i=1
h i steht für einen Korrelator; Ableitungen bei Bewegungsgleichungen stehen außerhalb des T-Produkts. Man
spricht auch oft von der Schwinger-Dyson-Gleichung.
4.2.4
Erhaltungssätze, Noether-Ströme
Es ist erstaunlich, wieviel man auch skalaren Feldern ohne Wechselwirkung machen kann. Betrachten wir
nämlich folgendes Beispiel:
L = (∂µ φ? )∂ µ φ − m2 φ? φ
0
L ist invariant unter
Z lokalen
Z Phasentransformationen, also φ 7→ φ = exp(iα(x)φ. Das Integrationsmaß ist auch
invariant; es gilt
Dφ =
Dφ0 . (Das Maß ist invariant unter der lokalen Phasentransformation und L unter
der globalen Phasentransformation.) Wir betrachten nun infinitesimale Transformationen φ 7→ φ0 = φ + iα(x)φ
mit infinitesimalem α(x):
¯
µ Z
¶
µ Z
¶
Z
Z
¯
?
0
0
0 ?
Dφ exp i dx L[φ] φ(x1 )φ (x2 ) =
Dφ exp i dx L[φ ] φ (x1 )(φ ) (x2 )¯¯
φ0 =φ+iα(x)φ
Wir ziehen die beiden Gleichungen voneinander ab und entwickeln in α:
µ Z
¶ · Z
¸
Z
Z
0 = Dφ? Dφ exp i dx L[φ] · i dx [(∂µ α(x))i(φ∂ µ φ? − φ? ∂ µ φ)] +
+ iα(x1 )φ(x1 )φ? (x2 ) + φ(x1 ) [−iα(x2 )φ? (x2 )]
Der erste Term rührt von der Entwicklung von L her (nachrechnen!). Bilden wir nun die Funktionalableitung
nach α(x):
∂µ hΩ|j µ (x)φ(x1 )φ(x2 )|Ωi = (−i)hΩ|iφ(x1 )δ(x − x1 )φ? (x2 ) + φ(x1 )(−i)δ(x − x2 )φ? (x2 )|Ωi
Für eine klassische Theorie wäre der Strom erhalten; hier bekommt man jedoch zusätzlich noch Kontaktterme.
Letzten Endes läuft das unter Takahashi-Identitäten für Ströme.
j µ = i (φ∂ µ φ? − φ? ∂ µ φ)
24
4.2. SPINOR-FELDER UND PFADINTEGRALE
Aus der Quantenelektrodynamik kennen wir die Ward-Identität.
¡
¢
i∂µ hΩ|T j µ (x)ψ(x1 )ψ(x2 ) |Ωi = −ieδ(x − x1 ) · h0|T ψ(x1 )ψ(x2 )|0i + ieδ(x − x2 )h0|T ψ(x1 )ψ(x2 )|0i
Wir gehen über in den Impulsraum:
Z
Z
Z
dx1 exp(iqx1 ),
dx2 exp(−ipx2 )
dx exp(−ikx),
{z
} |
{z
} |
{z
}
|
auslaufend
einlaufend
auslaufend
−ikµ Mµ (k, p, q) = −ieM(p, q − k) + ieM0 (p + k, q)
Mit M bezeichnen wir das Matrixelement. Betrachten wir die zugehörigen Feynman-Diagramme:
=
−
In der niedrigsten Ordnung ergibt sich:
µ
¶
1
1
1
1
1
1
kµ
γµ
=
(¢q − p)
¢ q − m = p − m (¢q − p
¢ − m + m) q − m =
p
−
m
q
−
m
p
−
m
¢
¢
¢
¢
¢
¢
1
1
=
−
p
¢ − m ¢q − m
Dies ist ein einfaches Beispiel für die Ward-Identität. Die Kontaktterme tragen nicht zur S-Matrix bei:
¯
G(p21 − m2 ) · (p22 − m2 ) · (p23 − m2 ) · (p24 − m2 )¯p21 =m2
p22 =m2
p23 =m2
p24 =m2
25
KAPITEL 4. ELEKTROMAGNETISCHES FELD IM PFADINTEGRALFORMALISMUS
26
Kapitel 5
Pfadintegrale und nichtabelsche
Eichtheorien
5.1
Allgemeine Diskussion
Wir betrachten folgende Lagrange-Dichte:
1 a 2
a
D − m)ψ mit Fµν
= ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ + gf abc Acν
L = − (Fµν
) + ψ(i½
4
f abc sind die sogenannten Strukturkonstanten und Dµ ist gegeben durch Dµ = ∂µ − igAµa tµa . tµa sind hierbei
Darstellungsmatrizen der Lie-Algebra, wenn ψ sich unter der Darstellung transformiert; für diese Matrizen
gilt [taµ , trb ] = if abc tr . Kommen wir zu den Feynman-Regeln:
igγ µ (tar )ji
gf abc [. . .]
g 2 [. . .]
Wir betrachten den Prozess ff 7→ g1 g2 :
+
+
µ
In der abelschen Theorie, ohne Diagramm ③ und für p
¢+ = m, p
¢µ− ν= −m gilt Mµ k1 = 0, ist also unabhängig
von der Wahl von ε2 . In der nicht-abelschen Theorie gilt Mµν k1 ε2 , wenn wir fordern, dass ε2 transversal ist.
Im allgemeinen ist Mµν k1µ εν2 6= 0. Für ein masseloses Eichboson mit Impuls kµ haben wir zwei physikalische
und zwei unphysikalische Polarisationszustände. Wir wählen k µ = (k, 0, 0, k); dann ist:
 
 
0
0




1
 , εT2 (k) = 0
εT1 (k) = 
 0
1
0
0
27
KAPITEL 5. PFADINTEGRALE UND NICHTABELSCHE EICHTHEORIEN
Dies sind physikalische Polarisationszustände. Unphysikalische Zustände sind gegeben durch:
 
 
1
1
µ ¶
µ



k0
1
1
k
1
0
0
µ
µ
+
−




ε = √  = √
,ε = √  = √
0
0
2
2k0
2
2k0 −~k
1
−1
Dabei handelt es sich um lichtartige Vektoren. Die transversalen Polarisationsvektoren stehen senkrecht auf
2
den longitudinalen, also ist εTi ε± = 0; außerdem gilt offensichtlich εT1 εTj = −δij , ε± = 0 und ε+ ε− = 1.
Weiterhin ist:
X
+
+ −
−gµν = −ε−
εTiµ εTiν
µ εν − εµ εν +
i

−1
0

0
0



0 0 0
−1 0 0 1
−1 0 0
 0 0 0 0 1  0 0 0
1
1 0 0
= 
+ 
0 1 0 2  0 0 0 0 2  0 0 0
0 0 1
−1 0 0 1
1 0 0

 
0
−1
0
0
+
0  0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0

0
0

0
0
Es handelt sich um einen Zustandsraum mit indefiniter Metrik. In der Quantenelektrodynamik gilt Mµ k µ = 0
für k auf und weg von der Massenschale,
=
da −g µν obige Form hat und bei ε+ ε− mindestens ein kµ oder kν auftaucht.
5.2
Faddeev-Popov-Lagrange-Dichte
Ausgangspunkt ist:
¸
· Z
Z
1 a 2
)
DA exp i dx − (Fµν
4
Das Argument der Exponentialfunktion ist invariant gegenüber Eichtransformationen. Integration über eichäquivalente Konfigurationen führt zu Divergenzen. Damit müssen wir eine die Eichfixierung G(A) = 0 einführen
und die Integration bezüglich eichäquivalenter Richtungen faktorisieren. Die Eichtransformation für die Felder
lautet:
·
¸
i
a a
a a
a a
c c
(AΛ
)
t
=
exp
(iΛ
t
)
A
t
+
∂
µ exp (−iΛ t )
µ
µ
g
Wir betrachten eine infinitesimale Eichtransformation:
1
1
a
abc b c
a
a
Aµ Λ = Aaµ + Dµ Λa
(AΛ
µ ) = Aµ + ∂ µ A + f
g
g
G(AΛ ) ist die Eichbedingung. Wir führen eine Eichfixierung in Form einer δ-Funktion ein. Dazu schieben wir
das Einselement ein:
µ
¶
Z
δG[AΛ ]
1 = DΛ(x)δ(G[AΛ ]) det
δΛ
Z
µ
Z
DΛ
DA exp [iS[A]] · δ(G[A]) · det
δG[AΛ ]
δΛ
¶
28
5.2. FADDEEV-POPOV-LAGRANGE-DICHTE
Die Determinante hängt nicht aber von Λ, jedoch von A. Nun wählen wir G[A] in Form einer LorentzEichbedingung mit einer zusätzlichen beliebigen Funktion ω(x), also G[A] = ∂ µ Aaµ (x)−ω(x) mit dem Gaußschen
Gewicht für ω(x). Die Integration wird dann analog zum Photon-Propagator über ω(x) durchgeführt:
µ
¶
Z
Z
δG[AΛ ]
DΛ DA exp [iS[A]] · δ(G[A]) · det
=
δΛ
¸
¶
·
µ
Z
Z
(∂A)2
δG[AΛ ]
= N (ξ) ∈ DΛ DA exp iS[A] − i dx
· det
2ξ
δΛ
δG[Aa Λ ]
1
= ∂ µ Dµab
δΛb
g
Die Determinante det(∂ µ g1 Dµab ) kann nicht vor das Integral gezogen werden. Der Trick besteht nun darin, diese
Determinante als Funktionalintegral zu schreiben:
µ
¶ Z
· Z
¸
¡
¢
1 µ ab
det
∂ Dµ = DcDc exp i dx c −∂ µ Dµab c
g
Für die neue Lagrange-Dichte ergibt sich nun:
·
¸
¡
¢
1
1 a 2 1 µ a 2
1
) + (∂ Aµ ) + ca −∂ µ Dab cb mit Dµab = δ ab ∂µ + f adb Abµ
− (Fµν
LFP =
2ξ
4
2
g
ab
Damit ergibt sich der Propagator durch iδP 2 . Es ergibt sich folgende Wechselwirkung:
Für das Eichfeld gilt analog zum Photon:
µ
¶
i
kµ kν
δ ab 2
−gµν + (1 − ξ) 2
k + iε
k
5.2.1
Behandlung des Eichfeldes in der axialen Eichung
Die Eichbedingung lautet nµ Aaµ = 0 mit n2 = −1, wobei n also ein beliebiger raumartiger Vierervektor sei.
Also lautet unsere Eichbedingung 0 = G[A] = nµ Aµ .
µ
¶
1 abc b c
a
µ
a
Λ
µ aΛ
G[A ] = n Aµ = n Aµ + ∂µ A + f Aµ Λ = nµ (Aaµ + ∂µ Aa ) da nΛ = 0
g
δG[Aa Λ ]
= δ ad nµ ∂µ
δΛa
¡ ¢
Dies ist unabhängig von Λ und damit kann det δG
δΛ vor das Integral gezogen werden. Die zum Photon analoge
Rechnung liefert:
1 a 2
1
Lax = − (Fµν
) − (nµ Aaµ )2
4
2ξ
Damit ergibt sich die Bewegungsgleichung im Impulsraum:
1
−gµν k 2 + kµ kν − nµ nν
ξ
Der dazu inverse Operator liefert den Propagator in axialer Eichung:
·
¸
(n2 + ξ · k 2 )k µ k ν
k µ nν + k ν nµ
iδ ab
−
− 2 g µν +
k
(k · n)2
k·n
Dies

