Kontinuumsmechanik, Prof. Popov, WS09/10, 7. Woche

Kontinuumsmechanik, Prof. Popov, WS09/10, 7. Woche
Reibungsbehaftete Strömungen
Lösungshinweis:
Lösungshinweise Seite 1
Version 29. Januar 2010
Das ist eine lineare DGL 1. Ordnung, die sich mit der
Methode des integrierenden Faktors2 lösen lässt.
TUTORIUM
Mit a := − r1 und b :=
Aufgabe 76
uϕ = e
(a) Aus dem Materialgesetz erhält man durch Anwendung
der Quotienten-Regel:
r
∂uϕ
∂r
−
R
c
r2
adr
gilt:
Z
be
R
adr
dr + c1 ,
(7)
also:
− uϕ
τrϕ = ηr
r2
∂uϕ uϕ
=η
−
∂r
r
Z
c R − 1 dr
e r dr + c1
r2
Z
c − ln r
= eln r
e
dr
+
c
1
r2
Z
c
=r
dr
+
c
1
r3
c2
= c1 r + .
r
uϕ (r) = e−
(1)
R
− 1r dr
Zur Herleitung der Geschwindigkeitsverteilung betrachten
wir einen aus dem Fluid herausgeschnitten Hohlzylinder.
Damit die Strömung stationär ist, muss die Summe der
(8)
am Hohlzylinder angreifenden Momente um die Rotationsachs identisch Null sein. Insbesondere müssen sich also
die aus den Schubspannung resultierenden Momente Mi Die Integrationskonstanten sind aus den Randbedingunbzw. Ma an der Innen- und Außenwand des Hohlzylinders gen (Haftung an festen Oberflächen) zu bestimmen:
aufheben,
uϕ (r = R1 ) = ω1 R1 ⇒ c1 R12 + c2 = ω1 R1 ,
(9)
2
Mi = Ma .
(2)
uϕ (r = R0 ) = ω0 R0 ⇒ c1 R + c2 = ω0 R0 .
(10)
0
Betrachten wir nun den inneren Zylinder und einen Teil Aus (9)-(10) bzw. (9) · R2 - (10) · R2 folgen
0
1
des Fluids als Zylinder mit Radius r, R1 ≤ r ≤ R0 . Dann
beträgt das auf die Mantelfläche A dieses Zylinders wirω0 R02 − ω1 R12
und
c
=
1
kende Moment infolge der Schubspannungen:
R2 − R2
M (r) = τ Ar,
(3)
c2 =
(11)
0
1
R02 R12 (ω1 − ω0 )
.
R02 − R12
(12)
bzw. mit (1) und A = 2πrl, wobei l die unbekannte Höhe
Somit ist die Geschwindigkeit des Fluids:
des Zylinders sein soll,:
R02 R12 (ω1 − ω0 ) 1
ω0 R02 − ω1 R12
u
∂u
u
(r)
=
r
+
.
ϕ
ϕ
ϕ
M (r) = 2πη lr2
−
.
(4)
R02 − R12
R02 − R12
r
∂r
r
Gleichung (2) bedeuten nun gerade, dass dieses Moment (b)
M (r) nicht vom Radius r abhängt sondern konstant ist.
Damit folgt aus (4), dass
r2
∂uϕ
− ruϕ = c.
∂r
mit einer noch unbekannten Konstante c gelten muss.
(5)
(13)
p(r + dr)
dA
r + dr
dAa
Fz
ω(r)
1
r
p(r)
Da die Strömung als stationär angenommen werden soll,
dAi
kann die Geschwindigkeit uϕ außer vom Radius r, von
er
keiner weiteren Variable abhängen. Wir werden daher im
d
Folgenden die Ableitung dr statt der partiellen Ableitung
∂
dα
∂r schreiben und diese (wie bei Ableitungen nach dem Ort
eϕ
allgemein üblich) durch Striche gekennzeichnet. Gleichung
Zur Bestimmung der Druckverteilung p(r) betrachten wir
(5) lässt sich dann schreiben als:
das Kräftegleichgewicht am dargestellten Massenelement
1
c
der Dicke dz. Als Bezugssystem verwenden wir das mitu′ϕ − uϕ = 2 .
