Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik (LA) SS 2010 Prof. Dr. G

Übungen zur Vorlesung Quantenmechanik (LA)
Prof. Dr. G. Mahler
SS 2010
Blatt 8
Aufgabe 33. Kontrollfragen
(eindimensionales Problem). Das Potenzial U(x) soll dabei für alle x stetig sein.
a) Welchen Sprung muss die erste Ableitung ψ ′ (x) der Energieeigenfunktionen ψ(x)
an der Stelle x0 aufweisen, wenn man verlangt, dass die Wellenfunktionen ψ(x)
überall stetig sein sollen?
Hinweis: Integrieren Sie dazu die zeitunabhängige Schrödingergleichung Ĥψ = Eψ
von x0 − ε bis x0 + ε und bilden Sie den Limes ε → 0.
(1 Punkt)
a) Was versteht man unter “Entartung”?
b) Wie lautet die zeitabhängige Schrödingergleichung in Ortsdarstellung? Wieso
nennt man diese auch Wellengleichung?
c) Welche Randbedingungen muss die Wellenfunktion an Grenzflächen erfüllen?
d) Warum sind die gebundenen Zustände im Potentialtopf diskret?
(2 Punkte)
b) Berechnen Sie für den Fall eines anziehenden δ-Potenzials (g < 0, U(x) ≡ 0,
x0 = 0) die normierten Energieeigenfunktionen ψn (x) und die zugehörigen Eigenwerte En (< 0). Wie viele Bindungszustände gibt es?
Hinweis: Allgemeine Lösung ψ(x) der zeitunabhängigen Schrödingergleichung aufsuchen; Rand und Anschlussbedingungen legen die Energieeigenwerte fest.
(2 Punkte)
Aufgabe 34. Zum Problem des Phasen-Operators
Das klassische Feld q = geiφ ; g = Amplitude, φ = Phase, werde quantisiert gemäß
Aufgabe 36. Unendlich hoher Potenzialtopf mit δ-Potenzial (schriftlich)
q̂ = ĝeiφ̂
(1)
[q̂, q̂ † ] = 1̂.
(2)
Ein Teilchen der Masse m befindet sich in einem unendlich hohen Potenzialtopf der
Breite 2a, der selbst wiederum durch eine δ-förmige Potenzialwand in zwei gleiche
Hälften unterteilt ist, d. h.
mit
Es gelte ĝ = ĝ † und φ̂ = φ̂† .
a) Berechnen Sie n̂ = q̂ † q̂ (“Intensität des Feldes”, Photonenzahl).

 ~2 g δ(x)
V (x) = 2m
∞
für |x| < a,
für |x| ≥ a.
V (x)
Zeigen Sie damit, dass
−iφ̂
e
iφ̂
n̂e = n̂ − 1̂
(3)
(1 Punkt)
b) Zeigen Sie, dass
[n̂, φ̂] = i1̂
(4)
Wie lautet die zugehörige Intensitäts/Phasen-Unschärferelation?
Hilfsformel:
Â
−Â
e B̂e
1
1
= B̂ + [Â, B̂] + [Â, [Â, B̂]] + [Â, [Â, [Â, B̂]]] + ...
2!
3!
a
−a
(5)
(1 Punkt)
c) Zeigen Sie, dass im Gegensatz zur Annahme φ̂ nicht selbstadjungiert (hermitesch)
sein kann.
Hinweis: Wenn φ̂ hermitesch wäre, müsste Q̂ = eiφ̂ unitär sein.
(1 Punkt)
a) Geben Sie die allgemeine Lösung ψ(x) der Schrödingergleichung an (ohne Verwendung der Rand- und Stetigkeitsbedingungen). Warum können hier die exakten
antisymmetrischen Energieeigenfunktionen ψn(a) (x) = −ψn(a) (−x) und die zugehörigen Eigenwerte En(a) sehr leicht bestimmt werden? Berechnen Sie En(a) und ψn(a) (x)
(Normierung nicht notwendig).
(2 Punkte)
b) Verwenden Sie nun zur Bestimmung der symmetrischen Energieeigentwerte En(s)
den folgenden Ansatz ψn(s) (x) = ψn± für x ≷ 0:
ψn± = A±
n sin κn (x ∓ a)
Aufgabe 35. Bindungszustand im δ-Potenzial
Ein Teilchen der Masse m bewege sich im Potenzial
V (x) = U(x) +
~2
g δ(x − x0 )
2m
x
(A±
n sind konstante Normierungsfaktoren). Leiten Sie aus diesem Ansatz eine transzendente Bestimmungsgleichung für die Eigenwerte En(s) ab und geben Sie ein grafisch-qualitatives Lösungsverfahren an.
(3 Punkte)
Bitte wenden. . .
c) Bestimmen Sie die (unnormierten) Eigenfunktionen ψn(s) (x) (Skizze) und Eigenwerte En(s) exakt im Grenzfall g → 0.
(2 Punkte)
d) Bestimmen Sie die (unnormierten) Eigenfunktionen ψn(s) (x) (Skizze) und Eigenwerte En(s) exakt im Grenzfall g → ∞. Ergibt sich hierbei eine Entartung? Warum?
(2 Punkte)