0
0

0
0
sollte als Übung nachgerechnet werden! Für n = (0, 0, 0, 1)| , ξ = 0 und k 2 = 0 ergibt sich:

0
0 0
−1 0 0
 mit k = k(1, 0, 0, 1)|
0 −1 0
0
0 0
Dieser Propagator hat gerade die Eigenschaft, dass für reelle Zwischenzustände nur die transversalen Polarisationen auftauchen.
29
KAPITEL 5. PFADINTEGRALE UND NICHTABELSCHE EICHTHEORIEN
5.3
Geister und Unitarität
Wir betrachten ff 7→ g1 g2 . Die zugehörigen Feynman-Diagramme lauten:
+
+
Wir betrachten zwei Gluon-Zwischenzustände:










Im 















 = Streuquerschnitt







Aus dem Eichbosonenpropagator erhalten wir, indem wir die Eichbosonen auf die Massenschale legen:
−igµν (−2πi)δ(k12 )θ(k20 )
Die Schleife (Loop) führt zu einem vierdimensionalen Phasenintegral. Infolge der zwei δ-Funktionen bleibt eine
Integration über Ω übrig. gµν wird dann aufgespalten in
X
−
− +
εTiµ εTjν und ε+
µ εµ und εµ εν
i
Ebenso erfolgt dies für g%σ . Die Beiträge durch εTiµ (k1 )εTjν (k1 ) sind erwünscht mit εTi% (k2 )εTjσ (k2 ). Es gilt:
+
Mµν ε+
µ (k1 )εν (k2 ) = 0
−
Mµν ε−
µ (k1 )εν (k2 ) = 0
+
µν +
−
µν + −
µν + − ?
Weiterhin gilt Mµν ε±
µ (k1 )εi (k2 ) = 0, aber M εµ (k1 )εν (k2 ) 6= 0. (M εµ εν )(M εµ εν ) 6= 0 hat den
gleichen Wert wie:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
30
5.4. BRST-SYMMETRIE
5.4
BRST-Symmetrie
Die grundsätzliche Idee besteht darin, dass man zeigt, dass die Fedeev-Popov-Lagrangedichte zusätzliche
Symmetrien und damit Erhaltungsgrößen haben. Der Zustandsraum wird dann in drei Zustandsräume zerlegt.
Wir gehen von LFP über zu LBRST . Wir müssen noch ein weiteres Feld, nämlich das formale Hilfsfeld B a
einführen:
1 a 2
1
LBRST = − (Fµν
) + ψ(i½
D − m)ψ − (B a )2 + B a ∂ µ Aaµ + ca (−∂ µ Dµac )cc
4
2ξ
Wir berechnen die Variation nach der Ableitung von B a :
1
δL
δLBRST
0=
= ∂ µ Aaµ − B a
a
a
δ(∂µ B )
∂B
ξ
Setzt man dieses B a oben wieder ein, so erhält man die Fedeev-Popov-Lagrangedichte. Die Behauptung
ist nun, dass LBRST eine globale Symmetrie besitzt, die nach dem Noether-Theorem zu erhaltenen Strömen
führt. Die erhaltene Ladung kann dann dazu dienen, den Zustandsraum zu klassifizieren. Wegen [Q, H] = 0
ist diese Klassifikation invariant unter zeitlicher Entwicklung. Der Zustandsraum mit transversalen Gluonen
ohne Geister ist invariant. Kommen wir nun zur BRST-Transformation: Es sei Dµ = ∂µ − igAa ta , Dµac =
∂µ δ ac + gf abc Abµ und ε eine infinitesimale Grassmann-Zahl. Die Änderung des Eichfeldes Aa sei gegeben
durch: δAaµ = εDµab cc . Die Variation des Fermions ist δψ = igεca ta ψ und die Variation des Fedeev-PopovFeldes δca = − 21 gεf abc cb cc . Die drei Transformationen beschreiben eine Eichtransformation mit Λa = gεca .
Außerdem sei δca = εB a und δB a = 0.
✵ Der erste und zweite Term in LBRST sind offensichtlich invariant, da es sich nach obiger Feststellung um
Eichtransformationen handelt.
✵ Der dritte Term ist natürlich auch invariant, da er nur B a enthält und δB a = 0 sei.
✵ Es bleiben also nur der vierte und fünfte Term zu betrachten.
Die Transformation von A im vierten Term kompensiert die Transformation von c im fünften Term, nämlich
B a ∂ µ εDµac cc aus dem vierten Term mit εB a (−∂ µ Dµac )cc aus dem fünften Term. Bleiben weiterhin der zweite
und dritte Faktor des fünften Terms:
δ(Dµac cc ) = 0
Dass dies gilt, sollte zu Hause nachgerechnet werden. Somit ist gezeigt, dass LBRST invariant unter dieser
Transformation ist. Ferner ergibt sich zweifache Anwendung der Transformation null; die Ladung ist nilpo”
tent“. Wie definieren wir die Ladung Q? Dies tun wir durch δφ = εQφ; dann ist beispielsweise die Wirkung
von Q auf Aaµ gegeben durch Dµac cc und die Wirkung von Q auf ψ durch igca ta ψ. Hiermit ist Q2 φ = 0, was
wir am Beispiel von Aaµ zeigen wollen:
Q2 (εAaµ ) = εQ(QAaµ ) = εQDµac cc = 0
Dies gilt aufgrund von δ(Dµac cc ) = 0. Betrachten wir außerdem:
Q2 ca =
1 2 abc bde c d e
g f f c c c =0
4
Dies gilt aufgrund der Jacobi-Identität der Strukturkonstanten f abc .
[Q, H] = 0 und Q2 = 0
31
KAPITEL 5. PFADINTEGRALE UND NICHTABELSCHE EICHTHEORIEN
5.4.1
Klassifikation der Eigenzustände von H in drei Teilräumen
✵ Raum H1 : Falls ψ1 ∈ H1 ist, fordern wir, dass Q|ψ1 i =
6 0.
✵ Raum H2 : Mit ψ2 ∈ H2 sollen Zustände aus dem Raum H2 durch Transformation von Zuständen aus
H1 hervorgehen: |ψ2 i = Q|ψ1 i.
✵ Raum H0 : Mit ψ0 ∈ H0 gelte Q|ψ0 i = 0 und ψ0 ∈
/ H2 .
Für alle ψ2 gilt mit Q2 = 0:
hψ2a |ψ2b i = hψ1a |QQ|ψ1b = 0
Die Frage, ob Q hermitesch ist, lassen wir an dieser Stelle außen vor. Darüber hinaus gilt:
hψ2a |ψ0b i = hψ1a |Q|ψ0b i = 0, da Q|ψ0 i = 0
Wie kann man dies interpretieren? Wir haben gesagt, dass QAaµ = ∂µ ca +O(g) ist. Wenn wir in den Impulsraum
gehen, so lautet dies QAaµ (k) = ikµ ca (k). Damit handelt es sich bei Aaµ um ein Eichfeld mit Polarisation ε+
µ in
Richtung kµ . (Die Ladung besitzt ja keinen Tensorcharakter!) Aus dem Eichboson mit Polarisation ε+
∼
kµ
µ
wird ein Geist. Außerdem ist Qca = 0+O(g); der Geist wird also vernichtet durch eine weitere Transformation.
Für die Transformation des Antigeistes gilt:
Qca = B a mit B a = ξ∂ µ Aaµ = ξik µ Aaµ (k)
µ
Qca liefert also ein Eichboson mit der Polarisation ε− , da ε−
µ k 6= 0.
Klassifikation der Einteilchenzustände:
ε+ und Antigeist liegen in H1 , ε− und Geist in H2 . Die transversalen ε liegen in H0 .
5.5
S-Matrix
Streuzustände mit Geistern oder unphysikalischen Polarisationen liegen in H1 und H2 . H0 enthält nur transversale Polarisationen. Der allgemeine Beweis der Unitarität im physikalischen Zustandsraum ist: |A; transversali =
|Atr i enthalte keine (Anti-)Geister, sondern nur transversale Eichbosonen. Wir wollen zeigen, dass:
X
hAtr |S † |Ctr ihCtr |S|Btr i = hAtr |1|Btr i wobei Atr Btr Ctr ∈ H0
Ctr
Diese Bedingung bedeutet, dass die S-Matrix unitär ist: S † S = SS † = 1. Es gilt [Q, S] = 0 wegen [Q, H] = 0.
Also ist QS|Atr i = SQ|Atr i = 0 und S|Atr i ∈
/ H1 . Damit muss S|Atr i eine Linearkombination von ψ0 und ψ2
sein. Für ψ2 ist jedoch das Skalarprodukt mit ψ0 ∈ H0 gleich null.
hAtr |Btr i = hAtr |S † S|Btr i
Es tragen für hAtr |S † und S|Btr i nur Anteile aus H0 bei.
X
hAtr |Btr i = hAtr |S † S|Btr i =
hAtr |S † |Ctr ihCtr |S|Btr i
Ctr ∈H0
Also ist die auf H0 eingeschränkte S-Matrix unitär.
32
Kapitel 6
Renormierungsgruppe
6.1
Einführung
Das ganze baut zunächst auf den behandelnden Themen der Vorlesung Theoretische Teilchenphysik I“ auf.
”
In der Quantenelektrodynamik haben wir folgende Feynman-Regeln:
✵ Photon-Propagator:
−i(gµν g 2 − gµ qν )δ3
✵ Elektron-Propagator:
i
p
−
¢ m
✵ Vertex:
−ieγµ
+
+
+
Hieraus ergeben sich Divergenzen, womit man zusätzliche Counter-Terme in der Lagrange-Dichte einführen
muss:
✵ Counter-Term des Photon-Propagators:
−i(gµν g 2 − gµ qν )δ3
33
KAPITEL 6. RENORMIERUNGSGRUPPE
✵ Counter-Term des Fermion-Propagators
i(pδ
¢ 2 − δm )
✵ Counter-Term des Vertex
−ieγµ δ1
Aufgrund der Ward-Identität gibt es den Zusammenhang δ1 = δ2 .
~ + O(α)
Feynman mit Q
Für große Q2 gilt:
µ 2¶
Q
e2
2
4
³ 2 ´ = laufende Kopplung
e + e · c · ln
=
Q
m2
1 − e2 · c · ln m
2
Für die Rechnung wird ein Abschneideparameter Λ eingeführt, wobei die δi proportional zu ln(Λ) sind.
6.1.1
φ4 -Theorie
Wir haben folgende Feynman-Diagramme:
+
M=
1
(−iλ)2
2
Z
+
+
d4 k
1
1
4
2
2
(2π) k − m + iε (K − k)2 + m2
Das Integral ist logarithmisch divergent, wie man durch Power-Counting feststellt. Die Annahme ist, dass die
Theorie nur gültig ist bis Λ. Mit Λ2 À |K 2 | und m2 und s, t, u À m2 gilt:
· µ 2¶
µ 2¶
µ 2 ¶¸
Λ
Λ
Λ
2
M = −iλ + iλ · C · log
+ log
+ log
s
t
u
34
6.1. EINFÜHRUNG
~ | und k = (ik0 , ~k) erhalten wir, wobei kE = −k 2
Wir machen eine Nebenrechnung für C. Mit K = (iK0 , K)
sei:
ZΛ 4
d kE
1
1
2
i
·
mit Cut-Off Λ2 À KE
2
4
2
(2π) kE + m (K − k)2E + m2
0
2
Abhängigkeit von Λ für Λ2 À KE
:
Z
dΩ4
(2π)4
i
ZΛ
dkE
0
2
(kE
3
kE
2π 2
i
1
=i·
· ln(Λ) + c =
· ln(λ2 ) ⇒ C =
2
2
+m )
(2π)4
16π 2
16π 2
λ ist zunächst keine Messgröße. Außerdem hätten wir auch statt Λ Λ2 = 2Λ oder Λ10 = 10Λ wählen können.
Wir legen also s, t, u fest zu s0 , t0 , u0 und messen M(s0 , t0 , u0 ) ≡ −iλp ( physikalisch“).
”
· µ 2¶
µ 2¶
µ 2 ¶¸
Λ
Λ
Λ
2
3
−iλp ≡ −iλ + iCλ · log
+ log
+ log
+ O(λ )
s0
t0
u0
Wählt man λp , s0 , t0 und u0 fest, so ist λ eine Funktion von Λ, also λ = λ(Λ).
µ 2¶
µ 2 ¶¸
· µ 2¶
Λ
Λ
Λ
+ log
+ log
+ O(λ3 )
−iλ = −iλp − iCλ2 · log
s0
t0
u0
Wir setzen λ in das Matrixelement M ein:
· µ 2¶
µ 2¶
µ 2¶
µ 2¶
µ 2¶
µ 2 ¶¸
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
Λ
M = −iλp + iλ2 · C · log
− log
+ log
− log
+ log
− log
s
s0
t
t0
u
u0
In unserer Rechnung dürfen wir nun λ2 ' λ2p setzen:
· ³ ´
µ ¶
³ u ´¸
s0
t0
0
M = −iλp + iλ2p · C · log
+ log
+ log
s
t
u
2
Damit haben wir alle unphysikalischen Objekte rausgeworfen.
¡ s0 ¢ Wir betrachten den Fall Λ À s, t, u À s0 ,
t0 , u0 , dann werden nämlich die Korrekturterme, also log s ziemlich groß. Wie behandelt man dann diesen
Fall? Es verhält sich s : t : u genau wie s0 : t0 : u0 , womit sich ergibt:
h
³ s ´i
0
M = −iλp · 1 − λp · C · 3 log
s
Falls t, u zwar O(s) À s0 , aber nicht genau t0 · ss0 , u0 · ss0 sind, so ergeben sich kleine Korrekturen der Form:
· µ
¶
µ
¶¸
t0 s
u0 s
2
iλp · C · log
·
+ log
·
s0 t
s0 u
Damit können die großen Korrekturen in einer laufenden“ Kopplung absorbiert werden.
”
h
³ s ´i
0
λp (s) = λp (s0 ) · 1 − λp · 3C · log
s
C war nur durch den divergenten Anteil festgelegt. Wenn µ2 eine Skala der Ordnung s, t, u ist, dann gilt
· µ 2¶
µ 2¶
µ 2 ¶¸
µ
µ
µ
M = −iλp (µ2 ) + iC · λ2p (µ2 ) · log
+ log
+ log
s
t
u
und
λp (µ02 ) = λp (µ2 ) + 3C · λp (µ2 ) · log
µ
µ02
µ2
¶
Was ist der Unterschied zwischen µ 7→ µ0 und µ 7→ µ1 →
7 µ0 ? Wenn nur alle Terme der Form (λp log(µ2 ))
kontrahieren wollen, dann macht das einen Unterschied. Das korrekte Resultat ergibt sich durch, die Renormierungsgruppengleichung (wie sich die Kopplung durch µ ändert):
µ2
d
λp (µ2 ) = 3C · λ2p (µ2 )
dµ2
35
KAPITEL 6. RENORMIERUNGSGRUPPE
6.2
Wilson (Effektive Theorien)
Z
Z[J] =
µ Z
¶
Dφ exp i dx [L + Jφ]
Die Felder seien im Impulsraum gegeben, also φ = φ(k) und man stellt das Integral als Reihe dar:
à Z
!
µ Z
¶
Y
dφk exp i dx [L + φ]
k
Wir wollen die Theorie abändern durch:
Z
Z=


