Theoretische Informatik SS 03 Übung 12

Theoretische Informatik SS 03
Übung 12
Aufgabe 1
a) Zeigen Sie, dass ein Kreis gerader Länge mit 2 Farben und ein Kreis ungerader Länge mit
drei Farben färbbar ist.
Beweis: Zunächst betrachten wir Kreise gerader Länge. Wir nummerieren alle Knoten im
Kreis, beginnend mit 1, bis zur Nummer 2n der Reihe nach. Dann liegt ein geradzahliger
Knoten immer zwischen zwei ungeradzahligen und ein ungeradzahliger zwischen zwei geradzahligen Knoten. Daher färben wir alle geradzahligen Knoten mit einer Farbe und alle
ungeradzahligen mit der verbleibenden.
yo Betrachten wir nun Kreise ungerader Länge. Kreise der Länge drei sind offensichtlich mit
drei Farben färbbar. Für ungeradzahlige Kreise größerer Länge lässt sich jeweils ein Kreis
mit genau einem Knoten weniger angeben, indem ein Knoten und seine inzidenten Kanten
gestrichen und die Nachbarknoten durch eine Kante verbunden werden. Der entstehende
Kreis ist mit zwei Farben färbbar (siehe oben). Dann ist der ursprüngliche Kreis mit drei
Farben färbbar, indem der betrachtete Knoten mit der dritten Farbe gefärbt wird.
2
b) Zeigen Sie, dass ein Baum mit 2 Farben färbbar ist.
Beweis: Zwischen zwei Knoten eines Baumes gibt es genau einen Weg, da ein Baum
zusammenhängend, andererseits jedoch kreisfrei ist. Wir definieren d(a, b) für a, b ∈ V als
die Anzahl der Kanten des Weges von Knoten a zu Knoten b und wählen einen beliebigen
Knoten des Baumes w ∈ V aus. Für alle Knoten v ∈ V ist nun d(v) eindeutig definiert
durch d(w, v).
Alle Knoten v ∈ V mit d(v) ≡ 0 mod 2 werden mit Farbe 1 gefärbt; alle übrigen Knoten
mit Farbe 2.
Es handelt sich um eine gültige Färbung, denn wären zwei Knoten x, y ∈ V gleicher Farbe
miteinander verbunden, müsste gelten |d(x) − d(y)| = 1, da der Weg von w aus zu einem
der beiden Knoten über den verbleibenden verläuft (sonst wäre der Graph nicht kreisfrei).
Dies ist aber nicht möglich, da |d(x) − d(y)| aufgrund der gleichen Färbung nur geradzahlig
sein kann.
2
Aufgabe 2
a) Zeigen Sie, dass ein bipartiter Graph mit 2 Farben färbbar ist.
Beweis: In einem bipartiten Graphen G = (V 1 ∪˙ V2 , E) färben wir V1 mit Farbe 1 und
V2 mit Farbe 2. Da nur Kanten zwischen V 1 und V2 verlaufen, kann es keine Kante geben,
deren inzidente Knoten gleich gefärbt sind.
2
b) Zeigen Sie, dass ein bipartiter Graph keine Kreise ungerader Länge enthalten kann.
1
Beweis: O.B.d.A. sei G zusammenhängend (sonst Komponenten betrachten). G ist bipartit mit V1 und V2 als Knotenmengen. Jeder Kreis muss abwechselnd zwischen V 1 und V2
verlaufen, also gerade Länge haben.
2
Aufgabe 3
Wenn ein Graph K3,3 oder K5 als Teilgraphen enthält, dann ist er nicht planar.
Zeigen Sie, dass es einen Algorithmus gibt, der in polynomieller Laufzeit entscheidet, ob ein
Graph G = (V, E) einen K3,3 oder K5 als Teilgraph enthält und folglich nicht planar ist.