(6)
drehende er − eϕ -System. Da dieses nicht-inertial ist, muss
r
r
eine Zentrifugalkraft Fz berücksichtigt werden. Außerdem
1 Differentation dieser Gleichung führt auf die Differentialgleigehen wir davon aus, dass die Druckkräfte auf Innen- und
2
∂ uϕ
1 ∂uϕ
1
chung
+ r ∂r − r 2 uϕ = 0, welche man auch aus der Navier∂r 2 2
Stokes-Gleichung für dieses Problem erhält.
2 Vgl.
z.B. Bronstein(5. Auflage), S. 507
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Reibungsbehaftete Strömungen
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Außenfläche (dAi bzw. dAa ) als parallel zur er -Achse angesehen werden können. Da es sich um eine stationäre Aufgabe 77
Strömung handelt, müssen sich die Kräfte in er -Richtung
Zur Bestimmung des Geschwindigkeitsprofils betrachte
aufheben:
man das Kräftegleichgewicht zwischen Druck- und ReiFz = p(r + dr)dAa − p(r)dAi .
(14) bungskräften und der Gewichtskraft an einem Fluidelement. Dabei nutze man die Symmetrie des Problems. Das
scheibenförmige Fluidelemt hat die Endflächen AE = πr2
Dabei sind im Einzelnen:
und die Mantelfläche AM = 2πr∆z. Damit ist die Summe
2
der Kräfte in z-Richtung:
Fz = ω rdm
τ
2
2
2 dα
= ω rρπ (r + dr) − r
dz
2π
z
p
1
2
2
(15)
= ω ρ r + rdr drdαdz,
∆z
2
r
dα
dAi = 2πrdz
2π
= rdαdz,
dα
2π
= (r + dr)dαdz.
p + ∆p
(16)
τ
dAa = 2π(r + dr)dz
Symmetrieachse
ρπr2 ∆zg
(17)
α
Eingesetzt in (14) ergibt sich somit der Ausdruck
1
ω 2 ρ r2 + rdr drdαdz = p(r + dr)(r + dr)dαdz − p(r)rdαdz
2
1
⇔ ω 2 ρ r2 + rdr dr = [p(r + dr) − p(r)] r + p(r + dr)dr.
2
(18)
Die Glieder höherer Ordnung vernachlässigen wir und erhalten dann die Gleichung3
ω 2 ρrdr = p(r + dr) − p(r)
⇔ p′ = ω 2 ρr.
Mit der Beziehung ω =
uϕ
r
und (8) folgt daraus
ρr c2 2
c
r
+
1
r2
r
2c
c2
1 c2
= ρ c21 r +
+ 23
r
r
0 =τ 2πr∆z − ∆pπr2
+ ρπr2 ∆zg sin α
∆p
0 =2τ − r
+ ρgr sin α
∆z
Grenzübergang ∆z → 0 :
r dp 1
τ=
− ρgr sin α
2 dz
2
(23)
(24)
Wir nehmen an, dass der Druck p nur von der Lauflänge
z abhängt: p = p(z). Diese Annahme scheint gerechtfer(19) tigt, wenn dass Rohr hinreichen dünn ist. Bei einer Newton’schen Flüssigkeit beschreibt folgendes Materialgesetz
den Zusammenhang zwischen der Geschwindigkeit und der
Schubspannung aus Gleichung (24):
p′ =
τ =η
(20)
⇒u=
und nach Integration
2c1 c2
c22
2
p(r) = ρ c1 r +
+ 3 dr
r
r
ρ 2 2
2 1
p(r) =
c r + 4c1 c2 ln r − c2 2 + c3 .
2 1
r
(22)
1
η
du
dr
(25)
r2 dp ρgr2 sin α
−
+C
4 dz
4
(26)
Die unbekannte Integrationskonstante C wird durch die
Randbedingung bestimmt. An der Rohrwand gilt die
Wandhaftbedingung:
Z
(21)
c1 und c2 sind die Konstanten gemäß den Gleichungen
(11) und (12), c3 muss durch eine weitere Randbedingung (z.B. Vorgabe eines Druckes am äußeren Zylinder)
bestimmt werden.
3 Auch diese Beziehung lässt sich unmittelbar aus der NavierStokes-Gleichung herleiten.
!
u(r = R) = 0
(27)
2
R
4
1
⇒u=
4η
⇒C=
dp
− + ρg sin α
dz
dp
2
2
R −r
− + ρg sin α
dz
(28)
(29)
Jetzt ist das Geschwindigkeitsprofil u = u(r) als Funktion
des Druckgradienten dp
dz bekannt. In der Aufgabenstellung
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ist aber der Volumenstrom Q vorgegeben:
Idee!