¶¶
µ Z
µ
Y
1
1
λ
(Dµ φ)2 + m2 φ2 + φ4
mit [Dφ]Λ = 
dφ(k)
[Dφ]Λ exp − dd x
2
2
4!
|k|<Λ
Im Festkörper gibt es keine Moden mit k > Λ = d−1
Atom . Wir wollen das Integral im Impulsraum zerlegen. Dazu
sei b ¿ 1 und bΛ ≤ |k| < Λ, wobei es sich um die Region großer Impulse handelt.
½
½
φ(k) für bΛ ≤ k < Λ
0
für bΛ ≤ k < Λ
b
e
φ(k) =
, φ(k) =
0
sonst
φ(k) sonst
Es ist also φ = φe + φ̂. Man kann φ als zerlegen in harte und weiche Moden.
Z
Z
Dφ(x) ≡ Dφ(k)
Wir betrachten nun:
µ Z
· ³
¸¶
Z
Z
´2 1
1
λ e b4
2 e
2
e
b
e
b
b
Z = Dφ Dφ exp − dx
∂µ φ + ∂µ φ + m (φ + φ) + (φ + φ)
=
2
2
4!
Die restlichen Terme fallen weg, wie man durch Fourier-Transformation in den Impulsraum zeigen kann:
Z
Z
Z
Z
Z
dk
dp
dk b e ?
b φ(x)
e ? = dx
b φe? (p) =
dx φ(x)
exp(−ikx
+
ipx)
φ(k)
φ(k)φ(k) = 0
(2π)d
(2π)d
(2π)d
b λ sei klein und außerdem m2 ¿ k 2 .
Wir betrachten λφ4 -Terme und m2 φb2 als Störung und integrieren über φ.
Z
dd k b? b
b =
L0 [φ]
φ (k)φ(k)k 2
(2π)d
bΛ<k<Λ
µ Z
¶
Dφb exp − L0
1
b φ(p)i
b
b φ(p)
b =Z
µ Z
¶ = 2 · (2π)d · δ (d) (k + p) · θΛ (k)
hφ(k)
≡ φ(k)
k
Dφb exp − L0
Z
θΛ (k) ist definiert als:
½
1 für bΛ ≤ k < Λ
θΛ (k) =
0 sonst
Wir untersuchen als folgendes Integral:
µ
¶¸¶
µ Z
·
Z
1 2 b2
1 e3 b 1 e2 b2 1 e b3
1 b4
1
2
d
b
b
(∂µ φ) + m φ + λ ·
φ φ + φ φ + φφ + φ
Dφ exp − d x
2
2
6
4
6
4!
36
6.2. WILSON (EFFEKTIVE THEORIEN)
Die letzten fünf Terme sind unsere Störung. Wir betrachten als Beispiel φe2 φb2 .
µ Z
·
¸¶ Z
Z
Z d Z d Z d Z d
λ
1
d k1
d k2
d k3
d k4
b2
−
Dφb exp − dd x
(∂µ φ)
dx
exp (i[k1 + k2 + k3 + k4 ]x) ×
4
2
(2π)d
(2π)d
(2π)d
(2π)d
e 1 )φ(k
e 2 )φ(k
b 3 )φ(k
b 4) =
× φ(k
Ã
!
Z d Z d Z d Z d
X
λ
d k1
d k2
d k3
d k4
1
d
e 1 )φ(k
e 2) =
=−
(2π) · δ
ki · 2 · (2π)d · δ(k3 + k4 ) · θΛ (k3 ) · φ(k
4
(2π)d
(2π)d
(2π)d
(2π)d
k
3
i
µZ
¶ Z
λ
dk1 e
dk3 θΛ (k3 )
e
φ(k
)
φ(−k
·
·
=
=− ·
1
2
d
4
(2π)
(2π)d
k32
Z
Z
µ
dk1 e
λ
dd k 1
e
=− ·
φ(k
)
φ(−k
)
mit
µ
=
1
2
d
2
(2π)
2
(2π)d k 2
kΛ<k<Λ
Z1
Z1
dk k d−1−2 =
0
dk k d−3 =
0
µ2 =
λ
d
2
(4π) · Γ
¡d¢ ·
2
k d−2
d−2
1 − bd−2
· Λd−2
d−2
Achtung: Für d = 4 hängt der Massenterm µ2 quadratisch vom Abschneideparameter Λ ab. Der Term
Z
µ2
ddk e e
−
·
φ(k)φ(−k)
2
(2π)d
wird mit äußerem Anteil kombiniert. Die Feynman-Regeln lauten:
b nur innere Linien
✵ Propagator φbφ:
e innere und äußere Linien
✵ Propagator φeφ:
1.) Ordnung λ:
φb2 φe2 :
⇒
µ2 e2
φ
2
φe3 φb und φbφe3 ergeben null.
2.) Ordnung λ2 :

2









 und


37
KAPITEL 6. RENORMIERUNGSGRUPPE
+
+
µ Z 2 ¶
µ e2
Das erste Diagramm entspricht dem dritten Term der Entwicklung von exp −
φ . Die drei Dia2
gramme tragen zu φe4 bei. Außerdem liefert das erste dieser drei:
µ ¶2
µ ¶2
Z
Z
ξ
2
dd k
λ
1
−
dd x φe4 mit ξ = −4! · ·
·
d
4!
2!
4
(2π)
k2
bΛ<k<Λ
Äußere Impulse seien ¿ Λ.
−3λ2
(1 − bd−4 )
d−4
·
Λ
−
−
−
→
· log
ξ=
·
¡
¢
d
d7→4 16π 2
d−4
(4π) 2 · Γ d2
−3λ2
µ ¶
1
b
ξ erhält Beiträge von allen Impulsbereichen, gleichmäßig auf der logarithmischen Skala.
Beispielsweise folgt aus
Z
λ φ4 (x) dx · λ φ4 (y) dy
Z
Z
λ2
Z
φe3 φb dx
φe3 φb dy
∼ λ2 · θΛ (p1 + p2 + p3 )
1
(p1 + p2 + p3 )2
Diese Terme sind also nur relevant für hohe Impulse. Man erhält sorgfältiger φe6 Λ12 und (∂φ)2 φ2 Λ12 usw.
µ Z
¶
µ
¶
Z
1
e
e
Z = Dφ exp − dx Leff [φ] + O
· nicht renormierbare Operatoren
λ4
Leff habe die Form von L mit λeff und meff . φe ist nur die Bezeichnung einer Integrationsvariablen. Wir
bezeichnen nun φe als φ und vergleichen
µ Z
¶
µ Z
¶
Z
Z
Z = [Dφ]bΛ exp − dd x Leff mit Z = [Dφ]Λ exp − dd x L0
Wir skalieren im ersten Z-Ausdruck k 0 = kb und x0 = x · b:
·
Z
Z
1
1
1
dd x Leff = dd x
· (1 + ∆Z) · (∂µ φ)2 + (m2 + ∆m2 )φ2 + (λ + ∆λ)φ4 +
2
2
4!
¤
(C + ∆C)(∂µ φ)4 + (D + ∆D)φ6 + . . .
38
Kapitel 7
Callan-Symanzik-Gleichung
Wir werden im folgenden Gebrauch machen von der Wellenfunktionsrenormierung und von Kopplungskonstanten. Wir wollen den Zusammenhang zwischen den nackten und renormierten Parametern und Feldern
betrachten. Die Feldrenormierung ergibt sich dadurch, dass wir den Propagator im Impulsraum betrachten:
Z
iZ
dx exp(ipx)hT ψ0 (x)ψ0 (0)i = 2
+ Reguläre Terme
p − m2
1
Das Residuum den nicht renormierten Feldes ist Z, so dass ψ0 = Z 2 ψr ist. Das Residuum des renormierten
Feldes ist also gleich eins.
1
1
λ0 4
1
1
λ0
(∂µ φ0 )2 − m20 · ψ02 −
· φ0 = · Z · (∂µ φr )2 − m20 · Z · φ2r −
· Z 2 · φ4r
2
2
4!
2
2
4!
L=
Im nächsten Schritt schreiben wir den Ausdruck so um, dass er die Form des Ausgangsterm hat:
λ
1
δλ 4
1
1
(∂µ φr )2 − m2 · φ2r − · φ4r + δz · (∂µ φr )2 − δm φ2r −
· φr
2
2
4!
2
4!
L=
Die Korrekturen δz , δm und δλ sind dann die Counter-Terme. Man kann also Störungstheorie in den nackten
Feldern φ0 oder den renormierten Feldern φr durchführen; die entsprechen Feynman-Diagramme sind natürlich
dieselben. λ0 und m0 seien gegeben und beschreiben den Cut-Off Λ der Theorie.
7.1
Modifizierte Renormierungsbedingungen
Die stellen diese Bedingungen im euklidischen Raum; alle äußeren Impulse sind damit raumartig. Wir wollen
den Fall betrachten, dass diese Impulse raumartig groß werden.
Wir betrachten die nicht-zerlegbaren Diagramme:
= 0 bei p2 = −M 2