K4
K 3,2
Abbildung 1: Beispiele für planare Graphen
K5
K 3,3
Abbildung 2: K5 und K3,4
Lösung:
Die Umkehrung des obigen Satzes gilt nicht. Man kann Graphen angeben, die nicht planar
sind, jedoch weder K3,3 noch K5 als Teilgraph enthalten (bspw. Pertersen-Graph). Der Satz
von Kuratowski-Wagner sagt jedoch aus, dass ein Graph genau dann planar ist, wenn er keinen zu K3,3 oder K5 kontrahierbaren Untergraphen enthält. Dabei ist es erlaubt, in einem
beliebigen Untergraphen des gegebenen Graphen Kantenkontraktionen durchzuführen, also
adjazente Knoten zu identifizieren. Erhält man als Resultat dieser Kontraktionen K 3,3 oder
2
K5 , so ist gezeigt, dass der Graph nicht planar ist. Es gibt Linearzeitalgorithmen, die entscheiden können, ob ein Graph planar ist oder nicht, bspw. ein Algorithmus von Hopcroft und
Tarjan (1974). Implementierung und Details des Algorithmus sind jedoch kompliziert.
Petersen−Graph
K5
durch Kontraktion
von Kanten
Abbildung 3: Der Petersen Graph hat K 5 als Minor.
Wir betrachten nun eine einfache Variante zum Nachweis der Nichtplanarität. Falls K 5 oder
K3,3 als Teilgraph enthalten sind, so ist der gegebene Graph nicht planar. Dies ist jedoch, wie
beschrieben, kein notwendiges Kriterim für Nichtplanarität, d.h. unser Algorithmus erkennt
Nichtpanarität nicht , sondern lediglich für eine bestimmte Klasse dieser Graphen.
Algorithmus: Untersucht werden alle 6er und 5er Teilmengen des gegebenen Graphen, der als
Adjazenzmatix gegeben sein soll.
Ob eine 6er Teilmenge den K3,3 enthält, lässt sich dann in konstanter Zeit feststellen (genauer:
6
3 · 9 Zugriffe auf die Adjazenzmatrix).
Für die 5er Teilmengen benötigt man jeweils 52 Zugriffe auf die Matix um K5 nachzuweisen.
Wieviele solcher Tests müssen aber in einem Graphen auf n Knoten durchgeführt werden?
K3,3 :
n
=
6
n!
(n − 6)! · 6
n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · (n − 4) · (n − 5)
=
720
< n6
K5 :
n
=
5
n!
(n − 5)! · 5
n · (n − 1) · (n − 2) · (n − 3) · (n − 4)
=
120
< n5
3
Folglich ist es möglich, das Enthaltensein von K 3,3 oder K5 in Polynomialzeit zu testen.
Aufgabe 4
a) Wie groß ist die größte Clique in dem Graphen, der durch folgende Adjazenzliste (KnotenNr.: Liste der mit diesem Knoten verbundenen weiteren Knoten) gegeben ist:
1: 2, 3, 6; 2: 1, 3, 4, 5; 3: 1, 2, 4, 5, 6; 4: 2, 3, 5, 6; 5: 2, 3, 4, 6; 6: 1, 3, 4, 5?
Lösung:
K6 ist nicht im Graphen enthalten, da dazu jeder Knoten mit jedem verbunden sein müsste,
was offensichtlich nicht der Fall ist. Ist K 5 enthalten, so kann Knoten 1 als erstes ausgeschlossen werden. Da jedoch auch Knoten 2 nicht mit allen anderen Knoten (den Knoten
außer Knoten 1) verbunden ist, gilt auch dies nicht. K 4 ist Teilgraph des gegebenen Graphen, bspw. auf den Knoten 3,4,5 und 6, wie man sich leicht überzeugen kann.
Damit können wir über die Planarität des Graphen zunächst keine Aussage treffen, da K 4
planar ist.
1
2
6
3
5
4
Abbildung 4: Gegebener Graph
b) Ist der Graph in a) planar?
Lösung:
Können wir zeigen, dass K3,3 enthalten ist, so ist der vorliegende Graph nicht planar.
Knoten 1 ist lediglich mit drei weiteren Knoten verbunden, so dass die Knoten 2,3 und
6 eine der Knotenmengen des K3,3 bilden müssen, wenn dieser überhaupt enthalten ist.
Die Knotenmengen müssen also einmal die Knoten 1,4 und 5, zum andern die Knoten 2,3
und 6 bilden. Es zeigt sich, dass zwischen den Knoten der Mengen {1, 4, 5} und {2, 3, 6}
im gegebenen Graphen tatsächlich paarweise Kanten existieren. Damit ist klar, dass der
vorliegende Graph nicht planar ist.
4