Q =
Z
(29)
u dA =
A
Z2π ZR
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HAUSAUFGABE
Aufgabe 81
u(r)rdrdϕ
ϕ=0 r=0
πR4
dp
− + ρg sin α
··· ⇒ Q =
8η
dz
8Qη
dp
⇒
= − + ρg sin α
πR4
dz
(30)
In der Aufgabe wird eine schleichende Strömung behandelt, d.h. die Trägheitsterme sind vernachlässigbar.
(31) (mẍ = 0 oder Θϕ̈ = 0)
(a) 1. Weg
(32) Freischnitt eines Masseelements
ey
(τ + ∆τ ) · b∆x
(32) in (29):
2Q
u(r) = R2 − r2
πR4 r 2
2Q
=
1
−
πR2
R
(33)
∆y
p · b∆y
(p + ∆p) · b∆y
ex
(34)
−τ · b∆x
∆x
p · ∆yb − (p + ∆p)∆yb + (τ + ∆τ )∆x · b − τ b∆x = 0
(35)
∆p∆y = ∆τ ∆x
∆τ
∆p
=
∆x
∆y
(36)
(37)
Grenzübergang:
∂p
∂τ
=
∂x
∂y
(38)
Newtonsches Schubspannungsgesetz:
∂vx
∂y
∂p
∂2v
=η 2 2
∂x
∂ y
τ =η
(39)
(40)
2. Weg Navier-Stokes-Gleichung:
dv
= −grad p + η∆v + ρg
(41)
dt
Da schleichende Strömung (s.o.) und keine Gewichtskräfte:
ρ
grad p = η∆v
(42)
Das Geschwindigkeitsprofil ist eine Funktion von y, die
Geschwindigkeit geht in ex -Richtung
v = v(y)ex
(43)
Auswerten von (42) mit (43):
∂p
∂2v
=η 2
∂x
∂y
)
∂p
∂y = 0
⇒ p = p(x)
∂p
∂z = 0
1 ∂p
∂2v
=
2
∂y
η ∂x
1 ∂p 2
⇒ v(y) =
y + c1 y + c2
2η ∂x
(44)
(45)
(46)
(47)
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Reibungsbehaftete Strömungen
Mit den Randbedingungen:
v(0) = 0
Lösungshinweise Seite 4
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und Gleichung (53) wird daraus
⇒ c2 = 0
(48)
v0
1 ∂p
v(h) = v0
⇒ c1 =
−
h
h
2η ∂x
1
v0
· (y − h)y + y
⇒v(y) =
2η
h
dM =
(49)
M=
v0
=
v
y
v0 = 0
h
v0 = 0
v
Aufgabe 82
(a) Für die Spannung τ (r) gilt nach dem Newtonschen
Reibungsgesetz (Couette-Strömung ohne Druckgradient):
du
∆u
uWelle(r)
= η·
= η·
dy
∆y
s
(51)
uWelle(r) = r · ω
(52)
mit
Damit folgt:
τ (r) = η ·
R2
(57)
dM
r·ω
s
(53)
(b) Für das Drehmoment dM des Kreisringes mit dem
Radius r und der Breite dr gilt:
dM = τ (r) · r · dA
(54)
Mit der Fläche des Kreisringes
dA = 2π · r · dr
(55)
2π · η · ω
·
s
Z
R2
R1
R4
2
r3 dr
2π · η · ω
− R14 ·
s
4
π·η·ω
4
=
· R2 − R14
2s
=
τ (r) = η ·
Z
R1
h
< 0, v0 = 0
(56)
(c) Das Gesamtdrehmoment ergibt sich daraus durch In(50) tegration:
(b) Geschwindigkeitsverläufe
∂p
y
∂x = 0
∂p
∂x
2πηω 3
r dr .
s
(58)
(59)
(60)
(d) Mit den gegebenen Zahlenwerten ergibt sich:
h
i
Ns
1
1min
π · 0,4 m
(0,4m)4 − (0,2m)4
2 · 318,3 min · 60s
M=
2 · 0,0002m
≈ 400Nm