d 

dpµ 


 = 0 bei p2 = −M 2

39
KAPITEL 7. CALLAN-SYMANZIK-GLEICHUNG
= −iλ bei (p1 + p2 )2 = (p1 + p3 )2 = (p1 + p4 )2 = −M 2
M bezeichnet man auch als Renormierungsskala. Die ersten beiden Bedingungen heißen nichts anderes, als
dass für das zeitgeordnete Produkt der renormierten Felder
hT φr (p)φr (−p)i =
i
p2
bei p2 = −M 2 gilt. Für die nackten Felder gilt dann:
hT ψ0 (p)φ0 (−p)i =
iZ
p2
bei p2 = −M 2 . Außerdem ist δz = Z − 1 und δλ = λ0 · Z 2 − λ. In den Renormierungsbedingungen (Gleichungen ①, ② und ③) ist M beliebig. Man kann sich nun fragen, wie der Zusammenhang zwischen den
Green-Funktionen ist, wenn M variiert wird, wobei unsere Lagrangefunktion nicht vom Renormierungspunkt abhängt. Es seien M ¿ Λ und M 0
Lambda zwei unterschiedliche Renormierungsskalen, welche unsere Theorie beschreiben sollen. Wir betrachten die Green-Funktion der nackten Felder: hT ψ0 (x1 ) . . . φ0 (xn )i hängt nicht von M und M 0 ab. M taucht
erst auf, wenn wir λ0 zugunsten von λphys (M ) eliminieren. Die renormierten Green-Funktionen sind gegeben
durch:
n
hT φr (x1 ) . . . φr (xn )i = Z − 2 · hT φ0 (x1 ) . . . φ0 (xn )i
(∗)
Die linke Seite ist bei ¯M 2 definiert mit λ(M 2 ); das heißt, dass insbesondere die amputierte Green-Funktion
(4) ¯
(n)
(Vertexfunktion) Γr ¯
= −iλ(M 2 ) ist. Wir definieren nun Gr (x1 , . . . , xn , M, λ) wie folgt:
2
sym.(−M )
G(n)
r (x1 , . . . , xn , M, λ) = hT φr (x1 ) . . . φr (xn )izusammengenommen
(n)
Gr sei normiert nach den obigen drei Gleichungen, dass also die Vierpunktfunktion ohne äußere Linien den
Wert λ annimmt. Wir machen eine Verschiebung der Art M 7→ M +δM , λ 7→ λ+δλ und φr 7→ (1+δη)φr so, dass
die nackten Green-Funktionen ungeändert bleiben. Es gilt einerseits, dass die renormierte Green-Funktion
(n)
(n)
Gr übergeht in (1 + n · δη)Gr ; dies folgt aus Gleichung (∗). Wir erhalten insgesamt den Zusammenhang:
dG(n)
= n · δηG(n)
=
r
r
∂G(n)
∂G(n)
· δM +
· δλ
∂M
∂λ
(∗∗)
Dies folgt aus:
¢
d ¡ n
Z 2 Gr (x1 , . . . , xn , M, λ(M )) = 0
dM
An dieser Stelle kommen wir zu zwei sehr wichtigen Funktionen. Wir definieren:
β≡
M
M
· δλ, γ ≡ −
· δη
δM
δM
M·
∂Gr
∂λ ∂Gr
+M ·
∂M
∂M ∂λ
(n)
(n)
(n)
−n·M ·
(n)
∂η (n)
∂Gr
∂Gr
G =0⇔M
+β·
∂M r
∂M
∂λ
+ γ · G(n)
=0
r
40
7.2. BERECHNUNG VON β UND γ
β und γ hängen nicht vom Cut-Off ab, da sie das Verhalten der renormierten Green-Funktion beschreiben.
Auch hängt γ nicht von M ab, das es dimensionslos ist. β und γ sind also nur Funktionen von λ, dem
Kopplungsparameter.
·
¸
∂
∂
M·
+ β(λ) ·
+ n · γ(λ) G(n)
r (x1 , . . . , xn , M, λ) = 0
∂M
∂λ
Dies ist die Callan-Symanzik-Gleichung ohne Massenterm. Sie gilt genauso im Impulsraum:
·
M·
¸
∂
∂
+ β(λ) ·
+ n · γ(λ) G(n)
r (p1 , . . . , pn , M, λ) = 0
∂M
∂λ
In der Quantenelektrodynamik (mit Elektronenmasse 7→ 0) sieht diese ähnlich aus:
·
¸
∂
∂
(x1 , . . . , xn , M, e) = 0
M·
+ β(e)
+ n · γz (e) + m · γ3 (A) G(n,m)
r
∂M
∂e
m ist keine Masse, sondern eine Zahl ∈ Z. Hier tauchen also die Elektron- und Photonfelder auf.
7.2
Berechnung von β und γ
Wir verwenden Störungstheorie in fester Ordnung für geeignet gewählte Green-Funktionen. Wir betrachten
dazu als Beispiel eine φ4 -Theorie ohne Masse in Ein-Schleifen-Näherung. Was können wir aus den einfachsten
Green-Funktionen herausholen:
G(2)
r (p) = Born + Ein-Schleifen-Näherung + Counter-Term =
=
+
+
Für masselose Theorie ist der zweite Term der Ein-Schleifen-Näherung gleich null. Rechnet man mit m 6= 0,
so wird die Korrektur durch den Massen-Counter-Term korrigiert; es gibt keine Abhängigkeit vom äußeren
Impuls. Das Residuum bleibt damit gleich eins: Z = 1 + O(λ2 ).
G(4)
r = Born − Ein-Schleifen-Korrekturen + Counter-Term =
=
+
µ
+
=
+
i
i
i
i
·
·
·
p21 p22 p23 p24
¶
+
+
£
¤
· −iλ + (−iλ)2 · (iV (s) + iV (t) + iV (u)) − iδλ
Wir hatten früher schon berechnet:
³ s ´
1
1
+ const. mit C = ·
V (s) = C · log
Λ2
2 16π 2
41
KAPITEL 7. CALLAN-SYMANZIK-GLEICHUNG
Die hier auftretende Divergenz legt den Counter-Term fest. Falls dieser Counter Term nämlich die Divergenz
eliminieren soll, muss
µ 2¶
Λ
λλ = 3 · Cλ2 · log
M2
gelten. Der Faktor drei kommt durch die drei Beiträge von V (s), V (t) und V (u). Bei s = M 2 sollen die
Korrekturen verschwinden, womit im Counter-Term der Faktor M12 vorkommt. Die M -Abhängigkeit steckt
also im divergenten Anteil des Counter-Terms. Kommen wir nun wieder auf die Callan-Symanzik-Gleichung
zurück:
¸
·
∂
∂
+ β(λ) ·
+ 4γ(λ) G(4)
M·
r (pi , M, λ) = 0
∂M
∂λ
Wir analysieren die drei Terme:
✵ Term ①:
∂
3i · λ2
G(4) = −i · 3C · (−2) · λ2 =
·
∂ ln(M )
(4π)2
µ
i
p2
¶4
✵ Term ②:
¢
∂ ¡
β(λ) ·
−iλ + O(λ2 ) = −iβ(λ) ·
∂λ
µ
i
p2
¶4
✵ Term ③:
Z = 1 + O(λ2 ) ⇒ M ·
∂
Z = O(λ2 ) ⇒ γ · G(4) = O(λ3 )
∂M
Daraus erhalten wir:
3i · λ2
3λ2
+ β(λ) · (−i) = O(λ3 ) ⇒ β(λ) =
2
(4π)
(4π)2
Wir sind außerdem am führenden Beitrag zu γ interessiert; diesen bestimmen wir aus den renormierten Zwei(2)
punktfunktion Gr :
G(2)
r = Born + Schleifen-Diagramm +
=
µ
µ 2 ¶
¶
i
i
Λ
i
i
= 2 + 2 · A log
+ const. + 2 (ip2 δz ) 2
p
p
−p2
p
p
δz erhalten wir aus der Forderung:
µ 2¶
¯
Λ
i
(2) ¯
Gr ¯
+ const.
= 2 ⇒ δz = A log
p
M2
p2 =−M 2
Daraus ergibt sich weiter:
G(2) (p) =
i
i
+ 2 · A · log
p2
p
µ
M2
−p2
¶
Wir erhalten also die drei Terme der Callan-Symanzik-Gleichung (ohne Berücksichtigung des Vorfaktors
i
p2 ):
42
7.2. BERECHNUNG VON β UND γ
✵ Term ①:
∂
G(2) = O(A) = 2A
∂ ln(M ) r
✵ Term ②:
µ
µ
µ 2 ¶¶¶
∂
M
β(λ)
A log
= O(λA)
∂λ
−p2
Dies gilt, da β(λ) = O(λ2 ) und
∂
∂λ
Ordnung von λ−1 ist.
✵ Term ③:
2γ(λ)(1 + O(A))
2A + 2γ(λ) = 0 ⇒ γ = −A =
∂
1
δz
2 ∂ ln(M )
In der φ4 -Theorie ist A = O(λ2 ).
Die β-Funktion für beliebige dimensionslose Kopplungen g, welche einen n-Punkt-Vertex beschreibt, ergibt
sich aus:
G(n)
= Born + 1-Teilchen irreduzible Schleifen + Vertex-Gegenterme+
r
+ Korrekturen an äußerem Linien + Wellenfunktionsrenormierung =
=
+
+
+

+







+






+
+
+






+






+
43
KAPITEL 7. CALLAN-SYMANZIK-GLEICHUNG
Die Impulse der äußeren Linien sei p2i = −M 2 :
"
#
µ 2 ¶
µ 2 ¶
¶
Yµ i ¶
Xµ
Λ
Λ
(n)
Gr =
· −ig − iB log
− iδg + (−ig)
Ai log
− δZi + endliche Terme =
p2i
−p2
−p2i
i
i
"
µ 2¶
µ 2 ¶#
X
Yµ i ¶
M
M
· −ig − iB log
+ (−ig)
Ai log
+ const.
=
2
2
2
p
−p
−p
i
i
i
i
Nun berechnen wir wieder die einzelnen Terme der Callan-Symanzik-Gleichung:
"
#
Yµ i ¶
X
∂
M
G(n) =
· −i2B + (−ig) · 2
Ai
∂M r
p2i
i
i
β
Y
∂ (r)
G = β · (−i)
∂g
i
µ
i
p2i
¶
Wir erinnern uns an γ, das wir zuvor berechnet haben:
γi =
1
∂
δZ
2 ∂ ln(M ) i
Somit können wir β berechnen:
"
#
X
X
X
−i2B + (−ig) · 2
Ai + β(g) · (−i) + ig
Ai = 0 ⇒ β(g) = −2B − g
Ai
i
i
i
3
e
In der Quantenelektrodynamik gilt wegen Z1 = Z2 −2B − 2γe = 0. Daraus folgt β(e) = −γA und γA = − 12π
2.
In der Quantenelektrodynamik sind Z1 und Z2 eichabhängig. Der einzige Beitrag, der übrig bleibt, ist also:
In der Quantenchromodynamik ist β(e) =
1
Z(M )− 2 φ0
Die anormale Dimension in der höheren Ordnung mit φr =
1
1
δη =
e3
12π 2 .
Z(M + δM )− 2 − Z(M )− 2
1
Z(M )− 2
M
Dies gilt in allen Ordnungen und γ = − δM
δη.
γ(λ) =
7.3
1 M ∂Z
∂ ln(Z)
·
·
=
in allen Ordnungen
2 Z ∂M
∂ ln(M 2 )
Lösung der Callan-Symanzik-Gleichung
(2)
Wir betrachten die Zweipunktfunktion Gr (p, λ, M ):
Ã
!
2
p
i
(2)
Gr (p, λ, M ) = 2 · g − 2 , λ
p
M
Es gilt die Anfangsbedingung g(1, λ) = 1. Aus der Callan-Symanzik-Gleichung
µ
¶
∂
∂
M
+ β(λ)
+ 2γ(λ) G(2)
r (p, M, λ) = 0
∂M
∂λ
44
7.3. LÖSUNG DER CALLAN-SYMANZIK-GLEICHUNG
Wir können statt dessen auch die Gleichung
µ
¶
∂
∂
p
− β(λ)
+ 2 − 2γ(λ) G(2)
r (p, M, λ) = 0
∂p
∂λ
¯
(2) ¯
betrachten mit der Anfangsbedingung Gr ¯ 2
p =−M 2
∂
D(t, x) =
∂t
= −1. Wir betrachten:
µ
¶
∂
−D(x)
+ %(x) D(t, x)
∂x
Dies entspricht der Callan-Symanzik-Gleichung für ln(M ) = t und x = λ. Wir betrachten eine Röhre mit
einer strömenden Flüssigkeit mit Bakterien, die sich vermehren:
D(t, x) beschreibt dann die Dichte der Bakterien am Ort x in Abhängigkeit von der Zeit t und %(x) deren
Wachstum. Wir interessieren uns für die Dichte zur Zeit t am Ort x und berechnen zunächst den Ort, den die
Bakterien zur Zeit t = 0 haben. Dies ist gegeben durch x(t), welches die Differentialgleichung
d
x(t) = −v(x)
dt
mit der Anfangsbedingung x(0) = x.
Beispiele:
i.) Es sei v(x) = v = const. Dann ist x(t, x) = x − v · t. D bei t = 0 war Di (x) zur Zeit t; zur Zeit t haben
wir Di (x).
ii.) v(x) = cx
x(t, x) = x · exp (−ct)
Falls % = 0 ist, gilt D(t, x) = Di (x(t, x)). Wir rechnen dies nach:
i.) Fall ①:
µ
¶
∂
∂
+ v(x)
Di (x − vt) = D0 (x − vt) · (−v + v) = 0
∂t
∂x
ii.) Fall ②:
µ
¶
µ
¶µ
¶
∂
∂
∂
∂
∂
+ cx ·
Di (x(t, x)) =
Di
x(t, x) + cx x(t, x) = 0
∂t
∂x
∂x
∂t
∂x
d
x(t, x(t)) = 0 ist. Wir erhalten nämlich, egal von
Dies gilt natürlich allgemein, weil die totale Ableitung
dt
welchem Zeitpunkt t wir ausgehen, immer dasselbe x. Falls % 6= 0 gilt:
 t

Z
D(t, x) = Di (x(t, x)) · exp  %(x(t0 , x)) dt0 
0
45
KAPITEL 7. CALLAN-SYMANZIK-GLEICHUNG
x(0, x) = x ist die Lage zur Zeit t und x(t, x) die Lage zur Zeit t = 0. Wir machen die folgende Variablensubstitution:
dt0 = −
1
dx
v(x)
Aus t0 = 0 ergibt sich x(0, x) = x und aus t0 = t folgt x(t, x).


D(t, x) = Di (x(t, x)) · exp 
Zx

%(x) 
dx
v(x)
x(t,x)
Mit der Rückübersetzung der Variablen
∧
t=
p
∧
∧
∧
∧
, λ = x, −β = v, 2γ(λ) − 2 = %, G(2) = D
M
und der Anfangsbedingung
¯
∧
¯
Di (x) = Ĝ(λ) ≡ G(2) (p, λ)¯
p2 =−M 2
erhalten wir schlussendlich folgende Lösung für die Callan-Symanzik-Gleichung:


pZ0 =p
µ 0¶
¤
p 
2 £

G(2) (p, λ) = Ĝ(λ(p, λ)) · exp −
· 1 − γ(λ) − λ(p0 , λ) d log

β
M
p0 =M
d
¡ p ¢ λ(p, λ) = β(λ) mit λ(M, λ) = λ
d log M
7.4
β-Funktion in den Quantenchromodynamik
Wir betrachten die β-Funktion:
µ
¶
∂
1
β(g) = gM
−δ1 + δ2 + δ3
∂M
2
Die Abhängigkeit von der Masse rührt von den Countertermen her. δ1 ist der Vertex-Counterterm, δ2 die QuarkWellenfunktionsrenormierung und δ3 die Gluon-Wellenfunktionsrenormierung. Man erhält diese Beiträge aus:
+
+
=
¶ µ
¶
µ
¶
5
d
1
· −
C2 (G)Γ 2 −
·
d
2
3
2
(M )2− 2
´
³
ξ
In der Rξ -Eichung geht der Faktor − 35 über in − 13
−
6
2 . Der Propagator in der Rξ -Eichung sieht folgendermaßen aus:
µ
¶
i
qµ qν
− 2 −gµν + (1 − ξ) 2
q
q
µ
= i(q 2 gµν − q µ q ν )δ ab
−g 2
(4π)2
46
7.4. β-FUNKTION IN DEN QUANTENCHROMODYNAMIK
In der Feynman-Eichung ist ξ = 1.
¡
¢·
¸
Γ 2 − d2
g2
5
4
·
δ3 =
C
(G)
−
n
C
(r)
2
f 2
(4π)2 (M 2 )2− d2 3
3
nf ist die Anzahl der Quarks. Der letzte Term kommt durch
zustande. Die Berechnung der Quark-Wellenfunktionsrenormierung δ2 entspricht der Rechnung aus der Quantenelektrodynamik:
¡
¢
−g 2 Γ 2 − d2
δ2 =
C2 (r)
(4π)2 (M 2 )2− d2
¡
¢
·
¸
Γ 2 − d2
1
ig 3
a
· C2 (r) − C2 (G) t γµ ·
d
(4π)2
2
(M 2 )2− 2
In der Quantenelektrodynamik stellt die Ward-Identität einen Zusammenhang zwischen folgenden Diagrammen her:
In der Quantenchromodynamik gibt es jedoch keine analoge Beziehung.
igta γµ
¡
¢
Γ 2 − d2
ig 3 3
a
C2 (G)t γµ ·
d
(4π)2 2
(M 2 )2− 2
47
KAPITEL 7. CALLAN-SYMANZIK-GLEICHUNG
Der Counterterm liefert igta γ µ δ1 .
¡
¢
g 2 Γ 2 − d2
[C2 (r) + C2 (G)]
δ1 = −
(4π)2 (M 2 )2− d2
Damit ergibt sich:
¡
¢ µ
µ
¶¶
Γ 2 − d2
1
g2
4
1 5
−δ1 + δ2 + δ3 =
·
· [C2 (R) + C2 (G)] − C2 (r) +
C2 (G) − nf C2 (r)
=
2
(4π)2 (M 2 )2− d2
2 3
3
µ
¶µ
¶
αs 1
11
2
=
− ln(M 2 )
C2 (G) − nf C2 (r)
4π ε
6
3
Es folgt schließlich die β-Funktion:
µ
¶
¶
µ
∂
αs
11
2
αs 11
4
β(g) = g
= −g
·2·
C2 (G) − nf C2 (r) = −g
C2 (G) − nf C2 (r)
∂ ln(M )
4π
6
3
4π 3
3
48
Kapitel 8
Zusammengesetzte Operatoren
Ein Beispiel dazu ist der Zerfall eines b-Quarks:
7→
¢¡
¢
g2 ¡
1 − γ5
c(x)γµ2 b(x) d(x)(γ µ )2 u(x) mit γµ2 = γµ
2
2MW
2
Die Korrekturen der Quantenchromodynamik lauten:
a.) Virtuelle Prozesse:
+ UV-divergente Terme
b.) Reelle Abstrahlung:
Virtuelle Korrekturen weisen UV- und IR-Divergenz auf; letztere jedoch nur, wenn die äußeren Quarks auf der
Massenschale sitzen. Wir trennen die Problematik und setzen die äußeren Impulse auf p2 = −M 2 .
8.1
Berechnung von Zerfällen
Wir amputieren die Greensche Funktion, die sich aus folgendem Objekt ergeben:
hψ(p1 )ψ(−p2 )ψ(p3 )ψ(−p4 )OO (0)i = SF (p1 )γµ2 SF (p2 )SF (p3 )(γ µ )2 SF (p4 )
49
KAPITEL 8. ZUSAMMENGESETZTE OPERATOREN
Die Summe der Korrekturen ist divergent. Wir müssen damit einen Counterterm δO O(x) addieren, so dass die
Normierungsbedingung
OBorn + Korrektur + Counterterm|M 2 ≡ OM
2
oder OO = Z= (M )OM gilt per Definition. Im Beispiel werden die Divergenzen bei q 2 = MW
abgeschnitten,
denn
+
sind UV-endlich nach der Quark-Wellenfunktionsrenormierung. Also ist OMW = OO +Term der Ordnung
2
2
) ohne große Logarithmen. Bei M 2 ¿ MW
ergibt sich
αs (MW
·
µ 2 ¶¸
αs
M
OM 2 = OO 1 +
log
2
4π
MW
2
und die Korrektur wird eventuelle von O(1) sein. Außerdem wissen wir nicht, ob αs (MW
) oder αs (m20 ) zu
nehmen ist. Lösung: Renormierungsgruppe und Callan-Symanzik-Gleichung
8.1.1
φ4 -Theorie
Wir betrachten folgende Green-Funktion
n
(p1 , . . . , pn , k) ≡ hφr (p1 ) . . . φr (pn )On (k)i = Z(M )− 2 ZO (M )−1 hφ0 (p1 ) . . . φ0 (pn )OO (k)i
G(n,O)
r
und die Callan-Symanzik-Gleichung
¸
·
∂
1
∂
∂ log(ZO )
∂
+ β(λ)
+ nγ(λ) + γO (λ) G(n,O)
= 0 wobei γO =
M
ZO =
M
r
∂M
∂λ
ZO ∂M
∂ log(M )
8.2
Renormierung lokaler zusammengesetzter Operatoren
Wir betrachten den Counter-Term δL, den man zur Lagrange-Funktion addieren muss.
i.) Wir betrachten den Strom Jµ = ψ∂µ ψ, welcher erhalten ist. Aus J µ Jµ = 0 folgt, dass die Ladung Q
erhalten ist:
∂
Q = 0 mit Q =∈ d~x J0
∂t
Für den Energie-Impuls-Tensor ergibt sich:
T µν =
∂µ T µν
1
ψ(∂ µ ∂ ν + ∂ ν ∂ µ ψ − F µλ F νλ
2
Z
= 0, (E, p~) = d3 ~x T 0ν
50
8.2. RENORMIERUNG LOKALER ZUSAMMENGESETZTER OPERATOREN
ii.) Wir betrachten den Prozess gg 7→ H.
7→
Der Impuls der Gluonen und des Higgs-Bosons ist viel kleiner als der des t-Quarks.
1 µν
F Fµν H mit v ≈ 250 GeV
v
Dies ist einer der wichtigen Prozesse, die man am LHC untersuchen wird. Außerdem untersucht man
CP-Verletzung anhand des Kaon-Zerfalls K0 7→ π+ π− .
4GF
= √
2
7→
sL γµ uL uL γµ gL
K0 7→ ds, π+ , π− , ud, ud
1
1
2 7→ − M 2
k 2 − MW
µ
¶W
1 − γ5
sL = s
2
OM = ZM OO
1
∂
γO =
· ZM
ZM ∂ log(M )
Der Ausdruck sagt uns, welchen Counterterm wir zur Lagrange-Funktion addieren müssen. Wie berechnet
man dies nun?
O 7→ |mϕ| ∼ ϕm (x)
Wir gehen aus von der Green-Funktion Gm,1 :
m
−1
Gm,1 = hϕ(y1 ) . . . ϕ(yn ) · O(x)i = Z − 2 ZO
· hϕ0 . . .i
Wir erhalten damit:
∂ ³
m ´
γO = M
−δ0 + δZ
∂M
2
51
KAPITEL 8. ZUSAMMENGESETZTE OPERATOREN
Beispiel:
λϕ4
Wir betrachten δL = m2 ϕ2 .
=2
i i
p2 q 2
=−
2 1
2
p q2 2
2π 2 1
=
(2π)4 2
Z
ZM
0
d4 l (−iλ)i
i
·
mit k = p − q
4
2
(2π)
e
(l + k)2
2
1
dl2 l2
· 2 2 =
e4
p q
µ
2i i
·
p2 q 2
¶
λ
· log M
16π 2
52
Kapitel 9
Quantenchromodynamik
9.1
Bildung von Hadronen
Wir wollen den Prozess e+ e− 7→ Hadronen näher untersuchen. Das zugehörige Matrixelement lautet:
¯ ½Z
¿
¾¯
À
¯
¯
µ
ν
M = had ¯¯T
dx dy Aµ (x)Aν (y)jlep
(x)jhad
(y) ¯¯ e+ e− =
Z
µ
= dx dyhT Aµ (x)Aν (y)ih0|jlep
|e+ e− ihhad|j ν (y)had |0i
hT Aµ (x)Aν (x)i ist gegeben durch den Photonpropagator:
Z
d4 k −igµν
hT Aµ (x)Aν (x)i =
exp(−ik(x − y))
(2π)4 k 2
Wir verwenden jµ (x) = exp(iP x)jµ (0) exp(−iP x), wobei P der Translationsoperator ist.
exp(−iP x)|e+ e− i = exp(−ipe+ e− x)|e+ e− i
Damit ergibt sich für das Matrixelement:
Z
Z
dk
−igµν
µ
ν
M = dx dy
exp(−ik(x − y)) exp(−ipe+ e− x + iphad y) 2 hhad|jhad
(0)|0ih0|jlep
(0)|e+ e− i
(2π)4
k
µ
Das leptonische Matrixelement h0|jlep
(0)|e+ e− i ist gegeben durch ev(p+ )γ µ u(p− ). Damit ergibt sich weiter,
indem wir die Integrationen nach x und y ausführen:
Z
dk
−i
ν
M=
|0iev(p+ )γ µ u(p− ) =
(2π)4 δ(k + pe+ e− )(2π)4 δ(k + phad ) 2 hhad|jhad
(2π)4
k
= M = (2π)4 δ(pe+ e− − phad )hhad|j µ (0)|0iev(p+ )γµ u(p− )
−i
k2
hhad|j µ (0)|0i wird für exklusive“ Endzustände durch Formfaktoren beschrieben. Diese Formfaktoren beschrei”
ben die Ladungsverteilung im Ortsraum. Die allgemeine Struktur wird festgelegt durch Lorentzkovarianz,
die Impulse der Hadronen im Endzustand und durch Stromerhaltung und eventuell durch Symmetrien.
Beispiel:
Es sei beispielsweise |hadi ≡ |π+ (q + ) + π− (q − )i:
µ
µ
µ
µ
µ
hπ+ (q + )π− (q − )|jhad
(0)|0i = (q+
− q−
)F (q+ , q− ) + (q+
+ q−
)
| {z }
=0
µ
Der zweite Term verschwindet wegen ∂ jµ (x) = 0 und damit q µ hjµ (0)i = 0. Die Funktion F (q+ , q− ) ist ein
2
2
Skalar. q+
= q−
= m2π ist fest und es ist 2q+ q− = q 2 − 2m2π , womit F nur eine Funktion von q 2 ist: F = F (q 2 ).
53
KAPITEL 9. QUANTENCHROMODYNAMIK
Beispiel:
Betrachten wir nun Protonen:
iσ µν
σ µν
qν F2 (q 2 )γ 5
qν F3 (q 2 )]vs0 (q − ) mit q = q + + q −
2m
2m
F2 (0) liefert das anomale magnetische Moment, F1 (0) ist gleich eins (oder e) und F3 (0) ist das elektrische
Dipolmoment (T-Verletzung).
µ
hp(q + )p(q − )|jhad
(0)|0i = us (q + )[γ µ F1 (q 2 ) +
σ µν =
i
(γµ γν − γν γµ )
2
Die Funktionen F1 , F2 und F3 sind analytische Funktionen von q 2 und beschreiben für q 2 < 0 Streuung, für
µ
q 2 > 4m2 Produktion und q = 0 statische Größen. Betrachten wir drei Pionen π+ , π− und π0 , so ist h3π|jhad
|0i
eine Funktion von q + , q − und q 0 , die Stromerhaltung erfüllen muss.
9.1.1
Wirkungsquerschnitt
Dieser folgt durch Bildung von |M|2 . Unter Ausnutzung der Spinsummen und me = 0 ergibt sich:
dσe+ e− 7→had =
e2
2q 2 (q 2 )2
−
− +
(gµν p+ p− − p+
µ pν − pµ pν ) ·
X
(2π)4 δ(q − p+ − p− )h0|jµ (0)|hadihhad|jµ (0)|0i
had
2
Das erste q im Nenner ist der Flussfaktor. Wenn |hadi = |π+ π− i ist, dann gilt:
q
2
Z
Z
1 − 4m
X
q2
d~
q
1
d~
q
1
dΩ(q + )
+
−
4
4
(2π) δ(q − p+ − p− ) =
(2π)
δ(q
−
p
−
p
)
=
1
2
3
3
(2π) 2E+ (2π) 2E−
8π
4π
had
Inklusiver Wirkungsquerschnitt:
σhad |m2 (had)=q2 =(p+ +p− )2
Wir betrachten nun:
Z
(2π)4 δ(q − p+ − p− )h0|jµ (0)|hadq ihhadq |jν (0)|0i
had
X Z
dx exp(i(q − p1 − p2 )x)h0| exp(−iP x)jµ (x) exp(iP x)|hadq ihhadq |jν (0)|0i =
had|q2
=
X Z
dx exp(i(q − p1 − p2 )x) · exp(i(p+ + p− )x)h0|jµ (x)|hadq ihhadq |jν (0)|0i =
had|q2
Z
=
dx exp(iqx) h0|jµ (x)jν (0)|0i|q2 >0
q0 >0
Das Ziel ist:
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
X ¯¯
¯
¯
had ¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯2
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯

¯
¯
¯
¯ = 2Im 
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
¯
2

(siehe optisches Theorem)
54
9.2. WECHSELWIRKENDE FELDER
9.1.2
Einschub: Callan-Lehmann-Spektraldarstellung
Wir erinnern uns daran, dass für ein freies Feld D(x − y) folgendermaßen definiert ist:
Z
p
d3 p 1
exp(−ip(x − y)) mitp0 = Ep = p~2 + m2
D(x − y) ≡ h0|φ(x)φ(y)|0i =
3
(2π) 2Ep
e m2 ) = 2πδ(p2 − m2 )θ(p0 ).
Es ist außerdem D(p,
[φ(x), φ(y)] = h0|[φ(0), φ(y)]|0i = D(x − y) − D(y − x) ≡ ∆(x − y) =
Z
¡
¢
d3 p 1
2
=
[exp(−ip(x
−
y))
−
exp(ip(x
−
y))]
=
0
für
(x
−
y)
<
0
(2π)3 2E0
4∆(p, m2 ) = 2πδ(p2 − m2 )ε(p0 )
Z
dp
i
DF ≡ h0|T (φ(x)φ(y))|0i =
exp(−ip(x − y))
(2π)4 p2 − m2 + iε
i
p2 − m2 + iε
Z
h0|[φ(x), φ(0)], 0i =
eF =
D
9.2
d4 p
exp(−ipx)(2π)δ(p2 − m2 )ε(p0 )
(2π)4
Wechselwirkende Felder
Wir schieben ein vollständiges System von Zwischenzuständen ein:
X Z d3 p
1
h0|φ(x)1φ(y)|0i = h0|φ(x)|0ih0|φ(y)|0i +
h0|φ(x)|λp ihλp |φ(y)|0i =
3
(2π) 2Ep (λ)
λ
X Z d4 p
= h0|φ(x)|0ih0|φ(y)|0i +
(2π)δ(p2 − mλ2 )θ(p0 )h0|φ(x)|λp ihλp |φ(y)|0i
(2π)4
λ
λp sei ein Zustand mit Impuls p~ und p2 = m2λ als invariante Masse. λ0 sei dieser Zustand in seinem Schwerpunktsystem (~
p = ~o). Die Menge aller λ {λ0 } sind alle Zustände mit p~ = ~o, angefangen von (im allgemeinen)
isolierten Einteilchenzustand p0 = m, usw. h0|φ(x)|0i ist null, wenn φ ein Vektor- oder Spinorfeld wäre.
h0|φ(x)|λp i = h0| exp(iP x)φ(0) exp(−iP x)|λp i = exp(−ipx)h0|Uλ−1 Uλ φ(0)Uλ−1 Uλ |λp i = exp(−ipx)h0|φ(0)|λ0 i
Damit ergibt sich weiter:
h0|φ(x)1φ(y)|0i = h0|φ(x)|0ih0|φ(y)|0i +
|
{z
}
=
XZ
7→0
XZ
λ
d4 p
(2π)δ(p2 − m2λ )θ(p0 ) exp(−ip(x − y))|h0|φ(0)|λ0 i|2 =
(2π)4
D(x − y, mλ2 )|h0|φ(0)|λ0 i|2 =
λ
=
X
Z
dM 2
%(M 2 )D(x − y, M 2 ) mit %(M 2 ) =
2π
2πδ(M 2 − m2 )|h0|φ(0)|λ0 i|2
λ
|h0|φ(0)|λ0 i|2 hängt nur von m2λ ab. Wir können damit jede Zweipunktfunktion schreiben als Überlagerung
von freien Zweipunktfunktionen. Dies gilt natürlich nur für den Vakuumerwartungswert. Für das zeitgeordnete
Produkt gilt:
Z
dM 2
h0|T (φ(x), φ(y))|0i =
%(M 2 )DF (x − y, M 2 )
2π
55
KAPITEL 9. QUANTENCHROMODYNAMIK
Gehen wir über in den Impulsraum:
Z
dM 2
^
h0|φ(x)φ(0)|0i(p)
=
%(M 2 )2πδ(p2 − M 2 )θ(p0 )
2π
Z
dM 2
^
h0|[φ(x),
φ(0)]|0i(p) =
%(M 2 )2πδ(p2 − M 2 )ε(p0 )
2π
Z
dM 2
i
^
%(M 2 ) 2
h0|T (φ(x)φ(0))|0i
=
2π
p − M 2 + iε
j anstelle von φ:
Der renormierte Propagator soll das Residuum 1 haben. Im allgemeinen gilt vor der Renormierung: %(M 2 ) =
2πδ(M 2 − m2 )Z. (Das Residuum ist die Wellenfunktionsrenormierung Z.) Der zeitgeordnete Propagator ist
eine analytische Funktion von p2 mit Pol bei p2 = M 2 , eventuell Polen bei Bindungszuständen und einem
Verzweigungsschnitt oberhalb 4m2 .
¶ Z
µ
µ
¶
1 e?
dM 2
1e
1
1
2
DF − D
=
%(M )
−
i
i
2π
p2 − M 2 + iε p2 − M 2 − iε
Mit
1
1
= P + iπδ(x)
x + iε
x
ergibt sich daraus:
Z
dM 2
%(M 2 )2πiδ(p2 − M 2 ) = i%(p2 )
2π
i
h
e WW (p) = −Im iD
e WF (p2 ) − (iD(p
e 2 ))?
D
Analog gilt mit
Z
iΠµν (q) = h0|T (jµ (x)j(0))|0i exp(−iqx) dx
Z
dx exp(−iqx) h0|jµ (x)jν (0)|0i = 2ImΠµν
Wegen der Stromerhaltung gilt Πµν (q) = (gµν q 2 − qµ qν )Π(q 2 ).
56
9.3. LEPTON-NUKLEON-STREUUNG/TIEF INELASTISCHE STREUUNG
9.2.1
Dispersionsrelation
Es gilt für den Imaginärteil von Π(q 2 ):
4π α2
σ(e− e− 7→ had)
≡ R(s) mit σpoint =
σpoint
3 s
¸
Z ·
ds
ds
Π(q 2 ) ∼
R(s) −
R(s)
s − q 2 − iε
s − iε
ImΠ(q 2 ) ∼
Wir betrachten die n-te Ableitung an der Stelle q 2 = 0:
¯
¯
µ
¶n
Z
Z
¯
¯
ds
d
ds
2 ¯
¯
=
Π(q )¯
=
R(s)¯
R(s)
2 )n+1
n+1
dq 2
(s
−
q
s
2
2
q =0
9.3
q =0
Lepton-Nukleon-Streuung/Tief inelastische Streuung
Wir betrachten folgenden Prozess:
Es ist q = l − l0 und q 2 < 0.
1.) Elastische Streuung: x = p0 mit p02 = m2p
hp0 |jµ |pi
Nukleon-Formfaktor im raumartigen
2.) q 2 ≈ 0
Ein fast reelles Photon streut am Nukleon.
3.) −q 2 À m2n , ν ≡ p · q À m2n
Dabei handelt es sich um die sogenannte tief-inelastische Streuung.
2
q
Für −q 2 7→ ∞ und ν 7→ ∞ erhält man ein festes x = − 2ν
. Man überzeugt sich leicht davon, das 1 − x > 0
sein muss und damit 1 > x > 0. Der Wirkungsquerschnitt wird charakterisiert durch Matrixelement
hp|jµ (x)jν (0)|pi, da
X
X
hp|j|xihx|j|pi = hp|j|pi
|hx|j|pi|2 =
x
x
Z
σ∼
dx exp(−iqx) hp|jµ (x)jν (0)|pi
57